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第02讲 平行线及其判定
【题型1平行线定义】
【题型2 平行线公理及推论】
【题型3 平行线判定-同位角相等，两直线平行】
【题型4 平行线判定-内错角相等，两直线平行】
【题型5 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】
考点1：平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作ab．
注意：
（1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
（2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
【题型1 平行线定义】
【典例1】（2023春 青龙县期末）
1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对
【变式1-1】（2023春 榕城区期末）
2．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
【变式1-2】（2023春 宣化区期中）
3．如图，将一张长方形纸对折两次，则这两条折痕的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【变式1-3】（2022秋 姑苏区校级期末）
4．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　）
A． B． C． D．
考点2：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 ab，ac，那么ac
注意：
（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性
【题型2 平行线公理及推论】
【典例2】（2023春 利川市期中）
5．若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　）
A．∵，∴ B．∵，∴
C．∵，∴ D．∵，∴
【变式2-1】（2023春 新民市期中）
6．已知，若由此得出，则直线a和c应满足的位置关系是（ ）
A．在同一个平面内 B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一平面内
【变式2-2】（2023春 南宁月考）
7．是直线，下列说法正确的是(　　)
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式2-3】（2022春 海淀区校级期中）
8．下列说法正确的是（　　）
A．a、b、c是直线，若，则
B．a、b、c是直线，若，则
C．a、b、c是直线，若，则
D．a、b、c是直线，若，则
考点3：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ ABCD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行
∵∠2＝∠3
∴ ABCD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行
∵∠4＋∠2＝180°
∴ABCD（同旁内角互补，两直线平行）
【题型3 平行线判定-同位角相等，两直线平行】
【典例3】（2023秋 南岗区校级期中）
9．如图，点A在射线上，点C在射线上，，．
求证：．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵（已知），，
∴______，
∵（已知），
∴______（______），
∴（______）．
【变式3-1】（2023春 禅城区校级期中）
10．如图，已知E，B，C三点共线，平分，，试说明：．
因为平分（ ），
所以 = （ ），
又因为（ ），
所以（ ）．
所以（ ）．

【变式3-2】（2023春 泸县校级期末）
11．如图，已知，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．
【变式3-3】（2022秋 城阳区校级期末）
12．已知：如图．在△ABC中．点D，E，F分到在边AB，AC，BC上，CD与EF相交于点H，且∠BDC+∠DHF＝180°．∠DEF=∠B，求证：DE∥BC．
【题型4 平行线判定-内错角相等，两直线平行】
【典例4】（2023春 阿荣旗期末）
13．填空
已知：如图，平分，．
求证：

证明∵平分（____________________________________）
∴________________（________________________________）
∵（已知）；
∴________（________________________________________）
∴（________________________________________________）
【变式4-1】（2023春 门头沟区期末）
14．按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+　 　＝90°（　 　）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴　 　＝∠2（　 　）．
∴DE∥BC（　 　）．
【变式4-2】（2022秋 秦州区校级期末）
15．如图，点 G 在上， 已知，平分，平分，请说明的理由．
解：因为
所以 ( ) ．
因为平分，
所以 ．
因为平分，
所以 ，
得，
所以 ( ) ．
【变式4-3】（2023春 中山区期末）
16．如图，分别平分和，求证．

【题型5 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】
【典例5】（2022秋 市北区期末）
17．如图，已知，，求证：．

【变式5-1】（2023春 船营区期末）
18．如图，一个弯形管道的拐角，，这时说管道对吗？为什么？
【变式5-2】（2022秋 城阳区校级期末）
19．已知：如图．在△ABC中．点D，E，F分到在边AB，AC，BC上，CD与EF相交于点H，且∠BDC+∠DHF＝180°．∠DEF=∠B，求证：DE∥BC．
【变式5-3】（2022 青山区模拟）
20．如图，E在四边形的边的延长线上，连接BE交AD于F，已知，，求证：．
一．选择题（共10小题）
（2022秋 新野县期末）
21．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）

A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行
（2023 沙坪坝区校级三模）
22．如图，可以得到的条件是（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋 洛江区校级期末）
23．如图，下列条件中，一定能判断AB∥CD的是（ ）
A． B． C． D．
（2023 岳麓区一模）
24．如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中，能得到的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春 黄岛区校级期末）
25．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
（2022秋 丹东期末）
26．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE
（2023春 通榆县期末）
27．下列图形中，已知，则可得到的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋 绿园区期末）
28．如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是（ ）
A． B． C． D．
（2023春 新罗区期末）
29．如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤
（2023春 凤台县期中）
30．下列说法错误的个数是（　　）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
（2023秋 香坊区校级期中）
31．同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ．
32．如图，点，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，如果添加一个条件，使，则可以添加的条件为 ．（任意添加一个符合题意的条件即可）

33．如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏，此时 °．
34．如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1=140°,则当∠2等于 时,AB∥CD．

35．一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中A点位置始终不变），当 时，．
36．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤，其中能够得到的条件是 （填序号）

三．解答题（共3小题）
（2022秋 碑林区校级期末）
37．已知：如图，与相交于点F，，．求证：
（2023春 长清区期中）
38．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（　 　）．
∵∠ABC＝∠ADC（　 　），
∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）．
∵∠1＝∠3（　 　），
∴∠2＝∠　 　（　 　）．
∴AB∥DC（　 　）．

（2023春 黄浦区期中）
39．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）：
(1)①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
(3)当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系判断即可．
【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行，相交包含垂直．
故选C．
【点睛】本题考查在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系，理解两直线的位置关系是解题关键．
2．C
【分析】分别根据线段的性质，平行线的定义，垂线、点到直线的距离的定义判断即可．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，故A不符合题意．
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故B不符合题意．
C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C符合题意．
D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，平行线的定义，垂线、点到直线的距离的定义，能熟记知识点是解此题的关键．
3．A
【分析】根据平行公理和垂直的定义解答．
【详解】∵长方形对边平行，
∴第一次折叠的折痕与长方形的宽平行，
又∵第二次折叠的折痕与长方形的宽平行，
∴两次折痕也互相平行(如果两条直线都与第三边直线平行，那么这两条直线也互相平行).
故选A.
【点睛】考查翻折的性质，主要利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握．
4．D
【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可．
【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，，
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征．
5．C
【分析】根据平行公理及推论，逐一判定即可；掌握平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键．
【详解】解：A、∵，∴，故A不符合题意；
B、∵，∴c与d不一定平行，故B不符合题意；
C、∵∵，∴，故C符合题意；
D、∵，∴a与c不一定平行，故D不符合题意．
故选：C．
6．C
【分析】根据“平行线的传递性”即可求解．
【详解】解：①若，
，
，
可得；
②若直线a和c重合，
则由得：，
可得，
综上：直线a和c平行或重合，
故选：C．
【点睛】本题考查“平行线的传递性”．熟记相关结论是解题关键．
7．D
【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理以及平行线的性质判断即可．
【详解】解：A、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；
B、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；
D、若，则，正确，符合题意．
故选：D
8．D
【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【详解】解：A．当时，，故本选项错误，不符合题意；
B．在同一平面内，当时，，故本选项错误，不符合题意；
C．当时，，故本选项错误，不符合题意；
D．当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错．
9．，，等量代换，同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是逻辑推理及其推理依据的理解；根据同角的补角相等可得，再根据等量代换可得，再利用平行线的判定方法可得．
【详解】证明：∵（已知），，
∴，
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
10．见解析
【分析】根据角平分线的定义得到，结合已知，通过等量代换得到，即可证明．
【详解】解：因为平分（已知），
所以（角平分线的定义），
又因为（已知），
所以（等量代换）．
所以（同位角相等，两直线平行）．

【点睛】此题考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
11．见解析
【分析】由平行线的判定得CD EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AED=∠ACB，进而可判定BC DE．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
12．见解析
【分析】根据∠BDC+∠DHF＝180°，推出，得到∠EFC=∠DEF，由此可得结论．
【详解】证明：∵∠BDC+∠DHF＝180°．
∴，
∴∠B=∠EFC，
∵∠DEF=∠B，
∴∠EFC=∠DEF，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定及性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
13．已知；2；；角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的性质和判定求解即可．
【详解】证明∵平分（已知）
∴（角平分线定义）
∵（已知）；
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了平行线的判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．
14．∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析得出答案．
【详解】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠EDC＝90°（ 垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EDC＝∠2（ 同角的余角相等）．
∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
15．同角的补角相等；；；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，根据同角的补角相等，角平分线平分角，以及内错角相等，两直线平行，进行作答即可．掌握平行线的判定定理，是解题的关键．
【详解】解：因为
所以 (同角的补角相等) ．
因为平分，
所以．
因为平分，
所以，
得，
所以 (内错角相等，两直线平行)，
故答案为：同角的补角相等；；；内错角相等，两直线平行．
16．见解析
【分析】根据垂直的定义得出，根据角平分线度推出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【详解】证明：，
，
分别平分和，
，
，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟记平行线的判定定理是解题的关键．
17．见解析
【分析】由等量代换可知，根据两直线平行内错角相等得到，再根据等量代换解得，最后由同位角相等证明两直线平行．
【详解】证明：，，
，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．，见解析
【分析】,由同旁内角互补，两直线平行即可判定．
【详解】证明：因为，所以由同旁内角互补，两直线平行，可知
．
【点睛】本题考查平行线判定定理，根据定理内容解题是关键．
19．见解析
【分析】根据∠BDC+∠DHF＝180°，推出，得到∠EFC=∠DEF，由此可得结论．
【详解】证明：∵∠BDC+∠DHF＝180°．
∴，
∴∠B=∠EFC，
∵∠DEF=∠B，
∴∠EFC=∠DEF，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定及性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
20．证明见解析
【分析】根据“同旁内角互补，两直线平行”得到，根据平行线的性质推出，即可判定．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同旁内角互补，两直线平行”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
21．C
【分析】如图，根据题意得，则根据同位角相等，两直线平行即可判断.
【详解】解：如图，根据题意得，
所以，根据的是同位角相等，两直线平行；
故选：C.

【点睛】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，熟知同位角相等，两直线平行是关键.
22．B
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得∠ABC＋∠BAE＝180°可以证明DE∥BC．
【详解】解：∵∠ABC＋∠BAE＝180°，
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
而A、C、D均不符合平行线的判定条件，
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
23．C
【分析】根据平行线的判定定理，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，则得出答案．
【详解】解：A．由∠1＝∠3，不能判断AB∥CD，故本选项错误；
B．由∠4＝∠2，不能判断AB∥CD，故本选项错误；
C．∵，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行，)，故本选项正确；
D．由∠1＝∠D，能判断AF∥ED，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理，是解此题的关键．
24．D
【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、，和邻补角，不能证明；
B、，和是同旁内角，同旁内角相等不能证明；
C、，和属于内错角，内错角互补不能证明；
D、∵，∴（同旁内角互补两直线平行）；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．
25．D
【分析】本题考查了平行线的判定，正确识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角是解答本题的关键．
只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，利用平行线的判定定理，逐一判断，得出结论．
【详解】解：选项中，因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
选项中，因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
选项中，因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
选项中，因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意．
故选：．
26．B
【分析】根据两种三角形的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案
【详解】∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠1＝∠3，故A错误．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠3＝60°
∴∠CAE＝90°+60°＝150°，
∴∠E+∠CAE＝180°，
∴AC∥DE，故B正确，
∵∠2＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，
∵∠E+∠3＝∠B+∠4，
∴∠4＝30°，
∵∠D＝60°，
∴∠4≠∠D，故C错误，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝40°，
∴∠B≠∠3，
∴BC不平行AE，故D错误．
故选B
【点睛】此题考查平行线的判断，解题关键在于根据三角形的度数，来进行计算
27．B
【分析】
先确定两角之间的位置关系，再根据平行线的判定来确定是否平行．
【详解】解：A、∠1和∠2的是对顶角，不能判断，故此选项不符合题意；
B、∠1和∠2的对顶角是同位角，且相等，所以，故此选项符合题意；
C、∠1和∠2是内错角，且相等，故，不是，故此选项不符合题意；
D、∠1和∠2互为同旁内角，同旁内角相等，两直线不一定平行，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定定理．
28．C
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后的同位角的度数，然后用减去即可得到木条a旋转的度数．
【详解】∵时，，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后的同位角的度数是解题的关键．
29．D
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：①∠1=∠2不能判定AB∥CD，不符合题意；
②∵∠1=∠3，∴AB∥CD，符合题意；
③∵∠2=∠4，∴AB∥CD，符合题意；
④∠DAB+∠ABC=180°；不能判定AB∥CD，不符合题意；
⑤∵∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题的关键．
30．C
【分析】本题考查了平行线、点到直线的距离等知识，注意平行公理是在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据平行公理、点到直线的距离，对选项逐一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故该说法错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故该说法错误；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，该说法正确．
综上所述，说法错误的是①②③，合计3个．
故选：C．
31．
【分析】根据平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，可知直线a与直线c的关系是平行．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，易错点是未根据题意进行画图解答．
32．（答案不唯一）
【分析】根据同位角相等，两直线平行添加条件即可求解．
【详解】解：，
．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解本题的关键．
33．270
【分析】过点B作，根据平行线的性质可得，根据得出，则，最后根据即可求解．
【详解】解：过点B作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：270．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握：平行于同一直线的两直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补．
34．
【分析】先假设，求得∠AFN=140°，根据邻补角求出∠BFN，再利用即可求出∠2的度数.
【详解】设，
∴∠AFN=∠1=140°，
则∠BFN=180°-∠AFN=40°，
又∵，
∴∠2=90°-∠BFN=50°.
【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题思维熟知邻补角、垂直的角度关系.
35．30或150
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．根据平行线判定，作出图形，分两种情况：①内错角相等两直线平行；②同旁内角互补两直线平行，数形结合求解即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
①如图，
当时，可得；
②如图，
当时，可得，
则．
故答案为：30或150．
36．①④⑤
【分析】根据平行线的判定定理，逐一进行判断即可．
【详解】解：①，内错角相等，两直线平行，能得到；
②，同位角相等，两直线平行，能得到；
③，内错角相等，两直线平行，能得到；
④，内错角相等，两直线平行，能得到；
⑤，同旁内角互补，两直线平行，能得到；
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．
37．见解析
【分析】由，依据“同位角相等，两直线平行”证得，依据“两直线平行，同位角相等”可证得，由等量代换得，最有依据“内错角相等，两直线平行”证得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的证明和性质的应用；解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
38．角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决．
【详解】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
39．(1)①135°；②40°
(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由见解答过程；
(3)存在，∠ACE的度数为30°或45°或120°或135°或165°．
【分析】（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（2）根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（3）分五种情况进行讨论：当CBAD时，当EBAC时，当CEAD时，当EBCD时，当BEAD时，分别求得∠ACE的度数．
【详解】（1）解：①∵∠DCE=45°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=45°，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACB=90°+45°=135°，
故答案为：135°；
②∵∠ACB=140°，∠ECB=90°，
∴∠ACE=140°-90°=50°，
∴∠DCE=90°-∠ACE=90°-50°=40°，
故答案为：40°；
（2）解：猜想：∠ACB+∠DCE=180°，
理由如下：∵∠ACE=90°-∠DCE，
又∵∠ACB=∠ACE+90°，
∴∠ACB=90°-∠DCE+90°=180°-∠DCE，
即∠ACB+∠DCE=180°；
（3）解：存在，30°、45°、120°、135°、165°．
理由：当CBAD时，如图1所示：
∴∠DCB=∠D=30°，
∴∠ACE=∠DCB=30°；
当EBAC时，如图2所示：
∴∠ACE=∠E=45°；
当CEAD时，如图3所示：
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=90°+30°=120°；
当EBCD时，如图4所示：
∴∠DCE=∠E=45°，
∴∠ACE=90°+45°=135°；
当BEAD时，延长AC交BE于F，如图5所示：
∴∠CFB=∠A=60°，
∵∠ECF+∠E +∠CFE=180°，∠CFB +∠CFE =180°，
∴∠ECF =15°，
∴∠ACE=180°-∠ECF=180°-15°=165°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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