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大题02 数列
数列是高考数学的热门考点之一，其中等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，以递堆数列为命题背景考查等差(比)数列的证明方法，以及等差（比）数列有关的错位相减法和裂项相消法求和是考查的重点内容。有时也会结合不等式进行综合考查，此时难度较大。
题型一：等差数列与等比数列证明
（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知数列满足，.
（1）求，；
（2）求，并判断是否为等比数列.
判断数列是否为等差货等比数列的策略 1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断； 2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即可。
1．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项积为，且，其中．
（1）若，求的值；
（2）求证：数列是等比数列．
2．（2022·河南·高三校联考专题练习）已知数列的前项和为，且，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
题型二：分组转化法求数列的前n项和
（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，，求数列的前项和．
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 2、常见类型： （1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列： （2）奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列。
1．（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，．
（1）若数列满足，求的通项公式；
（2）求数列的通项公式，并求．
2．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
（1）求数列的通项和数列的通项；
（2）若，求数列的前项和.
题型三：裂项相消法求数列的前n项和
（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知数列的前项和为，且．
（1）求 的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
1．（2024·四川·高三校联考期末）在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列的前n项和为．
（1）求数列的前n项和;
（2）令，求的前9项之和．
题型四：错位相减法求数列的前n项和
（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：.
1．（2024·浙江金华·高三统考期末）已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列，
（1）求；
（2）设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和．
2．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
题型五：数列与不等式综合问题
（2024·广东广州·统考二模）已知数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为的前项和，证明：时，.
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面： 一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解； 二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
1．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递增的等比数列满足，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若,设数列的前n项和为，且对任意，都有恒成立，求实数m的取值范围．
2．（2024·云南保山·高三统考期末）已知为等比数列，且为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）令，求证：.
题型六：数列中的探究问题
（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
1．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为.
（1）若，，，，求；
（2）是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
2．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正项数列满足：.
（1）设，试证明为等比数列；
（2）设，试证明；
（3）设，是否存在使得为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由.
1．（2024·安徽六安·高三统考期末）已知数列的前项和为，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）当时，设，求数列的前项和.
2．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
3．（2024·山西临汾·统考一模）已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
4．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列中，，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求
5．（2024·浙江·校联考一模）已知数列满足，记数列的前项和为．
（1）求；
（2）已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
6．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
3．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
4．（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
5．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
（1）若，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
8．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
9．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
10．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
（3）求．大题02 数列
数列是高考数学的热门考点之一，其中等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，以递堆数列为命题背景考查等差(比)数列的证明方法，以及等差（比）数列有关的错位相减法和裂项相消法求和是考查的重点内容。有时也会结合不等式进行综合考查，此时难度较大。
题型一：等差数列与等比数列证明
（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知数列满足，.
（1）求，；
（2）求，并判断是否为等比数列.
【答案】（1）；（2），是等比数列
【思路分析】
（1）分别令，，计算可得所求值；
（2）利用累加法，结合等差数列、等比数列的求和公式，可求数列的通项公式，可得，得解．
【规范解答】
（1），
（2）因为，所以，
所以，，…，，
将以上各式相加得
.
因为，所以，
又也满足，所以，
所以，
所以是等比数列，且首项、公比均为2.
判断数列是否为等差货等比数列的策略 1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断； 2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即可。
1．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项积为，且，其中．
（1）若，求的值；
（2）求证：数列是等比数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）在中令，得成等比数列，结合即可得解.
（2）由等比数列定义结合已知即可得证.
【解析】（1）令，则，即，
成等比数列，则公比为．
，
即．
（2），
两式相除得，即①，由①得②，
②÷①得，即，
即，由（1）知，
数列是等比数列．
2．（2022·河南·高三校联考专题练习）已知数列的前项和为，且，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）借助与的关系消去后化简可得，即可得证；
（2）计算出后再次借助与的关系计算即可得数列的通项公式.
【解析】（1）由已知，令，解得，
又，
则，则，则，
则，则，即，
又，故是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）可知，，
故，则，
由（1）可知，，
当时，，
综上，可得．
题型二：分组转化法求数列的前n项和
（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，，求数列的前项和．
【思路分析】
（1）根据求解即可；
（2）利用分组求和法求解即可.
【规范解答】
（1）由，
当时，，所以，
当时，，即，
所以数列是从第二项开始以为公比的等比数列，所以；
（2）当时，，此时
当时，，
则，
此时，
当时，，上式成立，
所以.
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 2、常见类型： （1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列： （2）奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列。
1．（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，．
（1）若数列满足，求的通项公式；
（2）求数列的通项公式，并求．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据数列的递推公式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，分为奇数、偶数两种情况讨论，设、，可得出数列的通项公式，分别求出、，相加可得.
【解析】（1）因为数列满足，，
则，
因为，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，则.
（2）由（1）可得，
所以，，
当为奇数时，设，则，
则；
当为偶数时，设，则，则.
综上所述，.
因为，
，
所以，.
2．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
（1）求数列的通项和数列的通项；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）（或）
【分析】（1）根据题意分别求出数列的首项和公差，以及数列的首项和公比，进而可得出答案；
（2）利用并项求和法求解即可.
【解析】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，又，
所以解得，
故，
因为数列为各项为正的递增数列，设公比为，且，
因为，所以，得，
又，所以，即，
又，解得，从而，所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以数列的前项和为
（或）.
题型三：裂项相消法求数列的前n项和
（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知数列的前项和为，且．
（1）求 的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【思路分析】
（1）由之间的关系即，时，即可求解.
（2）由裂项相消法即可求解.
【规范解答】
（1）由题意，
当时，，且满足上式，
所以.
（2）由题意，
所以.
1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
1．（2024·四川·高三校联考期末）在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用等差数列的定义及性质计算基本量即可求通项公式；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【解析】（1）设的公差为，则，解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以
．
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列的前n项和为．
（1）求数列的前n项和;
（2）令，求的前9项之和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由，得到，两式相减，整理得到，得到数列是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解；（2）由（1）得到，结合裂项法去和，即可求解.
【解析】（1）正项数列的前n项和为，满足，可得，
两式相减可得，
所以，
因为，所以，
又因为，解得，
所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
则数列的通项公式为，可得.
（2）由（1）知，
可得，
所以．
题型四：错位相减法求数列的前n项和
（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【思路分析】
（1）根据题意，当时，用替换，然后代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果.
【规范解答】
（1）当时，．
当时，由，得，
则，则，
因为也符合上式，所以．
（2）由（1）可知，，
则，
则，
两式相减得，则．
1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：.
1．（2024·浙江金华·高三统考期末）已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列，
（1）求；
（2）设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由等差数列的性质和等比中项列方程解出公差，再由基本量法写出等差数列的通项公式.
（2）由已知和等比数列的性质求出，再由错位相减法和等差数列的前和公式共同求出结果.
【解析】（1）∵是等差数列，，，∴，．
∵，，构成等比数列，∴，
化简可得，∴，所以．
（2）∵，，，
又数列为等比数列，∴，
而，∴，∴，
所以，设数列的前项和为，
则①，
②，
①②相减得，
化简可得
又因为等差数列的前项和为，
综上可得．
2．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用与的关系式，即可得出结论；
（2）错位相减法求解数列的前项和.
【解析】（1）因为，所以，
当时，，
所以，即，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，所以，
因为①，
所以②，
由①-②得：，
所以．
题型五：数列与不等式综合问题
（2024·广东广州·统考二模）已知数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为的前项和，证明：时，.
【思路分析】
（1）利用递推关系，把换成，得到两式相减，得到，再累乘后可得到通项；
（2）用错位相减法求出，再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可.
【规范解答】
（1）因为，
所以，
作差可得，变形为，
即，即，化简为，
因为，所以，
因为，所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，，
作差可得，
所以，
，
设，则在给定区间上递减，
又，故在是减函数，
，
所以当时，.
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面： 一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解； 二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
1．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递增的等比数列满足，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若,设数列的前n项和为，且对任意，都有恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设等比数列的公比为q，由求解；
（2）由（1）得到，利用错位相减法求得，将对任意，都有恒成立，转化为对任意恒成立求解.
【解析】（1）设等比数列的公比为q，
因为是和的等差中项，所以，又，
代入得，即，
所以，即，解得或，
又因为数列是递增的等比数列，所以．
（2）由（1）知,
①，
②，
得,
．由得,
对任意恒成立．
当n为偶数时，，则,
当n为奇数时，,即,则，
∴实数m的取值范围是．
2．（2024·云南保山·高三统考期末）已知为等比数列，且为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）令，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由的定义，可得等比数列的公比和首项；
（2）利用放缩法及等比数列求和公式可证.
【解析】（1）由，所以，故数列的公比为3，
所以，故而，所以.
（2）证明：由（1）知，，
当时，成立；
当时，且，
所以
，
综上，.
题型六：数列中的探究问题
（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【思路分析】
（1）利用等比数列定义，根据将，代入构造方程组解得，，可得数列的通项公式；
（2）假设存在，，成等比数列，由，，成等差数列可得，且，解得，与已知矛盾，因此不存在这样的3项.
【规范解答】
（1）由题意知当时，①
当时，②
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
1．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为.
（1）若，，，，求；
（2）是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.
【分析】（1）利用已知数据直接计算即得；（2）假定存在，分两种情况讨论即得.
（3）设，分析出，再求出的最大值即可.
【解析】（1）由，得，由，得，
由，得，所以.
（2）不存在.
假设存在，设公比为，
若，则，公比，矛盾，
若，则，公比，矛盾，
因此假设不成立，所以不存在.
（3）依题意，，且，，
设，则，得，
于是，显然的值从大到小依次为，
若，则且，当数列为或，可以取得，
显然当时，最大，此时，则，
，
从而
，又，
所以.
2．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正项数列满足：.
（1）设，试证明为等比数列；
（2）设，试证明；
（3）设，是否存在使得为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，
【分析】（1）根据递推公式可得，即，从而可求解；（2）由（2）可得利用放缩可得，从而可求解.
（3）由（1）可得，然后分情况讨论，，时是否能使为整数，从而求解.
【解析】（1）由题可知，，
则，即，
则数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2），
，（当且仅当时取等），
当时，；
当时，.
（3），
当时，不是整数；
当时，不是整数
当时，必定为整数，
故只需要考虑是否为整数即可.
又因为
故只需要为整数即可，则.
综上所述，.
1．（2024·安徽六安·高三统考期末）已知数列的前项和为，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）当时，设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据作差得到，即可得证；
（2）由（1）可得，则，再利用裂项相消法计算可得.
【解析】（1）因为，
当时，，解得，
由得，
两式作差得，
即，则，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）当时，由（1）得，
又，
所以，
所以
.
2．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据条件可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，即可求出结果；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法即可求出结果.
【解析】（1）由，可得，又，
故数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，得到．
（2）由（1）可知，
故．
3．（2024·山西临汾·统考一模）已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【分析】（1）利用定义法判断等比数列并求解通项公式即可；（2）利用错位相减法求和即可.
【解析】（1）因为，
又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以
（2）因为，所以，故，
所以，
令，则，
所以，
，
所以
，所以
4．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列中，，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）当时，，当时，得到，从而得到从第2项起成等比数列，即可得到答案；（2）根据（1）得到，当为大于1的奇数时，，当为偶数时，.再利用分组求和、错位相减求和即可得到答案.
【解析】（1）当时，，则.
当时，由，
得，
则，则.
因为，所以从第2项起成等比数列，.
（2），当为大于1的奇数时，，
当为偶数时，.
.
，
则，
则，
，
则，
则.
5．（2024·浙江·校联考一模）已知数列满足，记数列的前项和为．
（1）求；
（2）已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由递推关系首先得结合等差数列求和公式即可求解；（2）由题意首项得，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求不等式的正整数解集.
【解析】（1）①
②
②-①得，，得．
当时，①式为，得，也满足上式．
，数列是等差数列，所以．
（2），则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，，
又，得，
得．
令，即，即．
当时，经验证，（*）式满足要求．
令，则，
所以当时，，即当时，式不成立．
使得成立的的取值范围是．
6．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析
【分析】（1）由题意求出等差数列的首项和公差，即可求得答案；（2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法求出的表达式，由此可得到的表达式，结合二项式定理说明，即可得结论.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由，取，得，即，
由，得，即，解得，
则．
（2）由（1）得，故，
即，
则，
两式相减，得到
即．
则，
因为，
，
即，
所以，故不存在正整数，使得成等比数列.
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．
【解析】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，即，．
3．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【解析】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，即，
所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
4．（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
【答案】（1），；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【分析】（1）由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.
（2）(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【解析】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，其前项和为：.
5．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
（1）若，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【解析】（1），，解得，
，
又，，
即，解得或（舍去），.
（2）为等差数列，，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
6．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【解析】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，
因此，所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，
，
当时，，因此，
当为奇数时，若，
则
显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【解析】（1）设数列的公差为，所以，，
即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，
即，亦即，解得，
所以满足等式的解，
故集合中的元素个数为．
8．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
（2）由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【解析】（1）因为，
所以，所以，
又，所以，所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又，所以
9．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴，整理得：，即,
∴，
显然对于也成立，∴的通项公式；
（2）
∴
10．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
（3）求．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【解析】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以，
设
所以，
则，
作差得，
所以，所以.

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