资源简介

专题05 平面向量
考点一：平面向量的基本概念与线性运算
知识点1 向量的有关概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2、零向量：长度为0的向量，记作.
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行．
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点2 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律：
减法 求与的相反向量的和的运算
数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ；
知识点3 向量共线定理的应用
1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.
2、三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。
【题型1 向量的基本概念及其理解】
平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。 解决向量概念问题的关键点 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件．
1．（2023·云南红河·一模）写出一个与向量共线的单位向量： .
【答案】或
【解析】设所求向量为，
由题可知：且，
解得：或，
所以向量坐标为或．
2．（23-24高三下·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，所以，
从而与向量同方向的单位向量为.故选：A.
3．（23-24高三下·江苏扬州·月考）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若，则方向相同，C 正确；
对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.故选：C.
4．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.故选：ABC.
【题型2 向量共线定理的应用】
对于，，，若是使用，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性。 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值
1．（23-24高三下·浙江·高考模拟）已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】C
【解析】对于A，因为，若三点共线，
设，则，无解，所以三点不共线，故A错误；
对于B，若三点共线，
设，则，无解，所以三点不共线，故B错误；
对于C，因为，
因为有公共点，所以三点共线，故C正确.
对于D，因为，，设，
则，无解，所以三点不共线，故D错误；故选：C.
2．（23-24高三下·江苏扬州·月考）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，是两个不共线的向量，由，共线，
则存在实数，使得，则，解得或，则.故选：B.
3．（23-24高三下·北京顺义·月考）向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】根据网格图中的的大小与方向，易于得到，
由向量与共线，可得，解得：.故选：D.
4．（23-24高三下·四川南充·二模）已知，则
【答案】3
【解析】因为
所以，解得.
5．（23-24高三下·辽宁·模拟预测）已知向量不共线，，若，则 .
【答案】
【解析】由，不共线，故存在实数，使，
即有，即有，解得.
考点二：平面向量基本定理及坐标表示
知识点1 平面向量基本定理
1、平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
3、对平面向量基本定理的理解
①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
③是同一平面内所有向量的一组基底，
则当与共线时，；当与共线时，；当时，．
④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
知识点2 平面向量的坐标运算
1、向量的线性运算坐标表示
（1）已知，则，．
（2）若，则；
2、向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是
【题型1 平面向量基底的判断】
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。 只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一。
1．（23-24高三上·福建·月考）（多选）下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【解析】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，
因为，，，
则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中，则B错误.故选：ACD
2．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·调研）（多选）下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BD
【解析】对于A，，显然不共线，可以作为一组基底，故A错误；
对于B，，，则，两向量共线，不能作为一组基底，故B正确；
对于C，，显然不共线，可以作为一组基底，故C错误；
对于D，，，则，两向量共线，不能作为一组基底，故D正确.
故选：BD
【题型2 用基底表示向量】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
1．（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知等边的边长为2，点D，E分别为，的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在中，取为基底，则，．
因为点D，E分别为，的中点，所以，
所以.故选：A．
2．（23-24高三下·四川·模拟预测）在中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以为线段上靠近的三等分点，如下图所示：
故．故选：C．
3．（23-24高三下·江苏扬州·月考）在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，.
（1）试用基底，表示，，；
（2）若G为长方形所在平面内一点，且，求证：三点不能构成三角形.
【答案】（1），，；（2）证明见解析
【解析】（1）；
；
.
（2），
，
又与有公共端点，三点共线，
三点不能构成三角形.
【题型3 利用平面向量基本定理求参数】
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
1．（23-24高三下·山西晋中·模拟预测）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，
所以，所以，又，
所以，.故选：B.
2．（23-24高三下·山西·月考）已知是的边上一点，若，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
可知，所以.故选：B.
3．（23-24高三上·江苏镇江·月考）中，，P为线段中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
又P为线段中点，所以，
即，，所以.故选：C
考点三：平面向量的数量积
知识点1 平面向量的数量积
1、向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角．
（2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°.
（3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直．
2、平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，
记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即.
（2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
3、向量数量积的性质
设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
（1）.
（2）.
（3），同向 ；，反向 .
特别地或.
（4）若θ为，的夹角，则.
4、平面向量数量积的运算律
（1） (交换律)．
（2） (结合律)．
（3） (分配律)．
知识点2 平面向量数量积的坐标运算
结论 几何表示 坐标表示
模
夹角
的充要条件
与的关系
【题型1 平面向量数量积及其运算】
向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开。尤其使用数量积的运算时不可约公因式。 求平面向量的数量积的三种方法： 1、定义法：已知或可求两个向量的模和夹角。； 2、基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解； 3、坐标法：已知或可求两个向量的坐标时可直接使用，有时也许建立平面直角坐标系。
1．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.故选：B.
2．（23-24高三下·山东·二模）已知向量，则等于（ ）．
A． B．6 C． D．18
【答案】C
【解析】因为向量，所以，且，则，故选:C．
3．（23-24高三下·安徽芜湖·二模）已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，取为基底，则.
因为点、分别为的中点，
，，
故选：A
4．（23-24高三下·全国·二模）如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】过点作于，令，由，得，
，由分别为的中点，得，，
所以.故选：B
5．（23-24高三下·湖南长沙·月考）在中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则（ ）
A．1 B． C．9 D．
【答案】C
【解析】由可得：，
因为B，C，D三点共线，故，即，
所以，
以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，
因为，，则
因为，故设
则
由得，解得，故，，
所以.故选：C，
【题型2 平面向量模的有关问题】
求向量模或其范围的常用方法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
1．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【解析】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
2．（23-24高三下·河北沧州·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】由题意可得，，
所以．故选：A
3．（23-24高三下·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．3或
【答案】D
【解析】，即，
，解得或.故选：D.
4．（23-24高三下·重庆·模拟预测）已知，若是线段的中点，则 ．
【答案】/
【解析】因为为线段的中点，所以，
所以.
【题型3 平面向量的夹角问题】
错误理解向量的夹角，在使用求解时，特别注意，要共起点才能找夹角，否则使用的可能是其补角造成错误。 1、两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角； 2、求两个向量夹角的方法：求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、三算”。
1．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，，
所以.故选：B.
2．（23-24高三下·宁夏银川·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
所以.故选：B.
3．（23-24高三下·广东汕尾·月考）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，向量，，
由，得，解得，即，则，
因此，又，所以.故选：C
4．（23-24高三下·河南·月考）已知均为平面单位向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两边同时平方得，则，
解得，即，故选：B．
5．（23-24高三下·江苏·一模）已知平面向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知平面向量满足，
故，所以，
所以，所以，
则，，故，故选：B.
【题型4 向量垂直及应用】
已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值。在计算数量积时可根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算。
1．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．故选：D．
2．（23-24高三下·江西鹰潭·月考）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
又，所以，
即，整理得.故选：A
3．（23-24高三下·浙江宁波·月考）已知平面向量满足且，则（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】D
【解析】由，得，由，得，则，
由，得，即，
则，所以.故选：D
4．（23-24高三下·重庆·月考）已知，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】，由得，解得.故选：A.
5．（23-24高三下·黑龙江·二模）已知向量，，则 是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】向量，，
由，得，解得，
显然当时，有成立，
所以是“”的充分不必要条件.故选：A
【题型5 投影向量及其运算】
求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法： 1、关注点：注意在上的投影与在上的投影不投，审题时要看清； 2、向量在所在直线上的投影是一个向量，向量在所在直线上的投影的数量是一个实数；
1．（23-24高三下·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设与的夹角为，
则在上的投影向量为.故选：B.
2．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知向量，，，则向量在向量上的投影向量的模长为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，
又，所以，
所以向量在向量上的投影向量的模的值为，故选：C.
3．（23-24高三下·江苏扬州·月考）已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，
又，所以为等边三角形，
则，故，
所以向量在向量上的投影向量为
．故选：D．
4．（23-24高三下·江苏南通·二模）（多选）已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由题设可得，故，
而，与夹角，故，故，
对于A，，因，故，故A正确.
对于B，，因，故，故B错误.
对于C，，因，故，故C错误.
对于D，，因，故，故D错误.故选：AD.
5．（23-24高三下·江西·月考）已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【解析】因为，可得，
又因为，可得，解得，
所以在上的投影向量为．
考点四：平面向量的应用
知识点1 向量在几何中的应用
1、向量在平面几何中的应用
（1）证明线段相等、平行：常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义.
（2）证明线段平行、三角形相似：判断两直线（或线段)是否平行，常运用向量平行（共线）的条件；
（（3）证明线段的垂直问题：如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件；
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式；
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题.
2、平面几何中证明问题的具体转化方法
（1）证明线段，可转化为证明；
（2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立；
（3）证明两线段，只需证明数量积；
（4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。
知识点2 向量在物理中的应用
1、对物理背景问题主要研究
（1）力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力；
（2）速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度.
【题型1 平面向量中的最值范围问题】
平面向量最值范围问题的常用方法 1、定义法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论。 2、坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。 3、基底法 第1步：利用基底转化向量； 第2步：根据向量运算化简目标； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法 第1步：结合条件进行向量关系推导； 第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹； 第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。
1．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.故选：A.
2．（23-24高三下·贵州贵阳·一模）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，
设点，而，
则，
因此，
由，得，则，
因此，
所以的取值范围为.故选：B
3．（2023·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
则，所以，即B，O，C三点共线．
因为为的外心，即有，
所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．
因为，所以为锐角．
如图，过点作，垂足为．
因为在上的投影向量为，所以，
所以在上的投影向量为．
又因为，所以．
因为，所以，
故的取值范围为．故选：A．
4．（23-24高三下·湖南邵阳·二模）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以为原点建立平面直角坐标系，
易知，，，
当在线段上运动，设，其中，
所以，，
则，
因为，所以，
当在线段上运动，设，则，且,
则，故，，
则，
因为，所以，综上，的取值范围为.故选：C.
5．（23-24高三下·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在线段上，，，
为线段的一个三等分点，，，
，
由平面向量基本定理得，，
，
当时，取得最小值.故选：C.
【题型2 利用向量研究三角形的四心】
从动态角度理解三角形四心的向量表示 1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 3、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 4、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。
1．（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
【答案】C
【解析】因为，所以点O到三个顶点的距离相等，所以O为的外心；
如下图所示：
记BC的中点为D，因为，
所以，所以P，A，D三点共线，故点P在中线AD上，
同理点P也在的另外两条中线上，即点P为中线的交点，即为重心；
作，因为，
所以，
所以，所以点N在BE上，
同理点N在的另外两条高上，即为高的交点，所以N为的垂心.故选：C
2．（23-24高三上·湖北荆州·月考）（多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O是的重心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
【答案】BCD
【解析】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得，
则，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，
则四边形ADFE是菱形，且，
平分，，
，即，
，
三点共线，即在的平分线上，
同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为的内心，故A错误；
对B，在AB，AC上分别取点D，E，使得，如图，
则，且，
因为，即，又知，平分，
同理，可得平分，故O为的内心，故B正确；
对C，取的中点分别为，如图，
，，
即，所以O是的外心，故C正确；
对D，由，可得，即，
所以，即点O是的垂心，故D正确.故选：BCD
3．（23-24高三·全国·专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
【答案】①②③④⑤
【解析】对于①，因为动点满足，，
则点是的重心，故①正确；
对于②，因为动点满足，，
又在的平分线上，与的平分线所在向量共线，
所以的内心在满足条件的点集合中，②正确；
对于③，动点满足，，，
过点作，垂足为，则，
，向量与边的中线共线，
因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确；
对于④，动点满足，，
，，
所以的垂心一定在满足条件的点集合中，④正确；
对于⑤，动点满足，
设，则，
由④知，，，
点的轨迹为过的的垂线，即的中垂线；
所以的外心一定在满足条件的点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
【题型3 奔驰定理及其应用】
1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2、奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
1．（23-24高三下·辽宁·月考）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取的中点D，连接，
由，则，所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，
所以为的重心，故A正确；
对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，即，故B正确；
对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，
由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确.故选：ABD．
2．（23-24高三上·江西新余·期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【答案】ABC
【解析】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，，
故，
同理可得，故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
3．（2023高三·全国·专题练习）（多选）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（ ）
A．O为的外心
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为，
同理，，故O为的垂心，故A错误；
根据垂心可得，，所以，
又，所以，
又，所以，故B正确；
，同理，延长CO交AB于点P(如图)，
则，
同理可得，所以，故C正确；
设，，的面积分别为，，，
则
，
同理可得，所以，
又，所以，故D正确.故选:BCD.
【题型4 极化恒等式在向量中的应用】
1、极化恒等式： 2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 3、三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．
1．（23-24高三下·湖南长沙·月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（ ）
A． B．16 C． D．8
【答案】A
【解析】由题设，可以补形为平行四边形，
由已知得．故选：A．
2．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接，如图所示，
所以的取值范围是，即，
又由，
所以.故选：B.
3．（23-24高三下·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，
当与正六边形的边垂直时，，
当点运动到正六边形的顶点时，，
所以，则，即.故选：B
4．（23-24高三下·辽宁抚顺·三模）太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆和两个对称的半圆弧组成的，线段过点且两端点分别在两个半圆弧上，是大圆上一动点，则的最小值为 ．
【答案】0
【解析】连接，可得，
显然当最大，即取得最大值2时，取得最小值0．
5．（23-24高三下·全国·模拟预测）已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】依题意，设的外接圆的半径为，则，故，
在等边中由正弦定理得，则；
取线段的中点，连接，则，
所以；
取线段的中点，连接，则在线段上，且，
所以，
则又，
故，则．
【题型5 向量在物理中的应用】
平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，现根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算。
1．（23-24高三上·广东汕头·期末）设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走 B．向西南走
C．向东南走 D．向西南走
【答案】A
【解析】因为表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，
所以所表示的意义为“向东走10km”，再“向南走10km”，
等价于向东南走.故选：A.
2．（2023·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
又，，所以，故.故选：A.
3．（22-23高三下·云南曲靖·月考）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5
【答案】C
【解析】设两只胳膊的拉力分别为，，，，
，
，解得．
小猴子的体重约为．故选：C．
【题型6 向量的新定义问题】
新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
1．（22-23高三·河北衡水·月考）设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得，
又，所以，
所以.故选：C
2．（22-23高三·江西抚州·月考）定义：，其中为向量与的夹角，若，，则等于 .
【答案】6
【解析】设向量与的夹角为，则，
注意到，则，可得，
故.
3．（23-24高三下·四川成都·二模）已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标.若点，的广义坐标分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由已知可得，，
若，则，使，即，
则，即；
若，则，使，即，
故“"是“”的充要条件，故选：C.
4．（23-24高三上·北京·期末）对于向量，若，，三数互不相等，令向量，其中，，，.
（1）当时，试写出向量；
（2）证明：对于任意的，向量中的三个数，，至多有一个为0；
（3）若，证明：存在正整数，使得.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1），，，即；
，，，即；
，，，即；
，，，即；
，，，即；
，，，即；
，，，即；
......
由上，从开始，每3个向量出现重复一个向量，而.
（2）假设中，，有不止1个为0，
若且，则，故，
此时矛盾；
若且，，
所以为定值，而，，三数互不相等，
当，则，
不妨令，则，
显然，即，
所以，
以此类推得：，......，，与，，三数互不相等矛盾；
综上，对于任意的，向量中的三个数，，至多有一个为0；
（3）令，又，，且，
所以，且，
由题意，，且，故在上不可能单调递减，即必存在使，
根据的定义，中必有一个0，
由（2）知：中有且仅有一个为0，令，
若，不妨设，则，
则，所以，
同理，所以，
又，故此情况不可能一直出现（至多有次），
所以一定能找到，使得；
若，则，，，，...
所以存在正整数，使得；
综上，存在正整数，使得专题05 平面向量
考点一：平面向量的基本概念与线性运算
知识点1 向量的有关概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2、零向量：长度为0的向量，记作.
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行．
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点2 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律：
减法 求与的相反向量的和的运算
数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ；
知识点3 向量共线定理的应用
1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.
2、三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。
【题型1 向量的基本概念及其理解】
平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。 解决向量概念问题的关键点 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件．
1．（2023·云南红河·一模）写出一个与向量共线的单位向量： .
2．（23-24高三下·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·江苏扬州·月考）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
【题型2 向量共线定理的应用】
对于，，，若是使用，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性。 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值
1．（23-24高三下·浙江·高考模拟）已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
2．（23-24高三下·江苏扬州·月考）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·北京顺义·月考）向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
4．（23-24高三下·四川南充·二模）已知，则
5．（23-24高三下·辽宁·模拟预测）已知向量不共线，，若，则 .
考点二：平面向量基本定理及坐标表示
知识点1 平面向量基本定理
1、平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
3、对平面向量基本定理的理解
①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
③是同一平面内所有向量的一组基底，
则当与共线时，；当与共线时，；当时，．
④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
知识点2 平面向量的坐标运算
1、向量的线性运算坐标表示
（1）已知，则，．
（2）若，则；
2、向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是
【题型1 平面向量基底的判断】
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。 只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一。
1．（23-24高三上·福建·月考）（多选）下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·调研）（多选）下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型2 用基底表示向量】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
1．（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知等边的边长为2，点D，E分别为，的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·四川·模拟预测）在中，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·江苏扬州·月考）在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，.
（1）试用基底，表示，，；
（2）若G为长方形所在平面内一点，且，求证：三点不能构成三角形.
【题型3 利用平面向量基本定理求参数】
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
1．（23-24高三下·山西晋中·模拟预测）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·山西·月考）已知是的边上一点，若，则（ ）
A． B． C．0 D．
3．（23-24高三上·江苏镇江·月考）中，，P为线段中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点三：平面向量的数量积
知识点1 平面向量的数量积
1、向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角．
（2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°.
（3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直．
2、平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，
记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即.
（2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
3、向量数量积的性质
设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
（1）.
（2）.
（3），同向 ；，反向 .
特别地或.
（4）若θ为，的夹角，则.
4、平面向量数量积的运算律
（1） (交换律)．
（2） (结合律)．
（3） (分配律)．
知识点2 平面向量数量积的坐标运算
结论 几何表示 坐标表示
模
夹角
的充要条件
与的关系
【题型1 平面向量数量积及其运算】
向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开。尤其使用数量积的运算时不可约公因式。 求平面向量的数量积的三种方法： 1、定义法：已知或可求两个向量的模和夹角。； 2、基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解； 3、坐标法：已知或可求两个向量的坐标时可直接使用，有时也许建立平面直角坐标系。
1．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
2．（23-24高三下·山东·二模）已知向量，则等于（ ）．
A． B．6 C． D．18
3．（23-24高三下·安徽芜湖·二模）已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ）
A．1 B． C． D．
4．（23-24高三下·全国·二模）如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．（23-24高三下·湖南长沙·月考）在中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则（ ）
A．1 B． C．9 D．
【题型2 平面向量模的有关问题】
求向量模或其范围的常用方法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
1．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
2．（23-24高三下·河北沧州·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．
3．（23-24高三下·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．3或
4．（23-24高三下·重庆·模拟预测）已知，若是线段的中点，则 ．
【题型3 平面向量的夹角问题】
错误理解向量的夹角，在使用求解时，特别注意，要共起点才能找夹角，否则使用的可能是其补角造成错误。 1、两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角； 2、求两个向量夹角的方法：求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、三算”。
1．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·宁夏银川·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·广东汕尾·月考）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·河南·月考）已知均为平面单位向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·江苏·一模）已知平面向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 向量垂直及应用】
已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值。在计算数量积时可根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算。
1．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·江西鹰潭·月考）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·浙江宁波·月考）已知平面向量满足且，则（ ）
A． B．5 C． D．6
4．（23-24高三下·重庆·月考）已知，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．（23-24高三下·黑龙江·二模）已知向量，，则 是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型5 投影向量及其运算】
求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法： 1、关注点：注意在上的投影与在上的投影不投，审题时要看清； 2、向量在所在直线上的投影是一个向量，向量在所在直线上的投影的数量是一个实数；
1．（23-24高三下·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知向量，，，则向量在向量上的投影向量的模长为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．
3．（23-24高三下·江苏扬州·月考）已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·江苏南通·二模）（多选）已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·江西·月考）已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为 ．
考点四：平面向量的应用
知识点1 向量在几何中的应用
1、向量在平面几何中的应用
（1）证明线段相等、平行：常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义.
（2）证明线段平行、三角形相似：判断两直线（或线段)是否平行，常运用向量平行（共线）的条件；
（（3）证明线段的垂直问题：如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件；
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式；
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题.
2、平面几何中证明问题的具体转化方法
（1）证明线段，可转化为证明；
（2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立；
（3）证明两线段，只需证明数量积；
（4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。
知识点2 向量在物理中的应用
1、对物理背景问题主要研究
（1）力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力；
（2）速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度.
【题型1 平面向量中的最值范围问题】
平面向量最值范围问题的常用方法 1、定义法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论。 2、坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。 3、基底法 第1步：利用基底转化向量； 第2步：根据向量运算化简目标； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法 第1步：结合条件进行向量关系推导； 第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹； 第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。
1．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·贵州贵阳·一模）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·湖南邵阳·二模）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 利用向量研究三角形的四心】
从动态角度理解三角形四心的向量表示 1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 3、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 4、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。
1．（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
2．（23-24高三上·湖北荆州·月考）（多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O是的重心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
3．（23-24高三·全国·专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
【题型3 奔驰定理及其应用】
1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2、奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
1．（23-24高三下·辽宁·月考）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
2．（23-24高三上·江西新余·期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
3．（2023高三·全国·专题练习）（多选）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（ ）
A．O为的外心
B．
C．
D．
【题型4 极化恒等式在向量中的应用】
1、极化恒等式： 2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 3、三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．
1．（23-24高三下·湖南长沙·月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（ ）
A． B．16 C． D．8
2．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·辽宁抚顺·三模）太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆和两个对称的半圆弧组成的，线段过点且两端点分别在两个半圆弧上，是大圆上一动点，则的最小值为 ．
5．（23-24高三下·全国·模拟预测）已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ．
【题型5 向量在物理中的应用】
平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，现根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算。
1．（23-24高三上·广东汕头·期末）设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走 B．向西南走
C．向东南走 D．向西南走
2．（2023·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
3．（22-23高三下·云南曲靖·月考）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5
【题型6 向量的新定义问题】
新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
1．（22-23高三·河北衡水·月考）设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三·江西抚州·月考）定义：，其中为向量与的夹角，若，，则等于 .
3．（23-24高三下·四川成都·二模）已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标.若点，的广义坐标分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高三上·北京·期末）对于向量，若，，三数互不相等，令向量，其中，，，.
（1）当时，试写出向量；
（2）证明：对于任意的，向量中的三个数，，至多有一个为0；
（3）若，证明：存在正整数，使得.

展开更多......

收起↑