资源简介

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【培优专项】全等三角形常见七大必考模型专训
【经典模型一 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线．
【常见模型】
【例1】（2023春·全国·八年级期中）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2 B．48 cm2 C．49 cm2 D．50 cm2
【变式训练】
1．如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
2．如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．

3．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________．
【经典模型二 轴对称模型】
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等．
【常见模型】
【例2】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练】
1．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，已知，与交于点，，分别与，交于点，，连接，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·八年级课时练习）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，与相交于点．若________________，求证：．
3．（2023春·广东佛山·七年级校联考阶段练习）如图所示，、分别为，的角平分线，两线交于点．

(1)若，，则______；
(2)若，则______；
(3)若，用表示的，写出详细的步骤（不用写理论依据）；
(4)，，，三条线段之间有怎样的数量关系？写出结果，并说明理由（不用写理论依据）．
【经典模型三 旋转模型】
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．
【常见模型】
【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【变式训练】
1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（ ）
A．110° B．90° C．70° D．20°
2．如图，已知点，一个以为顶点的角绕点旋转，角的两边分别交轴正半轴，轴负半轴于、，连接．当△直角三角形时，点的坐标是 ．
3．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、．
(1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
【经典模型四 一线三等角模型】
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．
【常见模型】
【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
【变式训练】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
2．如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．

3．如图1，在中，，,直线经过边．将绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．

(1)当绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：；
(2)当绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【经典模型五 垂直模型】
【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．
【常见模型】
【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（ ）
A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm
【变式训练】
1．如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，中，于点，于点，、相交于点，如果，，，那么 ．

3．已知，射线于点A，，等腰直角的顶点D，E分别在射线和上，，，过点作于点，延长交射线于点．

(1)如图，点，在线段，上．
①若，，求的度数；
②证明：；
(2)若，，请直接写出线段BE的长．
【经典模型六 手拉手模型】
【模型分析】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
【模型图示】
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．
【常见模型】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
【例6】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（ ）
A．∠AOB=60° B．AP=BQ
C．PQ∥AE D．DE=DP
【变式训练】
1．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（ ）

A．∠AOB=60° B．AP=BQ
C．PQ∥AE D．DE=DP
2．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
3．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F．
(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______．
(2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围．
【经典模型七 半角模型】
【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型．
【常见模型】
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
【例7】（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　．
【变式训练】
1．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
2．四边形中，，面积为且的长为，则的面积为 ．

3．（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明）
（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【重难点训练】
1．如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）
2．在点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．
(1)如图1，若，请说明
(2)如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
3．如图①，，，，相交于点M，连接．

(1)求证：；
(2)用含的式子表示的度数；
(3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明．
4．如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
5．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
【积累经验】
（1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
6．综合与实践：如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为，．
(1)猜想线段、、三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，线段、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；
7．如图，在中，，点D是线段BC上一个动点，点F在线段上，且，．垂足E在的延长线上．
(1)如图1，当点D与点C重合时，线段和的数量关系是______；
(2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由．
8．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．
(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．

(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．

(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．

(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．
9．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．
(1)求证：≌；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．
10．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
11．已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗 若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
12．如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
13．在中，且．
(1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由；
(2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积．
14．在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．

(1)求证：AC=BD；
(2)求证：∠APB＝∠AEB．
15．我们学习等边三角形时得到特殊直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，∠ABC=30 ，则（人教2013年6月第1版教材81面）．
(1)如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为 ．
(2)如图（2），是△ABC的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
(3)当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？画图并直接写出答案即可．中小学教育资源及组卷应用平台
【培优专项】全等三角形常见七大必考模型专训
【经典模型一 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线．
【常见模型】
【例1】（2023春·全国·八年级期中）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2 B．48 cm2 C．49 cm2 D．50 cm2
【答案】B
【分析】先根据平移的性质得到cm，≌，则，cm，求出，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：沿方向平移得到，
cm，≌，
，（cm），
∴，
（cm2），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行或共线且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
【变式训练】
1．如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】A
【分析】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：过作于，连接，，
直线向上平移线段的长得到直线，
，
而，，
)，
，
同理)，
，
的周长为：．
求的周长，则只需知道的长．
故选：A．
2．如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，由平移的性质可得，，证明，得到，根据三角形中线平分三角形面积可得，则．
【详解】解：由平移的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平移，熟练掌握三角形的判定是解题的关键．
(1)根据得到即证明即可．
(2)根据得到,证明即可．
(3)根据得到，结合是边的中点，得到，平移距离，计算即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
又，，
,
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∴平移距离，
故答案为：3．
【经典模型二 轴对称模型】
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等．
【常见模型】
【例2】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【分析】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合题意；
②，，，
，
故②符合题意；
③，
，
，
，，
，
故③符合题意；
④，，，
，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使的条件有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，已知，与交于点，，分别与，交于点，，连接，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先证明，推出，则，可判断选项A、C；再证明，推出，则，利用证明，即可判断选项D，没有理由证明．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，则，故选项A、C正确；
∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，故选项D正确；
∴与不一定相等，故选项B不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活利用全等三角形的判定是解题的关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，与相交于点．若________________，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定条件进行证明即可．
【详解】解：选择条件①的证明：
在和中，
，
，
；
选择条件②的证明：
在和中，
，
，
；
选择条件③的证明：连接，
，
在和，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
3．（2023春·广东佛山·七年级校联考阶段练习）如图所示，、分别为，的角平分线，两线交于点．

(1)若，，则______；
(2)若，则______；
(3)若，用表示的，写出详细的步骤（不用写理论依据）；
(4)，，，三条线段之间有怎样的数量关系？写出结果，并说明理由（不用写理论依据）．
【答案】(1)130
(2)125
(3)，步骤见解析
(4)，理由见解析
【分析】（1）先根据角平分线的定义得出与的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先根据求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；
（3）根据求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；
（4）在边上截取，连接，只要证明，可得即可证明．
【详解】（1）∵分别为角平分线，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵分别为角平分线，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）∵、分别为，的角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）.理由如下：

在边上截取，连接，
由（3）的结论得，
∴，
在与中，
，
∴；
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，第（1）至（2）有具体的数，不要求学生书写步骤，可以多角度下手解决问题，第（3）问思维的迁移，从（1）（2）特殊到第（3）的一般化，字母具有代表性；第（4）问梯度增加上升难度，在寻找全等三角形全等的条件，需要添加辅助线，属于中考常考题型．
【经典模型三 旋转模型】
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．
【常见模型】
【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【答案】B
【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．
【详解】解：如图，将关于AE对称得到，
则，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
即与的面积之和为21，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
【变式训练】
1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（ ）
A．110° B．90° C．70° D．20°
【答案】B
【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=，
由旋转得≌，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴∠FAE=∠BAD=，
∴旋转角的度数是，
故选：B．
【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
2．如图，已知点，一个以为顶点的角绕点旋转，角的两边分别交轴正半轴，轴负半轴于、，连接．当△直角三角形时，点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论．
【详解】①如图所示：
，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在△和中，
∴△△FDE，
∴，，
∴．
②当时，同①的方法有：，，
∴，
综上所述，满足条件的点坐标为或
故答案为：或
【点睛】本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解．
3．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、．
(1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法．
（1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可；
（2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可；
（3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可．
【详解】（1）解：，
证明：延长到，使，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
证明：延长到，使，连接，
由（1）知：，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
证明：在截取，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【经典模型四 一线三等角模型】
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．
【常见模型】
【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
【答案】B
【分析】根据题意证明即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴，
∵∠ACE＝90°，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
【变式训练】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．
【详解】解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．
2．如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．

【答案】7
【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；
【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在△AEB和△CFA中
∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
∴EF=BE+CF．
∵，
∴；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．
3．如图1，在中，，,直线经过边．将绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．

(1)当绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：；
(2)当绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①见详解；②见详解
(2)不成立，，理由见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）①由题意易得，，然后问题可求证；②由①可进行求证；
（2）由题意易证，然后问题可求证．
【详解】（1）证明：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴；
（2）解：（1）中的结论②不成立，，理由如下：
同理（1）可证，
∴，
∴．
【经典模型五 垂直模型】
【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．
【常见模型】
【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（ ）
A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm
【答案】C
【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；
∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，
∴△ACD≌△CBE；
∴EC=AD，BE=DC；
∵DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是3cm．
故选C．
【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【变式训练】
1．如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长．
【详解】解：如图，延长、交于点，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
2．如图，中，于点，于点，、相交于点，如果，，，那么 ．

【答案】4
【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，垂直定义，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．利用证明，得，，即可解决问题．
【详解】解：，，
，
，，
，
在与中，
，
，，
，，
，
，
故答案为：4．
3．已知，射线于点A，，等腰直角的顶点D，E分别在射线和上，，，过点作于点，延长交射线于点．

(1)如图，点，在线段，上．
①若，，求的度数；
②证明：；
(2)若，，请直接写出线段BE的长．
【答案】(1)①；②见解析
(2)3或5或7或9
【分析】（1）①根据三角形内角和在中可求，继而可得，再由直角三角形的两个锐角互余即可求出；
②利用同角的余角相等可证明，，进而可得，由全等性质即可得出结论；
（2）根据点E和点H位置不同分四种情况画图讨论，由（1）②的结论即可解答．
【详解】（1）①解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵于点G，
∴，
∴；
②证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，由（1）可知：，
∴，，
根据顶点E分别在射线上和点F不同位置有四种情况；
I．当点在线段上点H在点A右侧时，如图：

∴，
II． 当点在线段上，点H在点A左侧时，如图2-2：

∴，
III．当点在线段延长线上、点H在点A左侧时，如图2-3：

∴，
IV．当点在线段延长线上、点H在点A右侧时，如图2-4：

∴，
综上所述：线段的长为3或5或7或9．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，难点在问题（2），需要根据点E和点H的位置不同正确画出图形，根据线段的和差进行计算．
【经典模型六 手拉手模型】
【模型分析】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
【模型图示】
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．
【常见模型】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
【例6】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（ ）
A．∠AOB=60° B．AP=BQ
C．PQ∥AE D．DE=DP
【答案】D
【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误．
【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
在△CQB与△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
故C正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，
故B正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故A正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．
【变式训练】
1．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（ ）

A．∠AOB=60° B．AP=BQ
C．PQ∥AE D．DE=DP
【答案】D
【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误．
【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
在△CQB与△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
故C正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，
故B正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故A正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．
2．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
【答案】①②③⑤
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及性质．
①由于和是等边三角形，可知，，，从而利用证出，可推知；②由得，，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由①和②可得出，，即可证；④根据，，可知，，且，得出，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质得出，再根据平行线的性质得到，于是，可知⑤正确．
【详解】解：①∵正和正，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
故①正确；
②又∵，，，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④∵，且，
∴，
故④错误；
⑤∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴，
故⑤正确．
∴正确的有：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
3．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F．
(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______．
(2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．
（1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论；
（2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出；
（3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，，
，且
（2）（1）中结论仍成立，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，，
，且，
；
（3）是等边三角形，
，
当旋转=时，B、C、D三点共线，此时，
当旋转=时，B、C、D三点共线，此时；
∴．
【经典模型七 半角模型】
【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型．
【常见模型】
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
【例7】（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　．
【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析
【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．
【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC ，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，
即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（2）MN=AM+CN；理由如下：
如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，
∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（3）MN=CN-AM，理由如下：
如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAM+∠BAD=180°，
∴∠BAM=∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△CB M'，
∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，
∴∠MA M'=∠ABC，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N=CN-C M'，
∴MN=CN-AM．
故答案是：MN=CN-AM．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【答案】B
【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．
【详解】解：如图，将关于AE对称得到，
则，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
即与的面积之和为21，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
2．四边形中，，面积为且的长为，则的面积为 ．

【答案】
【分析】过点作于，过点作交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得出，再根据证明得出，即可求解．
【详解】解：过点作于，过点作交的延长线于点，

的面积为且，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明）
（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【答案】（）；（）（）中的结论仍然成立，理由见解析；（）（）中的结论不成立，．
【分析】()延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，即可证明结论；
()延长至，使，连接 ，仿照()的证明方法解答；
()在上截取，连接，仿照()的证明方法解答．
【详解】解：（），
理由如下：
如图，延长至，使，连接，

在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（）（）中的结论仍然成立，
理由如下：
如图，延长至，使，连接，

∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）（）中的结论不成立，，
理由如下：如图，在上截取，连接，

同（）中证法可得，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键．
【重难点训练】
1．如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）
【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝AD，理由见解析．
【分析】（1）证出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出结论；
（2）图2、图3、图4同样证出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA+∠ECA＝∠ECD+∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：图2、图3、图4中，BE＝AD，以图2为例，理由如下：
∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
2．在点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．
(1)如图1，若，请说明
(2)如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由，，可得，结合，，可证，即可求解，
（2）在上取点，使，通过证明，，即可求解，
本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过辅助线构造全等三角形．
【详解】（1）解：，，
，
，，
，
，
（2）解：在上取点，使，
，，
，
，，
，
，，
，，
，
，即，
，
，即：，
．
3．如图①，，，，相交于点M，连接．

(1)求证：；
(2)用含的式子表示的度数；
(3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)为等腰直角三角形．证明见解析
【分析】（1）利用证明，即可得；
（2）根据得出，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出的度数；
（3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图1，∵，
，
在中，，
=
，
在中，
．
（3）解：为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）得，
的中点分别为点P、Q，
，
∵，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键．
4．如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)(或，)．
【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明和全等的三个条件．题型较好．
（1）①已知已有两直角相等和，再由同角的余角相等证明即可证明；
②由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；
（2）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证出和全等，再由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；
（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴；
②由①知，，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：∵于D，于E，
∴，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，，
∴．
（3）解：同（2）理可证．
∴，，
∵
∴，即；
当旋转到图3的位置时，、、所满足的等量关系是(或，)．
5．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
【积累经验】
（1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）与的面积之和为4．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到；
（2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到．
（3）由，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出F即可得出结果．
【详解】解：（1），理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）仍然成立，理由如下，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（3）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为4．
6．综合与实践：如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为，．
(1)猜想线段、、三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，线段、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；
【答案】(1)，理由见解析；
(2)改变，，理由见解析．
【分析】（）由“”可证，可得，，即可求解；
（）由“”可证，根据全等三角形的性质得到，，由线段的和差关系可求解；
本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）改变，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即．
7．如图，在中，，点D是线段BC上一个动点，点F在线段上，且，．垂足E在的延长线上．
(1)如图1，当点D与点C重合时，线段和的数量关系是______；
(2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）延长与交于点G，先证明，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，再根据，可得，据此判断即可．
（2）过点D作，与交于H，与的延长线交于G，根据，，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；最后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，所以，据此判断即可．
【详解】（1）如图1，延长与交于点G，
，
，
，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
又，
．
故答案为：．
（2）结论：，
理由如下：如图2，过点D作，与交于H，与的延长线交于G，
，
，，
，
，
又，
同理（1）可得，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
8．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．
(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．

(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．

(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．

(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．
【答案】(1)90
(2)120
(3)
(4)或
【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数；
（2）由“”可证，得，可求的度数；
（3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论；
（4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：90；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：120；
（3），
理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（4）如图4，当点D在的延长线上时，，

证明方法同（3）；
如图5，当点D在的延长线上时，，

理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
综上，或．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
9．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．
(1)求证：≌；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证；
（2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案；
（3）作于点于点，证明，由，即可得到结论．
【详解】（1）证明：、是等边三角形，
，
，
即，
≌；
（2）解：≌，
，
，
；
（3）证明：如图，作于点于点，
，
，
，，
，
，
，
平分．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出；
（2）由得：，再根据，，得，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键．
11．已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗 若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
【答案】(1)见解析
(2)①②；的度数会变化，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
（2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；
②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出．
【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
12．如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）先证出，由SAS证明即可；
（2）由可得，由 和 均为等腰直角三角形可得，代入数值即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ 和均为等腰直角三角形
∴，，，
∴．
在和中，
，
∴（SAS）；
（2）解：∵,
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质和判定，掌握旋转全等的对应关系是解题的关键．
13．在中，且．
(1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由；
(2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，，理由见解析
(3)32
【分析】（1）根据角平分线的定义求出，然后利用“角边角”证明与全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）先根据证明，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后证明，再根据三角形内角和定理可得，从而证明；
（3）把四边形的面积分成与两个三角形，然后根据三角形的面积公式列式整理为四边形的面积等于，再代入数据进行计算即可得解．
【详解】（1）解：．
理由如下：∵分别平分，
∴，，
∵，
∴ ，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，．理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
∵，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，以及旋转变换的性质，准确识图，找出三角形全等的条件是解题的关键．
14．在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．

(1)求证：AC=BD；
(2)求证：∠APB＝∠AEB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证∠BED=∠AEC，再利用SAS证明三角形全等即可；
（2）由全等可得∠EBD=∠EAC，根据三角形内角和和∠BOE=∠AOP即可证明．
【详解】（1）证明：∵∠AEB=∠DEC，
∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED与△AEC中，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴AC=BD．
（2）证明∵△BED≌△AEC，
∴∠EBD=∠EAC，
∵ ∠EBD+∠BOE+∠AEB=∠AOP+∠APB+∠EAC=180°，
又∵∠BOE=∠AOP，
∴∠AEB=∠APB．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS，ASA，SAS，AAS和HL，熟练掌握判定方法是解题的关键．
15．我们学习等边三角形时得到特殊直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，∠ABC=30 ，则（人教2013年6月第1版教材81面）．
(1)如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为 ．
(2)如图（2），是△ABC的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
(3)当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？画图并直接写出答案即可．
【答案】(1)
(2)， 证明见解析
(3)， 图见解析
【分析】（1）由中线的定义可知：AE=BE，由等边三角形的定义可知：AE=CE；在根据等量代换即可得出结论；
（2）连接PE，都是等边三角形，可得出边和角之间的关系，用SAS可证明是三角形全等，则对应边和对应角相等，结合等边三角形的性质即可得出结论；
（3）当点D为边延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证．
【详解】（1）．
，
，
为边上的中线，
，
是等边三角形，
．
（2）．
证明：如图，连接，
都是等边三角形，
，
∴∠CAE-∠BAD=∠DAP-∠BAD，即，
，
∵∠ACD=90°，
，即．
，
．
，
；
（3）
都是等边三角形，
∴∠CAE+∠BAD=∠DAP+∠BAD，即
，
∵∠ACD=90°，
，即．
，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形的全等，熟练的掌握三角形全等的性质和等边三角形的性质是解题的关键．

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