资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
（全国通用）2024年中考数学终极押题猜想
押题猜想一 选填题之几何图形综合问题
1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边的边长为3，点D在边上， ，线段在边上运动， ，有下列结论： ①与一定不相等； ②与可能相似； ③ 四边形面积的最大值为 ； ④ 四边形周长的最小值为 ．其中，正确结论的序号为（　　）
A．② ④ B．② ③ C．① ② ③ D．② ③ ④
2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线恰好经过点，与边交于点，连接，以下四个结论中：①；②；③；④如果，那么．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东聊城·二模）如图，以的三边为边在上方分别作等边，且点在内部．给出以下结论：
四边形是平行四边形；
当时，四边形是矩形；
当时，四边形是菱形；
当，且时，四边形是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．

押题解读
几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容，该题型难度较高，以等腰三角形、直角三角形等为基础的多解题，特殊四边形与圆为载体的几何求解问题是高频考点、必考点，所以必须提高对几何图形性质的理解和掌握，但是每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接．已知下列判断：
①；②；③；④．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
2．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形中，点E是边上一点，连接与对角线交于点P，过点P作交于点F，连接交于点G，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图，在中，，，是上的一个动点不与点，重合，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，与相交于点，连接下列结论：
；
若，则；
；
若，，则．
其中正确的结论是 填写所有正确结论的序号

押题猜想二 选填题之函数综合问题
1．（2024·山东临沂·二模）已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2023·广东佛山·一模）如图，点A在双曲线（，）上，点在直线：（，）上，A与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①②当时，③④则所有正确结论的序号是 ．
押题解读
一次函数、二次函数、反比例函数在中考选择题、填空题考场中是热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分，复习环节重在提高学生对函数图象和性质理解和掌握的能力.
1．（2024·贵州遵义·一模）如图，点在（）的图象上，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交（）的图象于点，连接．若，四边形的面积为7，则，的值正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一反比例函数过第一象限内的点分别作轴，轴的垂线，与轴，轴分别交于、两点，与双曲线分别交于、两点．则以下结论中，正确结论的序号是（ ）
①存在无数个点使
②存在无数个点使
③存在无数个点使四边形的面积
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数，有下列结论：
①该函数图象过定点；
②当时，函数图象与x轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；
④当时，点是曲线上两点，若，则．
其中，正确结论的序号为 ．
4．（2024·青海西宁·一模）二次函数 的y与x的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 0 0
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①
②二次函数 可改写为 的形式
③关于x的一元二次方程 的根为
④若，则
⑤当时，y有最小值是
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①③⑤ D．②③④⑤
押题猜想三 选填题之规律探索问题
1．（2023·重庆九龙坡·一模）已知，（为正整数），下列说法：①；② ；③；④若，则的最小值为3．其中正确选项的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，做第1个正方形；延长交轴于点，做第2个正方形…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）

A． B． C． D．
押题解读
规律探索问题在各地市的中考试卷中有五种常见类型:(1)数式规律；(2)图形个数规律；(3)图形的递变规律；(4)图形的循环规律；(5)图形的递变加循环规律. 规律探索问题是中考考试中经常出现的一个问题，它通常以“数式”或“图形”为设计问题的蓝本，以考查学生解决问题的全面性、辩证性、流畅性及建模思想。这类问题最大的特点在于“有规律”上，即在数式或图形分布中，从简单到复杂，让学生寻找各个数式或图形之间的内在的，本质的，稳定的、反复出现的形态，从而利用数学建模的思想解决此类问题。
1．（2023·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；；按此规律，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·重庆九龙坡·三模）由n（）个正整数组成的一列数，记为，，…，任意改变它们的顺序后记作，，…，若，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，，…，则M一定为偶数；
②当时，若，，为三个连续整数，则M一定为偶数；
③若M为偶数，则n一定为奇数；
④若M为奇数，则n一定为偶数．
A．4 B．3 C．2 D．1
押题猜想四 选填题之新定义问题
1．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　)
A． B． C． D．
2．（2023·重庆江津·二模）如果实数，满足的形式，那么和就是“智慧数”，用表示．如：由于，所以是“智慧数”，现给出以下结论：
①和是“智慧数”；
②如果是“智慧数”，那么“”的值为；
③如果是“智慧数”，则与之间的关系式为；
④如果是“智慧数”，当时，随的增大而增大，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”．如果点在以边长为的等边的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为 ．

押题解读
在近几年各省市的中考数学命题中, 新定义问题越来越受到关注和重视. 所谓新定义问题，是相对于初中教材而言, 指在初中教材中不曾出现过的概念、定义. 它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则, 或者给出一个抽象函数的性质等, 然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.“新定义”问题总的来说题型较为新颖, 所包含的信息丰富, 能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力. 新定义问题一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念. 这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
1．（2023·山东菏泽·三模）定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
2．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（　　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·重庆·模拟预测）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性．现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍比千位、个位数字之和大1，则我们称这个四位数t是“四·二一数”
例如：当时，∵，∴6413是“四·二一数”；
已知（且均为正整数）是“四·二一数”，满足与的差能被7整除，则所有满足条件的t的最大值为 ．．
4．（2023·河北沧州·三模）定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．
例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数．
（1）有理数1 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．
①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 ；
②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 ．
5．（22-23九年级上·重庆万州·阶段练习）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
（1）代数式：的“同心式”为；
（2）若与互为“同心式”，则的值为1；
（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则；
其中，正确的结论有（ ）个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
押题猜想五 解答题之函数与实际问题综合问题
1．（2024·四川达州·一模）随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元．
(1)求出快速充电桩和慢速充电桩的单价；
(2)该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？
2．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
3．（2024·广东惠州·一模）水果商贩小李上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元．
(1)问草莓、苹果各购买了多少箱？
(2)小李有甲、乙两家店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓、苹果两种水果合计20箱，并且每售出一箱草莓，甲店获利14元，乙店获利10元；每售出一箱苹果，甲店获利20元，乙店获利15元．
①若小李将购进的40箱水果分配给两家店铺各20箱，设分配给甲店草莓a箱，请填写表：
草莓数量（箱） 苹果数量（箱） 合计（箱）
甲店 a ________ 20
乙店 ________ _________ 20
小李希望在乙店获利不少于215元的前提下，使自己获取的总利润W最大，问应该如何分配水果？最大的总利润是多少？
②若小李希望获得总利润为600元，他分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，已知，则a=________．
4．（2023·湖南·中考真题(改)）我国航天事业发展迅速，2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
(1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
(2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
押题解读
利用函数（或方程）解决实际问题可以说是初中数学当中最重要的部分，也是中考中必考内容。从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。
1．（2024·陕西宝鸡·二模）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式，无人机从西侧距坡底为10米处的点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线．当无人机飞越坡底上空时（即点），与地面的距离为20米．

(1)求无人机飞行轨迹的函数解析式；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
2．（2024·河南漯河·一模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻（）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量（）变化的关系图象如图2所示，（）为定值电阻，电源电压恒定不变．
(1)请根据图2，判断气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成________函数，它的函数解析式为________；
(2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准；
(3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？
3．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
4．（2024·广东深圳·二模）【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
运动时间 0 2 4 6 8 10
运动速度 10 9 8 7 6 5
滑行距离 0 19 36 51 64 75
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．
押题猜想六 解答题之一次函数与反比例函数综合问题
1．（2024·江苏盐城·一模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
2．（23-24九年级下·江西赣州·模拟）如图，点在函数的图像上，过点作轴和轴的平行线分别交函数的图像于点，，直线与坐标轴的交点为，．
(1)设点横坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______．（用含字母的式子表示）
(2)当点P在函数的图像上运动时，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由．
(3)请直接写出与满足的数量关系．
3．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值．
(2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点．
①求点的坐标．
②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
押题解读
反比例函数与一次函数的综合题是中考常考的内容，但是此类问题牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。掌握反比例函数和一次函数的图像和性质，也是解决反比例函数与一次函数综合题的关键，所以反比例函数和一次函数的图像和性质必须熟记.
1．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)由图像可知，当x 时，；
(2)求出a，k的值；
(3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值；
(4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2024·江苏连云港·一模）一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图像，直接写出时，x的取值范围；
(3)若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值．
3．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？
4．（2024·四川广安·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求不等式的解集；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
押题猜想七 解答题之用三角函数解决实际问题
1．（2022·辽宁鞍山·中考真题（改））北京时间2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船发射成功．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为的励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的底端到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼条幅方向前行到达点处（楼底部点与点，在一条直线上），在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若，均为（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端到地面的距离的长度．（结果精确到，参考数据：，，）
2．（2024·山西朔州·二模）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座，上折臂，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端F到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
3．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．

(1)当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字；
（参考数据∶，，，）
(2)当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号．
押题解读
初中三角函数应用题几乎全国的中考数学考试都要考到，而三角函数的应用是非常重要的几何工具，既有省略相似的繁琐证明过程，也能够通过自身的知识点特征进行应用的适用。在运用三角函数的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、 角)之间的关系，:若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解， 其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题， 坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键 .
1．（2024·山东济南·模拟预测）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，
(1)求屋顶到横梁的距离；
(2)求房屋的高．
2．（23-24九年级上·浙江湖州·模拟）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
(2)小吉通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：）
3．（2024·浙江·一模）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．
(1)当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）；
(2)如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
4．（2024·山东临沂·二模）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，
在某种工作状态下测得液压杆，，．

(1)求的长．
(2)消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．
（参考数据：，，，，，）
押题猜想八 解答题之几何图形的证明与计算问题
1．（2024·江苏南京·一模）如图，与相交于点E，连接，，．经过A，B，C三点的交于点F，且是的切线．
(1)连接，求证：；
(2)求证：
(3)若，，，，则的半径为　　　　　　．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，，，当的长为 时，四边形是菱形．
3．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】
（1）如图1，在中，点D、E分别在、上，连接，且，若，，则的长为_______；
【问题探究】
（2）如图2，在和中，点B、C、D在同一条直线上，，，判断与的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，五边形是某植物园的平面图，C、D分别是植物园的入口和出口（可看作点），和是进出植物园的两条主路，该植物园为举行春季花展，现要在出入口C、D之间进行花墙装饰工作．已知，，，，，求装饰的花墙的长度．（结果保留根号）
押题解读
几何图形的证明与计算问题是中考命题的热点，其中全等/相似三角形是解决诸多几何综合问题的关键知识，其次熟记几何图形的性质与判定也应该牢记.
1．（2024·云南·模拟预测）如图，中，，以为直径的交于点，作于点．

(1)求证：与相切；
(2)若 ，，求的半径．
2．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，连接，，过点作于点，过点作于点．
(1)请你添加一个条件：______，使四边形为矩形，并给出证明．
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
3．（2024·江西南昌·一模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值． 我们知道：如图①，如果，则点为线段的黄金分割点．
(1)【问题发现】如图①，点为线段的黄金分割点，请直接写出的值为 ；
(2)【尺规作黄金分割点】如图②，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值；
(3)【问题解决】如图③，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接；再次折叠正方形使与重合，点对应点，得折痕，试说明：点是线段的黄金分割点．
押题猜想九 解答题之阅读理解问题
1．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考
下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用， 例：如图1，已知P为等边三角形内一点，，. 求以，，为边的三角形中各个内角的度数. 解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以，，为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为，，的三角形来解决问题． 解：将绕点A顺时针旋转得，则． ，，． 由旋转可知， 是等边三角形．【依据】 ，． 就是以，，为边的三角形． ， ． . ． ． 以，，为边的三角形中，三个内角的度数分别为，，. 构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单．
任务：
(1)上面小论文中的“依据”是________．
(2)如图2，已知点P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的度数为________．
(3)如图3，在四边形中，，，．求证：．
2．（2023·山东青岛·三模）【阅读与思考】如图，在正方形中中，，，分别是，，上的点，于点，那么证明过程如下：
于点，
，
过点作交于点，交于点，
，
，
四边形为正方形，
∴，，，
，
，
（依据），
，
∵
∴四边形为平行四边形，
，
．
【材料探究】：上述证明过程的“依据”是______ ；
【问题解决】：如图，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点则为______ ；
【拓展延伸】：如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，求的度数．
3．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程 的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
4．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．
材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．
请阅读上述材料，完成题目：
如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
押题解读
中考数学中阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频 “亮相”，应引起我们特别的重视，这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力，属于新颖数学题，但其难度并不大的题型，通过题目所提供的方法与探究的思路来总结出一些结论，然后按照此结论进行实际的应用，则是考察同学们数学知识和思想方法的运用能力，也就是利用自己掌握的基础数学知识新学习计算的方法。解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。
1．（2024·山西晋城·二模）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成下列任务．
问题背景： 数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于，故，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究． 探索发现： 发现结论：如果，那么（当且仅当时等号成立） 解释证明： 当时， 当时， 如果，那么（当且仅当时等号成立）
任务：
(1)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；
(2)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________；
(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃的面积最大 最大面积是多少 请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题．
2．（2023·吉林白城·模拟预测）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图①，和都是等边三角形，点在上．
求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．
【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上．
①猜想：以、、为边的三角形的形状是________；
②当时，直接写出正方形的面积．
3．（2024·山西大同·一模）中考新考法：跨物理并联电路，请阅读下列材料，完成相应的任务：
有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点，分别过点作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点位于直线的同侧，连接，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：， ， 又， （依据1）， （依据2）． 同理可得：， ， ，即．
任务：
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：____________；
依据2：____________；
(2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长；
(3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
4．（2023·山西忻州·模拟预测）阅读与思考
如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务．
平面直角坐标系与直角三角形
x年×月ⅹ日星期三
原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论
口诀：“两线一圆”
作图：举例如下：已知，在直线上求点C，使得为直角三角形．以下分三种情况讨论：
情况一：当A为直角顶点时，过点A作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图①，有一个点；
情况二：当B为直角顶点时，过点B作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图②，有一个点；
情况三：当C为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点C．如图③，有，两个点；
方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似；
二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；
三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点．
任务：
(1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论 D．转化思想
(2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标．
(3)直接写出“情况二”中的坐标 ；
(4)请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）．
押题猜想十 解答题压轴之几何综合
1．（2024·河南信阳·一模）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图①-②，D为等腰的斜边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点C 逆时针旋转到的位置．同学们通过观察，发现了以下结论∶①；②；③如图②，若，四边形 的面积为 ，④、、的数量关系是 ；

(2)类比迁移
如图④-⑥，D为等腰的直角边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点 D 逆时针旋转到的位置，连接．请你类比问题（1）中的结论，选用图④、图⑤、图⑥中的任意一个图形完成下列问题：
①求 的值；
②试探究、、的数量关系，并证明你的结论；

(3)拓展应用
若，当点D在直线上运动至时，请直接写出的长和以A、B、D、E 为顶点的四边形的面积．
2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处．
(1)【问题解决】
如图①，连接，则与折痕的位置关系是______，与的数量关系是______；
(2)【问题探究】
如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由；
(3)【拓展延伸】若，求出的最小值．
3．（2023·吉林四平·模拟预测）如图，在矩形中，，，连接．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点不与矩形的顶点重合时，以为对角线作正方形（点在直线的右侧）．设正方形的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒．
(1)当点在线段上时，用含的代数式表示的长；
(2)当时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式．
4．（2023·广西钦州·一模）教材变形：如图1，点，是正方形边上的点，连接，交于点，，判断与的位置关系，并证明你的结论；
探索发现：如图2，在正方形的边上取点，连接，，使，求证；
迁移拓展：如图3，点，是菱形边，上的点，连接，点在上，连接，，，，，，，，求及的值．
押题解读
几何综合题以几何知识为主体的综合题，主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，以及特定图形的判定和性质。几何综合题是中考必考题型。试题一般以全等或相似为中心，常常是三角形、四边形、圆、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用。而且几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查学生分析问题，探究问题，综合应用数学知识解决实际问题的能力.
1．（2023·贵州遵义·三模）（1）【问题发现】如图①，在中，若将绕点O逆时针旋转得到，连接；求 ；
（2）【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，P为内一点，将线段绕点C逆时针旋转，点P的对应点为点Q．
①求证：；
②求的最小值；
（3）【实际应用】如图③，在矩形中，，是矩形内一动点为内任意一点，是否存在点P和点Q，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由．
2．（2024·江苏苏州·一模）【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．
【拓展研究】如图2，已知内接，，点是的中点，过点作，垂足为点．求证：＋．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知是等腰直角三角形，，．
(1)当时，
①将一个直角的顶点放至的中点处（如图①，两条直角边分别交、于点、，请说明为等腰直角三角形；
②将直角顶点放至边的某处（如图②，与另两边的交点分别为点、，若为等腰直角三角形，且面积为4，求的长．
(2)若等腰 三个顶点分别在等腰 的三边上，等腰的直角边长为1时，求等腰的直角边长的最大值．
4．（2023·江西赣州·一模）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），和中，．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．
小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点M，连接，则有及，即，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
(1)如图2，在中，三条高、、相交于点H，若，则 ．
(2)如图3，已知是的直径，是的弦，G为的中点，于E，于F（E、F不重合），若，求证：．
押题猜想十一 解答题压轴之二次函数综合
1．（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2024·山东滨州·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
3．（2023·山东济南·一模）抛物线过点，点，顶点为，与轴相交于点，点是该抛物线上一动点，设点的横坐标为
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，连接，，，若的面积为3，求m的值；
(3)连接，过点作于点，是否存在点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标．
(3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
押题解读
二次函数与几何综合题是中考必考的题型，一般出现在压轴题位置，考查到二次函数的图像与性质、几何图形的判定、性质，通常会考查到线段最值、定值、面积定值及最值、周长定值及最值、直线的关系、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊三角形的存在性问题、特殊四边形的存在性问题、抛物线与圆等，考查的范围比较广。在解决二次函数与几何综合题时，除了需要具备扎实的基础外，还需要有良好的思维能力，需要具备一定的数学思想和方法，在解题中通常会运用到数形结合思想、分类讨论思想、整体思路、转化思想等，一些综合性的题目的解答有一定的技巧和方法，在复习备考中，需要重点去学习、练习、总结和思考。
1．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于，两点，求直线过定点的坐标．
2．（2024·湖北武汉·三模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为．其中，．
(1)直接写出该抛物线的解析式；
(2)如图，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标；
(3)如图，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标．
3．（2024·湖北恩施·一模）如图1，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接、，判断的形状并说明理由．
(3)连接，若点P在第一象限，过点P作于E，求线段长度的最大值；
(4)已知，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·四川眉山·一模）如图①，已知抛物线的图象经过点，，其对称轴为直线，过点A作轴，交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当m为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值．
(3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在；直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2023·广西·模拟预测）已知如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，．
(1)填空：______，______；
(2)若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值；
(3)当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线上的交点，直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．
①当时，直接写出的取值范围；
②求的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
（全国通用）2024年中考数学终极押题猜想
押题猜想一 选填题之几何图形综合问题
1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边的边长为3，点D在边上， ，线段在边上运动， ，有下列结论： ①与一定不相等； ②与可能相似； ③ 四边形面积的最大值为 ； ④ 四边形周长的最小值为 ．其中，正确结论的序号为（　　）
A．② ④ B．② ③ C．① ② ③ D．② ③ ④
【答案】C
【分析】①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；③过P作于E，过D作于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；④作点D关于直线的对称点，作，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长为：，即此时四边形周长有最小值；再由，，，可得的最小值，即可得解．
【详解】解：①∵线段在边上运动，，
∴，
∴与不可能相等，故①正确；
②设，
∵，，
∴，即，
假设相似，
∵，
∴，即，
∴，解得或（经检验是原方程的根），
又∵，
∴解得的或符合题意，
即与可能相似，故②正确；
③如图，过P作于E，过D作于F，
设，
由，，得，即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∴四边形面积为：，
又∵，
∴当时，四边形面积最大，最大值为：，
即四边形面积最大值为，故③正确；
④如图，作点D关于直线的对称点，作，连接交于点，在射线上取，
此时四边形的周长为：，即此时四边形周长有最小值
∴，，
且，
∴，，
在中，，，
∴，
在中，
由勾股定理可得，，
∴四边形的周长为：
，故④错误，
故选：C．
【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．
2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线恰好经过点，与边交于点，连接，以下四个结论中：①；②；③；④如果，那么．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本作图得到垂直平分，再根据菱形的性质得到，，，可证是等边三角形，再根据性质即可判定，根据平行线间的距离和菱形的性质即可判断和，由勾股定理和角所对直角边是斜边的一半即可判断．
【详解】连接，
由题意作图可知：垂直平分，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，故正确；
∵是中点，
∴，
∴，，故错误，故正确；
如图，过作交延长线于点，
易得四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，则正确；
综上可知：正确，
故选：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理和平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
3．（2023·山东聊城·二模）如图，以的三边为边在上方分别作等边，且点在内部．给出以下结论：
四边形是平行四边形；
当时，四边形是矩形；
当时，四边形是菱形；
当，且时，四边形是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．

【答案】
【分析】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明和即可判断；当时，求出即可判断；由得到即可判断；由得到，得到是矩形，再结合即可判断；熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理由，得，
由，即可得出四边形 是平行四边形，故结论正确；
当时，
，
由知四边形是平行四边形，
∴平行四边形不是矩形，故结论错误；
由知，四边形 是平行四边形，
∴当时，，
∴平行四边形是菱形，故结论正确；
当时，
，
∵是平行四边形，
∴四边形是矩形，
又由知四边形是菱形，
∴四边形是正方形，故结论正确；
故答案为：．
押题解读
几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容，该题型难度较高，以等腰三角形、直角三角形等为基础的多解题，特殊四边形与圆为载体的几何求解问题是高频考点、必考点，所以必须提高对几何图形性质的理解和掌握，但是每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接．已知下列判断：
①；②；③；④．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②③④
【分析】根据折叠的性质可判定①正确；根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定②正确；根据最大值和最小值时的位置可判定③正确；求得的值，可判定④正确；从而求解．
【详解】解：如图1，由折叠可知，①正确；
，
，
，
，
，
，
，②正确；
∵，
∴，③正确；
当与重合时，，此时最小，
当与重合时，如图，此时最大，
由勾股定理得：，
，
，即，
，
∵，
，
在和中，
，
，
，
，
点在线段上（不与两端点重合），
折痕的长度的取值范围为；
综上，①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．
2．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形中，点E是边上一点，连接与对角线交于点P，过点P作交于点F，连接交于点G，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由题意易得，对于①：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得，则问题可判定；对于②：把绕点A顺时针旋转得到，则有，然后易得，则有，则可判定；对于③：连接，在上截取，连接，易得，然后易证，进而问题可求解；对于④，由③可得，进而可得，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∴点A、B、F、P四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
②把绕点A顺时针旋转得到，如图所示：

∴，，
∴，
∵，
∴三点共线，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③连接交于O，在上截取，连接，如图所示：

∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由①可得点A、B、F、P四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④由③可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：以上结论正确的有①②③④；
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图，在中，，，是上的一个动点不与点，重合，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，与相交于点，连接下列结论：
；
若，则；
；
若，，则．
其中正确的结论是 填写所有正确结论的序号

【答案】
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键．先判断出，即可判断出正确；先求出，进而得出，即可判断出正确；先判断出，进而得出，即可得出，最后用勾股定理即可得出正确；先求出，再求出，进而求出，求出，即可判断出错误．
【详解】解：，
由旋转知，，，
，
在和中，
，
，故正确；
，，
，
，
，
，
，，
，
则，故正确；
，
，
，
，
，
，
在等腰直角三角形中，，故正确；

如图，过点作于，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
，
，
，故错误，
故答案为：．
押题猜想二 选填题之函数综合问题
1．（2024·山东临沂·二模）已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数的关系，灵活运用二次函数的性质，学会利用函数图象信息解决问题是关键．根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据函数图象与x轴的交点个数，可判断②；可求得图象与x轴的另一个交点坐标为，由当时，，可判断③；由当时，，可判断④；把看为与的图象的交点问题，可判断⑤；从而解决问题．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
，
∵抛物线交y轴的正半轴，
，
，故①正确；
该函数图象与x轴有两个不同的交点，
方程有两个不相等的实数根，
，故②不正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点的坐标为，
∴当时，，故③不正确；
∵抛物线经过点，
，
，
，即，故④正确；
函数图象与x轴的交点坐标分别为和，
令，则，
∴直线与抛物线的交点的横坐标分别为，
∴由图象可知：，，故⑤正确；
故正确的有3个，
故选：C．
2．（2023·广东佛山·一模）如图，点A在双曲线（，）上，点在直线：（，）上，A与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①②当时，③④则所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③/③②
【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标即可判断；②根据①中的坐标，直接将代入即可判断；③先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式可判断；④根据菱形的面积=底边×高即可可解答．
【详解】解：如图：①中，当时，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵A与关于轴对称，
∴，，
∴，
∴；故①不正确；
②当时，点A的坐标为：，
∴，故②正确；
③∵，与关于轴对称，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，故③正确；
④菱形的面积，故④不正确；
所以本题结论正确的有：②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、坐标与图形性质、勾股定理，关于x轴对称、菱形的性质等知识点，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键．
押题解读
一次函数、二次函数、反比例函数在中考选择题、填空题考场中是热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分，复习环节重在提高学生对函数图象和性质理解和掌握的能力.
1．（2024·贵州遵义·一模）如图，点在（）的图象上，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交（）的图象于点，连接．若，四边形的面积为7，则，的值正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据，得到，进而得到，根据四边形的面积等于，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∵轴，轴，点在（）的图象上，点在（）的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形的面积等于，
∴，
∴；
故选D．
2．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一反比例函数过第一象限内的点分别作轴，轴的垂线，与轴，轴分别交于、两点，与双曲线分别交于、两点．则以下结论中，正确结论的序号是（ ）
①存在无数个点使
②存在无数个点使
③存在无数个点使四边形的面积
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数图象和性质，三角形的面积，依次判断，即可．
【详解】设点，
∴点，点
∵，，
∴，
∴正确；
∵，，
∴；
∴正确；
∵四边形的面积为：，
令，
当时，，
解得：，（舍去），
∴，
∴点在函数时，满足题意，
∴此时点有无数个，
∴正确，
∴正确的为：．
故选：D．
3．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数，有下列结论：
①该函数图象过定点；
②当时，函数图象与x轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；
④当时，点是曲线上两点，若，则．
其中，正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查的是二次函数综合题，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征．
将抛物线整理为，即可判断①；将代入并计算即可判断②；计算抛物线对称轴并根据可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，根据增减性可判断④．
【详解】解：，
当时，，
该函数图象过定点，故①正确，符合题意；
当时，，
令，则，
，
当时，函数图象与x轴无交点，故②正确，符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在右侧，故③错误，不符合题意；
，
，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
，
抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，
当时，，
当时，，
此时，，
，
，
，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
4．（2024·青海西宁·一模）二次函数 的y与x的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 0 0
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①
②二次函数 可改写为 的形式
③关于x的一元二次方程 的根为
④若，则
⑤当时，y有最小值是
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①③⑤ D．②③④⑤
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，开口方向与轴的交点坐标，判断①②，对称性以及抛物线与一元二次方程的关系，判断③，增减性，判断④⑤，解题的关键是确定抛物线的对称轴．
【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∴顶点坐标为：；
当时，，
在对称轴的左边随着的增大而减小，在对称轴的右边随着的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误，
∵顶点坐标为，
∴二次函数 可改写为 的形式；故②正确；
∵当时，，对称轴为，
∴当时，，
∴关于x的一元二次方程 的根为 ；故③正确；
∵时，时，，在对称轴的左边随着的增大而减小，在对称轴的右边随着的增大而增大，
∴若，则或，故④错误；
当时， 随着的增大而增大，
∴当时，y有最小值是；故⑤正确；
故选B．
押题猜想三 选填题之规律探索问题
1．（2023·重庆九龙坡·一模）已知，（为正整数），下列说法：①；② ；③；④若，则的最小值为3．其中正确选项的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据新定义得出 ，，进而判断①②；根据新定义得出 ，进而根据分式的性质化简判断③，根据已知条件化简，得出，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴
∴，故②不正确；
∵，
∴，故③不正确；
若
即
∴的最大值为，没有最小值，故④不正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，二次函数的性质求最值，熟练掌握分式的化简求值，理解新定义是解题的关键．
2．（2023·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，做第1个正方形；延长交轴于点，做第2个正方形…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，点的坐标规律．解此题的关键是计算前三个正方形的面积，从中找出规律．根据相似三角形的判定原理，得出 ，继而得知；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算前三个正方形的面积，从中找出规律．数形结合找出规律是解决问题的关键．
【详解】解：设正方形的面积分别为，，，，
根据题意得，
（同位角相等）．
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
，
同理，得，
由正方形的面积公式，得，
，
，
，
由此可得．
第2023个正方形的面积为，
故选：A．
3．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律，依此规律即可解决问题．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．
押题解读
规律探索问题在各地市的中考试卷中有五种常见类型:(1)数式规律；(2)图形个数规律；(3)图形的递变规律；(4)图形的循环规律；(5)图形的递变加循环规律. 规律探索问题是中考考试中经常出现的一个问题，它通常以“数式”或“图形”为设计问题的蓝本，以考查学生解决问题的全面性、辩证性、流畅性及建模思想。这类问题最大的特点在于“有规律”上，即在数式或图形分布中，从简单到复杂，让学生寻找各个数式或图形之间的内在的，本质的，稳定的、反复出现的形态，从而利用数学建模的思想解决此类问题。
1．（2023·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；；按此规律，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
本题考查了坐标与图形性质旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解此题的关键是找出规律．
【详解】解：由题意、、、、都是等腰直角三角形，
，，，，
，，，，
；
，
，
故选：A．
2．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题是一道关于等边三角形性质及探索规律的题目，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴负半轴上，纵坐标为0，根据，，……得到横坐标为，据此即可求解．
【详解】解：观察图形可以看出，每4个为一组，
∵，
∴在x轴负半轴上，纵坐标为0，
∵，，……
∴当时，的横坐标为2，
当时，的横坐标为1，
当时，的横坐标为0，
……
当时，横坐标为，
∵，
∴，
则
∴的坐标是．
故选：C
3．（2023·重庆九龙坡·三模）由n（）个正整数组成的一列数，记为，，…，任意改变它们的顺序后记作，，…，若，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，，…，则M一定为偶数；
②当时，若，，为三个连续整数，则M一定为偶数；
③若M为偶数，则n一定为奇数；
④若M为奇数，则n一定为偶数．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据偶数偶数偶数，偶数奇数奇数，奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，偶数奇数偶数，分别对每一结论进行推断即可．
【详解】解：①，，，
，，也分别是偶数，
、、、、的结果分别是偶数，
是偶数，
故①符合题意；
，，为三个连续整数，
三个数中必有两个偶数一个奇数或两个奇数一个偶数，
任意改变它们的顺序后，，中必有两个偶数一个奇数或两个奇数一个偶数，
、、中一定有一个偶数，
一定为偶数；
故②符合题意；
为偶数，
、、、，中一定有一个偶数，
若，，，均为偶数时，无论奇数还是偶数，都是偶数，
故③不符合题意；
为奇数，
、、、，中一定都是奇数，
，，，中奇数与偶数的个数相等，
是偶数，
故④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，理解题意，根据奇数与偶数的性质进行推断是解题的关键．
押题猜想四 选填题之新定义问题
1．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，可以计算出的值．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
2．（2023·重庆江津·二模）如果实数，满足的形式，那么和就是“智慧数”，用表示．如：由于，所以是“智慧数”，现给出以下结论：
①和是“智慧数”；
②如果是“智慧数”，那么“”的值为；
③如果是“智慧数”，则与之间的关系式为；
④如果是“智慧数”，当时，随的增大而增大，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据材料提示的“智慧数”的运算规则即可求解．
【详解】解：①和是“智慧数”；
∵，，
∴和是“智慧数”，表示为，故①正确；
②如果是“智慧数”，那么“”的值为；
根据“智慧数”的定义得，，解得，，故②正确；
③如果是“智慧数”，则与之间的关系式为；
根据“智慧数”的定义得，，解得，且，故③错误；
④如果是“智慧数”，当时，随的增大而增大；
根据“智慧数”的定义得，，解得，，令，
∴，即是关于的反比例函数，且反比例系数小于零，
∴当时，随的增大而增大，即当时，随的增大而增大，故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故选：．
【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握定义新运算的运算规则，整式的运算法则，反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”．如果点在以边长为的等边的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为 ．

【答案】或
【分析】
本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先根据题意求出、、的长，然后设点的坐标，从而表示出点的坐标，再表示出点到直线的距离，构造不等式即可解答．
【详解】
解：等边的边长为，
，，
，，
，
，
过作直线于点，设直线与x轴y轴分别交于点，如图：

当时，，当时，，
，，
，
∵点E，F的“确定三角形”是等边三角形，
∴当点与点C重合时，点E到直线的距离最短，
此时点E，F的“确定三角形”边最短，即为的长，故“确定三角形”的周长最小，
在中，，
点到直线的距离为，
，
或，
解得或．
故答案为：或．
押题解读
在近几年各省市的中考数学命题中, 新定义问题越来越受到关注和重视. 所谓新定义问题，是相对于初中教材而言, 指在初中教材中不曾出现过的概念、定义. 它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则, 或者给出一个抽象函数的性质等, 然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.“新定义”问题总的来说题型较为新颖, 所包含的信息丰富, 能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力. 新定义问题一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念. 这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
1．（2023·山东菏泽·三模）定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据题意得出一元二次方程，然后根据根的判别式得出，求出t的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴可变为：，
整理得：，
∵关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
2．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（　　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
3．（2024·重庆·模拟预测）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性．现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍比千位、个位数字之和大1，则我们称这个四位数t是“四·二一数”
例如：当时，∵，∴6413是“四·二一数”；
已知（且均为正整数）是“四·二一数”，满足与的差能被7整除，则所有满足条件的t的最大值为 ．．
【答案】
【分析】本题考查新定义问题，理解题干中“四·二一数”的定义是解题的关键．根据“四二一数”的定义可得，依次列举即可求解．
【详解】解：根据题意可得，即，
当，，时，与的差为20，不符合题意；
当，，时，与的差为31，不符合题意；
当，，时，与的差为，符合题意；
当，，时，与的差为7，符合题意；
当，，时，与的差为18，不符合题意；
当，，时，与的差为6，不符合题意；
当，，时，与的差为，不符合题意；
当，，时，与的差为5，不符合题意；
当，，时，与的差为28，符合题意；
当，，时，与的差为19，不符合题意；
综上，或或
则所有满足条件的t的最大值为．
故答案为：
4．（2023·河北沧州·三模）定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．
例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数．
（1）有理数1 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．
①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 ；
②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 ．
【答案】 是 / 67
【分析】（1）根据“希尔伯特”数的定义即可判断；
（2）①由题意可得：这个“H希尔伯特”数是，展开化简即得答案；
②由①可设这两个“H希尔伯特”数为，根据两个“H希尔伯特”数的差是48构建关于m、n的方程，求方程的正整数解即可得.
【详解】解：（1）由于数1能表示成的形式，
∴1是“希尔伯特”数；
故答案为：是；
（2）①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），则另一个奇数是，
∴这个“H希尔伯特”数是；
故答案为：；
②由①可设这两个“H希尔伯特”数为且m、n是正整数，
根据题意可得 ，
∴，即，
∵m、n是正整数，
∴满足题意的正整数m、n是；
则这两个“H希尔伯特”数中较大的是；
故答案为67.
【点睛】本题是阅读理解题型，正确理解题意、弄清“希尔伯特”数与“H希尔伯特”数的定义是解题的关键.
5．（22-23九年级上·重庆万州·阶段练习）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
（1）代数式：的“同心式”为；
（2）若与互为“同心式”，则的值为1；
（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则；
其中，正确的结论有（ ）个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据定义分别判断即可．
【详解】解：（1）代数式：的“同心式”为，故（1）不正确；
（2）若与互为“同心式”，则，，
，
，故（2）正确；
（3）当时，，，
，，
，，
，
无论取何值，“同心式” 与的值始终互为相反数，故（3）正确；
（4）若、互为“同心式”，
，
有两个相等的实数根，
，
，故（4）正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义、根的判别式和实数的性质，正确理解新的定义是关键．
押题猜想五 解答题之函数与实际问题综合问题
1．（2024·四川达州·一模）随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元．
(1)求出快速充电桩和慢速充电桩的单价；
(2)该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？
【答案】(1)快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元和万元
(2)购买慢速充电桩个，购买快速充电桩个时，所需资金最少，最少是万元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组和一次函数的实际应用：
（1）设快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元，万元，根据安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买慢充电桩个，根据慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，求出的取值范围，设总费用为万元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元，万元，由题意，得：
，解得：，
答：快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元和万元．
（2）设购买慢速充电桩个，则购买快速充电桩个，由题意，得：
，解得：，
设总费用为万元，由题意，得：
，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，的值最小为，
此时，
故购买慢速充电桩个，购买快速充电桩个时，所需资金最少，最少是万元．
2．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
【答案】任务1：，；任务2：空矿泉水瓶的重量为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握反比例函数的应用，二元一次方程组的应用是解题的关键
任务1：由题意，得，即，由题意知，，，则，即，进而可求的取值范围．
任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】任务1：解：由题意，得，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，
依题意得，，
解得，
空矿泉水瓶的重量为．
3．（2024·广东惠州·一模）水果商贩小李上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元．
(1)问草莓、苹果各购买了多少箱？
(2)小李有甲、乙两家店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓、苹果两种水果合计20箱，并且每售出一箱草莓，甲店获利14元，乙店获利10元；每售出一箱苹果，甲店获利20元，乙店获利15元．
①若小李将购进的40箱水果分配给两家店铺各20箱，设分配给甲店草莓a箱，请填写表：
草莓数量（箱） 苹果数量（箱） 合计（箱）
甲店 a ________ 20
乙店 ________ _________ 20
小李希望在乙店获利不少于215元的前提下，使自己获取的总利润W最大，问应该如何分配水果？最大的总利润是多少？
②若小李希望获得总利润为600元，他分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，已知，则a=________．
【答案】(1)小李购买草莓25箱，购买苹果15箱；
(2)①填表见解析，甲店草莓8箱，乙店草莓17箱，甲店苹果12箱，乙店苹果3箱，最大的总利润是567元；②10．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设购买草莓箱，购买苹果箱，由题意：草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）①由（1）可知小李购买草莓25箱，购买苹果15箱，设分给甲店草莓a箱，则分给乙店草莓箱，甲店分得苹果箱，乙店分得苹果：（箱），求出获取的总利润，，然后由一次函数的性质即可得出结论；
②分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，则甲店苹果为箱，乙店草莓箱，乙店苹果箱，则获取的总利润，由题意：小李希望获得总利润为600元，得，整理得，即可解决问题．
【详解】（1）解：设购买草莓x箱，购买苹果y箱，
由题意得：，
解得：，
答：小李购买草莓25箱，购买苹果15箱；
（2）①由（1）可知小李购买草莓25箱，购买苹果15箱，
设分给甲店草莓a箱，则分给乙店草莓箱，甲店分得苹果箱，乙店分得苹果：（箱），
填表如下：
草莓数量（箱） 苹果数量（箱） 合计（箱）
甲店 a 20
乙店 20
则，获取的总利润，
∵乙店获利不少于215元，
∴，
解得：，
∵，W随a的增大而减少，
∴当时，W最大，W最大值为567，
∴甲店草莓8箱，乙店草莓17箱，甲店苹果12箱，乙店苹果3箱，最大的总利润是567元；
②分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，则甲店苹果为箱，乙店草莓箱，乙店苹果箱，
获取的总利润，
∵小李希望获得总利润为600元，
∴，
整理得：，
∵a、b为整数，且，
∴，
故答案为：10．
4．（2023·湖南·中考真题(改)）我国航天事业发展迅速，2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
(1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
(2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
【答案】(1)；
(2)该商店继续购进了件航天模型玩具．
【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量，可求得利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，根据“销售利润的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之即可．
【详解】（1）解：因每件玩具售价为x元，
依题意得；
（2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，
依题意得：，
解得，
答：该商店继续购进了件航天模型玩具．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函数解析式是解题的关键．
押题解读
利用函数（或方程）解决实际问题可以说是初中数学当中最重要的部分，也是中考中必考内容。从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。
1．（2024·陕西宝鸡·二模）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式，无人机从西侧距坡底为10米处的点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线．当无人机飞越坡底上空时（即点），与地面的距离为20米．

(1)求无人机飞行轨迹的函数解析式；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
【答案】(1)
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为米时，无人机与山坡的竖直距离为米
(3)无人机此次飞行是安全的，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
（1）把点代入 ，解答即可；
（2）根据已知求得无人机与山坡的竖直距离 把代入求得即可；
（3）无人机与山坡的竖直距离 的最小值与比较即可得解.
【详解】（1）解：由题意可知， 点，将坐标分别代入，
得： ，
解得：，
∴无人机飞行轨迹的函数表达式为，
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为米时， ，
∵无人机与山坡的竖直距离
∴当时，(米)，
答：当无人机飞行的水平距离距起点为米时，无人机与山坡的竖直距离为米；
（3）安全， 理由如下：
由（2）知，
，
时，有最小值 ，
∴无人机此次飞行是安全的.
2．（2024·河南漯河·一模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻（）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量（）变化的关系图象如图2所示，（）为定值电阻，电源电压恒定不变．
(1)请根据图2，判断气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成________函数，它的函数解析式为________；
(2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准；
(3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？
【答案】(1)反比例；
(2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准
(3)此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）观察函数图象可知是反比例函数，然后利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时，，即可得到结论；
（3）求出当时，，即可得到结论．
【详解】（1）解：由函数图象可知，气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成反比例函数，
设，
把代入中得，
∴，
故答案为：反比例；；
（2）解：在中，当时，，解得，
∵，
∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准；
（3）解：在中，当时，，
∴，
∴此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究 ；
探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：；
探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
【详解】探究
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
4．（2024·广东深圳·二模）【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
运动时间 0 2 4 6 8 10
运动速度 10 9 8 7 6 5
滑行距离 0 19 36 51 64 75
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．
【答案】
（1）作图见详解
（2）；
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离
（4）
【分析】（1）利用描点法解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）令，求得小球停下来的时间，再将代入与的函数关系式解答即可；
（4）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）画出与的函数图象如下：
（2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系，
设，代入，得：
，
解得：，
与的函数关系为；
设代入，得：
，
所得：，
与的函数关系式为；
（3）当时，
解得：．
将代入得：
．
当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离．
（4）假定经过秒小球追上小电动车，
，
．
由题意：，
．
若黑球不能撞上小车，则的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
押题猜想六 解答题之一次函数与反比例函数综合问题
1．（2024·江苏盐城·一模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先把代入求得m的值即可；
（2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
（2）∵点在上，
∴，
∵，都在一次函数的图象上，代入得：
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
∵直线与x轴交于点C，如图1，
∴，
∴，
∵A的坐标为，B的坐标为，
∴
；
（3）①当时，
∵，
∴，
∴；
②当时，
作轴于点E，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
同理可求；
③当时
设，
则，
解得，
∴．
同理可求．
综上可知，点P的坐标为．
【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
2．（23-24九年级下·江西赣州·模拟）如图，点在函数的图像上，过点作轴和轴的平行线分别交函数的图像于点，，直线与坐标轴的交点为，．
(1)设点横坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______．（用含字母的式子表示）
(2)当点P在函数的图像上运动时，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由．
(3)请直接写出与满足的数量关系．
【答案】(1)；；
(2)不发生改变，
(3)
【分析】（1）由条件可先求得点坐标，从而可求得点纵坐标，再代入可求得点与点的坐标；
（2）设出点坐标，从而可表示出、的坐标，则可表示出和的长，可求得的面积；
（3）可证明，利用（2）中和的长可表示出，可得到，继而证明，然后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵点横坐标为，点在函数的图像上，点，在函数的图像上，
∴点的纵坐标为，
∵轴，轴，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：；；；
（2）∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的面积不发生变化，的面积为；
（3）．
理由：如图，延长交轴于点，延长交轴于点，
∵轴，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，考查了函数图像上点的坐标特征，平行线的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识．（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中用表示出、的长是解题的关键，在（3）构造全等三角形是解题的关键．
3．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值．
(2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点．
①求点的坐标．
②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，
(2)①②存在，的坐标为或
【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式中求，确定反比例函数的表达式，把代入反比例函数可得到结论；
（2）①设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式，求得点 ，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到坐标，把代入反比例函数中即可得到结论；
②设点，根据勾股定理得到即，可求得，即可确定点坐标．
【详解】（1）解：∵的图象过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
（2）①设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为．
当时，；当时，，
∴点，点．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将沿直线翻折，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
把代入，得，
∴；
②存在，理由如下；
设点，
则，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
即，
解得或．
故在轴上存在点，使得是以为斜边的直角三角形，
此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
押题解读
反比例函数与一次函数的综合题是中考常考的内容，但是此类问题牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。掌握反比例函数和一次函数的图像和性质，也是解决反比例函数与一次函数综合题的关键，所以反比例函数和一次函数的图像和性质必须熟记.
1．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)由图像可知，当x 时，；
(2)求出a，k的值；
(3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值；
(4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)或11；
(4)的坐标为或．
【分析】（1）根据图象求解即可；
（2）将点代入，即可求出的值，从而得到．再将代入，即可求出的值；
（3）根据一次函数解析式可求出，．结合为正轴上的一动点，可求出．最后根据，结合三角形面积公式，即可列出关于的等式，解出的值即可．
（4）过作轴于，作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可．
【详解】（1）根据图像可以看出表示一次函数在双曲线上方部分，
∴当时，；
（2）由题意可知点在一次函数的图象上，
，
．
一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，
；
（3）对于，令，则，
解得：，
．
令，则，
．
为轴的一动点，
，
，
，
，，
，
解得：或．
（4）过作轴于，
轴，
，
，，
，
把，代入，
，
作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
把，代入解析式可得：，
解得：，
直线的解析式为：，
把代入，
解得：，
，
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
2．（2024·江苏连云港·一模）一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图像，直接写出时，x的取值范围；
(3)若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)1或9
【分析】（1）将代入得，，则，将代入得，可得，，进而可得反比例函数表达式；
（2）联立，整理得，，可求满足要求的解或，将代入得，，则，然后数形结合求不等式的解集即可；
（3）由题意知，平移后的解析式为，联立得，，整理得，，由图像只有一个交点，可得，计算求解然后作答即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：联立，整理得，，
∴，
解得，或，
经检验，或是原分式方程的解，
将代入得，，
∴，
∴由图像可知，的解集为或；
（3）解：由题意知，平移后的解析式为，
联立得，，整理得，，
∵图像只有一个交点，
∴，
解得，或，
∴b的值为1或9．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，图像法求不等式的解集，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，不等式的解集，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
3．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？
【答案】(1)
(2)当时，最大值
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及二次函数的性质．
（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：∵点C在一次函数的图像上，且点C的横坐标为a，
∴点C的纵坐标为，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴有最大值，当时，最大值．
4．（2024·四川广安·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求不等式的解集；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，点坐标为或或
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合、求反比例函数解析式、根据图象写出不等式的解集、平行四边形的性质、点坐标的平移等，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）把代入一次函数求解，得到点坐标，把点坐标代入求出反比例函数表达式即可
（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出点坐标，结合点坐标，观察图象，得出不等式的解集即可；
（3）由题意知，分与为邻边，与为邻边，与为邻边，三种情况讨论，根据点坐标的平移方式求解即可．
【详解】（1）解：把代入一次函数得，解得，
∴，
把代入反比例函数得，解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为，
∴联立表达式，得：，
整理得：，
，
∴或，
∴，，
∵，
∴点横坐标，
∴结合图象观察，得不等式的解集为或；
（3）解：①当与为邻边，时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，
∴点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
②当与为邻边时，点先向左平移1个单位再向下平移2个单位到点，
∴点也先向左平移1个单位再向下平移2个单位到点，即；
③当与为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，
∴点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即．
综上，存在，点坐标为或或．
押题猜想七 解答题之用三角函数解决实际问题
1．（2022·辽宁鞍山·中考真题（改））北京时间2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船发射成功．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为的励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的底端到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼条幅方向前行到达点处（楼底部点与点，在一条直线上），在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若，均为（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端到地面的距离的长度．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【分析】设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．（2024·山西朔州·二模）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座，上折臂，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端F到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K．根据题意可得，，，，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】解：如答图，过点E作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K．
则，，，，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
．
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，．
∴．
∴．
答：上折臂顶端F到地面的距离约为．
3．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．

(1)当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字；
（参考数据∶，，，）
(2)当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号．
【答案】(1)码头与船的距离为千米
(2)船到海岸线的距离为千米
【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角形函数的定义．
（1）根据题意可得，，进而得到，根据三角函数即可求解；
（2）过点作，垂足为，根据题意可得，，进而得到，根据，求出，推出，从而求出，最后根据，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
又 ，
，
在中，
又，千米，
（千米），
千米
答：码头与船的距离为千米；
（2） ，
，
，
，
又 ，
∴，
过点作，垂足为，
在中，，，
（千米），（千米），
在中，
（千米），
（千米），
在中，，
（千米），
答：船到海岸线的距离为千米．
押题解读
初中三角函数应用题几乎全国的中考数学考试都要考到，而三角函数的应用是非常重要的几何工具，既有省略相似的繁琐证明过程，也能够通过自身的知识点特征进行应用的适用。在运用三角函数的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、 角)之间的关系，:若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解， 其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题， 坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键 .
1．（2024·山东济南·模拟预测）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，
(1)求屋顶到横梁的距离；
(2)求房屋的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．
（1）根据可得，再根据，即可求解；
（2）过点作于点，设，则，，再根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，
，，
，
答：屋顶到横梁的距离为．
（2）解：过点作于点，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，，
解得：，
，
答：房屋的高为．
2．（23-24九年级上·浙江湖州·模拟）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
(2)小吉通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：）
【答案】(1)
(2)当α从变化到的过程中，高度增加了
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，进而可求解；
（2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，
，
由题意得：，
四边形为矩形，
．
，
．
，
．
，
答：支点C离桌面l的高度为；
（2）解：过点C作，过点E作于点H，
，
，
，
当时，；
当时，；
，
∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了．
3．（2024·浙江·一模）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．
(1)当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）；
(2)如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
【答案】(1)点A到地面的距离为；
(2)点A上升的高度为；
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）作于点G，由题意可知m，，在中，应用特殊角三角函数值求即可；
（2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解；
【详解】（1）作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴m
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
m
∴点A到地面的距离为．
（2）记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
m，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
4．（2024·山东临沂·二模）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，
在某种工作状态下测得液压杆，，．

(1)求的长．
(2)消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．
（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键．
（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；
（2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
答：．
（2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，,
∴，
∴，
∴，即云梯大约旋转了．
押题猜想八 解答题之几何图形的证明与计算问题
1．（2024·江苏南京·一模）如图，与相交于点E，连接，，．经过A，B，C三点的交于点F，且是的切线．
(1)连接，求证：；
(2)求证：
(3)若，，，，则的半径为　　　　　　．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接，交于点，由切线性质可知，由，，，可推导，进而可知，由垂径定理可得，垂直平分，即可证明结论；
（2）如图，连接，由（1）知，，则，结合圆周角定理可证，进而可证明，得，即可证明结论；
（3）如图，连接并延长交于点，连接，，结合题意知，由（2）可知，，可得，由（2）知，则，继而可得，可知垂直平分，得，由此可得，设半径为，则，，在中，，列出方程即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由垂径定理可得，垂直平分，
∴；
（2）证明：如图，连接，
由（1）知，，则，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：；
（3）解：如图，连接并延长交于点，连接，，
∵，，则，
由（2）可知，，
∴，
由（2）知，则，即，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
设半径为，则，，
在中，，即：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟悉相关图形的性质，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，，，当的长为 时，四边形是菱形．
【答案】(1)证明过程见详解；
(2)
【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定，难度适中，解题关键是熟练掌握它们的判定方法并灵活运用．
（1）根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可；
（2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求出的值．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：作于点G，作于点H，
,
四边形是矩形，
,
，
,
,
，
,
在中，，
设,
，则,
在中，，
，
解得：，
∴当时，四边形是菱形．
3．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】
（1）如图1，在中，点D、E分别在、上，连接，且，若，，则的长为_______；
【问题探究】
（2）如图2，在和中，点B、C、D在同一条直线上，，，判断与的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，五边形是某植物园的平面图，C、D分别是植物园的入口和出口（可看作点），和是进出植物园的两条主路，该植物园为举行春季花展，现要在出入口C、D之间进行花墙装饰工作．已知，，，，，求装饰的花墙的长度．（结果保留根号）
【答案】（1）5；（2），理由见解析；（3）m
【分析】（1）通过证明，得出，即可解答；
（2）通过证明，即可得出结论；
（3）过点D作交的延长线于点F，过点F作交的延长线于点M，交的延长线于点N，延长交于点G．易得四边形、四边形和四边形是矩形，通过证明 ，得出，．设，则，，再证明，得出，即，求出x的值，即可解答．
【详解】解：（1）∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
（2）．理由如下：
，点B，C、D在同一条直线上，
．
在和中，，，，
，
．
（3）过点D作交的延长线于点F，过点F作交的延长线于点M，交的延长线于点N，延长交于点G．
则四边形、四边形和四边形是矩形，
，，，，．
在中，，，
，，
，
，
．
在和中，，，，
，
，．
设，则，
在中，，，
，
．
，
，即，
解得，
，
故装饰的花墙的长度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定方法，正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形．
押题解读
几何图形的证明与计算问题是中考命题的热点，其中全等/相似三角形是解决诸多几何综合问题的关键知识，其次熟记几何图形的性质与判定也应该牢记.
1．（2024·云南·模拟预测）如图，中，，以为直径的交于点，作于点．

(1)求证：与相切；
(2)若 ，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得根据三线合一可得从而得出为的中位线，根据三角形中位线的性质可得从而证出根据切线的判定定理即可证出结论；
（2）根据相似三角形的判定证出 ，列出比例式即可求出，从而求出结论．
【详解】（1）证明：连接
为的直径，
，
又，
，
又，
∴为的中位线
∴，
又，
，
与相切；
（2），，
，
，
，
，
，
由（）知： ，
即，
解得或 舍，
的半径．
【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、切线的判定、三角形中位线的性质和相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论、切线的判定、三角形中位线的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
2．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，连接，，过点作于点，过点作于点．
(1)请你添加一个条件：______，使四边形为矩形，并给出证明．
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
【答案】(1)（答案不唯一），证明见解析
(2)
【分析】（1）添加的条件：（答案不唯一），根据平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形，进而根据平行线的性质得到，再结合题意运用矩形的判定即可求解；
（2）设，先根据锐角三角函数的定义得到．进而即可得到，再结合题意即可求解．
【详解】（1）解：添加的条件：（答案不唯一）．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴四边形为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
（2）解：设，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴的长为．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、锐角三角函数的定义，掌握平行四边形的相关定理是解答此题的关键．
3．（2024·江西南昌·一模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值． 我们知道：如图①，如果，则点为线段的黄金分割点．
(1)【问题发现】如图①，点为线段的黄金分割点，请直接写出的值为 ；
(2)【尺规作黄金分割点】如图②，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值；
(3)【问题解决】如图③，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接；再次折叠正方形使与重合，点对应点，得折痕，试说明：点是线段的黄金分割点．
【答案】(1)；
(2)；
(3)详见解析
【分析】（1）根据题中，设，，将其代入得一元二次方程，解得的值后即可求得；
（2）由勾股定理求得后即可根据求解；
（3）设，，综合正方形性质和折叠性质求出、，再由得到，解得后即可证明．
【详解】（1）解：依题得：，
设，,
则,
即，
，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
．
故答案为：．
（2）解：依题得：，
，
，
．
（3）解：依题得：，，
如图 ，连接，
根据折叠性质可得，
，
，，
，，
设，，
中，，
，
中，，
中，，
，
即，
解得，
，，
，
，
即点是线段的黄金分割点．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程、勾股定理、折叠性质、正方形性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
押题猜想九 解答题之阅读理解问题
1．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考
下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用， 例：如图1，已知P为等边三角形内一点，，. 求以，，为边的三角形中各个内角的度数. 解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以，，为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为，，的三角形来解决问题． 解：将绕点A顺时针旋转得，则． ，，． 由旋转可知， 是等边三角形．【依据】 ，． 就是以，，为边的三角形． ， ． . ． ． 以，，为边的三角形中，三个内角的度数分别为，，. 构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单．
任务：
(1)上面小论文中的“依据”是________．
(2)如图2，已知点P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的度数为________．
(3)如图3，在四边形中，，，．求证：．
【答案】(1)有一个角是的等腰三角形是等边三角形
(2)18
(3)证明见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理：
（1）依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
（2）将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则，可得是等边三角形，则就是以，，为边的三角形．根据全等三角形的性质及三角形内角和定理分别求得三个内角的度数，即可得到答案；
（3）连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，先证明是等边三角形，由旋转的性质可得为等边三角形，进而可得，利用勾股定理即可得证．
【详解】（1）解：依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
（2）解：如图，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则，
，，，
由旋转的性质可知，
是等边三角形，
，，
就是以，，为边的三角形，
，
，
，
，
，
，
最小内角的度数为，
故答案为：18；
（3）证明：如图，连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，
，，
是等边三角形，
，
由旋转可知，，，
为等边三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
2．（2023·山东青岛·三模）【阅读与思考】如图，在正方形中中，，，分别是，，上的点，于点，那么证明过程如下：
于点，
，
过点作交于点，交于点，
，
，
四边形为正方形，
∴，，，
，
，
（依据），
，
∵
∴四边形为平行四边形，
，
．
【材料探究】：上述证明过程的“依据”是______ ；
【问题解决】：如图，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点则为______ ；
【拓展延伸】：如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，求的度数．
【答案】，，，
【分析】材料探究：由证明过程可知，≌的依据是全等三角形的判定定理“”；
问题解决：设网格中每个小正方形的边长都为，将线段向右平移个单位得到线段，根据勾股定理可证明，，则是直角三角形，且，所以；
拓展延伸：作交于点，连接，可证明≌，得，，即可证明，则．
【详解】解：由证明过程可知，≌的条件是：
，
推理的依据是全等三角形的判定定理“”，
故答案为：；
如图，
设网格中每个小正方形的边长都为，
将线段向右平移个单位得到线段，则点在格点上，
由勾股定理得，
，
，
，，
是等腰直角三角形，且，
，
由平移得，
∴，
故答案为：；
如图，四边形和四边形都是正方形，
，，
，
，
点在上，
作交于点，连接，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
∵在平行四边形中，，
．
【点睛】此题重点考查平移的性质、平行线的性质、平行四边形的定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
3．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程 的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
【答案】(1)
(2)
(3)2025和2022
【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键．
（1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
（3）解：，
，
由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，
，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
或，
解得：或，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为或．
4．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．
材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．
请阅读上述材料，完成题目：
如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)存在．的最大值为；
(3)点坐标为或或，．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用平行四边形的性质得，从而得到此时点坐标；当时，由于点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，所以点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则，然后把代入得，则解方程求出得到此时点坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过点，点，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在．
当，，解得，则，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值为；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
，
当时，则，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
点坐标为或；
当时，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，
点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，
设，则，
把代入得，解得，，
此时点坐标为，，
综上所述，点坐标为或或，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；待定系数法求函数解析式；坐标与图形性质；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键．
押题解读
中考数学中阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频 “亮相”，应引起我们特别的重视，这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力，属于新颖数学题，但其难度并不大的题型，通过题目所提供的方法与探究的思路来总结出一些结论，然后按照此结论进行实际的应用，则是考察同学们数学知识和思想方法的运用能力，也就是利用自己掌握的基础数学知识新学习计算的方法。解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。
1．（2024·山西晋城·二模）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成下列任务．
问题背景： 数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于，故，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究． 探索发现： 发现结论：如果，那么（当且仅当时等号成立） 解释证明： 当时， 当时， 如果，那么（当且仅当时等号成立）
任务：
(1)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；
(2)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________；
(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃的面积最大 最大面积是多少 请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题

展开更多......

收起↑