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(共62张PPT)
第三章
运动和力的关系
第
4
课时
专题强化：“传送带”模型中的动力学问题
目标
要求
1.掌握传送带模型的特点，了解传送带问题的分类。2.会对传送带上的物体进行受力分析和运动状态分析，能正确解答传送带上物体的动力学问题。
1.模型特点：物体(视为质点)放在传送带上，由于物体和传送带相对滑动(或有相对运动趋势)而产生摩擦力，根据物体和传送带间的速度关系，摩擦力可能是动力，也可能是阻力。
2.解题关键：抓住v物＝v传的临界点，当v物＝v传时，摩擦力发生突变，物体的加速度发生突变。
3.注意物体位移、相对位移和相对路程的区别
(1)物体位移：以地面为参考系，单独对物体由运动学公式求得的位移。
(2)物体相对传送带的位移大小Δx
①若有一次相对运动：Δx＝x传－x物或Δx＝x物－x传。
②若有两次相对运动：两次相对运动方向相同，则Δx＝Δx1＋Δx2(图甲)；
两次相对运动方向相反，则划痕长度等于较长的相对位移大小Δx2(图乙)。
内
容
索
引
考点一　水平传送带中的动力学问题
考点二　倾斜传送带中的动力学问题
课时精练
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考点一
水平传送带中的动力学问题
例1　(多选)(2023·广东汕头市期末)如图所示，水平传送带以恒定的速度顺时针转动，在其左侧轻放一小滑块，下列描述小滑块在传送带上运动的v－t(速度—时间)、a－t(加速度—时间)图像可能
正确的是
√
√
√
若传送带速度较小，滑块可能先在传送带上做匀加速直线运动，加速度不变，与传送带共速后，做匀速直线运动，加速度为零。若传送带速度足够大，滑块可能在传送带上一直做匀加速直线运动，最终还未与传送带共速就已离开传送带，故C错误，A、B、D正确。
例2　(多选)(2024·四川绵阳市零诊)应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为如图所示的模型。传送带始终保持v＝0.4 m/s的恒定速率运行，行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2。旅客把行李(可视为质点)无初速度地放在A处，则下列说法正确的是
A.开始时行李的加速度大小为2 m/s2
B.行李经过2 s到达B处
C.行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.12 m
D.当行李的速度与传送带的速度相同时，传送带立刻停止运动。整个过程中
行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.04 m
√
√
行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为
Δx＝vt1－x＝0.04 m，C错误；
例3　(多选)(2023·天津市芦台一中期末)如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1顺时针运行，初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v－t图像(以地面为参考系)如图乙所示，已知v2>v1，则
A.t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B.t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离
达到最大
C.0～t2时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
D.0～t2时间内，小物块受到的摩擦力先向右后向左
√
√
相对地面而言，小物块在0～t1
时间内，向左做匀减速直线运
动，t1之后反向向右运动，故小
物块在t1时刻离A处距离最大，A错误；
小物块在0～t1时间内，向左做匀减速直线运动，相对传送带向左运动，在t1～t2时间内，反向向右做匀加速直线运动，但速度小于传送带的速度，相对传送带向左运动，t2时刻两者同速，在t2～t3时间内，小物块相对于传送带静止，所以t2时刻小物块相对传送带滑动的距离达到最大值，B正确；
0～t2时间内，小物块相对传送带向左运动，始终受到向右的滑动摩擦力，滑动摩擦力的大小和方向都不变，故C正确，D错误。
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长(滑块最终未与传送带相对静止) 传送带足够长
一直加速 先加速后匀速
水平传送带问题的常见情形及运动分析
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长(滑块最终未与传送带相对静止) 传送带足够长
v0v0>v时，一直减速 v0>v时，先减速再匀速
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长 (滑块最终未与传 送带相对静止) 传送带足够长
滑块一直减速到 右端 滑块先减速到速度为0，后被传送带传回左端
若v0≤v，则返回到左端时速度为v0；若v0>v，则返回到左端时速度为v
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倾斜传送带中的动力学问题
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考点二
例4　如图所示，传送带与水平地面的夹角θ＝37°，从A到B的长度为L＝10.25 m，传送带以v0＝10 m/s的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度放一个质量为m＝0.5 kg的黑色煤块(可视为质点)，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知sin 37°＝0.6，g取10 m/s2，求：
(1)当煤块与传送带速度相同时，接下来它们能否
相对静止；
答案　不能
由于mgsin 37°>μmgcos 37°，所以煤块与传送带速度相同后，它们不能相对静止。
(2)煤块从A运动到B的时间；
答案　1.5 s
煤块刚放上时，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度为a1＝g(sin θ＋μcos θ)＝10 m/s2，
煤块速度达到v0后，加速度大小改变，继续沿传送带向下加速运动，则有
a2＝g(sin θ－μcos θ)＝2 m/s2，
x2＝L－x1＝5.25 m，
得t2＝0.5 s
故煤块从A运动到B的时间为t＝t1＋t2＝1.5 s。
(3)煤块从A到B的过程中在传送带上留下痕迹的长度。
答案　5 m
第一过程痕迹长Δx1＝v0t1－x1＝5 m，
第二过程痕迹长Δx2＝x2－v0t2＝0.25 m，
Δx2与Δx1部分重合，故痕迹总长为5 m。
拓展　若煤块和传送带之间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求煤块从A运动至B的时间。
答案　1.441 s
由于Ff＝μ′FN＝μ′mgcos θ＝mgsin θ
即最大静摩擦力等于煤块重力沿传送带向下的分力，故煤块和传送带达到共速后将做匀速直线运动，所以煤块先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动。a′＝g(sin θ＋μ′cos θ)＝12 m/s2，
匀速运动位移x2′＝L－x1′≈6.08 m
总时间t′＝t1′＋t2′＝1.441 s。
例5　(2024·辽宁沈阳市模拟)如图，MN是一段倾角为θ＝30°的传送带，一个可以看作质点、质量为m＝1 kg的物块，以沿传送带向下的速度v0＝4 m/s从M点开始沿传送带运动。物块运动过程的部分v－t图像如图所示，取g＝10 m/s2，则
A.物块最终从传送带N点离开
B.传送带的速度v＝1 m/s，方向逆时针
C.物块沿传送带下滑时的加速度a＝2 m/s2
D.物块将在5 s时回到原处
√
从图像可知，物块速度减为零后沿传送带反向向上运动，最终的速度大小为1 m/s，因此没从N点离开，可知传送带顺时针运动，速度大小为1 m/s，故A、B错误；
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长 传送带足够长
一直加速(一定满足关系μ>tan θ) 先加速后匀速(一定满足关系μ>tan θ)
倾斜传送带问题的常见情形及运动分析
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长 传送带足够长
一直加速(加速度为gsin θ＋μgcos θ) 若μ≥tan θ，先加速后匀速
若μ情景 滑块的运动情况
传送带不足够长 传送带足够长
v0v0>v时，若μtan θ，一直减速，加速度大小为μgcos θ－gsin θ；若μ＝tan θ，一直匀速 v0>v时，若μ>tan θ，先减速后匀速；若μ情景 滑块的运动情况
传送带不足够长 传送带足够长
(摩擦力方向一定沿传送带向上) μμ>tan θ，一直 减速 μ>tan θ，先减速到速度为0后反向加速，若v0≤v，运动到原位置时速度大小为v0；若v0>v，运动到原位置时速度大小为v
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课时精练
1.(2023·江苏扬州市高邮中学期中)如图所示，飞机场运输行李的倾斜传送带保持恒定的速率运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，当传送带将它送入飞机货舱前行李箱已做匀速运动。假设行李箱与传送带之间的动摩擦因数为μ，传送带与水平面的夹角为θ，已知滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，下列说法正确的是
A.要实现这一目的前提是μB.做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力为零
C.全过程传送带对行李箱的摩擦力方向沿传送带向上
D.若使传送带速度足够大，可以无限缩短传送的时间
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要实现这一目的前提是沿传送带向上的最大静摩
擦力大于重力沿传送带向下的分力，即μmgcos θ
>mgsin θ，可得μ>tan θ，故A错误；
做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力大
小为mgsin θ，故B错误；
行李箱在加速阶段和匀速阶段受到的摩擦力方向均沿传送带向上，故C正确；
若使传送带速度足够大，行李箱在传送带上一直做匀加速运动，传送时间不会无限缩短，故D错误。
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2.(2023·广东惠州市调研)如图甲所示，将一物块P轻轻放在足够长的水平传送带上，取向右为速度的正方向，物块P最初一段时间的速度—时间图像如图乙所示，下列说法正确的是
A.物块一直受滑动摩擦力
B.传送带做顺时针的匀速运动
C.传送带做顺时针的匀加速运动
D.物块最终有可能从图甲的左端滑下传送带
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由题图乙可知，物块先做匀加速运动，当与传送带共速后，与传送带一起做顺时针的匀加速运动，故B错误，C正确；
当物块与传送带一起顺时针加速后，物块受静摩擦力，物块不可能从题图甲的左端滑下传送带，故A、D错误。
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3.(多选)(2023·四川省资中县第二中学检测)如图所示，由于运力增加，某机场欲让货物尽快通过传送带。已知传送带两轴心间距为5 m，传送带顺时针匀速传动，其速度的大小可以由驱动系统根据需要设定，一可视为质点的货物以7 m/s初速度从左端滑上传送带，已知货物与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.4，取g＝10 m/s2，则下列传送带的速度符合要求的是
A.8 m/s B.9 m/s
C.10 m/s D.11 m/s
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4.(2023·安徽省十校联盟期中)某快递公司为了提高效率，使用电动传输机输送快件，如图所示，水平传送带AB长度L＝5.25 m，始终保持恒定速度v＝1 m/s运行，在传送带上A处轻轻放置一快件(可视为质点)，快件与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，快件由静止开始加速，与传送带共速后做匀速运动到达B处，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，下列说法正确的是
A.快件所受摩擦力的方向与其运动方向始终相反
B.快件先受滑动摩擦力作用，后受静摩擦力作用
C.快件与传送带的相对位移为0.5 m
D.快件由A到B的时间为5.5 s
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快件加速时，滑动摩擦力方向与运动方向相同，匀速后，与传送带之间无相对运动趋势，不受摩擦力作用，故A、B错误；
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5.(2021·辽宁卷·13)机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率v1＝0.6 m/s运行的传送带与水平面间的夹角α＝37°，转轴间距L＝3.95 m。工作人员沿传送方向以速度v2＝1.6 m/s从传送带顶端推下一件小包裹(可视为质点)。小包裹与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8。取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8。求：
(1)小包裹相对传送带滑动时加速度的大小a；
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答案　0.4 m/s2
小包裹的初速度v2大于传送带的速度v1，所以
开始时小包裹受到的传送带的摩擦力沿传送带
向上，因为小包裹所受滑动摩擦力大于重力沿
传送带方向上的分力，即μmgcos α>mgsin α，
所以小包裹与传送带共速后做匀速直线运动至传送带底端，根据牛顿第二定律可知
μmgcos α－mgsin α＝ma，解得a＝0.4 m/s2
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(2)小包裹通过传送带所需的时间t。
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答案　4.5 s
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在传送带上滑动的距离为
6.(多选)(2024·重庆名校联盟期中)如图甲为一足够长的倾斜传送带，倾角θ＝37°，现以恒定速率v＝4 m/s顺时针转动。一煤块以初速度v0＝12 m/s从A端冲上传送带，煤块的v－t图像如图乙所示，已知煤块与传送带间的动摩擦因数为0.25，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则
A.图乙中t1＝0.75 s
B.图乙中t2＝2 s
C.煤块运动过程中距离A点的最远距离
为10 m
D.煤块在传送带上留下的痕迹长为
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0～t1内，传送带位移大小为x1＝vt1＝
4 m，由图像知煤块位移大小为8 m，煤块比传送带多走Δx1＝4 m，t1～t2内，传送带位移大小为x2＝v(t2－t1)＝4 m，由图像知煤块位移大小为2 m，传送带
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7.(2023·辽宁阜新市联考)如图甲所示，足够长的匀速运动的传送带的倾角为θ，在传送带上某位置轻轻放置一物块，结果物块的速度随时间变化的关系如图乙所示，其中v0、t0已知。重力加速度大小为g。下列说法正确的是
A.物块可能沿传送带向上运动
B.物块与传送带间的动摩擦因数大于tan θ
C.t0时间后物块的加速度大小为2gsin θ－
D.若传送带反转，则物块将一直以大小为gsin θ－ 的加速度做匀加速
直线运动
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v－t图像的斜率表示加速度，根据题图
乙可知，t0时刻之前的加速度大于t0时刻
之后的加速度，可知物块t0时刻之前受
到的滑动摩擦力沿传送带向下，即开始
时物块相对传送带向上运动，传送带逆时针转动，根据题图乙可知，物块始终向下做加速直线运动，A错误；
根据上述，t0时刻之后物块向下做加速度较小的匀加速直线运动，则有mgsin θ>μmgcos θ，解得μ1
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由于mgsin θ>μmgcos θ，若传送带反转，物块始终相对传送带向下运动，摩擦力始终沿传送带向上，对物块始终有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，即若传送带反转，则物块将一直以大小为2gsin θ－ 的加速度做匀加速直线运动，D错误。
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8.(2024·广东深圳市二检)快递物流已经深入我们的生活，准确迅速分拣是一个重要环节，图甲是快递分拣传送装置。它由两台传送机组成，一台水平传送和一台倾斜传送，图乙是该装置示意图，CD部分倾角θ＝37°，B、C间距离忽略不计。已知水平传送带以4 m/s的
速率顺时针转动。把一个可视为质点的货物无初速度放
在A端，图丙为水平传送带AB段数控设备记录的货物的运
动图像，1.3 s时刚好达到B端，且
速率不变滑上C端，已知两段传送
带与货物间的动摩擦因数相同。重
力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。
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(1)水平传送带AB的长度及动摩擦因数；
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答案　3.6 m　0.5
货物在水平传送带上运动时，
根据牛顿第二定律可得μmg＝ma1
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(2)若CD段的长度为2.6 m，则CD部分传送带速度至少为多少，快递员才能在D端取到货物。
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答案　3 m/s
依题意，货物以4 m/s滑上倾斜
传送带CD部分，CD以顺时针
方向转动但速度未知，
第一种情况：若传送带CD部分速度大于货物速度，不符合传送带速度取最小的情况，故舍弃；
第二种情况：若传送带CD部分速度小于货物速度，货物所受摩擦力方向沿传送带向下，则
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，解得a2＝10 m/s2
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故货物先做匀减速直线运动，等到与传送带共速时由于μ解得a3＝2 m/s2
v－t图像如图：
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解得v＝3 m/s，即传送带的速度至少为3 m/s快递员才能在D端取到货物。
9.(2023·湖北武汉市三模)如图所示，生产车间有两个完全相同的水平传送带甲和乙，它们相互垂直且等高，正常工作时都匀速运动，速度大小分别为v甲、v乙，将工件(视为质点)轻放到传送带甲上，工件离开传送带甲前
已经与传送带甲的速度相同，并平稳地传送到传送带乙上，
且不会从传送带乙的右侧掉落。两传送带正常工作时，对其
中一个工件A在传送带乙上留下的痕迹，下图中可能正确的是
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传送带甲、乙正常工作时均做匀速运动，速度大
小分别为v甲、v乙，所以，工件滑上乙时，水平方
向相对传送带乙的速度水平向右，沿传送带乙方
向相对传送带乙的速度与乙的运动方向相反，所
以相对传送带乙的速度为这两个分速度的合速度，方向向右下方，因为合速度方向的反方向为滑动摩擦力方向，力与速度方向相反，工件A做匀减速直线运动，轨迹沿速度方向，故D正确，A、B、C错误。
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返回第4课时　专题强化：“传送带”模型中的动力学问题
目标要求　1.掌握传送带模型的特点，了解传送带问题的分类。2.会对传送带上的物体进行受力分析和运动状态分析，能正确解答传送带上物体的动力学问题。
1．模型特点：物体(视为质点)放在传送带上，由于物体和传送带相对滑动(或有相对运动趋势)而产生摩擦力，根据物体和传送带间的速度关系，摩擦力可能是动力，也可能是阻力。
2．解题关键：抓住v物＝v传的临界点，当v物＝v传时，摩擦力发生突变，物体的加速度发生突变。
3．注意物体位移、相对位移和相对路程的区别
(1)物体位移：以地面为参考系，单独对物体由运动学公式求得的位移。
(2)物体相对传送带的位移大小Δx
①若有一次相对运动：Δx＝x传－x物或Δx＝x物－x传。
②若有两次相对运动：两次相对运动方向相同，则Δx＝Δx1＋Δx2(图甲)；
两次相对运动方向相反，则划痕长度等于较长的相对位移大小Δx2(图乙)。
考点一　水平传送带中的动力学问题
例1　(多选)(2023·广东汕头市期末)如图所示，水平传送带以恒定的速度顺时针转动，在其左侧轻放一小滑块，下列描述小滑块在传送带上运动的v－t(速度—时间)、a－t(加速度—时间)图像可能正确的是(　　)
答案　ABD
解析　若传送带速度较小，滑块可能先在传送带上做匀加速直线运动，加速度不变，与传送带共速后，做匀速直线运动，加速度为零。若传送带速度足够大，滑块可能在传送带上一直做匀加速直线运动，最终还未与传送带共速就已离开传送带，故C错误，A、B、D正确。
例2　(多选)(2024·四川绵阳市零诊)应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为如图所示的模型。传送带始终保持v＝0.4 m/s的恒定速率运行，行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2。旅客把行李(可视为质点)无初速度地放在A处，则下列说法正确的是(　　)
A．开始时行李的加速度大小为2 m/s2
B．行李经过2 s到达B处
C．行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.12 m
D．当行李的速度与传送带的速度相同时，传送带立刻停止运动。整个过程中行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.04 m
答案　AD
解析　开始时行李的加速度大小为a＝＝2 m/s2，A正确；行李与传动带共速时t1＝＝0.2 s，行李的位移为x＝at12＝0.04 m，行李匀速运动的时间为t2＝＝4.9 s，行李到达B处的时间为t＝t1＋t2＝5.1 s，B错误；行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为Δx＝vt1－x＝0.04 m，C错误；共速时传送带立刻停止运动，行李做匀减速运动的位移为x1＝＝0.04 m，两段划痕的长度重合，则摩擦痕迹长度为0.04 m，D正确。
例3　(多选)(2023·天津市芦台一中期末)如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1顺时针运行，初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v－t图像(以地面为参考系)如图乙所示，已知v2>v1，则(　　)
A．t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大
C．0～t2时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
D．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力先向右后向左
答案　BC
解析　相对地面而言，小物块在0～t1时间内，向左做匀减速直线运动，t1之后反向向右运动，故小物块在t1时刻离A处距离最大，A错误；小物块在0～t1时间内，向左做匀减速直线运动，相对传送带向左运动，在t1～t2时间内，反向向右做匀加速直线运动，但速度小于传送带的速度，相对传送带向左运动，t2时刻两者同速，在t2～t3时间内，小物块相对于传送带静止，所以t2时刻小物块相对传送带滑动的距离达到最大值，B正确；0～t2时间内，小物块相对传送带向左运动，始终受到向右的滑动摩擦力，滑动摩擦力的大小和方向都不变，故C正确，D错误。
水平传送带问题的常见情形及运动分析
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长(滑块最终未与传送带相对静止) 传送带足够长
一直加速 先加速后匀速
v0v0>v时，一直减速 v0>v时，先减速再匀速
滑块一直减速到右端 滑块先减速到速度为0，后被传送带传回左端 若v0≤v，则返回到左端时速度为v0；若v0>v，则返回到左端时速度为v
考点二　倾斜传送带中的动力学问题
例4　如图所示，传送带与水平地面的夹角θ＝37°，从A到B的长度为L＝10.25 m，传送带以v0＝10 m/s的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度放一个质量为m＝0.5 kg的黑色煤块(可视为质点)，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知sin 37°＝0.6，g取10 m/s2，求：
(1)当煤块与传送带速度相同时，接下来它们能否相对静止；
(2)煤块从A运动到B的时间；
(3)煤块从A到B的过程中在传送带上留下痕迹的长度。
答案　(1)不能　(2)1.5 s　(3)5 m
解析　(1)由于mgsin 37°>μmgcos 37°，所以煤块与传送带速度相同后，它们不能相对静止。
(2)煤块刚放上时，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度为a1＝g(sin θ＋μcos θ)＝10 m/s2，
煤块加速运动至与传送带速度相同时需要的时间t1＝＝1 s，发生的位移x1＝a1t12＝5 m
煤块速度达到v0后，加速度大小改变，继续沿传送带向下加速运动，则有
a2＝g(sin θ－μcos θ)＝2 m/s2，
x2＝L－x1＝5.25 m，
由x2＝v0t2＋a2t22，
得t2＝0.5 s
故煤块从A运动到B的时间为t＝t1＋t2＝1.5 s。
(3)第一过程痕迹长Δx1＝v0t1－x1＝5 m，
第二过程痕迹长Δx2＝x2－v0t2＝0.25 m，
Δx2与Δx1部分重合，故痕迹总长为5 m。
拓展　若煤块和传送带之间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求煤块从A运动至B的时间。
答案　1.441 s
解析　由于Ff＝μ′FN＝μ′mgcos θ＝mgsin θ
即最大静摩擦力等于煤块重力沿传送带向下的分力，故煤块和传送带达到共速后将做匀速直线运动，所以煤块先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动。a′＝g(sin θ＋μ′cos θ)＝
12 m/s2，
加速时间t1′＝＝ s≈0.833 s，
加速位移x1′＝a′t1′2＝ m，
匀速运动位移x2′＝L－x1′≈6.08 m
匀速运动时间t2′＝＝ s＝0.608 s
总时间t′＝t1′＋t2′＝1.441 s。
例5　(2024·辽宁沈阳市模拟)如图，MN是一段倾角为θ＝30°的传送带，一个可以看作质点、质量为m＝1 kg的物块，以沿传送带向下的速度v0＝4 m/s从M点开始沿传送带运动。物块运动过程的部分v－t图像如图所示，取g＝10 m/s2，则(　　)
A．物块最终从传送带N点离开
B．传送带的速度v＝1 m/s，方向逆时针
C．物块沿传送带下滑时的加速度a＝2 m/s2
D．物块将在5 s时回到原处
答案　D
解析　从图像可知，物块速度减为零后沿传送带反向向上运动，最终的速度大小为1 m/s，因此没从N点离开，可知传送带顺时针运动，速度大小为1 m/s，故A、B错误；v－t图像中斜率表示加速度，可知物块沿传送带下滑时的加速度大小为a＝ m/s2＝2.5 m/s2，故C错误；速度图像与时间轴围成的面积表示位移，由图像可知，t1＝ s时，物块的速度为0，之后物块沿传送带向上运动，所以物块沿传送带向下运动的位移x1＝×4× m＝ m，t1＝ s到t2＝2 s，物块沿传送带向上加速运动的位移x2＝×1 m＝ m，物块沿传送带向上匀速运动的时间t匀＝＝3 s，所以物块回到原处的时间t＝3 s＋2 s＝5 s，故D正确。
倾斜传送带问题的常见情形及运动分析
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长 传送带足够长
一直加速(一定满足关系μ>tan θ) 先加速后匀速(一定满足关系μ>tan θ)
一直加速(加速度为gsin θ＋μgcos θ) 若μ≥tan θ，先加速后匀速
若μv0v0>v时，若μtan θ，一直减速， 加速度大小为μgcos θ－ gsin θ；若μ＝tan θ，一直匀速 v0>v时，若μ>tan θ，先减速后匀速；若μ(摩擦力方向一定沿传送带向上) μμ>tan θ，一直减速 μ>tan θ，先减速到速度为0后反向加速，若v0≤v，运动到原位置时速度大小为v0；若v0>v，运动到原位置时速度大小为v
课时精练
1.(2023·江苏扬州市高邮中学期中)如图所示，飞机场运输行李的倾斜传送带保持恒定的速率运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，当传送带将它送入飞机货舱前行李箱已做匀速运动。假设行李箱与传送带之间的动摩擦因数为μ，传送带与水平面的夹角为θ，已知滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．要实现这一目的前提是μB．做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力为零
C．全过程传送带对行李箱的摩擦力方向沿传送带向上
D．若使传送带速度足够大，可以无限缩短传送的时间
答案　C
解析　要实现这一目的前提是沿传送带向上的最大静摩擦力大于重力沿传送带向下的分力，即μmgcos θ>mgsin θ，可得μ>tan θ，故A错误；做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力大小为mgsin θ，故B错误；行李箱在加速阶段和匀速阶段受到的摩擦力方向均沿传送带向上，故C正确；若使传送带速度足够大，行李箱在传送带上一直做匀加速运动，传送时间不会无限缩短，故D错误。
2．(2023·广东惠州市调研)如图甲所示，将一物块P轻轻放在足够长的水平传送带上，取向右为速度的正方向，物块P最初一段时间的速度—时间图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．物块一直受滑动摩擦力
B．传送带做顺时针的匀速运动
C．传送带做顺时针的匀加速运动
D．物块最终有可能从图甲的左端滑下传送带
答案　C
解析　由题图乙可知，物块先做匀加速运动，当与传送带共速后，与传送带一起做顺时针的匀加速运动，故B错误，C正确；当物块与传送带一起顺时针加速后，物块受静摩擦力，物块不可能从题图甲的左端滑下传送带，故A、D错误。
3.(多选)(2023·四川省资中县第二中学检测)如图所示，由于运力增加，某机场欲让货物尽快通过传送带。已知传送带两轴心间距为5 m，传送带顺时针匀速传动，其速度的大小可以由驱动系统根据需要设定，一可视为质点的货物以7 m/s初速度从左端滑上传送带，已知货物与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.4，取g＝10 m/s2，则下列传送带的速度符合要求的是(　　)
A．8 m/s B．9 m/s C．10 m/s D．11 m/s
答案　CD
解析　根据题意可知，欲让货物尽快通过传送带，则需让货物在传送带上一直做匀加速运动，设货物通过传送带后的速度为v，由牛顿第二定律有ma＝μmg，由运动学公式有v2－v02＝2ax，解得v＝ m/s≈9.4 m/s，即符合要求的传送带速度为v1≥ m/s≈9.4 m/s，故选C、D。
4.(2023·安徽省十校联盟期中)某快递公司为了提高效率，使用电动传输机输送快件，如图所示，水平传送带AB长度L＝5.25 m，始终保持恒定速度v＝1 m/s运行，在传送带上A处轻轻放置一快件(可视为质点)，快件与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，快件由静止开始加速，与传送带共速后做匀速运动到达B处，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．快件所受摩擦力的方向与其运动方向始终相反
B．快件先受滑动摩擦力作用，后受静摩擦力作用
C．快件与传送带的相对位移为0.5 m
D．快件由A到B的时间为5.5 s
答案　D
解析　快件加速时，滑动摩擦力方向与运动方向相同，匀速后，与传送带之间无相对运动趋势，不受摩擦力作用，故A、B错误；快件与传送带相对运动时，由牛顿第二定律得其加速度大小为a＝＝μg＝2 m/s2，快件由静止开始加速至速率为v的过程所用时间为t＝＝0.5 s，与传送带的相对位移为Δx＝vt－t＝0.25 m，故C错误；快件匀速运动的时间为t′＝＝5 s，所以快件运输总时间为t总＝t＋t′＝5.5 s，故D正确。
5.(2021·辽宁卷·13)机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率v1＝0.6 m/s运行的传送带与水平面间的夹角α＝37°，转轴间距L＝3.95 m。工作人员沿传送方向以速度v2＝1.6 m/s从传送带顶端推下一件小包裹(可视为质点)。小包裹与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8。取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)小包裹相对传送带滑动时加速度的大小a；
(2)小包裹通过传送带所需的时间t。
答案　(1)0.4 m/s2　(2)4.5 s
解析　(1)小包裹的初速度v2大于传送带的速度v1，所以开始时小包裹受到的传送带的摩擦力沿传送带向上，因为小包裹所受滑动摩擦力大于重力沿传送带方向上的分力，即μmgcos α>mgsin α，所以小包裹与传送带共速后做匀速直线运动至传送带底端，根据牛顿第二定律可知
μmgcos α－mgsin α＝ma，解得a＝0.4 m/s2
(2)根据(1)可知小包裹开始阶段在传送带上做匀减速直线运动，用时t1＝＝ s＝2.5 s
在传送带上滑动的距离为
x1＝t1＝×2.5 m＝2.75 m
共速后，匀速运动的时间为t2＝＝ s＝2 s，所以小包裹通过传送带所需的时间为t＝t1＋t2＝4.5 s。
6．(多选)(2024·重庆名校联盟期中)如图甲为一足够长的倾斜传送带，倾角θ＝37°，现以恒定速率v＝4 m/s顺时针转动。一煤块以初速度v0＝12 m/s从A端冲上传送带，煤块的v－t图像如图乙所示，已知煤块与传送带间的动摩擦因数为0.25，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
A．图乙中t1＝0.75 s
B．图乙中t2＝2 s
C．煤块运动过程中距离A点的最远距离为10 m
D．煤块在传送带上留下的痕迹长为(12＋4) m
答案　BCD
解析　0～t1内，根据牛顿第二定律得mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1，解得煤块的加速度大小为a1＝8 m/s2，所以t1＝＝ s＝1 s，故A错误；t1～t2内，根据牛顿第二定律得煤块运动的加速度大小为a2＝gsin θ－μgcos θ＝4 m/s2，所以t2＝＋t1＝2 s，故B正确；由图像知，在0～t2内，煤块向上运动的位移为x＝×(12＋4)×1 m＋×4×1 m＝10 m，故C正确；0～t1内，传送带位移大小为x1＝vt1＝4 m，由图像知煤块位移大小为8 m，煤块比传送带多走Δx1＝4 m，t1～t2内，传送带位移大小为x2＝v(t2－t1)＝4 m，由图像知煤块位移大小为2 m，传送带比煤块多走Δx2＝2 m，故煤块向上运动时划痕是4 m；当煤块下滑时，有x＝a2t32，解得t3＝ s，传送带向上运动的位移为x3＝vt3＝4 m，故划痕总长为Δx＝4 m－2 m＋10 m＋4 m＝(12＋4) m，故D正确。
7．(2023·辽宁阜新市联考)如图甲所示，足够长的匀速运动的传送带的倾角为θ，在传送带上某位置轻轻放置一物块，结果物块的速度随时间变化的关系如图乙所示，其中v0、t0已知。重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．物块可能沿传送带向上运动
B．物块与传送带间的动摩擦因数大于tan θ
C．t0时间后物块的加速度大小为2gsin θ－
D．若传送带反转，则物块将一直以大小为gsin θ－的加速度做匀加速直线运动
答案　C
解析　v－t图像的斜率表示加速度，根据题图乙可知，t0时刻之前的加速度大于t0时刻之后的加速度，可知物块t0时刻之前受到的滑动摩擦力沿传送带向下，即开始时物块相对传送带向上运动，传送带逆时针转动，根据题图乙可知，物块始终向下做加速直线运动，A错误；根据上述，t0时刻之后物块向下做加速度较小的匀加速直线运动，则有mgsin θ>μmgcos θ，解得μμmgcos θ，若传送带反转，物块始终相对传送带向下运动，摩擦力始终沿传送带向上，对物块始终有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，即若传送带反转，则物块将一直以大小为2gsin θ－的加速度做匀加速直线运动，D错误。
8．(2024·广东深圳市二检)快递物流已经深入我们的生活，准确迅速分拣是一个重要环节，图甲是快递分拣传送装置。它由两台传送机组成，一台水平传送和一台倾斜传送，图乙是该装置示意图，CD部分倾角θ＝37°，B、C间距离忽略不计。已知水平传送带以4 m/s的速率顺时针转动。把一个可视为质点的货物无初速度放在A端，图丙为水平传送带AB段数控设备记录的货物的运动图像，1.3 s时刚好达到B端，且速率不变滑上C端，已知两段传送带与货物间的动摩擦因数相同。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
(1)水平传送带AB的长度及动摩擦因数；
(2)若CD段的长度为2.6 m，则CD部分传送带速度至少为多少，快递员才能在D端取到货物。
答案　(1)3.6 m　0.5　(2)3 m/s
解析　(1)由v－t图像可知，传送带AB段的长度为LAB＝(0.5＋1.3)×4 m＝3.6 m
货物在水平传送带上运动时，
根据牛顿第二定律可得μmg＝ma1
由题图丙可知在传送带AB上的加速过程加速度为a1＝ m/s2＝5 m/s2，则μ＝0.5
(2)依题意，货物以4 m/s滑上倾斜传送带CD部分，CD以顺时针方向转动但速度未知，
第一种情况：若传送带CD部分速度大于货物速度，不符合传送带速度取最小的情况，故舍弃；
第二种情况：若传送带CD部分速度小于货物速度，货物所受摩擦力方向沿传送带向下，则
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，解得a2＝10 m/s2
故货物先做匀减速直线运动，等到与传送带共速时由于μ解得a3＝2 m/s2
v－t图像如图：
则有x1＝，
x2＝，LCD＝x1＋x2，
解得v＝3 m/s，即传送带的速度至少为3 m/s快递员才能在D端取到货物。
9．(2023·湖北武汉市三模)如图所示，生产车间有两个完全相同的水平传送带甲和乙，它们相互垂直且等高，正常工作时都匀速运动，速度大小分别为v甲、v乙，将工件(视为质点)轻放到传送带甲上，工件离开传送带甲前已经与传送带甲的速度相同，并平稳地传送到传送带乙上，且不会从传送带乙的右侧掉落。两传送带正常工作时，对其中一个工件A在传送带乙上留下的痕迹，下图中可能正确的是(　　)
答案　D
解析　传送带甲、乙正常工作时均做匀速运动，速度大小分别为v甲、v乙，所以，工件滑上乙时，水平方向相对传送带乙的速度水平向右，沿传送带乙方向相对传送带乙的速度与乙的运动方向相反，所以相对传送带乙的速度为这两个分速度的合速度，方向向右下方，因为合速度方向的反方向为滑动摩擦力方向，力与速度方向相反，工件A做匀减速直线运动，轨迹沿速度方向，故D正确，A、B、C错误。第4课时　专题强化：“传送带”模型中的动力学问题
目标要求　1.掌握传送带模型的特点，了解传送带问题的分类。2.会对传送带上的物体进行受力分析和运动状态分析，能正确解答传送带上物体的动力学问题。
1．模型特点：物体(视为质点)放在传送带上，由于物体和传送带相对滑动(或有相对运动趋势)而产生摩擦力，根据物体和传送带间的速度关系，摩擦力可能是动力，也可能是阻力。
2．解题关键：抓住v物＝v传的临界点，当v物＝v传时，摩擦力发生突变，物体的加速度发生突变。
3．注意物体位移、相对位移和相对路程的区别
(1)物体位移：以地面为参考系，单独对物体由运动学公式求得的位移。
(2)物体相对传送带的位移大小Δx
①若有一次相对运动：Δx＝x传－x物或Δx＝x物－x传。
②若有两次相对运动：两次相对运动方向相同，则Δx＝Δx1＋Δx2(图甲)；
两次相对运动方向相反，则划痕长度等于较长的相对位移大小Δx2(图乙)。
考点一　水平传送带中的动力学问题
例1　(多选)(2022·广东汕头市期末)如图所示，水平传送带以恒定的速度顺时针转动，在其左侧轻放一小滑块，下列描述小滑块在传送带上运动的v－t(速度—时间)、a－t(加速度—时间)图像可能正确的是(　　)
例2　(多选)(2024·四川绵阳市零诊)应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为如图所示的模型。传送带始终保持v＝0.4 m/s的恒定速率运行，行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2。旅客把行李(可视为质点)无初速度地放在A处，则下列说法正确的是(　　)
A．开始时行李的加速度大小为2 m/s2
B．行李经过2 s到达B处
C．行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.12 m
D．当行李的速度与传送带的速度相同时，传送带立刻停止运动。整个过程中行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.04 m
例3　(多选)(2023·天津市芦台一中期末)如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1顺时针运行，初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v－t图像(以地面为参考系)如图乙所示，已知v2>v1，则(　　)
A．t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大
C．0～t2时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
D．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力先向右后向左
水平传送带问题的常见情形及运动分析
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长(滑块最终未与传送带相对静止) 传送带足够长
一直加速 先加速后匀速
v0v0>v时，一直减速 v0>v时，先减速再匀速
滑块一直减速到右端 滑块先减速到速度为0，后被传送带传回左端 若v0≤v，则返回到左端时速度为v0；若v0>v，则返回到左端时速度为v
考点二　倾斜传送带中的动力学问题
例4　如图所示，传送带与水平地面的夹角θ＝37°，从A到B的长度为L＝10.25 m，传送带以v0＝10 m/s的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度放一个质量为m＝0.5 kg的黑色煤块(可视为质点)，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知sin 37°＝0.6，g取10 m/s2，求：
(1)当煤块与传送带速度相同时，接下来它们能否相对静止；
(2)煤块从A运动到B的时间；
(3)煤块从A到B的过程中在传送带上留下痕迹的长度。
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拓展　若煤块和传送带之间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求煤块从A运动至B的时间。
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例5　(2024·辽宁沈阳市模拟)如图，MN是一段倾角为θ＝30°的传送带，一个可以看作质点、质量为m＝1 kg的物块，以沿传送带向下的速度v0＝4 m/s从M点开始沿传送带运动。物块运动过程的部分v－t图像如图所示，取g＝10 m/s2，则(　　)
A．物块最终从传送带N点离开
B．传送带的速度v＝1 m/s，方向逆时针
C．物块沿传送带下滑时的加速度a＝2 m/s2
D．物块将在5 s时回到原处
倾斜传送带问题的常见情形及运动分析
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长 传送带足够长
一直加速(一定满足关系μ>tan θ) 先加速后匀速(一定满足关系μ>tan θ)
一直加速(加速度为gsin θ＋μgcos θ) 若μ≥tan θ，先加速后匀速
若μv0v0>v时，若μtan θ，一直减速，加速度大小为μgcos θ－gsin θ；若μ＝tan θ，一直匀速 v0>v时，若μ>tan θ，先减速后匀速；若μ(摩擦力方向一定沿传送带向上) μμ>tan θ，一直减速 μ>tan θ，先减速到速度为0后反向加速，若v0≤v，运动到原位置时速度大小为v0；若v0>v，运动到原位置时速度大小为v

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