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2023-2024学年河北省石家庄外国语教育集团七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（1-10题每题3分，11-16题每题2分，共42分）
1．（3分）计算a a2的结果是（　　）
A．a3 B．a2 C．3a D．2a2
2．（3分）如图，在点A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边，沿AB的路径走才能使所走的路程最少，其依据是（　　）
A．经过一点有无数条直线
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
3．（3分）代入法解方程组时，代入正确的是（　　）
A．y﹣2y+1＝4 B．3y﹣1﹣2y＝4
C．y﹣2（3y﹣1）＝4 D．2y﹣1﹣3y＝4
4．（3分）如图，△ABD与△ADC的面积相等，线段AD应该是△ABC的（　　）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．不能确定
5．（3分）把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a为（　　）
A．1 B．﹣2 C．0.813 D．8.13
6．（3分）如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，∠BAC＝90°，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．45° C．65° D．75°
7．（3分）如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
8．（3分）若使用如图所示的a，b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（　　）
A．a，b都可以 B．a，b都不可以
C．只有a可以 D．只有b可以
9．（3分）下列运算中，结果正确的是（　　）
A．x4÷x3＝x B．2m×3n＝6m+n
C．（a2）3＝a9 D．（﹣a）2＝﹣a2
10．（3分）二元一次方程3x+y＝10的正整数解共有（　　）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2分）《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宜半的角叫做欘…”．即：1宣＝矩，1欘＝宣（其中，1矩＝90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
12．（2分）观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别是（　　）
A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，4
13．（2分）某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（　　）
甲解：设A印刷机印制了xh，B印刷机印制了yh．由题意，得 乙解：设A印刷机印制了m份，B印刷机印制了n份．由题意，得
A．只有甲列的方程组正确
B．只有乙列的方程组正确
C．甲和乙列的方程组都正确
D．甲和乙列的方程组都不正确
14．（2分）如图，四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　　）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．如图4，展开后测得∠1+∠2＝180°
15．（2分）下列命题中为真命题的个数是（　　）
①对顶角相等；②内错角相等；③平行线间距离处处相等；④三角形按边分类，可以分为等腰三角形，等边三角形和不等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：x+y的值为定值；
结论Ⅲ：若y＝3，则xm﹣2n＝1．
A．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅰ错，Ⅱ，Ⅲ对 D．只有Ⅰ对
二、填空题（17-18题每题3分，20题4分，共13分）
17．（3分）＝　 　．
18．（3分）“x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为 　 　．
19．（4分）已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为12，则a2+b2的值为 　 　．
20．（3分）边长为4的等边△ABC与等边△DEF互相重合，将△DEF沿直线l向右平移m个单位长度，在整个平移过程中：
①当m＝3时，则BF＝　 　．
②若C、E是线段BF的三等分点时，m＝　 　．
三、解答题（本大题7个小题，共65分）
21．（16分）计算：
（1）（﹣x+1）2；
（2）x（1+3x）﹣2x x；
（3）97×103（用乘法公式简便运算）；
（4）2﹣1+0.252023×（﹣4）2024．
22．（5分）如图，在8×9的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点在网格的格点上（小正方形的顶点即为格点），借助网格完成以下任务：
（1）①在图中画出△ABC的高线AD；
②直接写出△ABC的面积．
（2）将△ABC向上平移2格，在图中画出平移后的△A′B′C′，并标出点A、B、C的对应点A′、B′、C′．
23．（8分）解方程（组）：
（1）；
（2）（x+2）（5﹣x）＝（1﹣x）（1+x）+12．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ECB＝30°，BD是角平分线，CE是高，BD与CE相交于点O，DF∥EC，求∠BDF的度数．
解：∵CE是高（已知），
∴∠BEC＝　 　（三角形高的定义），
在△EBC中，
∠EBC＝180°﹣∠CEB﹣∠BCE＝　 　°（ 　 　），
∵BD是角平分线，
∴∠EBO＝∠　 　＝　 　（角平分线定义），
∵∠BOC是△EBO的外角，
∴∠BOC＝∠EBO+∠　 　＝　 　°，
∵DF∥EC（已知），
∴∠BDF＝∠　 　＝　 　°（ 　 　）．
25．（8分）甲、乙两个长方形，其边长如图所示（m＞0），其面积分别为S1，S2．
（1）用含m的代数式表示：S1＝　 　，S2＝　 　；（结果化为最简）
（2）用“＜”“＞”或“＝”填空：S1　 　S2；
（3）①求甲、乙两个长方形的周长之和；②若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，正方形的面积为S3，若m＝﹣1，求S3﹣S2的值．
26．（8分）某校七年级（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品经与店家沟通交流，小文获知了如表信息：
数量方式 购买笔的数量（本） 大本子的数量（本） 小本子的数量（本） 所剩的钱数（元）
方式一 36 0 0 2
方式二 38 0 0 ﹣9**
方式三 0 12 8 0
方式四 0 10 10 10
**注意是负数!
（1）求小文所带班费的数量；
（2）求大、小本子每本的售价；
（3）起初，小文原计划购买上述三种文具各6个作为奖品，但店家对小文推销说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大小本子各10本，付钱时，店家说：“你很有经济头脑，我现在的利润只比刚才的利润多10元，但你却多买了很多东西”，根据以上信息求出小文实际购买文具的成本．（已知一支笔的成本为4元）
27．（10分）如图1，在锐角AOB的两边OA、OB上分别有一点M和点N，过点M的直线MH，过点N的直线NG．
（1）当∠O＝50°
①如图2，若MH∥OB，NG∥OA，求∠1的度数；
②直线MH在图2的位置开始绕点M顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），与OB交于点K，当△MOK为直角三角形时，直接写出α的度数．
（2）如图3，当直线NG恰好过点M，此时MH平分∠AMN，∠O＝∠MNO，判断MH与OB的位置关系，并说明理由．
（3）若MH∥OB，直线NG与射线OA交于点D，∠AMH的角平分线与∠BND的角平分线交于点E，∠MDN＝m°，∠MEN＝n°，直接写出m，n的关系式．
2023-2024学年河北省石家庄外国语教育集团七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（1-10题每题3分，11-16题每题2分，共42分）
1．【解答】解：a a2＝a3，
故选：A．
2．【解答】解：在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是垂线段最短．
故选：B．
3．【解答】解：，
将①代入②得：3y﹣1﹣2y＝4．
故选：B．
4．【解答】解：∵△ABD与△ADC的面积相等，
∴线段AD应该是△ABC的中线，
故选：B．
5．【解答】解：把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a为8.13，
故选：D．
6．【解答】解：∵a∥b，
∴∠ABC＝∠1，
∵∠1＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠ABC＝90°﹣25°＝65°，
故选：C．
7．【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
8．【解答】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为5cm和4cm的细木条做一个三角形的框架，可以把5cm的细木条分为两截．
理由：5＞4，满足两边之和大于第三边．
故选：C．
9．【解答】解：A、x4÷x3＝x，故选项A符合题意；
B、2m×3n＝6mn，故选项B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故选项C不符合题意；
D、（﹣a）2＝a2，故选项D不符合题意；
故选：A．
10．【解答】解：当x＝1时，y＝10﹣3×1＝10﹣3＝7，
当x＝2时，y＝10﹣3×2＝10﹣6＝4，
当x＝3时，y＝10﹣3×3＝10﹣9＝1，
当x＝4时，y＝10﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，
当x＝5时，y＝10﹣3×5＝10﹣15＝﹣5，
…，
∴二元一次方程3x+y＝10的正整数解有：，共3组，
故选：C．
11．【解答】解：∵1宣＝矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，
∴∠A＝90°，∠B＝1××90°＝67.5°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
12．【解答】解：根据题意，知：a+b＝﹣7，ab＝12，
∴a，b的值可能分别是﹣3，﹣4，
故选：A．
13．【解答】解：设A印刷机印制了xh，B印刷机印制了yh，
∵两台印刷机完成该任务共需6h，
∴x+y＝6，
∵总共印制1000份，
∴150x+200y＝1000，
∴，
设A印刷机印制了m份，B印刷机印制了n份，
∵总共印制1000份，
∴m+n＝1000，
∵A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h，
∴A印刷机印制小时，B印刷机印制小时，
∴，
∴，
故选：C．
14．【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项不符合题意；
B、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∴a∥b，故此选项不符合题意；
C、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，故此选项符合题意；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b，故此选项不符合题意；
故选：C．
15．【解答】解：①对顶角相等是真命题；
②两条直线平行，内错角相等，所以只说内错角相等错误，不是真命题；
③平行线间距离处处相等是真命题；
④三角形按边分类，可以分为等腰三角形和不等边三角形，不是真命题；
∴真命题的个数是2个，
故选：B．
16．【解答】解：由题意可知：x+2y＝m，2y+3x＝n，m+n＝8，
∴x+2y+2y+3x＝m+n＝8，
4x+4y＝m+n＝8，
∴x+y＝2，
∴结论Ⅱ正确
∵当n＝5时，m＝8﹣5＝3，
∴，
②﹣①得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝1，
∴结论Ⅰ正确；
∵x+y＝2，
∴当y＝3时，x＝2﹣3＝﹣1，
∴m＝﹣1+2×3＝﹣1+6＝5，
n＝2×3+3×（﹣1）＝6﹣3＝3，
∴xm﹣2n
＝（﹣1）5﹣2×3
＝（﹣1）﹣1
＝﹣1，
∴结论Ⅲ错误，
综上可知：Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错，
故选：B．
二、填空题（17-18题每题3分，20题4分，共13分）
17．【解答】解：（）0＝1．
故答案为：1．
18．【解答】解：根据题意，可列不等式为：2x+y＞0，
故答案为：2x+y＞0．
19．【解答】解：根据题意得：ab＝6，2（a+b）＝12，
∴a+b＝6，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝24．
故选答案为：24．
20．【解答】解：①当m＝3时，如图1所示：
由平移的性质得：BE＝m＝3，EF＝4，
∴BF＝BE+EF＝7，
故答案为：7．
②若C、E是线段BF的三等分点，有以下两种情况：
（1）当点E在点C的左侧时，如图2所示：
∵C、E是线段BF的三等分点，
∴BE＝EC＝CF，
由平移的性质得：BE＝m，EF＝BC＝4，
∴EF＝EC+CF＝2m＝4，
解得：m＝2；
（2）当点E在点C的右侧时，如图3所示：
∵C、E是线段BF的三等分点，
∴BC＝CE＝EF＝4，
由平移的性质得：BE＝m，
∴m＝BC+CE＝8．
综上所述：m＝2或8．
故答案为：2或8．
三、解答题（本大题7个小题，共65分）
21．【解答】解：（1）原式＝x2﹣2x+1；
（2）原式＝x+3x2﹣2x2＝x+x2；
（3）原式＝（100﹣3）（100+3）＝1002﹣32＝9991；
（4）原式＝+[（0.25×（﹣4）]2023×（﹣4）
＝+8
＝8．
22．【解答】解：（1）①如图，AD即为所求．
②△ABC的面积为4×4＝8．
（2）如图，△A′B′C′即为所求．
23．【解答】解：（1），
①﹣②得，3y＝6，
解得：y＝2，
将y＝2代入①得，x+2＝10，
解得：x＝8，
∴原方程组的解为；
（2）去分母得，5x﹣x2+10﹣2x＝1﹣x2+12，
移项得，5x﹣2x﹣x2+x2＝1+12﹣10，
合并同类项得，3x＝3，
解得：x＝1．
24．【解答】解：∵CE是高（已知），
∴∠BEC＝90°（三角形高的定义），
在△EBC中，
∠EBC＝180°﹣∠CEB﹣∠BCE＝60°（三角形的内角和定理），
∵BD是角平分线，
∴∠EBO＝∠EBC＝30°（角平分线定义），
∵∠BOC是△EBO的外角，
∴∠BOC＝∠EBO+∠BEC＝120°，
∵DF∥EC（已知），
∴∠BDF＝∠BOC＝120°（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：90°；60；三角形的内角和定理；EBC；30°；BEC；120；BOC；120；两直线平行，同位角相等．
25．【解答】解：（1）S1＝（m+3）m＝m2+3m，S2＝（m+2）（m+1）＝m2+3m+2．
故答案为：m2+3m，m2+3m+2．
（2）S1﹣S2＝m2+3m﹣（m2+3m+2）＝﹣2，
∵S1﹣S2＜0，
∴S1＜S2．
故答案为：＜．
（3）①2（m+3+m）+2（m+2+m+1）
＝2（2m+3）+2（2m+3）
＝4（2m+3）
＝8m+12，
∴甲、乙两个长方形的周长之和为（8m+12）．
②这个正方形的边长为＝2m+3，则S3＝（2m+3）2＝4m2+12m+9，
∵m＝﹣1，
∴S3﹣S2
＝4m2+12m+9﹣（m2+3m+2）
＝3m2+9m+7
＝3﹣9+7
＝1．
26．【解答】解：（1）[2﹣（﹣9）]÷（38﹣36）＝5.5（元），
36×5.5+2＝200（元），
答：小文所带班费为200元；
（2）设大本子和小本子的价格分别为x，y，
，
解得，
答：大本子和小本子的价格分别为12元和7元；
（3）设大本子、小本子的成本分别为m，n，
（5.5﹣4）×4+（0.9×12﹣m）×10+（0.9×7﹣n）×10﹣[（5.5﹣4）×6+（12﹣m）×6+（7﹣n）×6]＝10，
解得：m+n＝11，
4×4+11×10＝126（元），
答：小文实际购买文具的成本为126元．
27．【解答】解：（1）①∵MH∥OB，
∴∠O＝180°﹣∠OMH，
∵NG∥OA，
∴∠1＝180°﹣∠OMH，
∴∠1＝∠O＝50°．
②∵MH||OB，∠O＝50°，
∴∠OMH＝180°﹣50°＝130°，
当MK∥OA时，
∴a＝∠HMK＝130°﹣90°＝40°；
当MK∥OB时，
∴∠OMK＝90°﹣∠O＝40°，a＝∠HMK＝130°﹣40°＝90°．
综上，a的度数为40°或90°．
（2）MH∥OB，理由如下：
∵∠O＝∠MNO，
∴∠AMN＝∠O+∠MNO＝2∠O，
∵MH平分∠AMN，
∴∠AMH＝∠AMN＝∠O，
∴MH∥OB．
（3）当射线NG与射线OA交于点D，如图4，
∠GNM＝∠O+m，
∵NE平分BND，
∴∠GNE＝（∠O+m），
∵MH∥OB，ME平分∠AMH，
∴∠AME＝∠O，
∵∠MDN+∠AME＝∠GNE+∠MEN，
∴m+O＝（∠O+m）+n，
解得n＝m；
当直线GN与射线OA交于点D，如图，
∠MFN＝∠DMF+∠MDN＝∠O+m，∠DNB＝∠O+∠MDN＝∠O+m，
∠BNG＝180°﹣∠DNB＝180°﹣（∠O+m），
∴∠ENF＝∠BNG＝90°﹣（∠O+m），
∴∠MEN＝∠ENF+∠MFN＝90°﹣（∠O+m）+O+m，
∴n＝90°+m，
综上n＝m或n＝90°+m．

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