资源简介

沈阳市第一三四中学教育集团2023-2024学年度下学期
七年级数学期中限时作业
（本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 市面上的奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg，将数据0.000085用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
2. 如图，和是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（　　）
A. B.
C. D.
5. 某种蔬菜的价格随季节变化如表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
价格（元/千克）
根据表中信息，下列结论错误的是（ ）
A. x是自变最，y是因变量 B. 2月份这种蔬菜价格最高，为元/千克
C. 月份这种蔬菜价格一直在下降 D. 月份这种蔬菜价格一直在上升
6. 作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
7. 图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度随时间变化的关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于，下面说法正确的是（ ）
①的面积的面积；②；③；④．
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 三角形的面积是，底边上的高线为，那么底边的长是__________．
12. 过直线外一点作已知直线的平行线的方法如图所示，其依据是___________．
13. 某公司制作毕业纪念册的收费如下，设计费与加工费共300元，另外每册收取材料费4元，则总收费y（元）与制作纪念册的册数x（册）之间的关系式为__________．
14. 在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________．
15. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，交于G．再将沿翻折得到，若点H恰好落在线段上，则__________．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：
（2）用乘法公式计算
①
②
17. 先化简，再求值：[(2x＋y)2－y(y＋4x)－8xy]÷(2x)，其中x＝2，y＝－1．
18. 尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：已知线段a，b和
求作：使，，
19. 如图，已知，．
（1）求证：．请将下面证明过程补充完整：
证明：∵（已知）
∴（①____________）
又∵（已知）
∴②_____________（③____________）
∴（④_____________）
∴（两直线平行；同位角相等）
（2）若平分，于点E，，求的度数．
20. 已知：如图，相交于点．
求证：
21. 【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看做由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和也为大正方形的面积，即可得到一个乘法公式___________．
（2）思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形．
①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程；
②问题解决：如图3，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并求出最短距离．
22. 下面是某项目化学小小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题；
【项目主题】品味经典，感悟数学
【童话故事】“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉；兔子和乌龟同时从起点出发，比赛跑步．领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，就在路边的小树下睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，最终乌龟先到达终点．
【分组探究】我们假设乌龟和兔子的速度及赛场均保持不变．第一小组经探讨研究用图1刻画了“龟兔赛跑”的故事，其中x（分）表示乌龟从起点出发所行的时间，（米）表示兔子所行的路程，（米）表示乌龟所行的路程．
问题1：分别求乌龟和兔子的速度．
问题2：乌龟是在何时超过的兔子？
第二小组对童话故事进行了改编；
兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟先跑30分钟．它才开始追赶．
问题3：请在图2中画出兔子所行的路程与x之间的图象，并直接判断谁先到达终点．
第三小组也对童话故事进行了改编：
兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，它们同时出发．
问题4：请在图3中画出兔子所行的路程与和乌龟所行路程与x之间的图象，并直接判断谁先到达终点．
（仿照图1完成图2和图3，要求标注出关键点对应横轴与纵轴的位置及数量）
23. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：
如图1：在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
问题初探】：
第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长至E．使得，连接．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，集中到中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围，
第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到，同样就把线段，，集中到中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围．
（1）请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程
【方法感悟】
当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题
【类比分析】
（2）如图4：在中，，，是的中线，，且．求的长度．
【思维拓展】
（3）如图5：在中，于点F在右侧作，且，在的左侧作，且，连接，延长交于点O，证明O为中点．沈阳市第一三四中学教育集团2023-2024学年度下学期
七年级数学期中限时作业
（本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 市面上的奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg，将数据0.000085用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用科学记数法概念及一般形式（为整数）求解即可．
【详解】解：将数据0.000085用科学记数法表示为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是：掌握科学记数法的一般形式（为整数），根据题意确定即可．
2. 如图，和是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【详解】解：选项A中，∠1和∠2不是同位角；
选项B中，∠1和∠2不是同位角；
选项C中，∠1和∠2不是同位角；
选项D中，∠1和∠2是同位角；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同位角的概念，解题时注意：同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
3. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则，合并同类项法则，幂的乘方，乘法公式一一判断即可；
【详解】A选项（a3）2=a6，：错误．
B选项：（a-b）2=a2-2ab+b2，错误．
C选项：正确．
D选项： a2+a2=2a2，错误．
故选C．
【点睛】考查同底数幂的乘法、除法法则，合并同类项法则，幂的乘方，乘法公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
4. 在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．根据三角形的高的概念判断．
【详解】解：边上的高就是过顶点B作垂线垂直，交的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故选：C．
5. 某种蔬菜的价格随季节变化如表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
价格（元/千克）
根据表中信息，下列结论错误的是（ ）
A. x是自变最，y是因变量 B. 2月份这种蔬菜价格最高，为元/千克
C. 月份这种蔬菜价格一直在下降 D. 月份这种蔬菜价格一直在上升
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，由表中数据逐一判断即可求解，能准确从表中获取相关信息是解题的关键．
【详解】解：A、由表得：x是自变最，y是因变量，则正确，故不符合题意；
B、由表得：2月份这种蔬菜价格最高，为元/千克，则正确，故不符合题意；
C、由表得：2～8月份这种蔬菜价格一直在下降，则正确，故不符合题意；
D、由表得：11月份蔬菜的价格下降，则错误，故不符合题意；
故选D．
6. 作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
【答案】A
【解析】
【分析】根据三条边对应相等的两个三角形全等，即可判断；
【详解】解：由图可知：OC′=OC，OD′=OD，C′D′=CD，
∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），
故选：A；
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定（SSS）；熟记判定方法是解题关键．
7. 图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，过点作，利用平行线的性质得，，再根据即可求解，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键．
【详解】解：过点作，如图：
，，
，
，
，
，，
，，
，
故选B．
8. 夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度随时间变化的关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据物理常识，杯中水的温度的降低先快后慢，且最后会稳定在室温附近，不是直线下降的．
【详解】解：根据题意：杯中水的温度T（℃）随时间t变化的关系为逐渐降低，且降低的速度越来越慢，
故选C．
【点睛】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
9. 如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判断和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
利用角角边定理证明，然后结合全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：由题意可得
在与中
故选：D．
10. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于，下面说法正确的是（ ）
①的面积的面积；②；③；④．
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【详解】是中线，
，
的面积的面积等底等高的三角形的面积相等，故正确；
是角平分线，
，
为高，
，
，
，，
，
，，
，故正确；
为高，
，
，
，，
，
是的平分线，
，
，
即，故正确；
根据已知条件不能推出，即不能推出，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 三角形的面积是，底边上的高线为，那么底边的长是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的除法，三角形的面积，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键．
根据三角形面积公式列出式子，然后根据整式的除法运算法则计算即可．
【详解】解：三角形底边的长是：
，
故答案：．
12. 过直线外一点作已知直线平行线的方法如图所示，其依据是___________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了作平行线，平行线的判定．
利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行．
【详解】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
13. 某公司制作毕业纪念册的收费如下，设计费与加工费共300元，另外每册收取材料费4元，则总收费y（元）与制作纪念册的册数x（册）之间的关系式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据总收费y（元）与制作纪念册的册数x（册）之间的数量关系即可求解，理清题意，找准数量关系是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
总收费y（元）与制作纪念册的册数x（册）之间的关系式为，
故答案为：．
14. 在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据全等三角形的判定画出图形，即可判断．
【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．
由图可得，所有格点三角形的个数是4，
故答案为：4．
15. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，交于G．再将沿翻折得到，若点H恰好落在线段上，则__________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题主要考查的是矩形与折叠的问题，平行线的性质，由折叠性质得到角相等是关键．
由折叠性质得：，，设，根据矩形与平行线的性质求解即可．
【详解】解：由折叠性质得：，，
设，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：
（2）用乘法公式计算
①
②
【答案】（1）3；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的运算法则分别计算即可；
（2）①利用平方差公式计算即可；
②利用完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）①原式
；
②原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算，整式混合，熟练掌握有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、平方差公式、完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
17. 先化简，再求值：[(2x＋y)2－y(y＋4x)－8xy]÷(2x)，其中x＝2，y＝－1．
【答案】2x－4y； 8
【解析】
【分析】先利用整式的乘法公式展开得到原式=(4x2＋4xy＋y2－y2－4xy－8xy)÷(2x)，再把括号内合并得到原式=(4x2－8xy)÷(2x)，然后进行整式的除法运算，再把x与y的值代入计算即可．
【详解】原式＝(4x2＋4xy＋y2－y2－4xy－8xy)÷(2x)
＝(4x2－8xy)÷(2x)
＝2x－4y
当x＝2，y＝－1时，
原式＝2×2－4×(－1)＝4＋4＝8．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值：先计算整式的乘除，然后合并同类项，有括号先算括号，再把满足条件的字母的值代入计算得到对应的整式的值．
18. 尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：已知线段a，b和
求作：使，，
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作三角形，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
作，在射线上截取线段，使得，以B为圆心，a为半径作弧，交于点B，，连接，，或即为所求．
【详解】解：如图，或即为所求．
19. 如图，已知，．
（1）求证：．请将下面证明过程补充完整：
证明：∵（已知）
∴（①____________）
又∵（已知）
∴②_____________（③____________）
∴（④_____________）
∴（两直线平行；同位角相等）
（2）若平分，于点E，，求度数．
【答案】（1）①两直线平行，同旁内角互补，②，③同角的补角相等，④内错角相等，两直线平行
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，补角，角平分线等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，补角，角平分线是解题的关键
（1）根据平行线判定与性质按照步骤作答即可；
（2）由角平分线可得，由（1）可知，，由，，可得，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
又∵（已知）
∴（同角的补角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行；同位角相等）
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，
由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
20. 已知：如图，相交于点．
求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明△ABC≌△DCB，再证明△AOB≌△DOC，可得结论．
【详解】证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB(SSS)．
∴∠A＝∠D ．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC(AAS)．
∴OA＝OD．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，灵活选用判定方法是解题的关键．
21. 【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看做由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和也为大正方形的面积，即可得到一个乘法公式___________．
（2）思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形．
①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程；
②问题解决：如图3，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并求出最短距离．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积 列出等式即可；
（2）①观察图形得出，，的关系，并用面积法进行证明即可；
②根据垂线段最短，过点A作于D，沿开沟，才能使沟最短，据此作出图形，运用①的结论求出的长，然后根据面积法求出长即可．
【小问1详解】
解：
故答案为：；
【小问2详解】
解：①，，之间的数量关系是：，推理过程如下：
由题意可知：正方形的面积个三角形的面积，
，
正方形的面积，
正方形的面积正方形的面积个三角形的面积，
；
②过点A作于D，
由①得：
∴米，
∵
∴
解得：．
【点睛】本题主要考查了整式的有关运算，完全平方公式的几何意义，垂线段最短，三角形面积，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和完全平方公式．
22. 下面是某项目化学小小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题；
【项目主题】品味经典，感悟数学
【童话故事】“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉；兔子和乌龟同时从起点出发，比赛跑步．领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，就在路边的小树下睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，最终乌龟先到达终点．
【分组探究】我们假设乌龟和兔子的速度及赛场均保持不变．第一小组经探讨研究用图1刻画了“龟兔赛跑”的故事，其中x（分）表示乌龟从起点出发所行的时间，（米）表示兔子所行的路程，（米）表示乌龟所行的路程．
问题1：分别求乌龟和兔子的速度．
问题2：乌龟是在何时超过的兔子？
第二小组对童话故事进行了改编；
兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟先跑30分钟．它才开始追赶．
问题3：请在图2中画出兔子所行的路程与x之间的图象，并直接判断谁先到达终点．
第三小组也对童话故事进行了改编：
兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，它们同时出发．
问题4：请在图3中画出兔子所行的路程与和乌龟所行路程与x之间的图象，并直接判断谁先到达终点．
（仿照图1完成图2和图3，要求标注出关键点对应横轴与纵轴的位置及数量）
【答案】问题1：兔子速度：40米/分，乌龟速度：20米/分
问题2：20分
问题3：图象见解析，同时到达终点
问题4：图象见解析，兔子先到达终点
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，从函数图象获取信息，画函数图象，利用数形结合思想是解题的关键．
问题1：根据速度=路程÷时间，计算即可；
问题2：根据时间路程÷速度，计算即可；
问题3：根据题意，兔子让乌龟先跑30分钟，所以兔子所行的路程的图象起点是，又根据全程是1200米，兔子的速度是40米/秒，则兔子跑完全程的时间为秒，则兔子到达终点的时间是（秒），即兔子所行的路程的图象终点是，连接点，，即为所求作的图象，再根据图象判定谁先到达终点；
问题4：根据题意，兔子到达终点的时间是（秒），即兔子所行的路程的图象终点是，起点是，连接点，，即为所求作的兔子所行的路程的图象；因为兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，即乌龟所行路程的图象的起点是，乌龟到达终点的时间是秒，乌龟所行路程的图象的终点是，连接点，，即为所求作的乌龟所行的路程的图象；最后根据再根据图象判定谁先到达终点．
【详解】解：问题1：乌龟的速度为：（米/分）；
兔子的速度为：（米/分）．
答：乌龟和兔子的速度分别为20米/分，40米/分．
问题2：（分）
答：乌龟是在20分钟超过的兔子．
问题3：如图，同时到达终点；
问题4：如图，兔子先到达终点
【点睛】
23. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：
如图1：在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【问题初探】：
第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长至E．使得，连接．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，集中到中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围，
第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作的平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到，同样就把线段，，集中到中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围．
（1）请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程
【方法感悟】
当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题
【类比分析】
（2）如图4：在中，，，是的中线，，且．求的长度．
【思维拓展】
（3）如图5：在中，于点F在右侧作，且，在的左侧作，且，连接，延长交于点O，证明O为中点．
【答案】（1）见解析
（2）16
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）选择第一个小组的解题思路：延长到点，使，证明，得到，再根据在中，，即，求解即可；
选择第二个小组的解题思路：过点B作的平行线交的延长线于点F，先证明，得到，，则，再根据在中，，即，求解即可；
（2）延长到点F，使，连接，先证明，得到，，再证明E、C、F三点共线，得到，然后证明，得到解决问题；
（3）过点E作交延长线于M，先证明，得到，再证明，得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）选择第一个小组的解题思路：如图2，延长到点，使，
是的中点，
，
，
，
，
中，，
，
；
选择第二个小组的解题思路：如图3，过点B作的平行线交的延长线于点F，
是的中点，
，
，
，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
，
；
（2）延长到点F，使，连接，如图4，
∵是的中点，
，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴E、C、F三点共线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）证明：过点E作交延长线于M，如图4，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴O为中点．
【点睛】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握倍长中线，构造出“平行八字型”全等三角形是解题的关键．

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