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2024年初中学业水平考试模拟测试卷（二）数 学
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D 四个选项，其中 只有一个是符合题目要求的．
1. -的倒数是（ ）
A - B. -5 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此可得答案．
【详解】解：-的倒数是-5．
故选：B．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2. 央视网消息，据海关统计，2024年前2个月，我国货物贸易进出口总值达到6.61万亿元人民 币，同比增长8.7%．将数据“6.61万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将数据“6.61万亿”用科学记数法表示为．
故选：C．
3. 如图，该几何体俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从上边看，所得长方形有两条竖线．
故选：B．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式乘以单项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：
=
=
故选：A．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
5. 已知点，在一次函数的图象上，当时 ，， 则k的值可能为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数性质．判断出一次函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，
当时，，
∴一次函数的函数值随x增大而减少，
∴，
∴，
观察四个选项，k的值可能为2，
故选：A．
6. 将等腰直角三角板按如图所示方式摆放，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．利用直尺的对边平行可得，根据，求得，再根据三角形的外角性质即可求出答案．
【详解】解：由直尺的对边平行可得，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7. 近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ）
A. 年收入的中位数为4.5 B. 年收入的众数为5
C. 年收入的平均数为4.4 D. 年收入的方差为6.4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查方差、平均数、众数和中位数，根据众数、中位数、平均数及方差的定义逐一计算即可．
【详解】解：这组数据排列为3、4、4、4、4、4、5、5、5、6，
所以这组数据的众数为4，中位数为，
平均数为，
方差为，
故选：C．
8. 如图，在 中 ， 平分，交 于 点．若，，则 )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由角平分线的定义和平行线的性质，得到，则，根据得出，进而根据相似三角形的性质，即可求出答案．
【详解】解：在中，平分，
，
，
，
，
，
，，
即
解得：
故选：A．
9. 如图，在矩形中，，，F是边上的一动点（不与点A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D，G．若，则k的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质等多个知识点．设点E的坐标为，点F的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：在矩形中，，，
∴点B的坐标为，
设点E的坐标为，点F的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点E的坐标为，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
解得，
故选：B．
10. 如图，为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. 6 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．作交于点，证明四边形是平行四边形，推出，得到，点在直线上，当时，即有最小值，据此计算即可求解．
【详解】解：作交于点，连接，
∵为等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上，
当时，即有最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边三角形的高，
作于点，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式：的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得．
故答案为：．
12. 若 m，n 是一元二次方程的两个根，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值．利用一元二次方程根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，先求出和的值，再整体代入到代数式计算即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程：的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，为的内接三角形，，，则的半径为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质．连接，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于点，连接，
，
，
过圆心，
；
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
故的半径为．
故答案为：．
14. 如图，在正方形中，，E，F分别是边上的动点，交于点G，连接．
（1）若E，F分别是边上的中点，则________；
（2）若，则的最小值为_________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）证明，推出，得到，再证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）同（1）理证明，得到点在以为直径的上，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵正方形中，，E，F分别是边上的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：．
（2）正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴点在以为直径的上，如图，
当共线时，有最小值，最小值为的长，
∴，，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，正确掌握零次幂计算法则，负整数指数幂定义，特殊角的三角函数值是解题的关键．先计算零次幂，负整数指数幂，绝对值及代入特殊角的三角函数值，再计算加减法．
【详解】
．
16. 某市为了解决交通拥堵情况，对某条主干道进行升级，为了尽快投入使用，工程队在原计划的基础上提高升级改造速度，平均每天的工作量比计划增加，6000米的道路可以比原来少用8天，问该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为多少米
【答案】该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为125米
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为米，根据等量关系列出方程，并解方程，再检验即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为125米．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将向上平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到，请在网格中画出．
（2）以点C 为旋转中心，将绕点C按顺时针方向旋转得到，请在网格中画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平移变换和旋转变换作图；
（1）根据平移的性质可将点A、B、C先向上平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，再把平移后得到的点连接，即可得到；
（2）根据旋转的性质画出对应点，把旋转后所得到的点连接，即可得到．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
18. 观察下列各式规律．
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
………
（1）根据上述规律，请写出第5个等式： ；
（2）请猜想出满足上述规律的第n个等式，并证明．
【答案】（1）
（2）．证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式规律的探索，分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握分式的减法法则，从而完成求解．
（1）总结前4个分式的规律，即可得到答案；
（2）根据（1）的规律，总结得到，再利用分式的混合运算，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
∴第五个等式为：．
故答案为：；
【小问2详解】
解：由（1）猜想，第个等式为．
证明：等式左边
，
左边=右边，
等式成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，李伯伯有一块等边三角形菜地，由于近期蔬菜的畅销，李伯伯准备将这块菜地进 行扩充得到三角形，其中点D，B，C 在同一条直线上．经测量，，， 求扩充部分的地块的面积．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】，详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，等边三角形的性质等知识点，如图，过点A作，垂足为E，根据垂直定义可得，再根据等边三角形的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，进而即可求得扩充部分的地块的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】如图，过点A作，垂足为E，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
设，则，
∴在中，，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴扩充部分的地块的面积约为．
20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，点E在上，且满足，连接交于点F．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理求得，根据同角的余角相等证明，据此证得平分；
（2）证明，推出，由，得到，根据三角函数的定义结合勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵为的直径，，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：由（1）得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得或（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
六、（本题满分12分）
21. 某校为了解九年级学生的学习状况，对本校九年级学生在本学期的学习是否有详细的学习 计划进行了调研，并将调研结果分为：A．已制定详细的学习计划；B．已制定部分学习计划； C．有学习计划但尚未制定；D．无任何学习计划四种类型．现选取部分的调查结果，并绘制了如下不完整的统计图．
请根据统计图中的相关信息，解答下列问题．
（1）共选取了 名学生；在扇形统计图中，C 类所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若本校九年级的学生人数是700，请估计无任何学习计划的学生人数．
（3）若在选取的已制定详细的学习计划的4名同学中，有1名男同学和3名女同学，现从这4 名同学中随机选择2人来给其他同学做分享，求恰好选择的都是女同学的概率．
【答案】（1）50，
（2）224 （3）
【解析】
【分析】本题为统计与概率综合题，考查了条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、画树状图求概率等知识，综合性强．
（1）根据条形统计图和扇形统计图提供B类数据即可求出样本容量，用乘以C类所占百分比即可求出C 类所对应的扇形的圆心角的度数；
（2）先求出样本中D类百分比，再用九年级总人数乘以样本D类百分比即可求解；
（3）根据题意画出树状图，由树状图得共有12种等可能性，其中好选择的都是女同学的有6种等可能性，根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：（人），．
故答案为：50，
【小问2详解】
解： ，
（人），
答：九年级无任何学习计划的学生224人；
【小问3详解】
解：列树状图得：
，
由树状图得共有12种等可能性，其中选择的都是女同学的有6种等可能性，
∴恰好选择的都是女同学的概率为．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在矩形中，E是边上的动点，以为边向右侧作矩形，使，连接交于点O，连接．
（1）如图1，若点E，C，G在同一条直线上．
①求证：．
②若，，求的长．
（2）如图2，若，且，，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；
（2）．
【解析】
【分析】（1）①先证明，推出，据此即可证明；
②由，设，则，，求得，由，求得，据此求解即可；
（2）证得矩形和矩形都是正方形，再证明，得到，作于点，分别求得，，据此求解即可．
【小问1详解】
①证明：矩形和矩形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴；
②解：∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵矩形和矩形，，，
∴，
∴矩形和矩形都是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
作于点，
则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，两点，与轴交于点 ， 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，点， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 值．
（3）如图2，在线段 上是否存在一点，使得以，， 为顶点的三角形与 相似若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合运用，特殊三角形问题，相似三角形的性质；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意可得关于直线对称，，过点作于点，根据等边三角形的性质，进而列出方程，解方程，即可求解；
（3）先求得，得出，进而分两种情况讨论，分别求得直线的解析式，进而联立的解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x 轴交于，两点，
∴
解得：
∴
【小问2详解】
解：∵
∴对称轴为直线，
∵点， 在抛物线上，点 在点 左侧，
∴关于直线对称，
如图所示，过点作于点，
∵ 是等边三角形，则
∴
∴，
解得：（舍去）或
【小问3详解】
∵，当时，，则
如图所示，过点作轴于点，过点作于点，
∵，，，，
∴，，，，,
∵，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
将，，代入
解得：
∴直线的解析式为
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴以，， 为顶点的三角形与 相似有两种情况，
①当时，
此时为第二四象限平分线，即，
∴
解得：
∴
②当时，
∴
∴
∵，，
设直线的解析式为
∴
∴
∴直线的解析式为
联立
解得：
∴
综上所述，或．2024年初中学业水平考试模拟测试卷（二）数 学
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D 四个选项，其中 只有一个是符合题目要求的．
1. -的倒数是（ ）
A. - B. -5 C. D. 5
2. 央视网消息，据海关统计，2024年前2个月，我国货物贸易进出口总值达到6.61万亿元人民 币，同比增长8.7%．将数据“6.61万亿”用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
3. 如图，该几何体的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点，在一次函数的图象上，当时 ，， 则k的值可能为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 9
6. 将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ）
A. 年收入中位数为4.5 B. 年收入的众数为5
C. 年收入的平均数为4.4 D. 年收入的方差为6.4
8. 如图，在 中 ， 平分，交 于 点．若，，则 )
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形中，，，F是边上一动点（不与点A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D，G．若，则k的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
10. 如图，为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. 6 D. 4
二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式：的解集为_________．
12. 若 m，n 是一元二次方程的两个根，则_________．
13. 如图，为的内接三角形，，，则的半径为_________．
14. 如图，在正方形中，，E，F分别是边上的动点，交于点G，连接．
（1）若E，F分别是边上的中点，则________；
（2）若，则的最小值为_________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 某市为了解决交通拥堵情况，对某条主干道进行升级，为了尽快投入使用，工程队在原计划的基础上提高升级改造速度，平均每天的工作量比计划增加，6000米的道路可以比原来少用8天，问该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为多少米
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将向上平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到，请在网格中画出．
（2）以点C 为旋转中心，将绕点C按顺时针方向旋转得到，请在网格中画出．
18. 观察下列各式规律．
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
………
（1）根据上述规律，请写出第5个等式： ；
（2）请猜想出满足上述规律的第n个等式，并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，李伯伯有一块等边三角形菜地，由于近期蔬菜的畅销，李伯伯准备将这块菜地进 行扩充得到三角形，其中点D，B，C 在同一条直线上．经测量，，， 求扩充部分的地块的面积．（结果精确到，参考数据：，，，）
20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，点E在上，且满足，连接交于点F．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
六、（本题满分12分）
21. 某校为了解九年级学生的学习状况，对本校九年级学生在本学期的学习是否有详细的学习 计划进行了调研，并将调研结果分为：A．已制定详细的学习计划；B．已制定部分学习计划； C．有学习计划但尚未制定；D．无任何学习计划四种类型．现选取部分的调查结果，并绘制了如下不完整的统计图．
请根据统计图中的相关信息，解答下列问题．
（1）共选取了 名学生；在扇形统计图中，C 类所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若本校九年级的学生人数是700，请估计无任何学习计划的学生人数．
（3）若在选取的已制定详细的学习计划的4名同学中，有1名男同学和3名女同学，现从这4 名同学中随机选择2人来给其他同学做分享，求恰好选择的都是女同学的概率．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在矩形中，E是边上的动点，以为边向右侧作矩形，使，连接交于点O，连接．
（1）如图1，若点E，C，G在同一条直线上．
①求证：．
②若，，求的长．
（2）如图2，若，且，，求的长．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，两点，与轴交于点 ， 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，点， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 值．
（3）如图2，在线段 上是否存在一点，使得以，， 为顶点的三角形与 相似若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．

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