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(共52张PPT)
第二章
相互作用
第
4
课时
专题强化：动态平衡和临界、极值问题
目标
要求
1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。
2.会分析平衡中的临界与极值问题。
内
容
索
引
考点一　动态平衡问题
考点二　平衡中的临界、极值问题
课时精练
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考点一
动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构
成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的
大小变化，如图甲所示。
(2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。
例1　(多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中
A.斜面对球的支持力逐渐增大
B.斜面对球的支持力逐渐减小
C.挡板对小球的弹力先减小后增大
D.挡板对小球的弹力先增大后减小
√
√
对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1
和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向
水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件
得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作
出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误。
2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形
与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对
应边比值相等。
基本矢量图，如图所示
例2　如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬
机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现
使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻
力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力
A.大小不变 B.逐渐增大
C.先增大后减小 D.先减小后增大
√
以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反。
∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。
3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题
利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。
例3　(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞ )。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
√
√
法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张
力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误。
法二：正弦定理
分析动态平衡问题的流程
返回
平衡中的临界、极值问题
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考点二
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2.极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
例4　(2023·河南洛阳市期末)如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为
√
对光滑球体受力分析如图所示，根据平衡条件可得FN2cos θ＝mg，对支架受力分析如图所示
根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，
对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，
Ff＝FN3sin θ，又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4，
例5　如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
返回
在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦
力的合力F′代替支持力与摩擦力，Fmin＝
mgsin θ，其中FN与Ff的合力F′方向一定，
“摩擦角”θ满足tan θ＝
课时精练
1.(2023·江苏南京市模拟)如图甲所示，笔记本电脑支架一般有多个卡位用来调节角度，某人将电脑放在该支架上，由卡位4缓慢调至卡位1(如图乙)，电脑与支架始终处于相对静止状态，则
A.电脑受到的支持力变大
B.电脑受到的摩擦力变大
C.支架对电脑的作用力减小
D.电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小
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根据题意，电脑始终处于平衡状态，对电脑受力分析，
如图所示，由平衡条件可得，电脑受到的支持力大小
为FN＝Gcos θ
电脑受到的摩擦力大小Ff＝Gsin θ
由卡位4缓慢调到卡位1，θ减小，故FN增大，Ff减小，故B错误，A正确。
支架对电脑的作用力即为电脑受到的支持力与摩擦力的合力，支持力与摩擦力的合力大小等于电脑的重力，保持不变，根据“三角形两边之和大于第三边”可知，电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力大小，C、D错误。
2.(2023·山东烟台市模拟)如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球与墙壁的接触点为B。若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬绳对球的拉力F和墙壁对
球的支持力FN，下列说法正确的是
A.F和FN都增大 B.F增大，FN减小
C.F减小，FN增大 D.F和FN的合力不变
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对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足
Fcos θ＝mg，墙壁对球的支持力满足tan θ＝ ，所
以当增大悬绳的长度时，夹角θ减小，则cos θ增大，
tan θ减小，所以F和FN都减小，故A、B、C错误；
因为足球始终保持静止状态，所以F和FN的合力始终与mg等大反向，故D正确。
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3.(2024·重庆市渝中区期中)如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。已知檩条与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是
A.瓦片共受到4个力的作用
B.檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上
C.缓慢减小檩条的倾斜角度θ时，瓦片
与檩条间的摩擦力变大
D.缓慢增大檩条间的距离d时，两根檩条对瓦片的弹力都增大
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瓦片受重力、两根檩条的支持力和摩擦力，共5个力，
A错误；
檩条对瓦片作用力应为支持力与摩擦力的合力，方向
竖直向上，B错误；
摩擦力等于mgsin θ，减小檩条的倾斜角度θ时，摩擦力
减小，C错误；
檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于mgcos θ，当增大檩条间的距离 d时，两弹力与竖直方向的夹角增大，则两弹力增大，D正确。
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4.(2024·云南省联考)如图所示，晾晒衣服的绳子(可视为轻绳)固定在两根竖直杆A、B上，绳子的质量及衣架挂钩之间的摩擦均可忽略不计，衣服处于静止状态。保持A杆及A杆上绳子的结点位置不动，则下列说法正确的是
A.若保持绳子的长度、绳子与B杆的结点不变，将B杆
缓慢向右移动，绳子上的拉力大小逐渐减小
B.若保持绳子的长度、B杆的位置不变，将绳子与B杆
的结点缓慢向上移动，绳子上的拉力大小逐渐增大
C.若保持绳子的长度、B杆的位置不变，将绳子与B杆的结点缓慢向下移动，
绳子上的拉力大小保持不变
D.若保持绳与B杆的结点不变，只改变绳子的长度，绳子上的拉力大小可能保
持不变
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与B杆的结点，绳子与竖直方向之间的夹角保持不变，绳子上的拉力保持不变，故B错误，C正确；
若只改变绳子的长度，则绳子与竖直方向之间的夹角一定随之改变，绳子上的拉力一定改变，故D错误。
若保持绳子的长度、绳子与B杆的结点不变，将B杆缓慢向右移动，绳子与竖直方向之间的夹角增大，绳子上的拉力逐渐增大，故A错误；
若保持绳子的长度、B杆的位置不变，只移动绳子
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5.(2023·宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中
A.绳子的拉力逐渐增大
B.该健身者所受合力逐渐减小
C.该健身者对地面的压力逐渐减小
D.该健身者对地面的摩擦力逐渐增大
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FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有FTcos θ＝Ff，当从B缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确。
由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；
对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得
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6.(2023·广东梅州市质检)在水平外力F的作用下，A、B两个圆柱体按如图所示的方式分别放在水平地面、靠在竖直墙面，将A缓慢向右移动一小段距离(B未与地面接触)，不计一切摩擦，则在此过程中，关于水平地面对A的弹力FN1、竖直墙面对B的弹力FN2，下列说
法正确的是
A.FN1不变，FN2变大 B.FN1变小，FN2变大
C.FN1变大，FN2变小 D.FN1不变，FN2变小
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直方向有FN1＝(mA＋mB)g，当将A缓慢向右移动一小段距离，水平地面对A的弹力FN1不变，故A正确，B、C、D错误。
以圆柱体B为研究对象，分析受力如图所示
当将A缓慢向右移动一小段距离，F1与竖直方向的夹角增大，由图看出墙对B的弹力FN2增大；以圆柱体A、B整体为研究对象，根据平衡条件，在竖
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7.如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为Ff，则该过程中
A.Ff变小，F变大 B.Ff变小，F变小
C.Ff变大，F变小 D.Ff变大，F变大
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以小球乙为研究对象受力分析，设绳与竖直方
向的夹角为α，根据平衡条件可得，水平拉力
F＝mgtan α，夹角α逐渐增大，则水平拉力F逐
渐增大，绳子的拉力为FT＝ ，故绳子的拉力逐渐增大；以物体甲为研究对象受力分析，根据平衡条件可得，物体甲受到的地面的摩擦力与绳子拉力水平方向的分力等大反向，Ff＝FTcos θ＝ ，逐渐增大，故选D。
8.制作木器家具时，工人师傅常在连接处打入木楔，如图所示，假设一个不计重力的木楔两面对称，顶角为α，竖直地被打入木制家具缝隙中。已知接触面的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。要使木楔能自锁而不会自动滑动，α与μ应满足
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9.如图所示，竖直面内固定一光滑大圆环轨道，O为圆心，在大圆环轨道最高点A固定一个光滑的小滑轮，一轻绳绕过小滑轮，一端连接套在大圆环轨道上的小球，用力F拉轻绳另一端，在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，有
A.拉力F逐渐增大
B.拉力F先减小后增大
C.小球对大圆环轨道的压力大小保持不变
D.小球对大圆环轨道的压力先增大后减小
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在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，重力大小、方向均不变，AB变小，OA、OB不变，则拉力F逐渐减小，大圆环轨道对小球的支持力FN大小不变，由牛顿第三定律知小球对大圆环轨道的压力大小保持不变，故选C。
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10.(2024·重庆市七校开学考)小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的最大拉力为0.6mg，g为重力加速度，石墩与水平地面间的动摩擦因数
为 ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是
A.无论θ取何值，小李都不可能拖动石墩
B.小李能拖动石墩，且当θ＝ 时最省力
C.小李能拖动石墩，且当θ＝ 时最省力
D.小李能拖动石墩，且当θ＝ 时最省力
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对石墩进行受力分析如图所示
Fcos θ＝μFN
FN＋Fsin θ＝mg
11.(2023·江苏扬州市质检)如图所示，在质量为m的物块甲上系着两条细绳，其中长30 cm的细绳另一端连着轻质圆环，圆环套在水平棒上可以滑动，圆环与棒间的动摩擦因数μ＝0.75。另一细绳跨过光滑定滑轮与重力为G的物块乙相连，定滑轮固定在距离圆环50 cm的地方，系统处于静止状态，OA与棒的夹角为θ，两绳夹角为φ。当G＝6 N时，圆环恰好开始滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)OA绳与棒间的夹角θ；
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答案　53°
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当圆环恰好要开始滑动时，设此时水平棒对圆环的支持力大小为FN，细绳对圆环的拉力大小为FT，对圆环受力分析，
如图甲所示，根据平衡条件有μFN＝FTcos θ ①
FN＝FTsin θ ②
(2)物块甲的质量m。
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答案　1 kg
由题意，根据几何关系可知φ＝90°
按如图乙所示，以O为坐标原点建立xOy直角坐标系，对物块甲受力分析，根据平衡条件有Gcos θ＋FTsin θ－mg＝0 ③
FTcos θ－Gsin θ＝0 ④
联立③④解得m＝1 kg。
12.(多选)(2023·安徽安庆市三模)如图所示，把倾角为30°的粗糙斜面体C置于粗糙水平地面上，质量为2m的物块A通过跨过光滑轻定滑轮的轻绳与质量为m的小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角为θ＝120°，A、B均保持静止状态。现改变拉力F，
并保持夹角θ大小不变，将小球B向右上方缓
慢拉起至OB水平，物块A始终保持静止状态。
g为重力加速度，
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下列关于该过程的说法正确的是
A.拉力F一直变大
B.拉力F最小为
C.斜面体C所受地面摩擦力一直变小
D.斜面体C所受地面摩擦力先变小后变大
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对小球B受力分析，将FT、F、mg组成矢量三角形，
由于FT和F的夹角始终不变，作辅助圆如图所示
拉力F一直变大，初始状态时最小，为 ，A、
B正确；
拉力F的水平分力先变大后变小，对A、B、C整体
进行受力分析知斜面体C所受地面摩擦力大小等于拉力F的水平分力大小，也是先变大后变小，故C、D错误。
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返回第4课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题
目标要求　1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题。
考点一　动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。
(2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。
例1　(多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中(　　)
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
答案　BC
解析　对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误。
2．“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝。
例2　如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　)
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案　A
解析　以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反。
根据三角形相似得＝＝，又F合＝G，得FN＝ G
∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。
3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题
利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。
例3　(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
答案　AD
解析　法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误。
法二：正弦定理
根据正弦定理＝＝，mg与sin θ3保持不变，sin θ1变大，F1变大，sin θ2先增大后减小，F2先增大后减小，故选A、D。
分析动态平衡问题的流程
受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形
考点二　平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
例4　(2023·河南洛阳市期末)如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　对光滑球体受力分析如图所示，根据平衡条件可得FN2cos θ＝mg，对支架受力分析如图所示
根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，
对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，
Ff＝FN3sin θ，
又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4，
联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故选D。
例5　如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
答案　2 N
解析　设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cos θ＋μsin θ＝，sin(α＋θ)＝(其中sin α＝)，当θ＝－α时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝＝2 N。
在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F′代替支持力与摩擦力，Fmin＝mgsin θ，其中FN与Ff的合力F′方向一定，“摩擦角”θ满足tan θ＝。
课时精练
1．(2023·江苏南京市模拟)如图甲所示，笔记本电脑支架一般有多个卡位用来调节角度，某人将电脑放在该支架上，由卡位4缓慢调至卡位1(如图乙)，电脑与支架始终处于相对静止状态，则(　　)
　
A．电脑受到的支持力变大
B．电脑受到的摩擦力变大
C．支架对电脑的作用力减小
D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小
答案　A
解析　根据题意，电脑始终处于平衡状态，对电脑受力分析，如图所示，由平衡条件可得，电脑受到的支持力大小为FN＝Gcos θ
电脑受到的摩擦力大小Ff＝Gsin θ
由卡位4缓慢调到卡位1，θ减小，故FN增大，Ff减小，故B错误，A正确。
支架对电脑的作用力即为电脑受到的支持力与摩擦力的合力，支持力与摩擦力的合力大小等于电脑的重力，保持不变，根据“三角形两边之和大于第三边”可知，电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力大小，C、D错误。
2.(2023·山东烟台市模拟)如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球与墙壁的接触点为B。若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬绳对球的拉力F和墙壁对球的支持力FN，下列说法正确的是(　　)
A．F和FN都增大 B．F增大，FN减小
C．F减小，FN增大 D．F和FN的合力不变
答案　D
解析　对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足Fcos θ＝mg，墙壁对球的支持力满足tan θ＝，所以当增大悬绳的长度时，夹角θ减小，则cos θ增大，tan θ减小，所以F和FN都减小，故A、B、C错误；因为足球始终保持静止状态，所以F和FN的合力始终与mg等大反向，故D正确。
3．(2024·重庆市渝中区期中)如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。已知檩条与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．瓦片共受到4个力的作用
B．檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上
C．缓慢减小檩条的倾斜角度θ时，瓦片与檩条间的摩擦力变大
D．缓慢增大檩条间的距离d时，两根檩条对瓦片的弹力都增大
答案　D
解析　瓦片受重力、两根檩条的支持力和摩擦力，共5个力，A错误；檩条对瓦片作用力应为支持力与摩擦力的合力，方向竖直向上，B错误；摩擦力等于mgsin θ，减小檩条的倾斜角度θ时，摩擦力减小，C错误；檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于mgcos θ，当增大檩条间的距离 d时，两弹力与竖直方向的夹角增大，则两弹力增大，D正确。
4.(2024·云南省联考)如图所示，晾晒衣服的绳子(可视为轻绳)固定在两根竖直杆A、B上，绳子的质量及衣架挂钩之间的摩擦均可忽略不计，衣服处于静止状态。保持A杆及A杆上绳子的结点位置不动，则下列说法正确的是(　　)
A．若保持绳子的长度、绳子与B杆的结点不变，将B杆缓慢向右移动，绳子上的拉力大小逐渐减小
B．若保持绳子的长度、B杆的位置不变，将绳子与B杆的结点缓慢向上移动，绳子上的拉力大小逐渐增大
C．若保持绳子的长度、B杆的位置不变，将绳子与B杆的结点缓慢向下移动，绳子上的拉力大小保持不变
D．若保持绳与B杆的结点不变，只改变绳子的长度，绳子上的拉力大小可能保持不变
答案　C
解析　若保持绳子的长度、绳子与B杆的结点不变，将B杆缓慢向右移动，绳子与竖直方向之间的夹角增大，绳子上的拉力逐渐增大，故A错误；若保持绳子的长度、B杆的位置不变，只移动绳子与B杆的结点，绳子与竖直方向之间的夹角保持不变，绳子上的拉力保持不变，故B错误，C正确；若只改变绳子的长度，则绳子与竖直方向之间的夹角一定随之改变，绳子上的拉力一定改变，故D错误。
5.(2023·宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中(　　)
A．绳子的拉力逐渐增大
B．该健身者所受合力逐渐减小
C．该健身者对地面的压力逐渐减小
D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大
答案　D
解析　由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有FTcos θ＝Ff，当从B缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确。
6.(2023·广东梅州市质检)在水平外力F的作用下，A、B两个圆柱体按如图所示的方式分别放在水平地面、靠在竖直墙面，将A缓慢向右移动一小段距离(B未与地面接触)，不计一切摩擦，则在此过程中，关于水平地面对A的弹力FN1、竖直墙面对B的弹力FN2，下列说法正确的是(　　)
A．FN1不变，FN2变大 B．FN1变小，FN2变大
C．FN1变大，FN2变小 D．FN1不变，FN2变小
答案　A
解析　以圆柱体B为研究对象，分析受力如图所示
当将A缓慢向右移动一小段距离，F1与竖直方向的夹角增大，由图看出墙对B的弹力FN2增大；以圆柱体A、B整体为研究对象，根据平衡条件，在竖直方向有FN1＝(mA＋mB)g，当将A缓慢向右移动一小段距离，水平地面对A的弹力FN1不变，故A正确，B、C、D错误。
7.如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为Ff，则该过程中(　　)
A．Ff变小，F变大 B．Ff变小，F变小
C．Ff变大，F变小 D．Ff变大，F变大
答案　D
解析　以小球乙为研究对象受力分析，设绳与竖直方向的夹角为α，根据平衡条件可得，水平拉力F＝mgtan α，夹角α逐渐增大，则水平拉力F逐渐增大，绳子的拉力为FT＝，故绳子的拉力逐渐增大；以物体甲为研究对象受力分析，根据平衡条件可得，物体甲受到的地面的摩擦力与绳子拉力水平方向的分力等大反向，Ff＝FTcos θ＝，逐渐增大，故选D。
8.制作木器家具时，工人师傅常在连接处打入木楔，如图所示，假设一个不计重力的木楔两面对称，顶角为α，竖直地被打入木制家具缝隙中。已知接触面的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。要使木楔能自锁而不会自动滑动，α与μ应满足(　　)
A．μ>tan B．μ>tan α
C．μ> D．μ>
答案　A
解析　由于存在对称性，仅对木楔的一个侧面受力分析，如图所示，当木楔能自锁而不会自动滑出时，一定满足FNsin <μFNcos ，整理得μ>tan ，故选A。
9.如图所示，竖直面内固定一光滑大圆环轨道，O为圆心，在大圆环轨道最高点A固定一个光滑的小滑轮，一轻绳绕过小滑轮，一端连接套在大圆环轨道上的小球，用力F拉轻绳另一端，在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，有(　　)
A．拉力F逐渐增大
B．拉力F先减小后增大
C．小球对大圆环轨道的压力大小保持不变
D．小球对大圆环轨道的压力先增大后减小
答案　C
解析　对小球进行受力分析如图所示，根据相似三角形法可得＝＝
在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，重力大小、方向均不变，AB变小，OA、OB不变，则拉力F逐渐减小，大圆环轨道对小球的支持力FN大小不变，由牛顿第三定律知小球对大圆环轨道的压力大小保持不变，故选C。
10.(2024·重庆市七校开学考)小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的最大拉力为0.6mg，g为重力加速度，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是(　　)
A．无论θ取何值，小李都不可能拖动石墩
B．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力
C．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力
D．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力
答案　C
解析　对石墩进行受力分析如图所示
Fcos θ＝μFN
FN＋Fsin θ＝mg
解得2F(cos θ＋sin θ)＝mg
即F＝，可解得，当θ＝时，F最小为0.5mg，故小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力，故选C。
11.(2023·江苏扬州市质检)如图所示，在质量为m的物块甲上系着两条细绳，其中长30 cm的细绳另一端连着轻质圆环，圆环套在水平棒上可以滑动，圆环与棒间的动摩擦因数μ＝0.75。另一细绳跨过光滑定滑轮与重力为G的物块乙相连，定滑轮固定在距离圆环50 cm的地方，系统处于静止状态，OA与棒的夹角为θ，两绳夹角为φ。当G＝6 N时，圆环恰好开始滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)OA绳与棒间的夹角θ；
(2)物块甲的质量m。
答案　(1)53°　(2)1 kg
解析　(1)当圆环恰好要开始滑动时，设此时水平棒对圆环的支持力大小为FN，细绳对圆环的拉力大小为FT，对圆环受力分析，如图甲所示，根据平衡条件有μFN＝FTcos θ①
FN＝FTsin θ②
联立①②解得tan θ＝＝，即θ＝53°。
(2)由题意，根据几何关系可知φ＝90°
按如图乙所示，以O为坐标原点建立xOy直角坐标系，对物块甲受力分析，根据平衡条件有Gcos θ＋FTsin θ－mg＝0③
FTcos θ－Gsin θ＝0④
联立③④解得m＝1 kg。
12.(多选)(2023·安徽安庆市三模)如图所示，把倾角为30°的粗糙斜面体C置于粗糙水平地面上，质量为2m的物块A通过跨过光滑轻定滑轮的轻绳与质量为m的小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角为θ＝120°，A、B均保持静止状态。现改变拉力F，并保持夹角θ大小不变，将小球B向右上方缓慢拉起至OB水平，物块A始终保持静止状态。g为重力加速度，下列关于该过程的说法正确的是(　　)
A．拉力F一直变大
B．拉力F最小为mg
C．斜面体C所受地面摩擦力一直变小
D．斜面体C所受地面摩擦力先变小后变大
答案　AB
解析　对小球B受力分析，将FT、F、mg组成矢量三角形，由于FT和F的夹角始终不变，作辅助圆如图所示
拉力F一直变大，初始状态时最小，为mg，A、B正确；拉力F的水平分力先变大后变小，对A、B、C整体进行受力分析知斜面体C所受地面摩擦力大小等于拉力F的水平分力大小，也是先变大后变小，故C、D错误。第4课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题
目标要求　1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题。
考点一　动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。
(2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。
例1　(多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中(　　)
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
2．“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝。
例2　如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　)
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题
利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。
例3　(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
分析动态平衡问题的流程
受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形
考点二　平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
例4　(2023·河南洛阳市期末)如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　)
A. B. C. D.
例5　如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
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在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F′代替支持力与摩擦力，Fmin＝mgsin θ，其中FN与Ff的合力F′方向一定，“摩擦角”θ满足tan θ＝。

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