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2024年中招模拟考试试题 (一)
数 学
注意事项：
1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义．根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可．
【详解】解：的相反数是3，
故选：A．
2. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，其中主视图就是物体由前方向后方做正投影得到的视图，由此可得答案．
【详解】解：所给几何体的主视图是，
故选A．
3. 据河南日报消息，截至2023年年底，河南省可再生能源发电装机突破6700万千瓦，煤电装机占比降至以下，可再生能源发电装机历史性超越煤电．将数据“6700万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法-表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
科学记数法：把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：数据6700万用科学记数法表示为．
故选：B．
4. 要调查下列问题，适合采取全面调查 （普查）的是（ ）
A. 某城市居民每年的读书量· B. 某品牌奶粉的质量
C. 中央电视台《新闻联播》的收视率 D. 某型号新型战斗机试飞前的零部件检查
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查全面调查的适用特点：精度要求高、调查对象数量较少、可操作性强等．掌握相关特点即可．
根据全面调查的适用特点逐项判断即可解答．
【详解】解：A、某城市居民每年的读书量，数量较多适合抽样调查，故A错误；
B、某品牌奶粉的质量可能销往世界各地，消费群体众多，全面调查耗时耗力，应采用抽样调查，故B错误；
C、中央电视台的观众数量多，全面调查耗时耗力，应采用抽样调查，故C错误；
D、某型号新型战斗机试飞前的零部件检查，精度度要求高，应采用全面调查，故D正确:
故选：D
5. 如图， 直线a，b被直线c所截，且，a与c相交于点O，于点O， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质，
根据两直线平行线，同位角相等，即可求出，再根据垂直的定义，即可求解，
【详解】解：如图所示：
，
故选：C
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的运算、二次根式的性质、幂的乘方、完全平方公式，熟练应用这些性质是解题的关键．
根据同底数幂的运算、二次根式的化简、幂的乘方运算、完全平方公式运算，求值即可．
【详解】、将二次根式进行化简得，故选项错误；
、利用同底数幂乘法法则，可得，故选项正确；
、利用幂的乘方可得，故选项错误；
、利用完全平方公式可得，故选项错误．
故选．
7. 明代数学著作《珠算统筹》一书中记载这样一题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤 （一斤=16两）问：人和银各几何 ”其大意为：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少半斤，问人和银各多少 设共有x人，y两银，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组即可．
【详解】解：根据“每人分7两，则多4两”可得；
根据“每人分9两，则少半斤” 可得；
故选：B
8. 关于x的一元二次方程，用下列选项中的数字替换n，能使方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程根的判别式，根据当方程有两个不相等的实数根时，，根据计算进行判断；根据一元二次方程根的判别式列出不等式是关键．
【详解】解：由题意得，当方程有两个不相等的实数根时
故选：C．
9. 某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ）
A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量
B. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到
C. 本次充电持续时间是120分钟
D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由函数图像读取信息，仔细观察函数图像，正确读取信息逐项进行分析解答即可
【详解】解：A、由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意；
B、由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意；
C、由函数图像可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意；
D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意，
故选：D
10. 如图，正方形的顶点，，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】记点C旋转后的对应点为点E，过点C作轴，过点E作轴，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，由得，则，由等腰直角三角形即可求解．
【详解】解：记点C旋转后的对应点为点E，过点C作轴，过点E作轴，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
由题意得，，
∴，
∴在中，，
∴，
而
∴点，
即旋转后点C的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、填空题 (每小题3分，共15分)
11. 某学校在4月23 日“世界读书日”为全校个班购进m套精品图书，计划平均分到每个班，则每班可分到_______套图书．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，根据每班可分到的图书图书总数班级总数，即可求解．
【详解】解：由题意得每班可分到的图书为
故答案为：
12. 不等式组的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解①得：；
解②得：
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
13. 现有4张卡片，正面分别写有文字“殷墟、美里城、红旗渠、文峰塔”，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取1张，记录正面文字后放回，再随机抽取1张，两次抽取的卡片正面文字一样的概率是________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
画树状图得出所有等可能的结果数以及这两次抽取的卡片正面文字一样的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设“殷墟、美里城、红旗渠、文峰塔”这4张卡片分别记为，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面文字一样的结果有4种，
∴这两次抽取的卡片正面文字一样的概率为．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据为直径，得出，根据，得出，，根据勾股定理求出，得出，证明，得出，证明，根据等积法求出结果即可．
【详解】解：如图，连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，是求解的关键．
15. 菱形的边长为1，，点E是对角线上不与点A，C重合的一个动点，若以点C，D，E为顶点的三角形恰为等腰三角形，则的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】由已知，根据菱形的性质知：，连接交与点，则，是等边三角形，，，在中，由边角关系得，从而，再由已知，分类讨论：若，若，分别求出的长即可．
【详解】菱形中，，
，
连接交与点，
则，是等边三角形，
，
在中，，
，
∵点是对角线上不与点、重合的一个动点，且以点、、为顶点的三角形恰为等腰三角形，
或，
若，
则；
若，
则在中，，
由勾股定理，得，
即有，
解得：，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】该题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是进行分类讨论．
三、解答题 (本大题共8个小题，满分75分)
16. （1） 计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算、分式的化简，熟练掌握相关运算法则和分式的性质是解题的关键．
（1）先计算负整数指数幂、开立方、绝对值，再进行加减计算即可．
（2）根据分式的性质和完全平方公式、平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）原式：
．
（2）原式：
．
17. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表．
甲、乙两家公司套餐得分表
1 2 3 4 5 6 7
甲公司套餐
乙公司套餐
甲、乙两家公司套餐得分统计表
平均数 中位数 众数
甲公司套餐 b
乙公司套餐 a c
根据以上信息，请回答下列问题：
（1） ， ， ．
（2）从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”）
（3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由．
【答案】（1）
（2）乙 （3）甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，所以选择乙公司．
【解析】
【分析】本题考查了中位数与众数、方差，熟练掌握中位数和方差的意义是解题关键．
（1）根据平均数，中位数和众数的定义即可得；
（2）先利用方差公式求出方差，再根据方差的意义即可得；
（3）从中位数和方差的意义进行分析即可得．
【小问1详解】
解：将乙公司套餐得分相加除以7可得：
乙公司套餐平均数：，
将甲公司套餐得分按从小到大进行排序后，第4个数即为中位数，
则，
在乙公司套餐得分中，出现的次数最多，为2次，
则其众数为，
故答案为：；
【小问2详解】
甲公司套餐得分方差为：，
乙公司套餐得分方差为：，
，
乙公司套餐的得分较稳定；
【小问3详解】
甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，
选择乙公司套餐品质较好．
18. 如图所示，是一条线段，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法) ．
（2）若（1）中所作垂直平分线交于点O，交于点E，交于点F，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，
（1）根据线段垂直平分线的基本作图方法进行解答即可，
（2）根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可求出，根据线段垂直平分线的性质可得，再利用即可证明，进而得出结论
【小问1详解】
解：如图所示．
【小问2详解】
证明：∵，
∴．
∵ 垂直平分，
∴．
在和中，
∴．
∴．
19. 如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，为半径作 交边于点 C， 连接．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求的度数．
（3）请直接写出图中阴影部分面积．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由勾股定理求出，的长，然后证明是等边三角形，进而可求出．
（3）根据求解即可．
【小问1详解】
把点 代入 ，得 ．
∴反比例函数的解析式是．
【小问2详解】
∵矩形 中 ，
∴， ，，
由题意知．
由勾股定理得 ，
∴．
由勾股定理得，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
【小问3详解】
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及扇形的面积公式，证明是等边三角形是解答本题的关键．
20. 为让学生感悟自然界和生活中的数学，王老师组织大家周末到户外，同学们发现休闲广场水平地面上放置两个同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子．同学们对球形石墩的半径十分感兴趣，观察并绘制了如图所示的平面示意图，和是两球的主视图，均与地面l相切，太阳光线与地面的夹角是，由此得到， 已知 m，m请根据以上数据求出球的半径 ．（参考数据： 结果精确到m）
【答案】米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，涉及了圆的切线的性质定理，根据题意可得和都是直角三角形．在 中可得，在 中可得，据此即可求解；
【详解】解：∵l 与 都相切，
∴和都是直角三角形．
设球半径为 r．
在 中，由，得，
∴．
在 中，，
∵，
∴ ．
解得 ．
答：球的半径 约为 米．
21. “安阳是一生必去的城市，有文化，必安阳！”越来越多的游客慕名来到安阳旅游，与甲骨文有关的文旅产品受到游客的普遍欢迎.某商店销售以甲骨文为主题的A，B两款文化衫，每件A款文化衫的利润比每件B款文化衫的利润多8元，销售A款文化衫获利元和销售B款文化衫获利元时的销售数量相同．
（1）求每件A款文化衫和B款文化衫的利润．
（2）若该商店计划购进A、B两款文化衫共件进行销售，且A款文化衫数量不超过B款文化衫数量的倍，商店购进A、B两款文化衫各多少件，才能使销售完这件文化衫获得最大利润 最大利润是多少
【答案】（1）A 款文化衫每件利润元，B 款文化衫每件利润 元；
（2）购进 A 款文化衫 件，B 款文化衫 件，获得最大利润 元．
【解析】
【分析】本题考查分式方程，一次函数、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键.
（1）设每件 A 款文化衫利润是 x 元，则每件 B 款文化衫利润是元，依题意得：，据此即可求解；
（2）设购进 A 款文化衫 m 件，则购进 B 款文化衫件，销售总利润是 w 元， 依题意，，据此即可求解
【小问1详解】
解：设每件 A 款文化衫利润是 x 元，则每件 B 款文化衫利润是元，
依题意得：
解得.
经检验， 是原分式方程的解．
∴
答：A 款文化衫每件利润元，B 款文化衫每件利润 元；
【小问2详解】
解：设购进 A 款文化衫 m 件，则购进 B 款文化衫件，销售总利润是 w 元， 依题意
解得
∵．
且，所以 w 随 m 的增大而增大，
∴当 时，w 取得最大值 元．
此时，．
答：购进 A 款文化衫 件，B 款文化衫 件，获得最大利润 元．
22. 某公园内有一个喷泉从垂直于地面的立柱的端点处喷出一个水柱，其形状呈抛物线型，建立如图所示的坐标系，所在的直线是轴，地面上有一个底面为正方形的无盖长方体水池（厚度忽略不计），其底面边长是米，高米，点，是其底面一组对边的中点，矩形是其经过点，的一个竖直的截面，点，，都在轴上．已知米，米，抛物线型水柱在距离轴米处到达离地面米的最高点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）该抛物线型水柱是否会把水喷到水池内？请通过计算进行说明．
【答案】（1）；
（2）会把水喷到水池内，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查二次函数、解一元二次方程，用待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
（1）确定顶点，设抛物线解析式为，把代入求解即可；
（2）把带入函数解析数，求解，根据实际情况舍弃负值，求解、的长度，确定点、到轴的距离与进行比较即可．
【小问1详解】
解：由题意得，抛物线的顶点坐标是，
∴设抛物线解析式为，
把代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
当时，，
解得，（舍去），
∵，，
，
∴点到轴的距离是米，点到轴的距离是米，
，
∴该抛物线型水柱会把水喷到水池内．
（注：也可以把和分别代入，解得和，
由于，，
所以会把水喷到水池内．
23. 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养.下面是王老师在“图形的翻折与旋转”主题下设计的问题，请你解答．
如图1，中，，，点是折线上的动点，连接，线段沿折叠得到线段，点绕点逆时针旋转得到，旋转角为，且，作射线交折线于点．
（1）观察发现
(选填“”，“”或“”) ．
（2）探究迁移
①如图2，当点、点和点共线时，判断与的数量关系，并说明理由．
②若，，求的长．
（3）拓展应用
若，，，点在运动过程中， 当点恰好落在的边所在直线时，请直接写出的长．
【答案】（1）；
（2）①，理由见解析；②；
（3），．
【解析】
【分析】（1）根据折叠，可以知道，，从而推出和的关系；
（2）①根据折叠，推出，再结合两直线平行，同旁内角互补，得到和的关系；
②由，，推出，然后利用得到；
（3）当在射线的延长线上， 作，，延长，相交于点，先求出平行四边形的高，推出，然后在中，求出的长度，从而求出的长度，接着利用，，求出和的长度，最后算出的长度；
当在射线的延长线上，作 ，同样通过平行四边形的高和的关系，推出，接着计算出，， ，，推出是等腰三角形以及是等腰直角三角形，得到和的长度，最后根据计算出的长度．
【小问1详解】
理由：由题意可知，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
①，
理由：，，
，
点、点和点共线，
，
四边形是平行四边形，
，
，即；
②，
，
，
，
，
在中，，
；
【小问3详解】
当在射线的延长线上，如图所示
作，，延长，相交于点
四边形是平行四边形
，，
，，，，
，，
，
，
在和中，，
当在射线的延长线上，如图所示
作
，
，
，
又中，，，
中，，，
，
，
又
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点，并能根据题意画出辅助线是解题的关键．2024年中招模拟考试试题 (一)
数 学
注意事项：
1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A B. C. D.
3. 据河南日报消息，截至2023年年底，河南省可再生能源发电装机突破6700万千瓦，煤电装机占比降至以下，可再生能源发电装机历史性超越煤电．将数据“6700万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 要调查下列问题，适合采取全面调查 （普查）的是（ ）
A. 某城市居民每年的读书量· B. 某品牌奶粉的质量
C. 中央电视台《新闻联播》的收视率 D. 某型号新型战斗机试飞前的零部件检查
5. 如图， 直线a，b被直线c所截，且，a与c相交于点O，于点O， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
7. 明代数学著作《珠算统筹》一书中记载这样一题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤 （一斤=16两）问：人和银各几何 ”其大意为：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少半斤，问人和银各多少 设共有x人，y两银，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
8. 关于x的一元二次方程，用下列选项中的数字替换n，能使方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
9. 某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ）
A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量
B. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到
C. 本次充电持续时间是120分钟
D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
10. 如图，正方形的顶点，，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题 (每小题3分，共15分)
11. 某学校在4月23 日“世界读书日”为全校个班购进m套精品图书，计划平均分到每个班，则每班可分到_______套图书．
12. 不等式组的解集是________．
13. 现有4张卡片，正面分别写有文字“殷墟、美里城、红旗渠、文峰塔”，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取1张，记录正面文字后放回，再随机抽取1张，两次抽取的卡片正面文字一样的概率是________．
14. 如图，在中，，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为_________．
15. 菱形的边长为1，，点E是对角线上不与点A，C重合的一个动点，若以点C，D，E为顶点的三角形恰为等腰三角形，则的长为__________．
三、解答题 (本大题共8个小题，满分75分)
16. （1） 计算：；
（2）化简：．
17. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表．
甲、乙两家公司套餐得分表
1 2 3 4 5 6 7
甲公司套餐
乙公司套餐
甲、乙两家公司套餐得分统计表
平均数 中位数 众数
甲公司套餐 b
乙公司套餐 a c
根据以上信息，请回答下列问题：
（1） ， ， ．
（2）从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”）
（3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由．
18. 如图所示，是一条线段，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法) ．
（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点O，交于点E，交于点F，求证：．
19. 如图所示，矩形边在x轴上，在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，为半径作 交边于点 C， 连接．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求的度数．
（3）请直接写出图中阴影部分的面积．
20. 为让学生感悟自然界和生活中的数学，王老师组织大家周末到户外，同学们发现休闲广场水平地面上放置两个同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子．同学们对球形石墩的半径十分感兴趣，观察并绘制了如图所示的平面示意图，和是两球的主视图，均与地面l相切，太阳光线与地面的夹角是，由此得到， 已知 m，m请根据以上数据求出球的半径 ．（参考数据： 结果精确到m）
21. “安阳是一生必去的城市，有文化，必安阳！”越来越多的游客慕名来到安阳旅游，与甲骨文有关的文旅产品受到游客的普遍欢迎.某商店销售以甲骨文为主题的A，B两款文化衫，每件A款文化衫的利润比每件B款文化衫的利润多8元，销售A款文化衫获利元和销售B款文化衫获利元时的销售数量相同．
（1）求每件A款文化衫和B款文化衫利润．
（2）若该商店计划购进A、B两款文化衫共件进行销售，且A款文化衫数量不超过B款文化衫数量的倍，商店购进A、B两款文化衫各多少件，才能使销售完这件文化衫获得最大利润 最大利润是多少
22. 某公园内有一个喷泉从垂直于地面立柱的端点处喷出一个水柱，其形状呈抛物线型，建立如图所示的坐标系，所在的直线是轴，地面上有一个底面为正方形的无盖长方体水池（厚度忽略不计），其底面边长是米，高米，点，是其底面一组对边的中点，矩形是其经过点，的一个竖直的截面，点，，都在轴上．已知米，米，抛物线型水柱在距离轴米处到达离地面米的最高点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）该抛物线型水柱是否会把水喷到水池内？请通过计算进行说明．
23. 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养.下面是王老师在“图形的翻折与旋转”主题下设计的问题，请你解答．
如图1，中，，，点是折线上的动点，连接，线段沿折叠得到线段，点绕点逆时针旋转得到，旋转角为，且，作射线交折线于点．
（1）观察发现
(选填“”，“”或“”) ．
（2）探究迁移
①如图2，当点、点和点共线时，判断与的数量关系，并说明理由．
②若，，求的长．
（3）拓展应用
若，，，点在运动过程中， 当点恰好落在的边所在直线时，请直接写出的长．

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