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2024年河南省中招考试模拟试卷（三）
数学
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 在实数，，，中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数小于正数且两个负数比较大小，绝对值大的反而小来判断即可．
本题考查两个负数比较大小，理解负数绝对值大的反而小是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴最小的数是．
故选A．
2. 如图是由大小相同的小正方体拼成的几何体，若移走一块小正方体后，几何体的左视图发生改变，则移走的小正方体是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】经过观察移走④几何体的左视图不会发生变化
本题考查几何体从不同方向看的问题，能根据不同方向观察图形是解题的关键
【详解】解：将①或②或③移走都不会改变几何体的左视图，
移走④后几何体的左视图右边会少一个正方形
故选D
3. 2023年河南省郑洛新国家自主创新示范区（下称：自创区）主要经济指标实现稳步增长．初步核算，2023年自创区核心区实现地区生产总值约1026亿元，同比增长6.3%，高于全省增速2.2个百分点．数据“1026亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：1026亿，
故选：B．
4. 如图，在等腰三角形中，，将其沿折叠使点C与点D重合，延长至点F，至点E，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质和菱形的判定和性质，关键是求出的度数．
由已知和折叠的性质可得，四边形为菱形，所以，所以，由，可求出．
【详解】折叠后得，
，
又，
，
四边形是菱形，
．
，
，
．
故选：
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式逐项分析即可．
【详解】解：A．，正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
6. 中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的余弦值解直角三角形可求得的长度，再根据等腰三角形的性质可求的长度．
本题考查解直角三角形的应用和等腰三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键．
【详解】且，
，
，
且，
．
故选C．
7. 若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据无实数根这个条件，得出，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
故选：D．
8. 如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，不能形成通路的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】只有闭合两条线路里的两个才能形成通路．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．本题结合初中物理的“电路”考查了有关概率的知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：依题意，列表如下所示：
∴一共有20种等可能情况，使电路形成通路的有12种情况，不能形成通路的有8种情况，
∴不能形成通路的概率为，
故选：B．
9. 如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（ ）
A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练运用二次函数的图像与性质是解题关键．该二次函数的图像的对称轴为，则，由图像可知，，即可判断①；根据图象可知，当时，，即可判断②；根据抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，即可判断③，根据时函数取得最小值，即可判断④，即可求解．
【详解】∵根据题意，该二次函数的图像的对称轴为，
∴，
∴，
由图像可知，，
∴，
∴，故①不正确；
根据图象可知，当时，，故②不正确；
∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，
又∵，
∴，故结论③正确；
∵时函数取得最小值，
∴，
∴，故④正确
故选：D．
10. 如图，在中，，，，点在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于两点；（2）再分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）连接并延长，分别交，于两点．若，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】勾股定理逆定理，得到为直角三角形，作图得到平分，，推出，三线合一，得到垂直平分，得到，过点作，利用平行线分线段成比例，进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴ ，
过点作，
则：为等腰直角三角形，
设，则：，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键的掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊三角形．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____．
【答案】，答案不唯一．
【解析】
【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．
【详解】解：抛物线的解析式为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．．
12. 某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据加权平均数的定义计算即可．
本题考查加权平均数的计算，理解加权平均数的定义是解题的关键．
【详解】解∶∵，
∴最终得分为 (分)．
故答案为．
13. 已知二元一次方程组，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．把两个方程的左右两边分别相加，再都除以4047即可求解．
【详解】解：
，得
∴
故答案为：2．
14. 将半径为1、圆心角为的扇形纸片按如图所示的位置放于平面直角坐标系中，现将扇形纸片沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点，…的位置上，则点的横坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】点的横坐标为半径加弧长，从点开始的横坐标规律都是在原来长度基础上再加两个半径和一个弧长，根据以上规律即可求出点的横坐标．
本题考查了弧长公式以及点坐标规律的探索，根据题意求出，根据变化过程中的规律求解是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
点的横坐标为：，
点的横坐标为：，
点的横坐标为：…
∴点的横坐标为：．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得．，则线段的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】以的中点O为圆心，为半径画圆，可得所画圆是的外接圆，弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦，可得，连接与圆的交点即为的最短距离，作于点H，可得是的中位线，根据勾股定理求出和的值，进而可得的最小值．
【详解】解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆，
在矩形中，，，
∵，
∴所画圆是的外接圆，
∵弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦，
∴，
连接与圆的交点即为的最短距离，
作于点H，则，
∴H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵P为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点E．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先依次计算乘方，差的绝对值，零指数幂，负指数幂，再合并即可；
（2）先对括号里的分式进行通分计算，再与外面的分式运算即可．
本题考查实数的混合运算和分式的化简,能理解对应的运算法则且注意运算顺序是解题的关键
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
17. 已知一组数据，把这组数据的每个数都减去，得到一组新数据．将这两组数据分别在图1、图2中画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数．
（1）请在两个网格图中画出相应图形；
（2）观察你画两个图形，通过计算可以发现：
①这组数据中的每个数据都减去，得到的这组新数据的平均数比原数据的平均数（ ）
A．增加 B．减少 C．不变
②这组数据中的每个数据都减去，得到的一组新数据的方差______．（填“变大”“变小”或“不变”）．
（3）根据你的结论解决问题：
若一组数据的平均数为，方差为，那么数据的平均数是______，方差是______．
【答案】（1）见解析 （2）①B；②不变
（3），
【解析】
【分析】本题考查折线统计图、平均数与方差，解题的关键是明确题意，理解方差和平均数的意义，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意画出图形即可；
（2）①根据图形，结合平均数的定义即可求解；②根据图形，结合方差的意义即可求解；
（3）根据（2）的结论即可求解．
【小问1详解】
【小问2详解】
观察图形，可以发现：
①一组数据中每个数据减去一个相同的实数，得到一组新数据的平均数减少．
故答案为：B；
②一组数据中每个数据减去一个相同的实数，得到一组新数据的方差不变．
故答案为：不变；
【小问3详解】
根据（2）的结论可知：
若一组数据，，，，的平均数为，方差为，那么数据的平均数是，方差是．
故答案为：，．
18. 如图，在中，．用无刻度的直尺和圆规作直线，使得直线将分割成两个等腰三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】作图见解析，理由见解析
【解析】
【分析】作的垂直平分线得到的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到两个等腰三角形．
本题考查学生动手尺规作图垂直平分线，属于基本作图，理解垂直平分线的性质及等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：如图，即为所求．理由如下：
直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，
．
．
，
，．
．
．
和都是等腰三角形．
19. 火灾是一种常见而严重的灾害，它不仅威胁着人们的生命财产安全，还可能对社会的稳定和发展造成严重影响．在面对火灾危险时，消防车被视为消防救援的主要装备之一，它们携带着各种灭火设备和救援工具，是保护公众安全、扑灭火灾的重要力量．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一水平线上，点D，B，O在同一直线上，为云梯的液压杆，可绕着点O旋转，其中套管的长度不变，可伸缩，在某种工作状态下液压杆m，，．求的长．（参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点B作于点E．
在Rt中，，m，
（m）．
在Rt中，，（m），
（m）．
答：的长为．
20. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛距离x为，求火焰的像高y；
（3）根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？
【答案】（1）
（2）火焰的像高为
（3）若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意可设，然后用待定系数法即可解答；
（2）把代入中，进行计算即可解答；
（3）利用（2）的结论进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：设，把，代入中，
解得．
y关于x的函数表达式为．
【小问2详解】
把代入中，解得．
火焰的像高为．
【小问3详解】
由（2）可得，当时，．
由的图象可得，当时，y随x的增大而减小，
若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是．
21. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买9个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需元，购买3个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元．
（2）若要购买这两种纪念品共个，且购买费用不多于元，最多能买多少个甲种纪念品？
【答案】（1）购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需5元
（2）最多能买个甲种纪念品
【解析】
【分析】（1）根据题目中的等量关系设未知数列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题目中的不等关系设未知数列一元一次不等式求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，能抓住题目中的等量关系列式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元．
根据题意，得，解得．
答：购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需5元．
【小问2详解】
设购买m个甲种纪念品，则购买个乙种纪念品．
根据题意，得，
解得．
答：最多能买个甲种纪念品．
22
九年级教材内容改编 结合教材图形给出新定义
对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形． 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心
（1）①在图1中位似中心是点______；
②______多边形是特殊的______多边形；（填“位似”或“相似”）
（2）如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点0重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似．
①画出（不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点，的坐标；
②直线与二次函数的图象交于点M，与经过O，，三点的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点，，且满足，则]．
【答案】（1）①P；②位似，相似．
（2）①图见解析，点，的坐标分别为，；
②和是位似三角形，见解析．
【解析】
【分析】（1）根据位似的概念可知图中的位似中心以及位似多边形是特殊的相似多边形；
（2）点B的横坐标与纵坐标相等可联立二次函数表达式与求得点B的坐标，根据位似的概念可求出点A的坐标．运用待定系数法可求出过O，，三点的抛物线的表达式为，通过联立二次函数解析式与可求得点M和N的坐标，最后根据题目中的提示即可得出结论．
小问1详解】
解∶①在图1中可观察得到位似中心为点P；
②根据位似的概念可知，位似多边形为特殊的相似多边形．
【小问2详解】
①，如图所示．
点B的横坐标与纵坐标相等，
点B在直线上．
令，
解得，（舍去），
则点B的坐标为．
令，解得，．
点A的坐标为．
点O为位似中心，相似比为，
．
点，的坐标分别为，．
②和是位似三角形．
理由如下：
新抛物线经过点O，，，
可设新抛物线的表达式为．
将代入，得，
解得．
经过O，，三点的抛物线的表达式为．
令，
解得，（舍去）．
即点．
同理可得，点．
．
，
和是位似三角形．
【点睛】本题考查了位似的概念及位似与二次函数结合的应用问题，考查了二次函数与直线的交点和用待定系数法求二次函数的表达式．理解位似的概念是本题的难点，能熟练运用待定系数法求出二次函数表达式并将二次函数表达式与含参数的一次函数解析式联立求解是解决本题的关键．
23. （1）如图1，在正方形，点E，F分别在边和上，．求证：；
（2）如图2，在矩形中，将四边形折叠，得到四边形，交于点H，点A落在边上的点E处，折痕交边于F，交边于G，连接交于点O．若，且，，求与的长．
【答案】（1）见解析；（2），．
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，再结合和可利用证明全等三角形，最后利用全等三角形的对应角相等可得．
（2）在矩形中根据折叠的性质及可证，根据相似比可解得，由的三边关系可计算得到和，接着求，最后用勾股定理求．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，．
又，
．
．
，
．
（2）解：如图，过点G作于点N，过点P向作垂线，交的延长线于点M．
由折叠可知，，．
．
，
．
．
又，
．
．
．
，
，
．
．
设，则，．
．
在Rt中，．
．．
，．
，，
．
．
，．
又，
．
．
，．
【点睛】本题考查正方形和矩形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理，能灵活运用以上知识点在有关于折叠的图形中分析是解决问题的关键．2024年河南省中招考试模拟试卷（三）
数学
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 在实数，，，中，最小的数是（ ）
A B. C. D.
2. 如图是由大小相同的小正方体拼成的几何体，若移走一块小正方体后，几何体的左视图发生改变，则移走的小正方体是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
3. 2023年河南省郑洛新国家自主创新示范区（下称：自创区）主要经济指标实现稳步增长．初步核算，2023年自创区核心区实现地区生产总值约1026亿元，同比增长6.3%，高于全省增速2.2个百分点．数据“1026亿”用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 如图，在等腰三角形中，，将其沿折叠使点C与点D重合，延长至点F，至点E，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，不能形成通路的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（ ）
A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
10. 如图，在中，，，，点在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于两点；（2）再分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）连接并延长，分别交，于两点．若，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个对称轴是y轴二次函数的解析式_____．
12. 某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是______．
13. 已知二元一次方程组，则的值为______．
14. 将半径为1、圆心角为的扇形纸片按如图所示的位置放于平面直角坐标系中，现将扇形纸片沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点，…的位置上，则点的横坐标为______．
15. 如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得．，则线段的最小值为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 已知一组数据，把这组数据的每个数都减去，得到一组新数据．将这两组数据分别在图1、图2中画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数．
（1）请在两个网格图中画出相应图形；
（2）观察你画两个图形，通过计算可以发现：
①这组数据中的每个数据都减去，得到的这组新数据的平均数比原数据的平均数（ ）
A．增加 B．减少 C．不变
②这组数据中的每个数据都减去，得到的一组新数据的方差______．（填“变大”“变小”或“不变”）．
（3）根据你的结论解决问题：
若一组数据的平均数为，方差为，那么数据的平均数是______，方差是______．
18. 如图，在中，．用无刻度的直尺和圆规作直线，使得直线将分割成两个等腰三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）
19. 火灾是一种常见而严重的灾害，它不仅威胁着人们的生命财产安全，还可能对社会的稳定和发展造成严重影响．在面对火灾危险时，消防车被视为消防救援的主要装备之一，它们携带着各种灭火设备和救援工具，是保护公众安全、扑灭火灾的重要力量．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一水平线上，点D，B，O在同一直线上，为云梯的液压杆，可绕着点O旋转，其中套管的长度不变，可伸缩，在某种工作状态下液压杆m，，．求的长．（参考数据：，，）
20. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y；
（3）根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？
21. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买9个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需元，购买3个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元．
（2）若要购买这两种纪念品共个，且购买费用不多于元，最多能买多少个甲种纪念品？
22.
九年级教材内容改编 结合教材图形给出新定义
对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形． 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心
（1）①在图1中位似中心是点______；
②______多边形是特殊______多边形；（填“位似”或“相似”）
（2）如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点0重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似．
①画出（不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点，的坐标；
②直线与二次函数的图象交于点M，与经过O，，三点的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点，，且满足，则]．
23. （1）如图1，在正方形，点E，F分别在边和上，．求证：；
（2）如图2，在矩形中，将四边形折叠，得到四边形，交于点H，点A落在边上的点E处，折痕交边于F，交边于G，连接交于点O．若，且，，求与的长．

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