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对《二次根式》一章的分析
从有理数扩充到实数以后，《二次根式》一章包括了是实数范畴的基础概念和运算特点，正是由于一些看似简单而实际深刻的概念，看似灵活而实际富有规律的解题方法，构成了本章独特的风景，是一席滋润数学修养的丰厚大餐。
一、深刻理解二次根式的三个基础概念，在洞悉问题的本质上下工夫
1、二次根式——双重身分的代表
第一，，是一个非负数，这是二次根式存在的条件，用文学字眼可以比喻为：内在的刚强；第二，，也是一个非负数，这是二次根式具备的性质特征，是由算术平方根意义的产物，可以与，对比加深理解。
例1若，则
点拨：∵∴＜1，∴=。
例2若a、b的实数，且，则=
点拨：∵，，∴，而，∴，∴，∴===。
2、最简二次根式——两种标准的共同验证
辨别最简二次根式，课本中明确提出了两条标准：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。“两个不”关注的都是“”内的运算，（1）否定的是“除” ；（2）明确的是“乘”，是因数或因式分解之后的指数大小不能超过1。
例3 下列各式中属于最简二次根式的是（ ）A B C D
点拨：B，C不符合标准（2），D不符合标准（1）,选A。
3、同类二次根式——简化之后的对照
同类二次根式，其突出的是两个二次根式最简化之后的根号内形式的一致性。不难理解：两个同类二次根式可以合并，可是另一个角度：如果两个二次根式可以合并，那么一定是同类二次根式，却往往被忽略。
例4已知是最简二次根式，它与是同类二次根式，下面正确的是（ ）A B C D
点拨：∵不是最简二次根式，∴需要化简为：，于是，有，∴，∴选（C）
例5已知，都是正整数，且满足：，求的值。
点拨：先化简，由于与合并为，都是正整数，所以，可设：，，且为正整数，代入已知等式得，，所以，，所以，。
二、精心体验二次根式的基本变形及运算技巧，培养简洁、合理的运算能力
1、熟记10到20之间的平方数；
2、熟记几组勾股数；，，，这是轻松求出，等问题的需要。
3、迅速对20到100之间的自然数分解质因数；
4、熟悉基础变形：如果，那么
（1）；（2）；（3）；（4）； （5）。
具有这些结构的算式一旦在题目中出现，要能够准确发现和灵活当运用，从而简化运算。
例如6 计算：，
其中：。
点拨：观察算式的结构特征，可以用公式变形简化运算。
原式=
=
=。
当时，
原式=2=8。
例7 已知：，求（1）（2）（3）
（4）
点拨：（1）“配方”变形：=；
（2）提分解变形：原式==。
（3）用分式性质，分子、分母同除以，向已知靠拢，原式===；
（4）分子、分母同除以，原式===.
例8 化简：
点拨：发现题目中的数1992，1993，1994比较大，把数用字母表示。
记，原式====1993。
如果，求的值。
点拨：通过分解因式转化已知。已知变形为，
∴，注意到，∴，∴，，代入得，原式==。
例10 计算：
点拨：原式===。
例11
点拨：分母有理化后，可以交错相消。
原式
=
==900。
三、恰当把握习题中的关键环节
1、要充分注意题目中的隐含条件
已知：，化箭：
点拨：已知条件中的二次根式存在，须于是，，∴。
原式===。
要深刻领悟配方法的精神实质
例13 在实数范围内解方程：
点拨：瞄准乘积项：，组织平方项：和1；和1；和1，于是原方程可化为：
[]+[]+[]=0，
∴，
∴∴
例14 化简：。
点拨：题目中 “大”根号内必须转化为平方式，注意到是乘积项，但还少了“2”倍，因此，运用分式的性质转化。
===。
要把数轴作为思维的工具
实数满足，的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）任意实数。
点拨：用“零点分段法”，把数轴分为三段讨论：
∵（1）当时，左式=（2）当时，左式=（3）当时，左式=，∴选（C）。
简洁的方法是：∵表示点到点的距离，于是，若落在“线段79”之外，则+＞2，不符合题意，∴选（C）。
4、要注意区分解题的细节，避免失误
例15 下面运算过程是否正确，指明正确答案。
（1）；（2）；
（3）已知0＜,并且，；
点拨：（1）隐含着：＜0，∴，；
（2）注意＜，∴，；
（3）∵0＜,∴＜，∴＜0，答案不是双解，而是单解：。

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