资源简介

考情分析
试题情境 生活实践类 生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类 小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型
第1课时　曲线运动　运动的合成与分解
目标要求　1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
考点一　曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
(1)a恒定：匀变速曲线运动；
(2)a变化：非匀变速曲线运动。
3．做曲线运动的条件：
4．速率变化的判断
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(　×　)
2．做曲线运动的物体的位移一定小于路程。(　√　)
3．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。(　×　)
4．做曲线运动的物体所受合力方向与速度方向有时可以在同一直线上。(　×　)
例1　(2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　　)
答案　D
解析　小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C错误，D正确。
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
1．速度方向与运动轨迹相切；
2．合力方向指向曲线的“凹”侧；
3．运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
考点二　运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
3．运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
1．合运动的速度一定比分运动的速度大。(　×　)
2．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(　×　)
3．曲线运动一定不是匀变速运动。(　×　)
例2　跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案　C
解析　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间和着地时竖直方向的速度不变，故A、B错误，C正确；水平风力越大，水平方向的速度越大，则落地时的合速度越大，故D错误。
例3　(2023·河南新乡市检测)快递公司推出了用无人机配送快递的方法。某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向速度vx和竖直方向速度vy与飞行时间t的关系图像分别如图甲、乙所示。规定竖直向上为vy的正方向，下列关于无人机运动的说法正确的是(　　)
A．0～t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．t3～t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t2时刻，无人机的速度大小为
答案　D
解析　在0～t1时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向也做初速度为零的匀加速直线运动，则合运动为匀加速直线运动，选项A错误；在0～t4时间内，无人机竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则在t2时刻，无人机还没有运动到最高点，选项B错误；在t3～t4时间内，无人机水平方向做速度为v0的匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，选项C错误；在t2时刻，无人机的水平速度为v0、竖直速度为v2，则合速度大小为，选项D正确。
判断两个直线运动的合运动性质的方法
1．分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的运动性质。
2．常见的情况：
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
考点三　绳(杆)端速度分解模型
例4　(2024·四川广安第二中学月考)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向所成夹角为θ2时(如图)，下列判断正确的是(　　)
A．P的速率为v
B．P的速率为vsin θ2
C．P处于超重状态
D．P处于失重状态
答案　C
解析　将小车的速度v进行分解，如图所示，则有vP＝vcos θ2，选项A、B错误；
小车向右运动，θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，处于超重状态，选项C正确，D错误。
例5　(2023·河南南阳市检测)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．v1∶v2＝∶3
B．v1∶v2＝3∶7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
答案　B
解析　设当乙球距离起点3 m时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为
v1杆＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sin θ，而v1杆＝v2杆，由题意有cos θ＝，sin θ＝，解得＝，选项A错误，B正确；甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。
1．题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
考点四　小船渡河模型
例6　(多选)(2023·福建泉州市二模)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是(　　)
A．河中水流速度为2.5 m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为24 s
C．小船渡河的最短时间为24 s
D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
答案　BD
解析　河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为t＝＝ s＝24 s，选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝＝ s＝36 s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小s＝＝90 m，选项D正确。
拓展
1．若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
答案　渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。
2．若在A处下游180 m后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
答案　设船恰好到达危险水域边缘，图示方向船速最小，v1′＝v2sin α，tan α＝＝，得α＝30°，所以船的最小速度为v1′＝v2sin 30°＝1.25 m/s。
小船渡河的两类情况
最短时间 最短航程
v船>v水 v船tmin＝ lmin＝d，cos θ＝ lmin＝d·，cos θ＝
课时精练
1．(2024·吉林通化市模拟)关于曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A．曲线运动一定是匀变速运动
B．物体做曲线运动时，加速度一定不为零
C．物体做曲线运动时，不可能受恒力的作用
D．物体做曲线运动时，加速度方向与速度方向可能在同一直线上
答案　B
解析　曲线运动加速度可以恒定，也可以不恒定，A错误；物体做曲线运动时，速度方向时刻改变，速度的变化量一定不为零，则加速度一定不为零，B正确；物体做曲线运动时，可能受恒力的作用，例如平抛运动，C错误；物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在同一直线上，D错误。
2．(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
答案　A
解析　篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。
3．(2024·江西省模拟)潜艇从海水的高密度区驶入低密度区，浮力急剧减小的过程称为“掉深”。如图a所示，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行，t＝0时，该潜艇开始“掉深”，潜艇“掉深”后其竖直方向的速度vy随时间t变化的图像如图b，水平速度vx保持不变，若以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则潜艇“掉深”后的0～30 s内能大致表示其运动轨迹的图形是(　　)
答案　B
4.(多选)(2023·河南郑州市第二十四中学检测)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B在光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.＝
B.＝cos β
C．轻绳拉力一定大于mgsin α
D．斜面受到地面水平向左的摩擦力
答案　ACD
解析　根据A、B沿绳方向的速度相等，有v1cos β＝v2，解得＝，故A正确，B错误；由于A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，轻绳与杆的夹角逐渐减小，则B的速度大小v2逐渐增大，即B沿斜面向上做加速运动，B的加速度沿斜面向上，对B进行受力分析可知轻绳拉力一定大于mgsin α，故C正确；B对斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正确。
5．(2024·湖北省模拟)有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．质点做匀变速直线运动
B．质点所受的合外力为22 N
C．t＝2 s时质点的速度大小为6 m/s
D．零时刻质点的速度大小为5 m/s
答案　D
解析　由题图可知，质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向，在x轴方向上的初速度大小为3 m/s，在y轴方向上的速度大小为4 m/s，则初速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度为ax＝1.5 m/s2，y轴方向上的加速度为零，则合加速度为a＝1.5 m/s2，所以合外力为F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B错误；t＝2 s时质点在x轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速度大小为v＝ m/s>6 m/s，故C错误。
6.在水平面上有A、B两物体，通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，现A物体以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面的夹角分别为α、β时(如图所示)，B物体的速度vB为(绳始终有拉力)(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　将两物体的速度分别沿绳方向和垂直绳方向分解，两物体沿绳方向的分速度大小相等，则有v1cos α＝vBcos β，解得B物体的速度为vB＝，故选D。
7.(多选)如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度均为v0，且两船相遇不影响各自的航行。下列说法正确的是(　　)
A．水流方向向右，大小为v0cos α
B．甲船沿岸方向水平位移为
C．甲乙两船不会在NP上某点相遇
D．两船同时到达河对岸，渡河时间均为
答案　AD
解析　由于乙船恰好到达P点，则水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于水流的速度，即v水＝v0cos α，故A正确；设甲船的过河时间为t，则d＝v0tsin α，甲船水平位移x甲＝(v0cos α＋v水)t，联立解得x甲＝，故B错误；由于乙船沿NP运动，在水流的作用下，甲船到达对岸时，应在P点的右侧，而两船在垂直河岸方向速度相同，一定会相遇，且在NP上某点相遇，故C错误；两船在垂直河岸方向的分速度都为v垂直＝v0sin α，河宽d一定，因此两船同时到达河对岸，渡河时间均为t＝＝，故D正确。
8．(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
答案　D
解析　以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，故选D。
9.(2024·山东泰安市模拟)如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，B点的线速度等于物块的速度在垂直于杆方向上的分速度vB＝vsin θ，则杆的角速度ω＝＝＝，小球A的线速度大小vA＝Lω＝，故选A。
10.(2023·黑龙江哈尔滨市九中二模)如图所示，一竖直杆固定在小车上，杆与小车总质量为M。杆上套有一质量为m的物块，杆与物块间的动摩擦因数为μ＝0.5。对小车施加一水平力，同时释放物块，使小车和物块均由静止开始加速运动，测得t时刻小车的速度为v＝gt，g为重力加速度，不计空气阻力和地面摩擦。则t时刻物块的速度大小为(　　)
A.gt B.gt C．2gt D.gt
答案　B
解析　由于t时刻小车的速度为v＝gt，可知小车的加速度大小为g，方向水平向右，对物块在水平方向有FN＝mg，在竖直方向有mg－μFN＝ma，vy＝at，则t时刻物块的速度大小vt＝，解得vt＝gt，故选B。
11.(2023·山西大同市模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
(2)A、B两点间的距离；
(3)小球的最大速率vmax。
答案　(1)　(2)
(3)
解析　(1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，v02＝2axxmax，
解得xmax＝。
(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
竖直方向上有y＝gt2＝。
(3)小球运动到B点时速率最大，
此时有vx＝v0，vy＝gt，
则vmax＝＝。考情分析
试题情境 生活实践类 生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类 小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型
第1课时　曲线运动　运动的合成与分解
目标要求　1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
考点一　曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的____________。
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是______运动。
(1)a恒定：____________运动；
(2)a变化：非匀变速曲线运动。
3．做曲线运动的条件：
4．速率变化的判断
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(　　)
2．做曲线运动的物体的位移一定小于路程。(　　)
3．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。(　　)
4．做曲线运动的物体所受合力方向与速度方向有时可以在同一直线上。(　　)
例1　(2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　　)
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
1．速度方向与运动轨迹相切；
2．合力方向指向曲线的“凹”侧；
3．运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
考点二　运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知________求合运动。
(2)运动的分解：已知________求分运动。
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循________________。
3．运动分解的原则
根据运动的____________分解，也可采用正交分解法。
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的________相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动____________，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的________。
1．合运动的速度一定比分运动的速度大。(　　)
2．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(　　)
3．曲线运动一定不是匀变速运动。(　　)
例2　跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
例3　(2023·河南新乡市检测)快递公司推出了用无人机配送快递的方法。某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向速度vx和竖直方向速度vy与飞行时间t的关系图像分别如图甲、乙所示。规定竖直向上为vy的正方向，下列关于无人机运动的说法正确的是(　　)
A．0～t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．t3～t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t2时刻，无人机的速度大小为
判断两个直线运动的合运动性质的方法
1．分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的运动性质。
2．常见的情况：
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线 运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
考点三　绳(杆)端速度分解模型
例4　(2024·四川广安第二中学月考)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向所成夹角为θ2时(如图)，下列判断正确的是(　　)
A．P的速率为v B．P的速率为vsin θ2
C．P处于超重状态 D．P处于失重状态
例5　(2023·河南南阳市检测)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．v1∶v2＝∶3
B．v1∶v2＝3∶7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
1．题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
考点四　小船渡河模型
例6　(多选)(2023·福建泉州市二模)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是(　　)
A．河中水流速度为2.5 m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为24 s
C．小船渡河的最短时间为24 s
D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
拓展
1．若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
________________________________________________________________________
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2．若在A处下游180 m后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
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小船渡河的两类情况
最短时间 最短航程
v船>v水 v船tmin＝ lmin＝d，cos θ＝ lmin＝d·，cos θ＝(共64张PPT)
第四章
抛体运动　圆周运动
考
情
分
析
试
题
情
境
生活实践类 生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类 小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型
第
1
课时
曲线运动　运动的合成与分解
目标
要求
1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
内
容
索
引
考点一　曲线运动的条件和特征
考点二　运动的合成与分解
考点三　绳(杆)端速度分解模型
课时精练
考点四　小船渡河模型
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考点一
曲线运动的条件和特征
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的 。
2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是 运动。
(1)a恒定： 运动；
(2)a变化：非匀变速曲线运动。
切线方向
变速
匀变速曲线
3.做曲线运动的条件：
4.速率变化的判断
1.速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(　　)
2.做曲线运动的物体的位移一定小于路程。(　　)
3.做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。(　　)
4.做曲线运动的物体所受合力方向与速度方向有时可以在同一直线上。(　　)
×
√
×
×
例1　(2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是
√
小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B错误；
小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C错误，D正确。
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
1.速度方向与运动轨迹相切；
2.合力方向指向曲线的“凹”侧；
3.运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
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运动的合成与分解
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考点二
1.基本概念
(1)运动的合成：已知 求合运动。
(2)运动的分解：已知 求分运动。
2.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循_________
。
3.运动分解的原则
根据运动的 分解，也可采用正交分解法。
分运动
合运动
平行四边
形定则
实际效果
4.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的 相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动 ，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的 。
时间
独立进行
效果
1.合运动的速度一定比分运动的速度大。(　　)
2.只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(　　)
3.曲线运动一定不是匀变速运动。(　　)
×
×
×
例2　跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是
A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多
B.风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能
对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力无关
D.运动员着地速度与风力无关
√
运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的
运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发
生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方
向的运动，即落地时间和着地时竖直方向的速度不
变，故A、B错误，C正确；
水平风力越大，水平方向的速度越大，则落地时的合速度越大，故D错误。
例3　(2023·河南新乡市检测)快递公司推出了用无人机配送快递的方法。某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向速度vx和竖直方向速度vy与飞行时间t的关系图像分别如图甲、乙所示。规定竖直向上为vy的正方向，下列关于无人机运动的说法正确的是
A.0～t1时间内，无人机做曲线运动
B.t2时刻，无人机运动到最高点
C.t3～t4时间内，无人机做匀变速直线
运动
D.t2时刻，无人机的速度大小为
√
在0～t1时间内，无人机在水平
方向做初速度为零的匀加速直
线运动，在竖直方向也做初速
度为零的匀加速直线运动，则
合运动为匀加速直线运动，选项A错误；
在0～t4时间内，无人机竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则在t2时刻，无人机还没有运动到最高点，选项B错误；
在t3～t4时间内，无人机水平方
向做速度为v0的匀速直线运动，
竖直方向做匀减速直线运动，
则合运动为匀变速曲线运动，选项C错误；
在t2时刻，无人机的水平速度为v0、竖直速度为v2，则合速度大小为 ，选项D正确。
判断两个直线运动的合运动性质的方法
1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的运动性质。
2.常见的情况：
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
返回
绳(杆)端速度分解模型
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考点三
例4　(2024·四川广安第二中学月考)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向所成夹角为θ2时(如图)，下列判断正确的是
A.P的速率为v
B.P的速率为vsin θ2
C.P处于超重状态
D.P处于失重状态
√
将小车的速度v进行分解，如图所示，则有vP＝vcos θ2，选项A、B错误；
小车向右运动，θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，处于超重状态，选项C正确，D错误。
例5　(2023·河南南阳市检测)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
√
甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。
1.题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2.明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
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小船渡河模型
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考点四
例6　(多选)(2023·福建泉州市二模)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是
√
√
河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，选项A错误；
拓展
1.若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
答案　渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。
2.若在A处下游 后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
最短时间 最短航程
v船>v水 v船

小船渡河的两类情况
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课时精练
1.(2024·吉林通化市模拟)关于曲线运动，下列说法正确的是
A.曲线运动一定是匀变速运动
B.物体做曲线运动时，加速度一定不为零
C.物体做曲线运动时，不可能受恒力的作用
D.物体做曲线运动时，加速度方向与速度方向可能在同一直线上
√
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曲线运动加速度可以恒定，也可以不恒定，A错误；
物体做曲线运动时，速度方向时刻改变，速度的变化量一定不为零，则加速度一定不为零，B正确；
物体做曲线运动时，可能受恒力的作用，例如平抛运动，C错误；
物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在同一直线上，D错误。
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2.(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是
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√
篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。
3.(2024·江西省模拟)潜艇从海水的高密度区驶入低密度区，浮力急剧减小的过程称为“掉深”。如图a所示，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行，t＝0时，该潜艇开始“掉深”，潜艇“掉深”后其竖直方向的速度vy随时间t变化的图像如图b，水平速度vx保持不变，若以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，
则潜艇“掉深”后的0～30 s内能大
致表示其运动轨迹的图形是
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√
4.(多选)(2023·河南郑州市第二十四中学检测)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B在光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是
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C.轻绳拉力一定大于mgsin α
D.斜面受到地面水平向左的摩擦力
√
√
√
由于A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀
速运动，轻绳与杆的夹角逐渐减小，则B的速
度大小v2逐渐增大，即B沿斜面向上做加速运
动，B的加速度沿斜面向上，对B进行受力分析可知轻绳拉力一定大于mgsin α，故C正确；
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B对斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正确。
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5.(2024·湖北省模拟)有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是
A.质点做匀变速直线运动
B.质点所受的合外力为22 N
C.t＝2 s时质点的速度大小为6 m/s
D.零时刻质点的速度大小为5 m/s
√
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由题图可知，质点在x轴方向上
做匀加速直线运动，在y轴方向
上做匀速直线运动，合力的方向
沿x轴方向，在x轴方向上的初速
度大小为3 m/s，在y轴方向上的速度大小为4 m/s，则初速度大小v0＝
＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；
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质点在x轴方向上的加速度为
ax＝1.5 m/s2，y轴方向上的加
速度为零，则合加速度为a＝
1.5 m/s2，所以合外力为F＝
ma＝4×1.5 N＝6 N，故B错误；
t＝2 s时质点在x轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速度大小为v＝ ，故C错误。
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6.在水平面上有A、B两物体，通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，现A物体以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面的夹角分别为α、β时(如图所示)，B物体的速度vB为(绳始终有拉力)
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√
将两物体的速度分别沿绳方向和垂直绳方向分解，两物体沿绳方向的分速度大小相等，则有v1cos α＝vBcos β，解得B物体的速度为vB＝ ，故选D。
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7.(多选)如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度均为v0，且两船相遇不影响各自的航行。下列说法正确的是
A.水流方向向右，大小为v0cos α
B.甲船沿岸方向水平位移为
C.甲乙两船不会在NP上某点相遇
D.两船同时到达河对岸，渡河时间均为
√
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√
由于乙船恰好到达P点，则水流方向向右，且乙
船沿河岸方向的分速度恰好等于水流的速度，即
v水＝v0cos α，故A正确；
设甲船的过河时间为t，则d＝v0tsin α，甲船水平
位移x甲＝(v0cos α＋v水)t，联立解得x甲＝ ，故B错误；
由于乙船沿NP运动，在水流的作用下，甲船到达对岸时，应在P点的右侧，而两船在垂直河岸方向速度相同，一定会相遇，且在NP上某点相遇，故C错误；
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8.(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是
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√
以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，故选D。
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9.(2024·山东泰安市模拟)如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为
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10.(2023·黑龙江哈尔滨市九中二模)如图所示，一竖直杆固定在小车上，杆与小车总质量为M。杆上套有一质量为m的物块，杆与物块间的动摩擦因数为μ＝0.5。对小车施加一水平力，同时释放物块，使小车和物块均由静止开始加速运动，测得t时刻小车的速度为v＝gt，g为重力加速度，不计空气阻力和地面摩擦。则t时刻物块的速度大小为
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11.(2023·山西大同市模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运
动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程
中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
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将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，v02＝2axxmax，
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(2)A、B两点间的距离；
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由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
(3)小球的最大速率vmax。
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小球运动到B点时速率最大，
此时有vx＝v0，vy＝gt，
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