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第2课时　抛体运动
目标要求　1.掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。3.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。
考点一　平抛运动的规律
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
4．规律
(1)平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
(2)基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
(3)两个推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。
1．平抛运动的加速度方向与速度方向的夹角逐渐变小。(　√　)
2．做平抛运动的物体单位时间内速度变化量越来越大。(　×　)
3．相等时间内，做平抛运动的物体速度大小变化相同。(　×　)
例1　(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于(　　)
A．20 B．18 C．9.0 D．3.0
答案　B
解析　摩托车从a点做平抛运动到c点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝gt12，可解得v1＝，动能E1＝mv12＝；摩托车从a点做平抛运动到b点，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝gt22，解得v2＝3，动能E2＝mv22＝mgh，故＝18，B正确。
例2　(多选)(2023·广东惠州市一模)“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L。忽略空气阻力，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是(　　)
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量不相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若小面圈刚被抛出时初速度为v0，则L答案　AD
解析　所有小面圈在空中均做平抛运动，竖直方向均为自由落体运动，根据h＝gt2得t＝，
可知所有小面圈在空中运动的时间都相同，A正确；所有小面圈都只受到重力作用，所以加速度均为g，根据Δv＝gt可知所有小面圈在空中运动过程中速度的变化量相同，B错误；若小面圈刚被抛出时初速度为v0，根据水平方向为匀速直线运动，落在锅里的水平距离最小值为L，最大值为3L，有L＝vmint，3L＝vmaxt，t＝，则L1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：
(1)物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度时；
(2)物体的速度方向恰好沿某一方向时。
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键词，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示。 已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝
利用位 移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
例3　(2023·山东聊城市期中)跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0＝20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)，求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
(2)运动员落在B处时的速度大小；
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
答案　(1)3 s　(2)10 m/s　(3)9 m
解析　(1)运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，则有x＝v0t，y＝gt2，由题图可知tan θ＝
联立解得t＝tan θ＝3 s
(2)运动员落在B处时有vx＝v0，vy＝gt
所以vB＝＝10 m/s
(3)取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上，vy′＝v0sin θ＝12 m/s
ay＝－gcos θ＝－8 m/s2
当vy′＝0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有d＝＝9 m。
拓展
1．AB的距离l为多少？
答案　由x＝v0t得x＝60 m，l＝＝75 m。
2．若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多少倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？
答案　由(1)问知t＝tan θ，可知t∝v0，故在空中飞行时间变为原来的倍。由l＝＝＝可知l∝v02，故在斜面上飞行距离变为原来的倍。
3．初速度改变后，落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？
答案　落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不变。
例4　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可得竖直方向的位移y＝R，而vy2＝2gy，tan 30°＝，
联立解得v0＝，
选项A正确，B、C、D错误。
考点三　斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cos θ)t
vx＝v0x＝v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
①射高：h＝＝。
②斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
③射程：s＝v0cos θ·t＝＝，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
例5　(2023·广东广州市二模)如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和篮球的转动，重力加速度g取10 m/s2。求篮球击中篮板时的速度大小。
答案　2.1 m/s
解析　运动员起跳投篮，篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，其逆过程可以看作是平抛运动，则有h3＋h2－h1＝gt12，L1－＝v0t1
代入数据解得v0＝2.1 m/s。
逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
例6　(2023·山东卷·15)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
(1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
(2)已知电容器储存的电能E＝CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15%，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？
答案　(1)60 m　(2)1 000 V
解析　(1)灭火弹做斜上抛运动，
则水平方向上有L＝v0cos θ·t
竖直方向上有H＝v0tsin θ－gt2
代入数据联立解得H＝60 m
(2)根据题意可知Ek＝ηE＝15%×CU2
又因为Ek＝mv02，联立解得U＝1 000 V。
课时精练
1.(多选)如图，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则(　　)
A．a的飞行时间比b长
B．b和c的飞行时间相等
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
答案　BD
解析　平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，因y＝gt2，ya＜yb＝yc，所以b和c的飞行时间相等且比a的飞行时间长，A错误，B正确；因x＝vt，xa＞xb＞xc，ta＜tb＝tc，故va＞vb＞vc，C错误，D正确。
2.(2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是(　　)
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
答案　B
解析　由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B。
3．(2023·湖南卷·2)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　)
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
答案　B
解析　抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；谷粒2做斜抛运动，谷粒1做平抛运动，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。两谷粒从O点运动到P点的水平位移相同，但谷粒2运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。
4.(2023·江苏徐州市三模)如图所示，在海边的山坡上同一位置以相同大小的初速度v0抛出两个石子，速度方向与水平方向夹角均为θ，两石子在同一竖直面内落入水中，不计空气阻力。两石子抛出后(　　)
A．在空中运动时间相同
B．在空中同一高度时速度方向相同
C．落至水面时速度大小不同
D．落至水面时的水平射程相同
答案　B
解析　由斜上抛运动的对称性可知，斜上抛的石子落回到与抛出点同一高度时，竖直方向的分速度与斜下抛的竖直分速度大小v0sin θ相同，方向也相同。如图，从A点经过相同高度，斜上抛石子的状态与斜下抛石子的状态相同，故B正确，C错误；两石子在空中运动的时间差为斜上抛石子在抛出点上方运动的时间，A错误；落至水面时水平射程x＝v0cos θ·t，因两石子运动时间不同，故落至水面时的水平射程不同，D错误。
5．(2024·福建宁德市一模)如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。关于两小球的说法正确的是(　　)
A．两小球的飞行时间均与初速度v0成正比
B．落在b点的小球飞行过程中速度变化快
C．落在a点的小球飞行过程中速度变化大
D．小球落在a点和b点时的速度方向不同
答案　A
解析　设斜面倾角为θ，则tan θ＝＝＝，可得t＝，两小球的飞行时间均与初速度v0成正比，故A正确；
两球抛出后只受重力作用，加速度g相同，所以速度的变化快慢相同，故B错误；
根据题意知，落在a点的小球竖直位移比落在b点的小，根据h＝gt2，可知落在a点的小球运动的时间小于落在b点的，根据Δv＝gt可知，落在a点的小球速度变化小于落在b点的，故C错误；
设小球落到斜面上速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝2tan θ，所以小球落在a点和b点时的速度方向相同，故D错误。
6.(2024·陕西汉中市联考)某次试飞中，轰－20实施对点作业，即对山坡上的目标A进行轰炸。轰－20沿水平方向匀速飞行，飞行高度为H，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹恰好垂直击中A点，整个过程如图所示。已知A点距山坡底端的高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求：
(1)炸弹在空中运动的时间t；
(2)A点到山坡底端的距离d。
答案　(1)　(2)
解析　(1)炸弹在竖直方向做自由落体运动，则有H－h＝gt2，解得t＝
(2)设炸弹的水平位移为x，如图，则有＝，
d2＝x2＋h2
解得d＝。
7.某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　　)
A．0 B．0.1 m C．0.2 m D．0.3 m
答案　C
解析　小球从最高点到右端出口，机械能守恒，有mg(H－h)＝mv2，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识可知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确。
8.(2023·福建宁德市模拟)如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出。球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上。已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则(　　)
A．t1∶t2＝1∶2 B．t1∶t2＝1∶3
C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1
答案　C
解析　由题意可得，对球1，有tan α＝＝，对球2，有tan β＝，又tan α·tan β＝1，联立解得t1∶t2＝2∶1，A、B、D错误，C正确。
9．(多选)(2023·广东广州市实验中学模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼俗和宴饮游戏，如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°，已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8)(　　)
A．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的小
B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长
C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙小
D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所投的箭落入壶口时速度比乙大
答案　AC
解析　根据题意，设位移与水平方向的夹角为θ，速度与水平方向的夹角为α，由平抛运动规律有tan θ＝＝tan α，若两人站在距壶相同水平距离处投壶，则有h甲>h乙，由h＝gt2可得t＝
可知，甲所投的箭在空中运动时间长，由x＝v0t可知，甲所投箭的初速度较小，故A正确，B错误；
若箭在竖直方向下落的高度相等，则箭在空中运动时间相等，且有x甲则甲所投箭的初速度较小，由vy＝gt可知，甲、乙所投的箭落入壶口时竖直速度相等，则由v＝可得，甲所投的箭落入壶口时速度比乙小，故C正确，D错误。
10．(2023·山东菏泽市期中)2022年第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口举行，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成，其场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，AO段为助滑道和起跳区，OB段为倾角α＝30°的着陆坡。运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，到达起跳点O时，借助设备和技巧，以与水平方向成θ＝30°角(起跳角)的方向起跳，最后落在着陆坡面上的C点。已知运动员在O点以20 m/s的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，取g＝10 m/s2。求：
(1)运动员在空中运动的最高点到起跳点O的距离；
(2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小；
(3)OC的距离。
答案　(1)5 m　(2)20 m/s　(3)80 m
解析　(1)从O点起跳的水平速度
vx＝v0cos 30°＝10 m/s
竖直速度vy＝v0sin 30°＝10 m/s
运动员到达空中最高点时竖直速度减为零，则所用时间t＝＝1 s，水平位移x＝vxt＝10 m
竖直位移y＝＝5 m
运动员在空中运动的最高点到起跳点O的距离
s＝＝5 m
(2)沿垂直着陆坡面方向的初速度
vy′＝v0sin 60°＝10 m/s
平行着陆坡面的速度vx′＝v0cos 60°＝10 m/s
垂直着陆坡面的加速度大小
ay＝gcos 30°＝5 m/s2
平行着陆坡面的加速度大小ax＝gsin 30°＝5 m/s2，
经时间t1离着陆坡面最远t1＝＝2 s
此时速度大小为v＝vx′＋axt1＝20 m/s
(3)设OC的距离为L
平行着陆坡面方向运动员做匀加速直线运动，
有L＝vx′t2＋axt22，又t2＝2t1，解得L＝80 m。
11.(多选)(2022·山东卷·11)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为(　　)
A．v＝5 m/s B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
答案　BD
解析　设网球飞出时的速度为v0，竖直方向
v0竖直2＝2g(H－h)
代入数据得v0竖直＝ m/s
＝12 m/s
则v0水平＝ m/s＝5 m/s
网球击出点到P点水平方向的距离
x水平＝v0水平t＝v0水平·＝6 m
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0水平⊥＝v0水平·＝4 m/s
平行墙面的速度分量v0水平∥＝v0水平·＝3 m/s
反弹后，垂直墙面的速度分量
v水平⊥′＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s
则反弹后的网球速度大小为
v水平＝＝3 m/s
网球落到地面的时间
t′＝＝ s＝1.3 s
着地点到墙壁的距离d＝v水平⊥′t′＝3.9 m
故B、D正确，A、C错误。第2课时　抛体运动
目标要求　1.掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。3.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。
考点一　平抛运动的规律
1．定义：将物体以一定的初速度沿________方向抛出，物体只在________作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹是________。
3．研究方法：化曲为直
(1)水平方向：____________运动；
(2)竖直方向：____________运动。
4.规律
(1)平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
(2)基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
(3)两个推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。
1．平抛运动的加速度方向与速度方向的夹角逐渐变小。(　　)
2．做平抛运动的物体单位时间内速度变化量越来越大。(　　)
3．相等时间内，做平抛运动的物体速度大小变化相同。(　　)
例1　(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于(　　)
A．20 B．18 C．9.0 D．3.0
例2　(多选)(2023·广东惠州市一模)“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L。忽略空气阻力，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是(　　)
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量不相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若小面圈刚被抛出时初速度为v0，则L1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：
(1)物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度时；
(2)物体的速度方向恰好沿某一方向时。
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键词，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示。 已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tan θ＝＝
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 已知位移的方向沿斜面向下 分解位移 tan θ＝＝＝
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面 分解位移 tan θ＝＝＝
利用位 移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
例3　(2023·山东聊城市期中)跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0＝20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)，求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
(2)运动员落在B处时的速度大小；
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
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拓展
1．AB的距离l为多少？
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2．若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多少倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？
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3．初速度改变后，落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？
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例4　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　)
A. B.
C. D.
考点三　斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0____________或斜向下方抛出，物体只在________作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹是________。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：________直线运动；
(2)竖直方向：________直线运动。
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cos θ)t
vx＝v0x＝v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
①射高：h＝＝。
②斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
③射程：s＝v0cos θ·t＝＝，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
例5　(2022·广东广州市二模)如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和篮球的转动，重力加速度g取
10 m/s2。求篮球击中篮板时的速度大小。
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逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
例6　(2023·山东卷·15)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
(1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
(2)已知电容器储存的电能E＝CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15%，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？
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第四章
抛体运动　圆周运动
第
2
课时
抛体运动
目标
要求
1.掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。3.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。
内
容
索
引
考点一　平抛运动的规律
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
考点三　斜抛运动
课时精练
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考点一
平抛运动的规律
1.定义：将物体以一定的初速度沿 方向抛出，物体只在 作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的 曲线运动，运动轨迹是 。
3.研究方法：化曲为直
(1)水平方向： 运动；
(2)竖直方向： 运动。
水平
重力
匀变速
抛物线
匀速直线
自由落体
4.规律
(1)平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
(2)基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
v0t
gt
(3)两个推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。
1.平抛运动的加速度方向与速度方向的夹角逐渐变小。(　　)
2.做平抛运动的物体单位时间内速度变化量越来越大。(　　)
3.相等时间内，做平抛运动的物体速度大小变化相同。(　　)
√
×
×
例1　(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。 等于
A.20 B.18
C.9.0 D.3.0
√
例2　(多选)(2023·广东惠州市一模)“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L。忽略空气阻力，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是
A.运动的时间都相同
B.速度的变化量不相同
C.落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
√
√
可知所有小面圈在空中运动的时间都相同，A正确；
所有小面圈都只受到重力作用，所以加速度均为g，
根据Δv＝gt可知所有小面圈在空中运动过程中速度的变化量相同，B错误；
1.平抛运动的临界问题有两种常见情形：
(1)物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度时；
(2)物体的速度方向恰好沿某一方向时。
2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键词，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
返回
与斜面或圆弧面有关的平抛运动
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考点二
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜 面上，如图所示。 已知速度的方向垂直于斜面
从圆弧形轨道外平抛， 恰好无碰撞地进入圆 弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向
已知条件 情景示例 解题策略
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜 面上，如图所示。 已知位移的方向沿斜面向下
在斜面外平抛，落在斜面 上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面
已知条件 情景示例 解题策略
利用位 移关系 从圆心处水平抛出，落到半 径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R
已知条件 情景示例 解题策略
利用位 移关系 从与圆心等高的圆弧上水 平抛出，落到半径为R的 圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
例3　(2023·山东聊城市期中)跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0＝20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，
不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，
g＝10 m/s2)，求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
答案　3 s
(2)运动员落在B处时的速度大小；
运动员落在B处时有vx＝v0，vy＝gt
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
答案　9 m
取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上，vy′＝v0sin θ＝12 m/s
ay＝－gcos θ＝－8 m/s2
拓展
1.AB的距离l为多少？
2.若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多少倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？
3.初速度改变后，落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？
答案　落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不变。
例4　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为
√
返回
斜抛运动
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考点三
1.定义：将物体以初速度v0 或斜向下方抛出，物体只在 作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的 曲线运动，运动轨迹是 。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向： 直线运动；
(2)竖直方向： 直线运动。
斜向上方
重力
匀变速
抛物线
匀速
匀变速
4.基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cos θ)t
vx＝v0x＝v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
例5　(2023·广东广州市二模)如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和
篮球的转动，重力加速度g取10 m/s2。求篮
球击中篮板时的速度大小。
答案　2.1 m/s
逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
例6　(2023·山东卷·15)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水
平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面
高度及空气阻力，取重力加速度大小
g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
(1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
答案　60 m
灭火弹做斜上抛运动，
则水平方向上有L＝v0cos θ·t
代入数据联立解得H＝60 m
(2)已知电容器储存的电能E＝ ，转化为灭火弹动能的效率η＝15%，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？
返回
课时精练
1.(多选)如图，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则
A.a的飞行时间比b长
B.b和c的飞行时间相等
C.a的水平速度比b的小
D.b的初速度比c的大
√
1
2
3
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5
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11
√
平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，因y＝ ，ya＜yb＝yc，所以b和c的飞行时间相等且比a的飞行时间长，A错误，B正确；
因x＝vt，xa＞xb＞xc，ta＜tb＝tc，故va＞vb＞vc，C错误，D正确。
1
2
3
4
5
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10
11
2.(2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是
1
2
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4
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√
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11
3.(2023·湖南卷·2)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
√
1
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4
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11
抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为
重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，
A错误；
谷粒2做斜抛运动，谷粒1做平抛运动，在竖直方向
上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；
谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。两谷粒从O点运动到P点的水平位移相同，但谷粒2运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即最高点的速度小于v1，B正确；
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两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。
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11
4.(2023·江苏徐州市三模)如图所示，在海边的山坡上同一位置以相同大小的初速度v0抛出两个石子，速度方向与水平方向夹角均为θ，两石子在同一竖直面内落入水中，不计空气阻力。两石子抛出后
A.在空中运动时间相同
B.在空中同一高度时速度方向相同
C.落至水面时速度大小不同
D.落至水面时的水平射程相同
√
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11
由斜上抛运动的对称性可知，斜上抛的石子落回到与
抛出点同一高度时，竖直方向的分速度与斜下抛的竖
直分速度大小v0sin θ相同，方向也相同。如图，从A点经过相同高度，斜上抛石子的状态与斜下抛石子的状态相同，故B正确，C错误；
两石子在空中运动的时间差为斜上抛石子在抛出点上方运动的时间，A错误；
落至水面时水平射程x＝v0cos θ·t，因两石子运动时间不同，故落至水面时的水平射程不同，D错误。
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5.(2024·福建宁德市一模)如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。关于两小球的说法正确的是
A.两小球的飞行时间均与初速度v0成正比
B.落在b点的小球飞行过程中速度变化快
C.落在a点的小球飞行过程中速度变化大
D.小球落在a点和b点时的速度方向不同
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√
根据题意知，落在a点的小球竖直位移比落在b点的小，根据h＝ ，可知落在a点的小球运动的时间小于落在b点的，根据Δv＝gt可知，落在a点的小球速度变化小于落在b点的，故C错误；
两球抛出后只受重力作用，加速度g相同，所以速度的变化快慢相同，故B错误；
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设小球落到斜面上速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝2tan θ，所以小球落在a点和b点时的速度方向相同，故D错误。
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11
6.(2024·陕西汉中市联考)某次试飞中，轰－20实施对点作业，即对山坡上的目标A进行轰炸。轰－20沿水平方向匀速飞行，飞行高度为H，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹恰好垂直击中A点，整个过程如图所示。已知A点距山坡底端的高度为h，不计空气
阻力，重力加速度大小为g，求：
(1)炸弹在空中运动的时间t；
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(2)A点到山坡底端的距离d。
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d2＝x2＋h2
7.某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使
小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应
设计为
A.0 B.0.1 m
C.0.2 m D.0.3 m
√
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8.(2023·福建宁德市模拟)如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出。球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上。已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则
A.t1∶t2＝1∶2 B.t1∶t2＝1∶3
C.t1∶t2＝2∶1 D.t1∶t2＝3∶1
√
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9.(多选)(2023·广东广州市实验中学模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼俗和宴饮游戏，如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°，已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8)
A.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投
箭的初速度比乙的小
B.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投
的箭在空中运动时间比甲的长
C.若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙小
D.若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所投的箭落入壶口时速度比乙大
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可知，甲所投的箭在空中运动时间长，由x＝v0t可知，甲所投箭的初速度较小，故A正确，B错误；
若箭在竖直方向下落的高度相等，则箭在
空中运动时间相等，且有x甲则甲所投箭的初速度较小，由vy＝gt可知，
甲、乙所投的箭落入壶口时竖直速度相等，则由v＝ 可得，甲所投的箭落入壶口时速度比乙小，故C正确，D错误。
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10.(2023·山东菏泽市期中)2022年第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口举行，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成，其场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，AO段为助滑道和起跳区，OB段为倾角α＝30°的着陆坡。运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，到达起跳点O时，借助设备和技巧，以与水平方向成θ＝30°角(起跳角)的方向起跳，最后落在着
陆坡面上的C点。已知运动员在O点
以20 m/s的速率起跳，轨迹如图，不
计一切阻力，取g＝10 m/s2。求：
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(1)运动员在空中运动的最高点到起跳点O的距离；
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从O点起跳的水平速度
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竖直速度vy＝v0sin 30°＝10 m/s
(2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小；
1
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答案　20 m/s
沿垂直着陆坡面方向的初速度
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平行着陆坡面的速度vx′＝v0cos 60°＝10 m/s
垂直着陆坡面的加速度大小
平行着陆坡面的加速度大小ax＝gsin 30°＝5 m/s2，
此时速度大小为v＝vx′＋axt1＝20 m/s
(3)OC的距离。
1
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答案　80 m
设OC的距离为L
平行着陆坡面方向运动员做匀加速直线运动，
11.(多选)(2022·山东卷·11)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的
速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后
的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为
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5
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√
√
设网球飞出时的速度为v0，竖直方向v0竖直2＝2g(H－h)
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网球击出点到P点水平方向的距离
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反弹后，垂直墙面的速度分量
v水平⊥′＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s
则反弹后的网球速度大小为
网球落到地面的时间
着地点到墙壁的距离d＝v水平⊥′t′＝3.9 m
故B、D正确，A、C错误。
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