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第2课时　人造卫星　宇宙速度
目标要求　1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3.会分析天体的“追及”问题。
考点一　卫星运行参量的分析
1．基本公式
(1)线速度大小：由G＝m得v＝。
(2)角速度：由G＝mω2r得ω＝。
(3)周期：由G＝m()2r得T＝2π。
(4)向心加速度：由G＝man得an＝。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。
2．“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)同步卫星
①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h。
③高度固定不变，h＝3.6×107 m。
④运行速率约为v＝3.1 km/s。
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
思考　(1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止轨道卫星吗？
(3)赤道上停放一待发射卫星A，天空运行一同步卫星B，可以由v＝得A卫星线速度大于B卫星线速度吗？
答案　(1)由a＝及v＝可得卫星运行加速度和速度与卫星质量无关，同一轨道上各卫星具有相同加速度和速度大小
(2)由于静止轨道卫星必须与地球自转同步，且转动中心必须在地心，故静止轨道卫星只能定点在赤道正上方
(3)赤道上停放的物体由万有引力的一个分力提供向心力，故不满足v＝，又由v＝ωr，A、B两卫星具有相同的角速度，故B卫星线速度大。
例1　(多选)(2024·广东江门市联考)某品牌推出了全球首款支持卫星通信的智能手机，该手机的卫星通信功能，可以让我们在无信号环境下，通过天通一号卫星与外界进行联系。目前我国已发射有天通一号01、02、03三颗静止轨道卫星，天通一号卫星的运行轨道距地球表面的高度约为地球半径的5.6倍，关于该系列卫星，下列说法正确的是(　　)
A．不同质量的天通一号卫星的速率不相等
B．运行速度都小于7.9 km/s
C．可以在北京的上空保持相对静止
D．向心加速度约为地球表面重力加速度的
答案　BD
解析　根据万有引力提供向心力有G＝m，可得地球卫星的速度大小v＝，天通一号三颗卫星的轨道半径相等，则速率相等，与卫星的质量无关，故A错误；第一宇宙速度7.9 km/s是近地卫星的环绕速度，也是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，而天通一号卫星的轨道半径要大于近地卫星的轨道半径，故天通一号卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，B正确；天通一号卫星在地球静止轨道上运行，不可能在北京的正上空保持相对静止，故C错误；根据万有引力提供向心力可得＝ma，据地球表面万有引力等于重力可得＝mg，联立可得a≈g，故该系列卫星的向心加速度约为地球表面重力加速度的，D正确。
例2　(2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是(　　)
A．周期为2t1－t0
B．半径为
C．角速度的大小为
D．加速度的大小为
答案　B
解析　由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝mr，解得半径为r＝＝，故B正确；P的角速度为ω＝＝，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝()2·＝·，故D错误。
例3　(2023·山东卷·3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　)
A．30π B．30π
C．120π D．120π
答案　C
解析　设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝G，月球绕地球公转，有G＝m月r，r＝60R，联立有T＝120π，故选C。
例4　(多选)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度大小为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　)
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
答案　AD
解析　根据万有引力提供向心力，有G＝m，G＝m′，故＝；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故＝，故选A、D。
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。
比较项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1＝r3
角速度 ω1>ω2＝ω3
线速度 v1>v2>v3
向心加速度 a1>a2>a3
考点二　宇宙速度
三个宇宙速度
第一宇宙速度(环绕速度) v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度
第二宇宙速度(逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
思考　(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R＝6.4×103 km，g＝9.8 m/s2)
答案　(1)由G＝m得v＝
由mg＝m得v＝
(2)近地卫星运行周期T＝2π＝2π s≈85 min。
例5　(2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是(　　)
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案　C
解析　卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由G＝m，可得v＝，故v火∶v地＝1∶，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v火＝ km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s，故B错误；g地＝G，g火＝G，联立可得g地>g火，故D错误。
宇宙速度与运动轨迹的关系
1．v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
2．7.9 km/s3．11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
4．v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
例6　航天员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R。求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小。已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为
r时的引力势能Ep＝－G。(G为引力常量)
答案　(1)　(2)
解析　(1)由题意可知该星球表面重力加速度为
g＝，由万有引力定律知mg＝m
解得v1＝＝。
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知＝mg，又星球表面Ep＝－G，可得Ep＝
－，由机械能守恒定律有mv22－＝0，
解得v2＝。
考点三　天体的“追及”问题
例7　(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　)
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
答案　B
解析　火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的质量比以及火星和地球的半径比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝，要发生下一次“火星冲日”，则有(－)t＝2π，得t＝>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。
天体“追及”问题的处理方法
1．相距最近：两同心转动的卫星(rA2．相距最远：两同心转动的卫星(rA课时精练
1．(多选)关于地球同步卫星，下列说法正确的是(　　)
A．它的周期与地球自转周期相同
B．它的周期、高度、速度大小都是一定的
C．它的速度大小随高度的变化而变化，但周期都是一定的
D．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
答案　AB
解析　地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，A正确；根据G＝m＝mr可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，B正确，C错误；我国发射的同步通信卫星不可以定点在北京上空， D错误。
2．设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　)
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
答案　C
解析　根据G＝man，可得an＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不相同。故选C。
3．(多选)(2023·北京市海淀区期中)我国航天事业处于世界领先地位。我国自行研制的风云二号气象卫星和神舟号飞船都绕地球做匀速圆周运动。风云二号离地面的高度是36 000 km，神舟号飞船离地面的高度是340 km。以下说法中正确的是(　　)
A．它们的线速度都大于第一宇宙速度
B．风云二号的向心加速度小于神舟号飞船的向心加速度
C．风云二号的线速度大于神舟号飞船的线速度
D．风云二号的周期大于神舟号飞船的周期
答案　BD
解析　根据万有引力提供做圆周运动的向心力有＝m＝ma＝mr，可得v＝，a＝，T＝。因为第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，由v＝知它们的线速度都小于第一宇宙速度，且轨道半径大的线速度小，故A、C错误；由a＝知轨道半径大的向心加速度小，故B正确；由T＝知轨道半径大的周期大，故D正确。
4．(2023·浙江6月选考·9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则(　　)
A．木卫一轨道半径为r
B．木卫二轨道半径为r
C．周期T与T0之比为
D．木星质量与地球质量之比为n3
答案　D
解析　根据题意可得，木卫三的轨道半径为r3＝nr。根据万有引力提供向心力有G＝m三r3，可得r3＝，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径为r1＝，木卫二轨道半径为r2＝，故A、B错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；根据万有引力提供向心力，分别有G＝m三nr，G＝m月r，联立可得＝n3，故D正确。
5．(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是(　　)
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
答案　A
解析　因为“夸父一号”轨道要始终保持太阳光能照射到，则在一年之内转动360°，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据G＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题干信息不能求出日地间平均距离，故D错误。
6．(2023·广东茂名市模拟)如图，“嫦娥五号”、“天问一号”探测器分别在近月、近火星轨道运行。已知火星的质量为月球质量的9倍、半径为月球半径的2倍。假设月球、火星均可视为质量均匀分布的球体，忽略其自转影响，则(　　)
A．月球表面重力加速度比火星表面重力加速度大
B．月球的第一宇宙速度比火星的第一宇宙速度大
C．质量相同的物体在月球、火星表面所受万有引力大小相等
D．“嫦娥五号”绕月周期比“天问一号”绕火星周期大
答案　D
解析　由mg＝G，可得g＝，结合题意可得g月＝g火，A项错误；由mg＝m可知v＝，所以v月＝v火，B项错误；由F引＝G，可知F月＝F火，C项错误；由G＝m()2r，可知T＝2π，所以T月＝T火，D项正确。
7．(2023·湖北武汉市华中师范大学第一附属中学检测)在某国产科幻电影中，太空电梯是其重要的科幻元素，其结构主要由地面基座、缆绳、空间站、平衡锤、运载舱组成，如图所示。地面基座为缆绳的起始段，主要起到固定作用，空间站位于距离地表36 000 km的地球静止同步卫星轨道，并在距离地表90 000 km的尾端设置了平衡锤，空间站、平衡锤、地面基座之间由若干碳纳米缆绳垂直连接，运载舱可沿缆绳上下运动。已知空间站、平衡锤与地球自转保持同步，则(　　)
A．平衡锤的加速度小于空间站的加速度
B．平衡锤的线速度小于空间站的线速度
C．平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对它的万有引力
D．若平衡锤与空间站之间的缆绳断裂，平衡锤将坠落地面
答案　C
解析　平衡锤和空间站的角速度相等，根据a＝rω2，可知平衡锤的加速度大于空间站的加速度；根据v＝rω，可知平衡锤的线速度大于空间站的线速度，故A、B错误；平衡锤受拉力和万有引力共同作用提供向心力，所以平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对它的万有引力，故C正确；若平衡锤与空间站之间的缆绳断裂，则平衡锤所受引力不足以提供向心力，平衡锤做离心运动，故D错误。
8.(2023·海南琼海市嘉积中学模拟)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止轨道卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是(　　)
A．地球同步卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C．a与地球的万有引力全部提供a随地球自转的向心力
D．a、b、c做匀速圆周运动的周期大小关系为Ta＝Tc>Tb
答案　D
解析　地球同步卫星不一定与c在同一个轨道上，但轨道半径相等，卫星的质量不相等，由万有引力定律F＝可知，它们受到的万有引力大小不相等，A错误；对于b、c，由万有引力提供向心力有G＝ma，解得 a＝，rc＞rb，所以 ab＞ac，由于a、c做匀速圆周运动的周期相等，又a＝rω2，rc＞ra，可得 ac＞aa，所以a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 ab＞ac＞aa，B错误；a与地球的万有引力一部分提供a随地球自转的向心力，C错误；对于a、c，其周期相等，所以 Ta＝Tc，对于b、c，由万有引力提供向心力有G＝mr，解得T＝2π，rc＞rb，所以Tc＞Tb，即a、b、c做匀速圆周运动的周期大小关系为 Ta＝Tc>Tb，D正确。
9．(2024·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步。已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由G＝m，得到星球的第一宇宙速度v＝，设地球的第一宇宙速度为v1，由g＝ωv1＝v1，得v1＝，设火星的第一宇宙速度为v2，则＝·，代入数据解得v2＝v1＝，故选B。
10.(2024·广西南宁市模拟)2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第56颗北斗导航卫星。该卫星属地球静止轨道卫星，是唯一一颗高轨备份卫星。图为其绕地球运行的示意图，测得该卫星在t时间内沿顺时针从A点运动到B点，这段圆弧对应的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则该卫星运动的(　　)
A．线速度大小为
B．周期为T＝
C．向心加速度大小为
D．轨道半径为
答案　B
解析　由T＝和ω＝得T＝，故B正确；由万有引力提供向心力有G＝m()2r，又v＝ωr，G＝mg，联立解得v＝，r＝，故A、D错误；由a＝ω2r，ω＝，r＝，联立解得a＝，故C错误。
11.(多选)(2023·河南开封市期末)我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为T1，卫星B的运行周期为T2，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是(　　)
A．卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为aA＝aCB．卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星A
C．经过时间，卫星A与卫星B又一次相距最近
D．卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度
答案　AC
解析　根据G＝ma，得a＝G，由题图可知rA＝rC>rB，则aA＝aC12．(多选)(2023·山东泰安市模拟)2021年2月10日，在历经近7个月的太空飞行后，我国首个火星探测器“天问一号”成功“太空刹车”，顺利被火星捕获，进入环火星轨道。物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能Ep＝－(式中G为引力常量)。已知地球半径约为6 400 km，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的。则以下“天问一号”相对于火星的速度大于火星第二宇宙速度的是(　　)
A．7.9 km/s B．5.5 km/s
C．4.0 km/s D．3.2 km/s
答案　AB
解析　设物体在星球表面的速度为v2，当它脱离该星球引力时r→∞，此时速度为零，由机械能守恒定律得mv22－＝0，解得星球的第二宇宙速度v2＝。第一宇宙速度是星球表面附近卫星的最大环绕速度，由G＝m，解得v1＝，故火星第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比＝＝，又v火2＝v火1，代入数据解得火星第二宇宙速度v火2≈5.27 km/s，故选A、B。第2课时　人造卫星　宇宙速度
目标要求　1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3.会分析天体的“追及”问题。
考点一　卫星运行参量的分析
1．基本公式
(1)线速度大小：由G＝m得v＝________。
(2)角速度：由G＝mω2r得ω＝________。
(3)周期：由G＝m()2r得T＝________。
(4)向心加速度：由G＝man得an＝________。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an________，T________，即越高越________。
2．“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得________。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)同步卫星
①静止卫星的轨道平面与____________共面，且与地球自转的方向相同。
②周期与地球自转周期相等，T＝________。
③高度固定不变，h＝3.6×107 m。
④运行速率约为v＝3.1 km/s。
(3)近地卫星：轨道在____________附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
思考　(1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止轨道卫星吗？
(3)赤道上停放一待发射卫星A，天空运行一同步卫星B，可以由v＝得A卫星线速度大于B卫星线速度吗？
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A．不同质量的天通一号卫星的速率不相等
B．运行速度都小于7.9 km/s
C．可以在北京的上空保持相对静止
D．向心加速度约为地球表面重力加速度的
例2　(2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是(　　)
A．周期为2t1－t0
B．半径为
C．角速度的大小为
D．加速度的大小为
例3　(2023·山东卷·3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　)
A．30π B．30π
C．120π D．120π
例4　(多选)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度大小为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　)
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。
比较项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1＝r3
角速度 ω1>ω2＝ω3
线速度 v1>v2>v3
向心加速度 a1>a2>a3
考点二　宇宙速度
三个宇宙速度
第一宇宙速度(环绕速度) v1＝________ km/s，是人造地球卫星的________发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度
第二宇宙速度(逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱______引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱______引力束缚的最小发射速度
思考　(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R=6.4×103 km，g=9.8 m/s2)
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例5　(2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是(　　)
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
宇宙速度与运动轨迹的关系
1．v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
2．7.9 km/s3．11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
4．v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
例6　航天员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R。求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
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(2)该星球的第二宇宙速度的大小。已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－G。(G为引力常量)
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考点三　天体的“追及”问题
例7　(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　)
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
天体“追及”问题的处理方法
1．相距最近：两同心转动的卫星(rA2．相距最远：两同心转动的卫星(rA第五章
万有引力与宇宙航行
第
1
课时
人造卫星　宇宙速度
目标
要求
1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3.会分析天体的“追及”问题。
内
容
索
引
考点一　卫星运行参量的分析
考点二　宇宙速度
考点三　天体的“追及”问题
课时精练
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考点一
卫星运行参量的分析
1.基本公式
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an ，T ，即越高越 。
越小
越大
慢
2.“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝ ，整理可得 。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。
3.人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤
道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静
止卫星的轨道是赤道轨道。
GM＝gR2
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)同步卫星
①静止卫星的轨道平面与 共面，且与
地球自转的方向相同。
②周期与地球自转周期相等，T＝ 。
③高度固定不变，h＝3.6×107 m。
④运行速率约为v＝3.1 km/s。
赤道平面
24 h
(3)近地卫星：轨道在 附近的卫星，其
轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇
宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运
动的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的
最小周期)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
地球表面
思考　(1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止轨道卫星吗？
答案　由于静止轨道卫星必须与地球自转同步，且转动中心必须在地心，故静止轨道卫星只能定点在赤道正上方
例1　(多选)(2024·广东江门市联考)某品牌推出了全球首款支持卫星通信的智能手机，该手机的卫星通信功能，可以让我们在无信号环境下，通过天通一号卫星与外界进行联系。目前我国已发射有天通一号01、02、03三颗静止轨道卫星，天通一号卫星的运行轨道距地球表面的高度约为地球半径的5.6倍，关于该系列卫星，下列说法正确的是
A.不同质量的天通一号卫星的速率不相等
B.运行速度都小于7.9 km/s
C.可以在北京的上空保持相对静止
D.向心加速度约为地球表面重力加速度的
√
√
第一宇宙速度7.9 km/s是近地卫星的环绕速度，也是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，而天通一号卫星的轨道半径要大于近地卫星的轨道半径，故天通一号卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，B正确；
天通一号卫星在地球静止轨道上运行，不可能在北京的正上空保持相对静止，故C错误；
例2　(2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是
√
由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；
例3　(2023·山东卷·3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝ 。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为
√
例4　(多选)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度大小为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是
√
√
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。
比较项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1＝r3
角速度 ω1>ω2＝ω3
线速度 v1>v2>v3
向心加速度 a1>a2>a3
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宇宙速度
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考点二
三个宇宙速度
第一宇宙速度(环绕速度) v1＝ km/s，是人造地球卫星的 发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度
第二宇宙速度(逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱 引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱 引力束缚的最小发射速度
7.9
最小
地球
太阳
思考　(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R＝6.4×103 km，g＝9.8 m/s2)
例5　(2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是
A.若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B.“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C.火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶
D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
√
“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s，故B错误；
宇宙速度与运动轨迹的关系
1.v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
2.7.9 km/s3.11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
4.v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
例6　航天员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R。求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
由题意可知该星球表面重力加速度为
(2)该星球的第二宇宙速度的大小。已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝ (G为引力常量)
返回
天体的“追及”问题
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考点三
例7　(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
√
火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；
在星球表面根据万有引力定律有 ＝mg，由于不知道火星和地球的质量比以及火星和地球的半径比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；
天体“追及”问题的处理方法
1.相距最近：两同心转动的卫星(rA2.相距最远：两同心转动的卫星(rA返回
课时精练
1.(多选)关于地球同步卫星，下列说法正确的是
A.它的周期与地球自转周期相同
B.它的周期、高度、速度大小都是一定的
C.它的速度大小随高度的变化而变化，但周期都是一定的
D.我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
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地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，A正确；
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我国发射的同步通信卫星不可以定点在北京上空，D错误。
2.设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
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3.(多选)(2023·北京市海淀区期中)我国航天事业处于世界领先地位。我国自行研制的风云二号气象卫星和神舟号飞船都绕地球做匀速圆周运动。风云二号离地面的高度是36 000 km，神舟号飞船离地面的高度是340 km。以下说法中正确的是
A.它们的线速度都大于第一宇宙速度
B.风云二号的向心加速度小于神舟号飞船的向心加速度
C.风云二号的线速度大于神舟号飞船的线速度
D.风云二号的周期大于神舟号飞船的周期
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4.(2023·浙江6月选考·9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则
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木卫三围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；
5.(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是
A.“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B.“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C.“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表
面的重力加速度
D.由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
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根据 ＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；
“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题干信息不能求出日地间平均距离，故D错误。
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因为“夸父一号”轨道要始终保持太阳光能照射到，
则在一年之内转动360°，即轨道平面平均每天约转
动1°，故A正确；
第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最
大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；
6.(2023·广东茂名市模拟)如图，“嫦娥五号”、“天问一号”探测器分别在近月、近火星轨道运行。已知火星的质量为月球质量的9倍、半径为月球半径的2倍。假设月球、火星均可视为质量均匀分布的球体，忽略其自转影响，则
A.月球表面重力加速度比火星表面重力加速
度大
B.月球的第一宇宙速度比火星的第一宇宙速
度大
C.质量相同的物体在月球、火星表面所受万有引力大小相等
D.“嫦娥五号”绕月周期比“天问一号”绕火星周期大
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7.(2023·湖北武汉市华中师范大学第一附属中学检测)在某国产科幻电影中，太空电梯是其重要的科幻元素，其结构主要由地面基座、缆绳、空间站、平衡锤、运载舱组成，如图所示。地面基座为缆绳的起始段，主要起到固定作用，空间站位于距离地表36 000 km的地球静止同步卫星轨道，并在距离地表90 000 km的尾端设置了平衡锤，空间站、平衡锤、地面基座之间由若干碳纳米缆绳垂直连接，运载舱可沿缆绳上下运动。已知空间站、平衡锤
与地球自转保持同步，则
A.平衡锤的加速度小于空间站的加速度
B.平衡锤的线速度小于空间站的线速度
C.平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对它的万有引力
D.若平衡锤与空间站之间的缆绳断裂，平衡锤将坠落地面
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平衡锤和空间站的角速度相等，根据a＝rω2，
可知平衡锤的加速度大于空间站的加速度；
根据v＝rω，可知平衡锤的线速度大于空间
站的线速度，故A、B错误；
平衡锤受拉力和万有引力共同作用提供向心
力，所以平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对它的万有引力，故C正确；
若平衡锤与空间站之间的缆绳断裂，则平衡锤所受引力不足以提供向心力，平衡锤做离心运动，故D错误。
8.(2023·海南琼海市嘉积中学模拟)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止轨道卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是
A.地球同步卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受
到的万有引力大小相等
B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C.a与地球的万有引力全部提供a随地球自转的向心力
D.a、b、c做匀速圆周运动的周期大小关系为Ta＝Tc>Tb
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地球同步卫星不一定与c在同一个轨道上，但轨道半径相等，卫星的质量不相等，由万有引力定律F＝ 它们受到的万有引力大小不相等，A错误；
a与地球的万有引力一部分提供a随地球自转的向心力，C错误；
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9.(2024·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步。已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为
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10.(2024·广西南宁市模拟)2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第56颗北斗导航卫星。该卫星属地球静止轨道卫星，是唯一一颗高轨备份卫星。图为其绕地球运行的示意图，测得该卫星在t时间内沿顺时针从A点运动到B点，这段圆弧对应的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则该卫星运动的
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11.(多选)(2023·河南开封市期末)我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为T1，卫星B的运行周期为T2，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是
A.卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为aA＝aCB.卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星A
C.经过时间 ，卫星A与卫星B又一次相距最近
D.卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度
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卫星C向后喷气加速做离心运动，不能追上同轨
道的卫星A，B错误；
第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，则卫星A、C的发射速度大于第一宇宙速度，D错误。
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A.7.9 km/s B.5.5 km/s C.4.0 km/s D.3.2 km/s
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