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第3课时　专题强化：卫星变轨问题　双星模型
目标要求　1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
考点一　卫星的变轨和对接问题
1．卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G(3)在椭圆轨道B点(远地点)，G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。
思考　若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
答案　使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA>v1>v3>vB。
(2)向心加速度
在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系aⅠA＝aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系aⅡB＝aⅢB，A、B两点向心加速度关系aA>aB。(均选填“>”“＝”或“<”)
(3)周期
卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1(4)机械能
在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1例1　(2024·黑龙江哈尔滨市第九中学月考)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则(　　)
A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为()2g
B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
C．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
D．卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能
答案　B
解析　卫星在轨道Ⅲ上运行时，根据万有引力提供向心力得G＝ma＝m，在地球表面附近由mg＝G得GM＝gR2，所以卫星在轨道Ⅲ上的加速度大小为a＝()2g，线速度大小为v＝，故A错误，B正确；卫星的线速度大小为v＝，卫星在圆轨道上运行的动能为Ek＝mv2＝，可知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，故C错误；卫星从轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ要点火加速，机械能增大，从椭圆轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要再次点火加速，机械能继续增大，所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能，故D错误。
例2　北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　)
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
答案　D
解析　根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。
考点二　双星或多星模型
1．双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2。
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1＋r2＝L。
思考　(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？
答案　由v＝ωr，m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝＝，由a＝ω2r及m1ω2r1＝m2ω2r2得＝＝。
(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1＋m2)的关系怎样？
答案　由＝m1r1＝m2r2及r1＋r2＝L，得＝或m1＋m2＝。
例3　(2024·河北石家庄市调研)夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示，若两中子星的质量之比mP∶mQ＝k∶1。则(　　)
A．根据图乙可以判断出k>1
B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
答案　B
解析　设P、Q之间的距离为L，P做圆周运动的轨道半径为r1，Q做圆周运动的轨道半径为r2，角速度为ω，则有G＝mPω2r1，G＝mQω2r2，联立可得＝＝，由于r1>r2，则k<1，故A错误；根据线速度与角速度之间的关系有vP＝ωr1，vQ＝ωr2，r1＋r2＝L，则vP＋vQ＝ω(r1＋r2)＝ωL，可知，若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定，故B正确；根据G＝mP，可得vP＝＝，故C错误；根据G＝mPr1，G＝mQr2，可得T＝2π，若仅增大P、Q之间的距离，则P、Q运行的周期将变大，故D错误。
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律：
常见的三星模型 ①＋＝ma向
②×cos 30°×2＝ma向
常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向
②×cos 30°×2＋＝ma向
例4　(2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则T1∶T2为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　第一种形式下，星体A受到星体B和星体C对其的万有引力，它们的合力充当向心力，则G＋G＝mR，解得T1＝4πR，第二种形式下，星体之间的距离为r，那么圆周运动的半径为R′＝，星体A所受合力F合＝2G·cos 30°，根据合力提供向心力有2G·cos 30°＝m·，解得T2＝2πr，则T1∶T2＝，故选D。
考点三　星球“瓦解”问题　黑洞问题
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
例5　2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案　C
解析　毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mr，又知M＝ρ·πr3，
整理得密度ρ≥＝ kg/m3
≈5.2×1015 kg/m3，故选C。
例6　科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　地球的第一宇宙速度为v1＝，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝，并且有v2>c，
联立解得r<，
所以D正确，A、B、C错误。
课时精练
1.(2023·江苏南京市期中)地球、火星的公转轨道可近似为如图所示的圆，“天问一号”火星探测器脱离地球引力束缚后通过霍曼转移轨道飞往火星，霍曼转移轨道为椭圆轨道的一部分，在其近日点、远日点处分别与地球、火星轨道相切。若仅考虑太阳引力的影响，则“天问一号”在飞往火星的过程中(　　)
A．速度变大 B．速度不变
C．加速度变小 D．加速度不变
答案　C
解析　“天问一号”在飞往火星的过程中，从近日点到远日点速度变小，故A、B错误；
根据G＝ma可知，“天问一号”与太阳之间的距离变大，加速度变小，故C正确，D错误。
2．(2023·山东济南市模拟)2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是(　　)
答案　A
解析　要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝m，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则图A是正确的。
3．(2023·河南南阳市期中)2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示。天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ上；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ上，运行周期为T1，经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与核心舱对接，则神舟十二号飞船(　　)
A．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
B．沿轨道Ⅱ从A运动到B的过程中，机械能增大
C．在轨道Ⅰ上的速度小于沿轨道Ⅱ运动经过B点的速度
D．沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1
答案　D
解析　对神舟十二号飞船，由万有引力提供向心力可得G＝mr，解得T＝2π，由于r14．(2023·广东广州市第二中学三模)天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，则(　　)
A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期
C．天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”
D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒
答案　C
解析　天问一号要到达火星，需要脱离地球的引力束缚，发射速度大于第二宇宙速度，故A错误；根据开普勒第三定律k＝，在“火星捕获段”运行的半长轴大，故天问一号在“火星捕获段”运行的周期大于它在“火星停泊段”运行的周期，故B错误；天问一号从“火星捕获段”需在近火点减速才能运动到“火星停泊段”，故C正确；着陆巡视器从“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，重力势能减小，动能减小，机械能不守恒，故D错误。
5．(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每颗恒星的大小远小于两星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗质量分别为m1、m2的星体A、B组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星体之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2。则可知(　　)
A．A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3
B．A与B做圆周运动的线速度大小之比为2∶3
C．A做圆周运动的半径为L
D．B做圆周运动的半径为L
答案　BC
解析　A、B双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，故角速度相等，A项错误；A与B所需向心力大小相等，有m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2，因为A、B质量之比为m1∶m2＝3∶2，则轨道半径之比r1∶r2＝2∶3，所以A做圆周运动的半径为L，B做圆周运动的半径为L，C项正确，D项错误；根据v＝ωr可知，角速度相等，A与B做圆周运动的线速度大小之比等于轨道半径之比为2∶3，B项正确。
6.(多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布。在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，黑洞和恒星以它们连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞之间的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是(　　)
A．黑洞和恒星之间的万有引力变大
B．黑洞的角速度变大
C．恒星的线速度变大
D．黑洞的线速度变大
答案　AC
解析　假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m7．一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　对近地卫星，有 G＝m()2R，地球的质量M1＝ρ1·πR3，联立解得ρ1＝，以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有G＝m0()2R，M2＝ρ2·πR3，联立解得ρ2＝，所以＝，故选D。
8．(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案　BC
解析　双中子星做匀速圆周运动的频率f＝12 Hz(周期T＝＝ s)，由万有引力提供向心力，可得＝m1r1(2πf)2，G＝m2r2(2πf)2，
r1＋r2＝r＝400 km
联立解得 m1＋m2＝，质量之和可以估算；由v＝2πfr可得v1＋v2＝2πfr1＋2πfr2＝2πfr，速率之和可以估算；不能得出质量之积和各自的自转角速度，故选B、C。
9.(2024·江苏南通市开学考)如图所示，A、B、C三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心O在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，rBO＝rCO＝2rAO。忽略其他星体对它们的作用，则下列关系正确的是(　　)
A．星体的线速度大小vA＝2vB
B．星体的加速度大小aA＝aB
C．星体所受合力大小FA＝FB
D．星体的质量mA＝mB
答案　B
解析　三星系统是三颗星都绕同一圆心O做匀速圆周运动，由此它们转动的角速度相同，由线速度与角速度的关系公式v＝ωr，可知星体的线速度大小vA＝vB，A错误；由向心加速度公式a＝ω2r，可得星体的加速度大小aA＝ωrAO，aB＝ωrBO＝2ωrAO，则有aA＝aB，B正确；三颗星体都绕同一圆心O做匀速圆周运动，因此可得星体A、B受力如图所示，由图可知，A、B间的万有引力大小等于A、C间的万有引力大小，B、C间的万有引力大小小于A、B间的万有引力大小，分力的夹角相等，因此FA>FB，C错误；
由图可知，A、B间的万有引力大小等于A、C间的万有引力大小，可知mB＝mC，B、C间的万有引力大小小于A、B间的万有引力大小，可知mA>mC，则有mA>mB，D错误。
10．2021年3月24日，科学家对人类首次“看见”的那个黑洞，成功绘制出偏振图像，已知引力常量为G。试解决如下问题：
(1)若天文学家观测到一天体绕该黑洞做半径为r、周期为T的匀速圆周运动，求黑洞的质量M；
(2)黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸(光速为c＝3×108 m/s)，若某黑洞的半径R约30 km，质量M和半径R的关系满足＝，求该黑洞的表面重力加速度大小。
答案　(1)　(2)1.5×1012 m/s2
解析　(1)根据G＝mr
可得M＝
(2)根据G＝m0g，＝
解得g＝＝ m/s2＝1.5×1012 m/s2。
11.如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度大小为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)(　　)
A.mv2＋ B.mv2－
C.mv2＋ D.mv2－
答案　D
解析　当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度大小为v0＝，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝mv2－mv02＝mv2－；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度大小为v0′＝，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝v＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝mv0′2－mv12＝－mv2，所以W1－W2＝mv2－，故选D。第3课时　专题强化：卫星变轨问题　双星模型
目标要求　1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
考点一　卫星的变轨和对接问题
1．卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G(3)在椭圆轨道B点(远地点)，G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。
思考　若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
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2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA>v1>v3>vB。
(2)向心加速度
在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系aⅠA________aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系aⅡB________aⅢB，A、B两点向心加速度关系aA________aB。(均选填“>”“＝”或“<”)
(3)周期
卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1(4)机械能
在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能______。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为____________。
例1　(2024·黑龙江哈尔滨市第九中学月考)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则(　　)
A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为()2g
B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
C．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
D．卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能
例2　北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　)
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
考点二　双星或多星模型
1．双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2。
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1＋r2＝L。
思考　(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？
(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1＋m2)的关系怎样？
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例3　(2024·河北石家庄市调研)夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示，若两中子星的质量之比mP∶mQ＝k∶1。则(　　)
A．根据图乙可以判断出k>1
B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律：
常见的三星模型 ①＋＝ma向
②×cos 30°×2＝ma向
常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向
②×cos 30°×2＋＝ma向
例4　(2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则T1∶T2为(　　)
A. B.
C. D.
考点三　星球“瓦解”问题　黑洞问题
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
例5　2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×
10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
例6　科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于(　　)
A. B.
C. D.(共60张PPT)
第五章
万有引力与宇宙航行
第
3
课时
专题强化：卫星变轨问题　双星模型
目标
要求
1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
内
容
索
引
考点一　卫星的变轨和对接问题
考点二　双星或多星模型
考点三　星球“瓦解”问题　黑洞问题
课时精练
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考点一
卫星的变轨和对接问题
1.卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有 ，
如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需
向心力变大， ，卫星做离心运动进入椭
圆轨道Ⅱ。
思考　若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
答案　使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。
2.变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA>v1>v3>vB。
(2)向心加速度
在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系aⅠA aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系aⅡB aⅢB，A、B两点向心加速度关系aA aB。(均选填“>”“＝”或“<”)
＝
＝
>
(3)周期
卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1(4)机械能
在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能 。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为 。
守恒
E1例1　(2024·黑龙江哈尔滨市第九中学月考)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则
A.卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为
B.卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
C.卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
D.卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能
√
卫星从轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ要点火加速，机械能增大，从椭圆轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要再次点火加速，机械能继续增大，所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能，故D错误。
例2　北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是
A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
√
根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。
返回
双星或多星模型
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考点二
1.双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称
之为双星系统。如图所示。
(2)特点
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1＋r2＝L。
思考　(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？
(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1＋m2)的关系怎样？
例3　(2024·河北石家庄市调研)夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示，若两中子星的质量之比mP∶mQ＝k∶1。则
A.根据图乙可以判断出k>1
B.若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、
Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C.P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D.仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
√
根据线速度与角速度之间的关系有vP＝ωr1，vQ＝ωr2，r1＋r2＝L，则vP＋vQ＝ω(r1＋r2)＝ωL，可知，若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定，故B正确；
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律：
常见的三星模型

常见的四星模型

例4　(2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的
外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质
量都相同，则T1∶T2为
√
返回
星球“瓦解”问题　黑洞问题
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考点三
1.星球的瓦解问题
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
例5　2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
√
例6　科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的
倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于
√
返回
课时精练
1.(2023·江苏南京市期中)地球、火星的公转轨道可近似为如图所示的圆，“天问一号”火星探测器脱离地球引力束缚后通过霍曼转移轨道飞往火星，霍曼转移轨道为椭圆轨道的一部分，在其近日点、远日点处分别与地球、火星轨道相切。若仅考虑太阳引力的影响，
则“天问一号”在飞往火星的过程中
A.速度变大 B.速度不变
C.加速度变小 D.加速度不变
√
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“天问一号”在飞往火星的过程中，从近日点到远日点速度变小，故A、B错误；
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2.(2023·山东济南市模拟)2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是
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要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝ ，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则图A是正确的。
3.(2023·河南南阳市期中)2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示。天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ上；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ上，运行周期为T1，经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与核心舱对接，则神舟十二号飞船
A.沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的
周期
B.沿轨道Ⅱ从A运动到B的过程中，机械能增大
C.在轨道Ⅰ上的速度小于沿轨道Ⅱ运动经过B点的速度
D.沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝
√
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飞船沿轨道Ⅱ从A运动到B的过程中，机械能守恒，B错误；
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4.(2023·广东广州市第二中学三模)天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，则
A.天问一号发射速度大于第一宇宙速度，
小于第二宇宙速度
B.天问一号在“火星捕获段”运行的周
期小于它在“火星停泊段”运行的周期
C.天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”
D.着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能
守恒
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天问一号要到达火星，需要脱离地球
的引力束缚，发射速度大于第二宇宙
速度，故A错误；
根据开普勒第三定律k＝ ，在“火
星捕获段”运行的半长轴大，故天问一号在“火星捕获段”运行的周期大于它在“火星停泊段”运行的周期，故B错误；
天问一号从“火星捕获段”需在近火点减速才能运动到“火星停泊段”，故C正确；
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着陆巡视器从“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，重力势能减小，动能减小，机械能不守恒，故D错误。
5.(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每颗恒星的大小远小于两星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗质量分别为m1、m2的星体A、B组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星体之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2。则可知
A.A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3
B.A与B做圆周运动的线速度大小之比为2∶3
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A、B双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，故角速度相等，A项错误；
A与B所需向心力大小相等，有m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2，因为A、B质量之比为m1∶m2＝3∶2，则轨道半径之比r1∶r2＝2∶3，所以A做圆周运动的半径为 ，B做圆周运动的半径为 ，C项正确，D项错误；
根据v＝ωr可知，角速度相等，A与B做圆周运动的线速度大小之比等于轨道半径之比为2∶3，B项正确。
6.(多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布。在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，黑洞和恒星以它们连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞之间的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是
A.黑洞和恒星之间的万有引力变大 B.黑洞的角速度变大
C.恒星的线速度变大 D.黑洞的线速度变大
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假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m随着黑洞吞噬恒星，在刚开始吞噬的较短时间内，M与m的乘积变大，黑洞和恒星之间的万有引力变大，故A正确；
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7.一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为
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8.(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之和 D.各自的自转角速度
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r1＋r2＝r＝400 km
联立解得m1＋m2＝ ，质量之和可以估算；由v＝2πfr可得v1＋v2＝2πfr1＋2πfr2＝2πfr，速率之和可以估算；不能得出质量之积和各自的自转角速度，故选B、C。
9.(2024·江苏南通市开学考)如图所示，A、B、C三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心O在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，rBO＝rCO＝2rAO。忽略其他星体对它们的作用，则下列关系正确的是
A.星体的线速度大小vA＝2vB
B.星体的加速度大小aA＝
C.星体所受合力大小FA＝FB
D.星体的质量mA＝mB
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三星系统是三颗星都绕同一圆心O做匀速圆周运动，
由此它们转动的角速度相同，由线速度与角速度的
关系公式v＝ωr，可知星体的线速度大小vA＝ ，
A错误；
由向心加速度公式a＝ω2r，可得星体的加速度大小aA＝ωrAO，aB＝ωrBO＝2ωrAO，则有aA＝ ，B正确；
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三颗星体都绕同一圆心O做匀速圆周运动，因此可得星体A、B受力如图所示，由图可知，A、B间的万有引力大小等于A、C间的万有引力大小，B、C间的万有引力大小小
于A、B间的万有引力大小，分力
的夹角相等，因此FA>FB，C错误；
由图可知，A、B间的万有引力大
小等于A、C间的万有引力大小，可知mB＝mC，B、C间的万有引力大小小于A、B间的万有引力大小，可知mA>mC，则有mA>mB，D错误。
10.2021年3月24日，科学家对人类首次“看见”的那个黑洞，成功绘制出偏振图像，已知引力常量为G。试解决如下问题：
(1)若天文学家观测到一天体绕该黑洞做半径为r、周期为T的匀速圆周运动，求黑洞的质量M；
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(2)黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸(光速为c＝3×108 m/s)，若某黑洞的半径R约30 km，质量M和半径R的关系满足 ，求该黑洞的表面重力加速度大小。
答案　1.5×1012 m/s2
11.如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度大小为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)
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