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考情分析
试题情境 生活实践类 体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题， 汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律的应用
学习探究类 变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型的能量问题
第1课时　功、功率　机车启动问题
目标要求　1.理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。2.理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。3.会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算。
考点一　功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生位移。
2．公式：W＝Flcos α。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为力的作用点的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3．功的正负
(1)当0≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。
4．计算功的方法
(1)恒力做的功
①直接用W＝Flcos α计算。
②合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。
(2)求变力做功的常用方法
①微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。
②平均值法求变力做功
若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是呈线性变化的，即力随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受的力，然后用公式W＝l求此力所做的功。
③用F－x图像求变力做功
在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。
④用W＝Pt求变力做功
若机车以恒定功率行驶，在一定时间内机车牵引力做的功W＝Pt。
⑤应用动能定理求变力做功。
1．只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。(　×　)
2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。(　√　)
3．力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1比F2做功多。(　×　)
4．功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。(　×　)
例1　(2024·上海市模拟)如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方。现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则 (　　)
A．合外力对磁铁做正功
B．AB对磁铁的作用力不做功
C．AB对磁铁的弹力不做功
D．AB对磁铁的摩擦力不做功
答案　B
解析　由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故A错误；磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力大小，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误。
例2　如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功。
答案　(1)300 J　(2)100 J　(3)－400 J　(4)0
解析　物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示
由平衡条件得
Ffcos θ－FNsin θ＝0，
Ffsin θ＋FNcos θ－mg＝0
代入数据得Ff＝10 N，FN＝10 N
x＝vt＝20 m
(1)斜面对物体的支持力所做的功
WN＝FNxcos θ＝300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxcos (90°－θ)＝100 J
(3)物体重力做的功WG＝－mgx＝－400 J
(4)合外力对物体做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcos α＝0。
例3　水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A．拉力F对小球做的功为16π J
B．拉力F对小球做的功为8π J
C．小球克服摩擦力做的功为16π J
D．小球克服摩擦力做的功为4π J
答案　A
解析　将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，
所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…
Wn＝Flncos 37°
故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·＝10×0.8××6 J＝16π J，故A正确，B错误；同理可得小球克服摩擦力做的功W克f＝μmg·＝8π J，故C、D错误。
考点二　功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢。
(2)P＝Fvcos α
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
1．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。(　×　)
2．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(　√　)
3．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。(　×　)
例4　如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为(　　)
A．48 W　24 W B．24 W　48 W
C．24 W　12 W D．12 W　24 W
答案　B
解析　木块所受的合外力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
木块的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s内木块的位移
x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W
故选项B正确。
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，其中F为恒力，α不变。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α求瞬时功率时，其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
(2)对公式P＝Fvcos α的理解：可认为Fcos α是力F在速度v方向上的分力，也可认为vcos α是速度v在力F方向上的分速度。
例5　(2023·山东卷·4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　)
A. B.
C. D．nmgωRH
答案　B
解析　由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为m总＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为P＝，t＝，联立解得P＝，故选B。
考点三　机车启动问题
两种启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像和v－t图像
OA段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t0＝
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 F＝F阻 a＝0 以vm＝做匀速直线运动
例6　气垫登陆艇主要用于投送登陆部队，为滩头部队提供火力支援，另外也可以执行布雷任务，拥有强悍的运力。如图所示，某重型气垫船，自重达5.0×105kg，最高时速为108 km/h，装有额定输出功率为9 000 kW的燃气轮机。假设该重型气垫船在海面直线航行过程所受的阻力Ff不变，下列说法正确的是(　　)
A．该重型气垫船在海面直线航行过程加速度一定保持不变
B．该重型气垫船在海面直线航行过程所受的阻力Ff为3.0×105 N
C．以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船所受的牵引力为6.0×105 N
D．以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船发动机的输出功率为9 000 kW
答案　B
解析　在以额定功率运动过程中，气垫船的牵引力逐渐减小，当时速达到最大时，牵引力等于阻力不变，A错误；由P额＝Ffvm，可得Ff＝3.0×105 N，当气垫船以不同的速度做匀速航行时，牵引力等于阻力，B正确，C错误；根据P＝，解得P＝4 500 kW，D错误。
例7　(2023·辽宁锦州市模拟)随着国产汽车的日益崛起，越来越多的人选择购买国产汽车，某国产汽车发动机的额定功率为P，驾驶员和汽车的总质量为m＝2 000 kg，当汽车在水平路面上行驶时受到的阻力为车对路面压力的0.1倍。若汽车从静止开始在水平路面上匀加速启动，t1＝5 s时，速度v1＝10 m/s，功率达到额定功率，此后汽车以额定功率运行，t2＝65 s时速度达到最大值vm＝30 m/s，汽车运动的v－t图像如图所示，取g＝10 m/s2，求：
(1)汽车的额定功率P；
(2)汽车在0～t1期间牵引力的大小F及汽车在0～t1期间牵引力做的功W；
(3)汽车在t1～t2期间的位移大小x2。
答案　(1)60 kW　(2)6 000 N　1.5×105 J
(3)1 400 m
解析　(1)汽车受到的阻力为Ff＝0.1mg＝2 000 N
当牵引力等于阻力时，汽车速度达到最大，则汽车的额定功率为P＝F牵vm＝Ffvm＝60 000 W＝60 kW
(2)从0～5 s时间内，汽车做匀加速直线运动，加速度大小为a＝＝ m/s2＝2 m/s2
汽车匀加速直线运动的位移为x1＝at12＝25 m
根据牛顿第二定律可得F－Ff＝ma，可得F＝6 000 N
在0～t1期间牵引力做的功为W＝Fx1＝1.5×105 J
(3)在t1～t2期间，由动能定理得
P(t2－t1)－Ffx2＝mvm2－mv12
解得x2＝1 400 m。
机车启动问题的三个重要关系式
1．无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝。
2．机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝3．机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间。
课时精练
1．(2023·新课标卷·15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)(　　)
A．0 B．mgh
C.mv2－mgh D.mv2＋mgh
答案　B
解析　由于雨滴是匀速下落，所以受力平衡，空气阻力等于重力，Ff＝mg，所以克服空气阻力做的功为：W克f＝Ff·h＝mgh，选项B正确。
2.(2023·安徽合肥市第一中学期中)如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中(　　)
A．A所受的合力对A做正功
B．B对A的弹力对A做正功
C．B对A的摩擦力对A做负功
D．A对B的作用力对B做正功
答案　A
解析　A、B作为整体，由牛顿第二定律得(mA＋mB)·gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，由牛顿第二定律知，A所受合力方向沿斜面向下，与速度方向相同，故A所受合力对A做正功，故A正确；B对A的弹力竖直向上，与速度方向的夹角大于90°，故B对A的弹力对A做负功，故B错误；B对A的摩擦力方向水平向左，与速度方向的夹角小于90°，故B对A的摩擦力对A做正功，故C错误；由于aA＝gsin θ，可知B对A的摩擦力和支持力的合力大小为mAgcos θ，方向垂直斜面向上，由牛顿第三定律知，A对B的作用力垂直斜面向下，与B的运动方向垂直，则A对B的作用力对B不做功，故D错误。
3.(2023·河南洛阳市第一中学检测)质量为2 kg的物体静止在光滑的水平面上，从某时刻起，对物体施加一方向不变的水平拉力F，该拉力与物体的位移x的关系图像如图所示，则物体在x＝7 m处时的速度大小为(　　)
A．2 m/s B．2 m/s
C．5 m/s D．4 m/s
答案　A
解析　根据F－x图像与x轴所围的面积表示功，则物体从0运动到7 m过程拉力做的功为W＝3×4 J＋×4 J＝40 J，由动能定理得W＝mv2－0，解得v＝2 m/s，故选A。
4.(2023·北京市海淀区中关村中学模拟)两个完全相同的小球A、B，在某一高度处以相同大小的初速度v0分别沿水平方向和竖直方向抛出，如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同
D．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
答案　C
解析　两球运动过程中机械能守恒，则两小球落地时速度大小相同，但是方向不同，选项A错误；两小球落地时，B球竖直速度较大，根据PG＝mgvy可知，B球重力的瞬时功率较大，选项B错误；根据W＝mgh可知，从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同，选项C正确；从开始运动至落地，B球运动时间较长，根据＝可知，B球重力做功的平均功率较小，选项D错误。
5．(多选)(2022·广东卷·9改编)如图所示，某无人驾驶小车在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有(　　)
A．从M到N，小车牵引力大小为40 N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
答案　ABD
解析　小车从M到N，依题意有P1＝Fv1＝200 W，
代入数据解得F＝40 N，故A正确；
依题意，小车从M到N，因匀速行驶，小车所受的摩擦力大小为Ff1＝F＝40 N，
则摩擦力做功为W1＝－40×20 J＝－800 J，
则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确；
依题意，从P到Q，重力势能增加量为
ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C错误；
依题意，小车从P到Q，摩擦力大小为Ff2，有
Ff2＋mgsin 30°＝，摩擦力做功为W2＝－Ff2·PQ，联立解得W2＝－700 J，则小车克服摩擦力做功为700 J，故D正确。
6．(2023·北京卷·11)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中(　　)
A．摩擦力做功大小与F方向无关
B．合力做功大小与F方向有关
C．F为水平方向时，F做功为μmgx
D．F做功的最小值为max
答案　D
解析　设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做功大小Wf＝μ(mg－Fsin θ)x，即摩擦力做功大小与F的方向有关，选项A错误；合力做功大小W＝F合x＝max，可知合力做功大小与力F方向无关，选项B错误；当力F水平时，则有F＝ma＋μmg，力F做功为WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，选项C错误；因合外力做功大小为max，大小一定，而合外力做的功等于力F与摩擦力Ff做功的代数和，而当Fsin θ＝mg时，摩擦力Ff＝0，摩擦力做功为零，力F做功最小，最小值为max，选项D正确。
7．(2023·黑龙江佳木斯市模拟)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为(　　)
A．(－1)d B．(－1)d
C. D.d
答案　B
解析　铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W＝d＝d，W＝d′＝d′，联立解得d′＝(－1)d，故A、C、D错误，B正确。
8．(2023·山东淄博市一模)电动自行车在平直路面上匀速行驶，某一时刻从车上掉落一货物，车行驶的功率不变，货物掉落前后车速随时间的变化图像较符合实际的是(　　)
答案　A
解析　电动自行车的功率P＝Fv，匀速行驶时，牵引力等于阻力，即F＝Ff，加速度a＝0。货物掉落后瞬间速度未变，系统质量减小，阻力减小为Ff′，牵引力大于阻力，具有向前的加速度，车开始加速，由于功率不变，则牵引力逐渐减小，加速度减小，当牵引力趋近于Ff′时，加速度趋近于0，电动自行车达到最大速度v′＝，以后继续做匀速运动，故选A。
9．(2023·湖北卷·4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意可知两节动车分别有P1＝Ff1v1，P2＝Ff2v2，当将它们编组后有P1＋P2＝(Ff1＋Ff2)v，联立可得v＝，故选D。
10.(2023·广东梅州市期末)某款汽车在某基地水平测试场进行加速测试的v－t图像如图所示，该车加速至P点后功率达到最大值P0，加速至Q点后速度达到最大。则下列说法正确的是(　　)
A．匀加速的过程中运动位移为v0t0
B．运动过程中受到阻力的大小为
C．加速过程中牵引力的最大值为
D．vm与v0的大小之比为3∶1
答案　C
解析　v－t图像中，图像与时间轴所围面积表示位移，可知匀加速的过程中运动位移为x0＝，故A错误；汽车加速至Q点后速度达到最大，受力平衡，牵引力大小等于阻力，则有Ff＝，故B错误；0～t0，汽车做匀加速直线运动，牵引力恒定，t0～3t0内做加速度减小的变加速直线运动，该过程牵引力减小，可知匀加速过程的牵引力最大，由于该车加速至P点后功率达到最大值P0，则有F0＝，即加速过程中牵引力的最大值为，故C正确；若汽车在0～3t0时间内一直做匀加速直线运动，则在3t0时速度vm＝3v0，而实际在t0～3t0时间内，加速度一直减小，vm<3v0，故<3，故D错误。
11.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程，下列说法正确的有(　　)
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
答案　AC
解析　由题图可得，变速阶段的加速度大小a＝，设第②次所用时间为t2，根据速度—时间图像与时间轴所围的面积表示位移(此题中为提升的高度)可知，×2t0×v0＝[t2＋(t2－t0)]×v0，解得t2＝，所以第①次和第②次矿车上升所用时间之比为2t0∶＝4∶5，选项A正确。由于两次提升过程变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，可得电机的最大牵引力之比为1∶1，选项B错误。由功率公式P＝Fv可知，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，选项C正确。加速上升过程的加速度a1＝，加速上升过程的牵引力F1＝ma1＋mg＝m(＋g)，减速上升过程的加速度a2＝－，减速上升过程的牵引力F2＝ma2＋mg＝m(g－)，匀速运动过程的牵引力F3＝mg。第①次提升过程做功W1＝F1××t0×v0＋F2××t0×v0＝mgv0t0；第②次提升过程做功W2＝F1××t0×v0＋F3×t0×v0＋F2××t0×v0＝mgv0t0，两次做功相同，选项D错误。
12．(多选)(2023·湖南省长沙一中一模)如图所示为某型号汽车的速度v与牵引力F大小倒数的图像，vm表示最大速度。已知汽车在水平路面上由静止启动，ab平行于v轴，bc反向延长过原点O。已知阻力恒定，汽车质量为2×103 kg，下列说法正确的是(　　)
A．从a到b汽车持续的时间为20 s
B．由b到c过程汽车做匀加速直线运动
C．汽车额定功率为50 kW
D．汽车能够获得的最大速度为12 m/s
答案　AC
解析　根据v＝，可知额定功率等于图线的斜率，P＝ W＝50 kW，C正确；
根据P＝Fv，由b到c过程汽车功率不变，随着汽车速度的增大，牵引力减小；
根据牛顿第二定律得F－Ff＝ma
汽车所受阻力不变，随着牵引力的减小，汽车的加速度减小，由b到c过程汽车做非匀变速直线运动，B错误；
汽车能够获得的最大速度为
vm＝P×＝50×103××10－3 m/s＝12.5 m/s，D错误；
汽车所受的阻力为
Ff＝＝ N＝4 000 N
从a到b汽车所受的牵引力为F2＝5 000 N
根据牛顿第二定律得F2－Ff＝ma
解得a＝0.5 m/s2
从a到b汽车持续的时间为t＝＝ s＝20 s，A正确。考情分析
试题情境 生活实践类 体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题， 汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律的应用
学习探究类 变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型的能量问题
第1课时　功、功率　机车启动问题
目标要求　1.理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。2.理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。3.会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算。
考点一　功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的________。
(2)物体在力的方向上发生________。
2．公式：W＝________。
(1)α是力与________方向之间的夹角，l为____________的位移。
(2)该公式只适用于________做功。
3．功的正负
(1)当0≤α＜90°时，W＞0，力对物体做______。
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做______，或者说物体________这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体________。
4．计算功的方法
(1)恒力做的功
①直接用W＝Flcos α计算。
②合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。
(2)求变力做功的常用方法
①微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。
②平均值法求变力做功
若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是呈线性变化的，即力随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受的力，然后用公式W＝l求此力所做的功。
③用F－x图像求变力做功
在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。
④用W＝Pt求变力做功
若机车以恒定功率行驶，在一定时间内机车牵引力做的功W＝Pt。
⑤应用动能定理求变力做功。
1．只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。(　　)
2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。(　　)
3．力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1比F2做功多。(　　)
4．功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。(　　)
例1　(2024·上海市模拟)如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方。现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则 (　　)
A．合外力对磁铁做正功
B．AB对磁铁的作用力不做功
C．AB对磁铁的弹力不做功
D．AB对磁铁的摩擦力不做功
例2　如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功。
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例3　水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A．拉力F对小球做的功为16π J
B．拉力F对小球做的功为8π J
C．小球克服摩擦力做的功为16π J
D．小球克服摩擦力做的功为4π J
考点二　功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用________之比。
2．物理意义：描述力对物体做功的________。
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的________。
(2)P＝Fvcos α
①v为平均速度，则P为________功率。
②v为瞬时速度，则P为________功率。
1．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。(　　)
2．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(　　)
3．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。(　　)
例4　如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为(　　)
A．48 W　24 W B．24 W　48 W
C．24 W　12 W D．12 W　24 W
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，其中F为恒力，α不变。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α求瞬时功率时，其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
(2)对公式P＝Fvcos α的理解：可认为Fcos α是力F在速度v方向上的分力，也可认为vcos α是速度v在力F方向上的分速度。
例5　(2023·山东卷·4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　)
A. B.
C. D．nmgωRH
考点三　机车启动问题
两种启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像和v－t图像 　 　
OA段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t0＝
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 F＝F阻 a＝0 以vm＝做匀速直线运动
例6　气垫登陆艇主要用于投送登陆部队，为滩头部队提供火力支援，另外也可以执行布雷任务，拥有强悍的运力。如图所示，某重型气垫船，自重达5.0×105kg，最高时速为108 km/h，装有额定输出功率为9 000 kW的燃气轮机。假设该重型气垫船在海面直线航行过程所受的阻力Ff不变，下列说法正确的是(　　)
A．该重型气垫船在海面直线航行过程加速度一定保持不变
B．该重型气垫船在海面直线航行过程所受的阻力Ff为3.0×105 N
C．以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船所受的牵引力为6.0×105 N
D．以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船发动机的输出功率为9 000 kW
例7　(2023·辽宁锦州市模拟)随着国产汽车的日益崛起，越来越多的人选择购买国产汽车，某国产汽车发动机的额定功率为P，驾驶员和汽车的总质量为m＝2 000 kg，当汽车在水平路面上行驶时受到的阻力为车对路面压力的0.1倍。若汽车从静止开始在水平路面上匀加速启动，t1＝5 s时，速度v1＝10 m/s，功率达到额定功率，此后汽车以额定功率运行，t2＝65 s时速度达到最大值vm＝30 m/s，汽车运动的v－t图像如图所示，取g＝10 m/s2，求：
(1)汽车的额定功率P；
(2)汽车在0～t1期间牵引力的大小F及汽车在0～t1期间牵引力做的功W；
(3)汽车在t1～t2期间的位移大小x2。
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机车启动问题的三个重要关系式
1．无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝。
2．机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝3．机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间。(共75张PPT)
第六章
机械能守恒定律
考
情
分
析
试
题
情
境
生活实践类 体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题， 汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律的应用
学习探究类 变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型的能量问题
第
1
课时
功、功率　机车启动问题
目标
要求
1.理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。2.理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。3.会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算。
内
容
索
引
考点一　功的分析和计算
考点二　功率的分析和计算
考点三　机车启动问题
课时精练
>
<
考点一
功的分析和计算
1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的 。
(2)物体在力的方向上发生 。
2.公式：W＝ 。
(1)α是力与 方向之间的夹角，l为 的位移。
(2)该公式只适用于 做功。
力
位移
位移
力的作用点
恒力
Flcos α
3.功的正负
(1)当0≤α＜90°时，W＞0，力对物体做 。
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做 ，或者说物体______
这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体 。
正功
负功
克服
不做功
4.计算功的方法
(1)恒力做的功
①直接用W＝Flcos α计算。
②合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。
(2)求变力做功的常用方法
①微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。
②平均值法求变力做功
③用F－x图像求变力做功
在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。
④用W＝Pt求变力做功
若机车以恒定功率行驶，在一定时间内机车牵引力做的功W＝Pt。
⑤应用动能定理求变力做功。
1.只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。(　　)
2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。(　　)
3.力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1比F2做功多。(　　)
4.功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。
(　　)
×
√
×
×
例1　(2024·上海市模拟)如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方。现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则
A.合外力对磁铁做正功
B.AB对磁铁的作用力不做功
C.AB对磁铁的弹力不做功
D.AB对磁铁的摩擦力不做功
√
由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，
合外力对磁铁不做功，故A错误；
磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，
根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力大小，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；
AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动
方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；
AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方
向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误。
例2　如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的
速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
答案　300 J
物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示
由平衡条件得
Ffcos θ－FNsin θ＝0，
Ffsin θ＋FNcos θ－mg＝0
x＝vt＝20 m
斜面对物体的支持力所做的功WN＝FNxcos θ＝300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
答案　100 J
斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxcos (90°－θ)＝100 J
(3)物体重力所做的功；
答案　－400 J
物体重力做的功WG＝－mgx＝－400 J
(4)合外力对物体所做的功。
答案　0
合外力对物体做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcos α＝0。
例3　水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°
＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
√
将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…Wn＝Flncos 37°
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功率的分析和计算
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考点二
1.定义：功与完成这些功所用 之比。
2.物理意义：描述力对物体做功的 。
3.公式：
(1)P＝ ，P描述时间t内力对物体做功的 。
(2)P＝Fvcos α
①v为平均速度，则P为 功率。
②v为瞬时速度，则P为 功率。
时间
快慢
快慢
平均
瞬时
1.由P＝ 知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。(　　)
2.由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(　　)
3.当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。(　　)
×
√
×
例4　如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为
A.48 W　24 W B.24 W　48 W
C.24 W　12 W D.12 W　24 W
√
木块所受的合外力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
前2 s内木块的位移
所以重力在前2 s内做的功为W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W
故选项B正确。
1.平均功率的计算方法
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α求瞬时功率时，其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
(2)对公式P＝Fvcos α的理解：可认为Fcos α是力F在速度v方向上的分力，也可认为vcos α是速度v在力F方向上的分速度。
例5　(2023·山东卷·4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则
筒车对灌入稻田的水做功的功率为
√
由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，
且每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%
被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农
田的水的总质量为m总＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，则水
轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，则筒车对灌
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机车启动问题
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考点三
两种启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像和 v－t图像

两种启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
OA段 过程分析 a＝ 不变 F不变 P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t0＝
两种启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝ ↓ a＝
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 F＝F阻 a＝0 以vm＝ 做匀速直线运动
例6　气垫登陆艇主要用于投送登陆部队，为滩头部队提供火力支援，另外也可以执行布雷任务，拥有强悍的运力。如图所示，某重型气垫船，自重达5.0×105kg，最高时速为108 km/h，装有额定输出功率为9 000 kW的燃气轮机。假设该重型气垫船在海面直线航行过程所受的阻力Ff不变，下列说法正确的是
A.该重型气垫船在海面直线航行过程加速度一定保持不变
B.该重型气垫船在海面直线航行过程所受的阻力Ff为3.0
×105 N
C.以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船所受的牵引力为6.0×105 N
D.以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船发动机的输出功率为9 000 kW
√
在以额定功率运动过程中，气垫船的牵引力逐渐
减小，当时速达到最大时，牵引力等于阻力不变，
A错误；
由P额＝Ffvm，可得Ff＝3.0×105 N，当气垫船以不同的速度做匀速航行时，牵引力等于阻力，B正确，C错误；
根据P＝ ，解得P＝4 500 kW，D错误。
例7　(2023·辽宁锦州市模拟)随着国产汽车的日益崛起，越来越多的人选择购买国产汽车，某国产汽车发动机的额定功率为P，驾驶员和汽车的总质量为m＝2 000 kg，当汽车在水平路面上行驶时受到的阻力为车对路面压力的0.1倍。若汽车从静止开始在水平路面上匀加速启动，t1＝5 s时，速度v1＝10 m/s，功率达到额定功率，此后汽车以额定功率运行，t2＝65 s
时速度达到最大值vm＝30 m/s，汽车运动的v－t图像如
图所示，取g＝10 m/s2，求：
(1)汽车的额定功率P；
答案　60 kW
汽车受到的阻力为Ff＝0.1mg＝2 000 N
当牵引力等于阻力时，汽车速度达到最大，则汽车的额定功率为P＝F牵vm＝Ffvm＝60 000 W＝60 kW
(2)汽车在0～t1期间牵引力的大小F及汽车在
0～t1期间牵引力做的功W；
答案　6 000 N　1.5×105 J
根据牛顿第二定律可得F－Ff＝ma，可得F＝6 000 N
在0～t1期间牵引力做的功为W＝Fx1＝1.5×105 J
(3)汽车在t1～t2期间的位移大小x2。
答案　6 000 N　1.5×105 J
在t1～t2期间，由动能定理得
解得x2＝1 400 m。
机车启动问题的三个重要关系式
3.机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间。
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课时精练
1.(2023·新课标卷·15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)
1
2
3
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12
√
由于雨滴是匀速下落，所以受力平衡，空气阻力等于重力，Ff＝mg，所以克服空气阻力做的功为：W克f＝Ff·h＝mgh，选项B正确。
2.(2023·安徽合肥市第一中学期中)如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中
A.A所受的合力对A做正功
B.B对A的弹力对A做正功
C.B对A的摩擦力对A做负功
D.A对B的作用力对B做正功
√
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A、B作为整体，由牛顿第二定律得(mA＋mB)·
gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，由牛顿第二
定律知，A所受合力方向沿斜面向下，与速度方
向相同，故A所受合力对A做正功，故A正确；
B对A的弹力竖直向上，与速度方向的夹角大于90°，故B对A的弹力对A做负功，故B错误；
B对A的摩擦力方向水平向左，与速度方向的夹角小于90°，故B对A的摩擦力对A做正功，故C错误；
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由于aA＝gsin θ，可知B对A的摩擦力和支持力的合力大小为mAgcos θ，方向垂直斜面向上，由牛顿第三定律知，A对B的作用力垂直斜面向下，与B的运动方向垂直，则A对B的作用力对B不做功，故D错误。
3.(2023·河南洛阳市第一中学检测)质量为2 kg的物体静止在光滑的水平面上，从某时刻起，对物体施加一方向不变的水
平拉力F，该拉力与物体的位移x的关系图像如图
所示，则物体在x＝7 m处时的速度大小为
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4.(2023·北京市海淀区中关村中学模拟)两个完全相同的小球A、B，在某一高度处以相同大小的初速度v0分别沿水平方向和竖直方向抛出，如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是
A.两小球落地时速度相同
B.两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C.从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同
D.从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
√
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两球运动过程中机械能守恒，则两小球落地时
速度大小相同，但是方向不同，选项A错误；
两小球落地时，B球竖直速度较大，根据PG＝
mgvy可知，B球重力的瞬时功率较大，选项B错误；
根据W＝mgh可知，从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同，选项C正确；
从开始运动至落地，B球运动时间较长，根据 可知，B球重力做功的平均功率较小，选项D错误。
5.(多选)(2022·广东卷·9改编)如图所示，某无人驾驶小车在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有
A.从M到N，小车牵引力大小为40 N
B.从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C.从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D.从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
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小车从M到N，依题意有P1＝Fv1＝200 W，
代入数据解得F＝40 N，故A正确；
依题意，小车从M到N，因匀速行驶，小车所受的摩擦力大小为Ff1＝F＝40 N，
则摩擦力做功为W1＝－40×20 J＝－800 J，
则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确；
依题意，从P到Q，重力势能增加量为
ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C错误；
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依题意，小车从P到Q，摩擦力大小为Ff2，有Ff2＋mgsin 30°＝ ，摩擦力做功为W2＝－Ff2·PQ，联立解得W2＝－700 J，则小车克服摩擦力做功为700 J，故D正确。
6.(2023·北京卷·11)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时，F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
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设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做功大小Wf＝μ(mg－Fsin θ)x，即摩擦力做功大小与F的方向有关，选项A错误；
合力做功大小W＝F合x＝max，可知合力做功大小
与力F方向无关，选项B错误；
当力F水平时，则有F＝ma＋μmg，力F做功为WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，选项C错误；
因合外力做功大小为max，大小一定，而合外力做的功等于力F与摩擦力Ff做功的代数和，而当Fsin θ＝mg时，摩擦力Ff＝0，摩擦力做功为零，力F做功最小，最小值为max，选项D正确。
7.(2023·黑龙江佳木斯市模拟)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为
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8.(2023·山东淄博市一模)电动自行车在平直路面上匀速行驶，某一时刻从车上掉落一货物，车行驶的功率不变，货物掉落前后车速随时间的变化图像较符合实际的是
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电动自行车的功率P＝Fv，匀速行驶时，牵引力等于阻力，即F＝Ff，加速度a＝0。货物掉落后瞬间速度未变，系统质量减小，阻力减小为Ff′，牵引力大于阻力，具有向前的加速度，车开始加速，由于功率不变，则牵引力逐渐减小，加速度减小，当牵引力趋近于Ff′时，加速度趋近于0，电动自行车达到最大速度v′＝ ，以后继续做匀速运动，故选A。
9.(2023·湖北卷·4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为
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10.(2023·广东梅州市期末)某款汽车在某基地水平测试场进行加速测试的v－t图像如图所示，该车加速至P点后功率达到最大值P0，加速至Q点后速度达到最大。则下列说法正确的是
A.匀加速的过程中运动位移为v0t0
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D.vm与v0的大小之比为3∶1
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v－t图像中，图像与时间轴所围面积表示位移，可
知匀加速的过程中运动位移为x0＝ ，故A错误；
汽车加速至Q点后速度达到最大，受力平衡，牵引
力大小等于阻力，则有Ff＝ ，故B错误；
0～t0，汽车做匀加速直线运动，牵引力恒定，t0～3t0内做加速度减小的变加速直线运动，该过程牵引力减小，可知匀加速过程的牵引力最大，由于该车加速至P点后功率达到最大值P0，则有F0＝ ，即加速过程中牵引力的最大值为 ，故C正确；
若汽车在0～3t0时间内一直做匀加速直线运动，则在3t0时速度vm＝3v0，而实际在t0～3t0时间内，加速度一直减小，vm<3v0，故 <3，故D错误。
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11.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程，下列说法正确的有
A.矿车上升所用的时间之比为4∶5
B.电机的最大牵引力之比为2∶1
C.电机输出的最大功率之比为2∶1
D.电机所做的功之比为4∶5
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由于两次提升过程变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，可得电机的最大牵引力之比为1∶1，选项B错误。
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由功率公式P＝Fv可知，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，选项C正确。
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12.(多选)(2023·湖南省长沙一中一模)如图所示为某型号汽车的速度v与牵引力F大小倒数的图像，vm表示最大速度。已知汽车在水平路面上由静止启动，ab平行于v轴，bc反向延长过原点O。已知阻力恒定，汽车质量为2×103 kg，下列说法正确的是
A.从a到b汽车持续的时间为20 s
B.由b到c过程汽车做匀加速直线运动
C.汽车额定功率为50 kW
D.汽车能够获得的最大速度为12 m/s
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根据P＝Fv，由b到c过程汽车功率不变，随着汽车速度的增大，牵引力减小；
根据牛顿第二定律得F－Ff＝ma
汽车所受阻力不变，随着牵引力的减小，汽车的加速度减小，由b到c过程汽车做非匀变速直线运动，B错误；
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汽车能够获得的最大速度为
返回
汽车所受的阻力为
从a到b汽车所受的牵引力为F2＝5 000 N
根据牛顿第二定律得F2－Ff＝ma
解得a＝0.5 m/s2

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