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2023-2024学年
东北师大附中初中部初一年级数学学科试卷
第二学期期中考试
考试时长：120分钟试卷分值：120分
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1. 如图，下列四种通信标志中，其图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A B. C. D.
3. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（　　）
A. 三角形 B. 四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
5. 已知是关于x，y方程，x＋ky＝3的一个解，则k的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
6. 一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D
8. 某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9. 已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则______．
10. 在通过桥洞时，往往会看到如图所示的标志：这是限制车高的标志，表示车辆高度不能超过，通过桥洞的车高应满足的不等式为_____________．
11. 不等式组的最小整数解为_________.
12. 如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则的大小是___度．
13. 我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各一直金几何？”译文问题：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问一头牛、一只羊一共值多少两银子？”则头牛、只羊一共值 ______ 两银子．
14. 为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有______种．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 解方程组：
（1）
（2）
16. 解下列不等式（组）：
（1）；
（2）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的，线段在网格线上．
（1）画出边上的高线；
（2）画出边上的中线；
（3）在线段上任取一点P，则的面积是______．
18. 如图，在中，是的角平分线，，，求的度数．
19. 若一个多边形内角和的比它的外角和多，那么这个多边形的边数是多少？
20. 在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积．
21. 阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．原方程组化为，解得，
把代入，，得，解得，
原方程组的解为．
（1）学以致用：
运用上述方法解方程组：
（2）拓展提升：
已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______．
22. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元．
（1）求甲种农耕设备和乙种农耕设备单价各是多少万元；
（2）若该合作社决定购买甲、乙两种农耕设备共7台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台．
23. 【探究】如图①，在中，点D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点P．则有，
请补全下面证明过程：
证明：平分，平分，
，______（______）．
______（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
．
即（等式性质）．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
．
【应用】
如图②，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线相交于点P．为了探究的度数与和的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边与交于点A．如图③，若，，则，因此．
【拓展】
如图④，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P，请直接写出______．（用含有和的代数式表示）
24. 如图①，点O为数轴原点，，正方形的边长为6，点P从点O出发，沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，请回答下列问题．
（1）点A表示的数为______，点D表示的数为______．
（2）的面积为6时，求t的值．
（3）如图②，当点P运动至D点时，立即以原速返回，到O点后停止．在点P运动过程中，作线段，点E在数轴上点P右侧，以为边向上作正方形，当与面积和为16时，直接写出t的值．2023-2024学年
东北师大附中初中部初一年级数学学科试卷
第二学期期中考试
考试时长：120分钟试卷分值：120分
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1. 如图，下列四种通信标志中，其图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可．
【详解】解：A．∵，
∴，故不符合题意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合题意；
C．∵，
∴，故不符合题意；
D． ∵，
∴，故不符合题意．
故选：B．
3. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了与三角板有关的运算以及三角形内角和性质，先得出，再运用三角形内角和进行列式，计算即可作答．
【详解】解：如图所示：
由题意得出，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4. 下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（　　）
A. 三角形 B. 四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
【答案】C
【解析】
【分析】一个多边形的镶嵌应该符合其内角度数可以整除360°
【详解】A、三角形内角和为180°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；
B、四边形内角和为360°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；
C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，故此选项合题意；
D、正六边形每个内角为180°﹣360°÷6＝120°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查图形的镶嵌问题，重点是掌握多边形镶嵌的原理．
5. 已知是关于x，y的方程，x＋ky＝3的一个解，则k的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
【详解】解：∵是关于x、y的方程x+ky＝3的一个解，
∴把代入到原方程，得1+2k＝3，
解得k＝1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．
6. 一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【详解】解：设三角形第三边的长为x，则
，即，
只有选项D符合题意．
故选D．
7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来不等式的解集即可，注意大于小于用空心，大于等于小于等于用实心，大于大于等于开口向右，小于小于等于开口向左．
【详解】解：，
，
数轴上表示：，
故选：A．
8. 某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到电压表数量和电流表数量的等量关系．
【详解】解：若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，
由题意，得．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9. 已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程，根据，将x看成已知数，进行移项，再系数化1，即可作答．
【详解】解：∵
∴
故答案为：
10. 在通过桥洞时，往往会看到如图所示标志：这是限制车高的标志，表示车辆高度不能超过，通过桥洞的车高应满足的不等式为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据不等式的定义列不等式即可．
【详解】解：∵车辆高度不能超过，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查列不等式，掌握不等式的定义是解答本题的关键．
11. 不等式组的最小整数解为_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：解不等式组得：，
∴最小整数解为，
故答案为：．
12. 如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则的大小是___度．
【答案】48
【解析】
【分析】利用正多边形的内角和，求出其中一个角的度数，进一步求出三角形DEF的两个内角，最后由三角形内角和定理来求解．
【详解】解：正五边形内角和为且在直线上，
，
正六边形内角和为且在直线上，
，
在中，，
，
，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了正多边形的内角、三角形的内角和定理，解题的关键是：掌握正多边形内角和的求法．
13. 我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各一直金几何？”译文问题：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问一头牛、一只羊一共值多少两银子？”则头牛、只羊一共值 ______ 两银子．
【答案】
【解析】
【分析】设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，可得出关于，的二元一次方程组，利用，即可求出结论．
【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
根据题意得：，
得：，
∴头牛、只羊一共值两银子，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学文化，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14. 为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有______种．
【答案】4
【解析】
【分析】设购买个跳绳，个呼啦圈，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的数量．本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设购买个跳绳，个呼啦圈，
依题意得：，
．
，均为正整数，
为3的倍数，
或或或，
该班级共有4种购买方案．
故答案为：4．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
把①代入②得：，解得，
把代入①得，
∴方程组的解为；
小问2详解】
解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组解为．
16. 解下列不等式（组）：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去括号，再移项合并同类项，系数化1，即可作答．
（2）分别算出每个不等式组的解集，再取公共部分的解集，即可作答．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
由，得，解得，
由，得，解得，
此时不等式组无解．
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的，线段在网格线上．
（1）画出边上的高线；
（2）画出边上的中线；
（3）在线段上任取一点P，则的面积是______．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）5
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高，中线的定义，运用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）过点C作垂直于的延长线，交点为点，即可作答．
（2）根据网格特征以及中线定义，进行作图即可；
（3）根据平行线之间的距离处处相等的性质，得出与的距离为5，再结合三角形面积公式进行计算，即可作答．
【小问1详解】
解：边上的高线如图所示：
【小问2详解】
解： 边上的中线如图所示：
【小问3详解】
解：如图所示：
∴的面积．
18. 如图，在中，是的角平分线，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论．此题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【详解】解：∵．
∴，
∵是角平分线，
∴，
在中，．
19. 若一个多边形的内角和的比它的外角和多，那么这个多边形的边数是多少？
【答案】12
【解析】
【分析】设这个多边形的边数是n，根据题意,列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：，
解得：，
答：这个多边形的边数是12．
【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
20. 在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积．
【答案】
【解析】
【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得：，
解得：，
每个小长方形的面积为，
阴影部分的面积．
21. 阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．原方程组化为，解得，
把代入，，得，解得，
原方程组的解为．
（1）学以致用：
运用上述方法解方程组：
（2）拓展提升：
已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组：
（1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解；
（2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可．
【小问1详解】
解：令，，
原方程组化为，
解得，
，
解得：，
∴原方程组的解为 ；
【小问2详解】
解：在中，令，，
则可化为，
∵方程组解为，
∴，
，
故答案为：．
22. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元．
（1）求甲种农耕设备和乙种农耕设备单价各是多少万元；
（2）若该合作社决定购买甲、乙两种农耕设备共7台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台．
【答案】（1）1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元；
（2）5台
【解析】
【分析】（1）设购进1台甲种农耕设备需万元，1台乙种农耕设备需万元，根据“购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台，利用总价单价数量，结合总价不超过10万元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【小问1详解】
解：设购进1台甲种农耕设备需万元，1台乙种农耕设备需万元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元；
【小问2详解】
解：设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为5．
答：最多可以购进甲种农耕设备5台．
23. 【探究】如图①，在中，点D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点P．则有，
请补全下面证明过程：
证明：平分，平分，
，______（______）．
______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
．
即（等式性质）．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
．
【应用】
如图②，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线相交于点P．为了探究的度数与和的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边与交于点A．如图③，若，，则，因此．
【拓展】
如图④，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P，请直接写出______．（用含有和的代数式表示）
【答案】探究：；角平分线的定义；；；应用：；；拓展：
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义：
探究：根据三角形外角的性质和角平分线的定义结合已给推理过程求解即可；
应用：先利用平角的定义和三角形内角和定理求出的度数，再有探究的结论即可得到答案；
拓展：延长交的延长线于A，则由三角形内角和定理可得；再由题意可得分别平分，则．
【详解】解：探究：证明：平分，平分，
，（角平分线的定义）．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
．
即（等式性质）．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
，
故答案为：；角平分线的定义；；；
应用：延长了边与交于点A．如图③，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案：；．
拓展：如图，延长交的延长线于A，
∵，，
∴；
∵四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P，
∴分别平分，
∴，
故答案为：．
24. 如图①，点O为数轴原点，，正方形的边长为6，点P从点O出发，沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，请回答下列问题．
（1）点A表示的数为______，点D表示的数为______．
（2）的面积为6时，求t的值．
（3）如图②，当点P运动至D点时，立即以原速返回，到O点后停止．在点P运动过程中，作线段，点E在数轴上点P右侧，以为边向上作正方形，当与面积和为16时，直接写出t的值．
【答案】（1）3，9 （2）t的值为秒或秒
（3）或或或．
【解析】
【分析】（1）根据线段的长和正方形的边长可以求解．
（2）根据点的运动速度与运动时间得出运动路程，对应数数轴得出结论．
（3）根据点运动确定正方形的位置再去讨论与面积和为16时的值．
本题考查了数轴与动点的结合，表示出点的运动距离是本题的解题关键．
【小问1详解】
解： ，且为数轴原点，在的右侧，
表示的数为3，
正方形的边长为6，
，
表示的数为9．
故答案是3，9；
【小问2详解】
解：∵的面积为6，
∴，
解得，
点从点开始运动且速度为每秒2个单位长度，
，
∵，
∴当点在之间时，则，解得，
∴当点在的延长线上时，则，解得，
∴的面积为6时，t的值为秒或秒；
【小问3详解】
解：①当P点在A点左侧时，，
由题意得：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，
∴，
∴，
∴，
，
∵与面积和为16，
∴，
解得，
当P点在A点右侧时，
连接，如图所示：
同理得，
，
∵与面积和为16，
∴，
解得，
②点从向运动时，则，
连接，如图所示：
∴
此时，
，
∵与面积和为16，
∴，
解得，
当P点在A点左侧时，
由题意得：连接，如图所示：
∴，
此时，
，
∵与面积和为16，
∴，
解得，
综上：或或或．

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