资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
6.1等式与不等式
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 7
考点一：不等式的性质 7
考点二：一元二次不等式 12
考点三：其他不等式 16
考点四：基本不等式 20
考点五：基本不等式求最值 26
考点六：不等式与方程综合 29
【真题在线】 33
【专项突破】 40
考点 考情分析 考频
导数中含参一元二次不等式 2023年全国乙卷
条件等式求最值 2022年新高考Ⅱ卷
基本不等式证明不等关系 2022年全国甲卷
基本不等式的应用 2022年全国甲卷
基本不等式求和的最值 2022年新高考Ⅰ卷 2021年全国乙卷 3年2考
基本不等式求积最值 2021年新高考Ⅰ卷
预测：不等式是高中知识的重要组成部分，是高考考察的热点、重点内容，由于高中教材的调整，线性规划内容删除，考察的形式与以前教材有所不同，在新教材的考察中往往与其他知识相结合，选择题在多选题出现的可能性比较大，在解答题中也会有所涉及，考察的难度中等偏上.建议在复习时，掌握好基础知识，增强拓展应用.
考点一：不等式的性质
【典例精析】（多选）（2024·浙江绍兴·二模）已知，，，则（ ）
A．且 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由，可得，即可判断，同理判断，判断A；利用基本不等式可判断B，C，D；
【详解】对于A，，，，则，故，同理可得，A正确；
对于B，，，，
当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，，，则，
则，
当且仅当，即时取等号，C错误；
对于D，由于，故，
当且仅当时取等号，而，故，D正确，
故选：ABD
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）若满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江台州·二模）已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（ ）
A．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
B．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低
C．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱
D．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
4．（20-21高三下·全国·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．设，则“”是“且”的必要不充分条件
B．是“”的充要条件
C．“”是“”成立的充要条件
D．设，则 “”是“”的充分而不必要条件
三、填空题
5．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据指数函数、对数函数性质得，由不等式的性质可判定AC，由特殊值法可判定BD.
【详解】由，得，所以，所以，所以错误；
令，此时与无意义，所以错误；
因为，所以由不等式的性质可得，所以正确；
令，则，所以错误.
故选：.
2．D
【分析】作差法可判断A；构造函数、，利用导数研究其单调性，并结合充分、必要性的定义可判断BD；特值法可判断C.
【详解】对于A，已知x，y为正实数，若，，
则，故A错误；
对于B，由可得：，
令，
，令，解得：，
则在上单调递减，
若，则，故B错误；
对于C，已知x，y为正实数，若，取，
则，故C错误；
对于D，由，则，
令，则，
即在定义域上递增，故，
反之也有成立，满足要求，故D正确.
故选：D.
3．AC
【分析】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，利用作差法和指数函数的性质比较大小即可判断选项AB；利用作商法和幂函数指数函数的性质比较大小即可判断选项CD.
【详解】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，
对于A，∴，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故A正确；
对于B，，∴，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故B错误：
对于C，，
∴，
∴，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故C正确；
对于D，，
∴，∴，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故D错误．
故选：AC
4．AD
【分析】对于AC，利用不等式的性质结合充分必要条件的定义判断即可；对于B，解得，结合充分必要条件的定义判断即可；对于D，运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图像与性质，化简两个已知不等式，结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】对于A，当且时，可推出且时，即成立，反之，当时，例满足条件，即不能推出且，故是且的必要不充分条件，故A正确；
对于B，由可得，反之，不一定得，如也满足，故是的充分不必要条件，故B错误；
对于C，当时，满足，但，反之，若，则，故是成立的必要不充分条件，故C错误；
对于D，由，得，故，反之，由，得，推不出，故是的充分而不必要条件，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题考查充分条件和必要条件的判断，同时考查三角函数的性质与不等式的性质，运用定义法和解不等式是解题的关键，属于基础题.
5．
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【详解】
正数、、满足，，
，所以
同理：有得到，所以
两式相加：
即
又,即
即．
故答案为：
考点二：一元二次不等式
【典例精析】（多选）（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．函数在区间上单调递减
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】AD
【分析】A选项，利用抽象函数定义域的求解判断即可；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，求出的定义域即可判断；D选项，将问题转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案.
【详解】A选项，对于，由，得，
对于，令，解得，
故函数的定义域为，A正确；
B选项，当时，恒成立，满足要求，
当时，需满足，解得，
综上，的取值范围是，B错误；
C选项，令，解得，
当 时显然无意义，所以不可能在上单调递减，C错误；
D选项，若函数的值域为，
则能够取到所有正数，
当时，能够取到所有正数，满足要求，
当时，需满足，即，解得，
综上，实数的取值范围是，D正确.
故选：AD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2022·河南南阳·模拟预测）已知命题：，恒成立；命题：在上单调递减.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
4．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列几种说法中正确的是（ ）
A．若，则的最小值是4
B．命题“，”的否定是“，”
C．若不等式的解集是，则的解集是
D．“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件
三、填空题
5．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为 ．
参考答案：
1．A
【分析】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围.
【详解】因为，时，，
时，，
所以，，，
因为为等差数列，所以，，
从而，，
所以，即，
则当时，恒成立，
，解得或，
只有选项A符合题意，
故选：A
2．B
【分析】
首先求出命题、为真和命题、为假时参数的取值范围，依题意可得命题、为一真一假，分别考虑真假和假真时参数的范围，即可得解.
【详解】因为若命题：，恒成立，为真命题，则，
解得，那么命题为假命题时.命题：
在上单调递减，若为真命题，则对称轴，解得，
若命题为假命题，则.若为假命题，为真命题，
则命题题、一真一假，当真假时解集为，当假真时解集为空集.
故选：B
3．CD
【分析】
对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断.
【详解】对于A，或，故A错误；
对于B，，故B错误；
若不等式恒成立，
当时，是不可能成立的，
所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确；
对于D，由题意得是一元二次方程的两根，
从而，解得，
而当时，一元二次不等式满足题意，
所以的值为，故D正确.
故选：CD.
4．BCD
【分析】A：取进行分析；B：根据含一个量词的命题的否定方法得到结果；C：先根据韦达定理求解出的值，然后可求的解集；D：分析不等式对一切x都成立时的取值范围，然后作出判断.
【详解】对于A：当时，，但，故A错误；
对于B：修改量词，否定结论可得命题的否定为：“，”，故B正确；
对于C：因为的解集是，所以，所以，
所以，解得，故C正确；
对于D：当时，恒成立，
当时，若不等式对一切x都成立，
则，解得，
综上，时，不等式对一切x都成立，
所以“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件，故D正确；
故选：BCD.
5．/4.5
【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件.
【详解】由题意△△，而，，
所以，而矩形的周长为，
则，整理得，仅当等号成立，
所以，而，可得，
则，而△的面积，故最大值为，此时.
故答案为：
考点三：其他不等式
【典例精析】（多选）（2022·重庆永川·模拟预测）下列叙述不正确的是（ ）
A．的解是
B．“”是“”的充要条件
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．函数的最小值是
【答案】AD
【分析】利用分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、均值不等式判断各选项即可.
【详解】选项A：的解是或，故A不正确；
选项B：由得，恒成立则或，解得 ，所以“”是“”的充要条件，故B正确；
选项C：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
选项D：由均值不等式得，当且仅当时等号成立，此时无实数解，所以的最小值大于，故D不正确；
故选：AD
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东临沂·二模）若，，则的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·广西·模拟预测）满足不等式的整数解的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2021·河北张家口·三模）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．若则实数的取值范围为.
B．若数列的前项和，且，则；
C．若数列与，且，则；
D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b，c成等比数列，则的最小值为.
三、填空题
5．（2022·上海静安·二模）若函数的反函数为，则不等式的解集是 .
参考答案：
1．C
【分析】分别确定集合，再求交集.
【详解】根据题意，可得集合或 ，
，
则，所以的元素个数为2个.
故选：C
2．D
【分析】利用穿针引线法解此不等式，计算出每个区间内整数解的个数，相加即可求解
【详解】利用穿针引线法解不等式，在有个；在有个；…在有个.
所以整数解的个数为：
.
故选：D
3．ACD
【分析】A：由条件等式得，结合基本不等式即可判断正误；B：由题设及A得，令有即可判断正误；C：结合A，易得，由基本不等式即可判断正误；D：通过基本不等式证，进而可判断D的正误.
【详解】A：由，又，得，所以，正确；
B：由，当时有，此时，错误；
C：由，所以，正确；
D：由，所以，正确.
故选：
【点睛】关键点点睛：由条件等式或将目标式中的代数式作代数式的恒等变形，再结合基本不等式、指对数的运算性质及特殊值判断各项正误.
4．ABD
【分析】对于A，利用指对幂函数的单调性解不等式即可；对于B，裂项相消求和；对于C，错位相减求和；对于D，利用余弦定理及基本不等式求最值即可.
【详解】A项，由，得；由，得；
当时，由，得，则，所以A正确；
B项，裂项有：，得
.
所以B正确；
C项，用错位相减法,
由，
得；
两式相减，得，
得，所以C错误;
D项，由成等比数列，得，
由余弦定理得，，
当且仅当时等号成立．得的最小值为，所以D正确.
故选：ABD.
5．
【分析】先由反函数的定义求出，再解不等式求出解集即可.
【详解】令，由可得，则，则，
则解得，故解集为.
故答案为：.
考点四：基本不等式
【典例精析】（多选）（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断AB，利用特值法判断CD．
【详解】∵，∴ 即，∴，A正确；
由基本不等式知：，当且仅当时等号成立
又，∴
∴即,当且仅当时等号成立；
已知 ,故，B正确;
令，，C错误；
令，，分母为零无意义，D错误．
故选：AB．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·上海徐汇·一模）已知集合，若对于任意，总存在与之相应的（其中），使得成立，则称集合是“集合”． 下列选项为“集合”的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是递减数列
C． D．
4．（2022·江苏南通·一模）下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2021·江西·模拟预测）已知直线分别与函数和的图象交于点，现给出下述结论：①；②；③；④.则其中正确的结论序号是 .
参考答案：
1．D
【分析】根据新定义，设，化简，即，故,即过原点的直线与曲线相交有两个不同的交点，由图象依次可判断选项.
【详解】根据新定义，设，化简，
得恒成立，
由基本不等式可知，当且仅当时取“=”，
即当时，恒成立，
故,即过原点的直线与曲线相交有两个不同的交点，
A选项：由图可知，过原点的直线与曲线相交只有一个交点，故不是“集合”；

B选项：如图，当过原点的直线斜率小于零时与曲线相交只有一个交点，故不是“集合”；

C选项：如图，当过原点的直线斜率大于1时与曲线相交只有一个交点，故不是“集合”；

D选项：如图，当过原点的直线与曲线相交都有两个不同的交点，故是“集合”；

故选：D.
2．A
【分析】根据指数函数性质得出，，，然后利用作差法比较与的大小关系即可.
【详解】因为，所以，即，所以，即；
因为，所以，即，所以，即；
因为，所以，即，所以，即；
又因为，
且，
所以，所以，所以；
综上所述，.
故选：A.
3．ABD
【分析】令，求得的值可以判断A；利用数列的前项和与裂项的关系求出数列的通项，再利用分子有理的特点，采用裂项相消的方法求和可判断B；采用裂项相消的方法求和可判断C；先恒等变形，再连续使用两次基本不等式及其变形可判断D．
【详解】选项A：由，令，得，
又，所以，故选项A正确；
选项B：因为为正项数列，且，所以，
所以当时，，
又满足上式，所以，
所以，
显然是递增数列，且，所以是递减数列，故选项B正确；
选项C：，所以
，故选项C错误；
选项D：，
所以，
因为，所以等号取不到，
所以，故选项D正确．
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：与基本不等式相关的4种常考类型，
根式形式：，当且仅当时，等号成立．利用基本不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”缺一不可．
整式形式：，，，，以上不等式当且仅当时，等号成立．
分式形式：，当且仅当时，等号成立．
倒数形式：，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立．
4．BC
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.
对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.
对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.
对于D选项，，
当且仅当，即无解，故D不正确.
故选：BC.
5．①②③
【分析】对于①，分别作出函数，，的图象，通过图象观察易得结论；利用基本不等式可判断②、④；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断③.
【详解】函数与互为反函数，
则与的图象关于对称，
将与联立，则，
由直线分别与函数和的图象交于点，
作出函数图像：
则的中点坐标为，
对于①，由，解得，故①正确；
对于②，，
因为，即等号不成立，所以，故②正确；
对于③，将与联立可得，即，
设，且函数为单调递增函数，
，，
故函数的零点在上，即，由，则，
，故③正确；
对于④，由，解得，
由于，则，故④错误；
故答案为：①②③
【点睛】关键点点睛：本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，本题的关键点是判断选项③，利用零点存在性定理后可判断，，所有才有不等式放缩，属于偏难题.
考点五：基本不等式求最值
【典例精析】（多选）（2024·河北保定·二模）已知，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为2 D．的最小值为
【答案】AC
【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.
【详解】对A：由，得，所以，
当且仅当时取等号，故A正确；
对B：由，得，
所以，当且仅当时取等号，故B错误；
对C：由，得，
所以，当且仅当时取等号，故C正确；
对D：由，得，
所以，当且仅当时取等号，故D错误.
故选：AC.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最小值 D．的最小值为
4．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
参考答案：
1．A
【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可
【详解】由题意得，
所以，
又，且D是的中点，所以，
在中，，
在中，，
所以，
即，得，当且仅当取等号，
故选：A
2．A
【分析】根据条件，将所求式子变形利用基本不等式求解.
【详解】，，
，
当且仅当，即，即时等号成立.
故选：A.
3．ABD
【分析】利用基本不等式可判断各选项.
【详解】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确；
B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确；
C选项：由，得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故C选项错误；
D选项：由A的分析知且，时取等号，
所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确；
故选：ABD．
4．AD
【分析】根据不等式，结合已知等式变形可判断A，C，D；由可得，结合实数的性质即可判断B.
【详解】因为,当且仅当时等号成立，所以，A正确；
因为，所以，所以，B错误；
因为，当且仅当时等号成立，所以，C错误；
由整理，得，当且仅当时等号成立，
所以，D正确．
故选：AD．
5．
【分析】
将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.
【详解】因为，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当，
所以，，
故实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.
考点六：不等式与方程综合
【典例精析】（多选）（23-24高一上·广东深圳·期末），和是方程的两个根，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由题设，利用根与系数关系及判别式有，，，再结合和角正切公式、基本不等式判断各项正误.
【详解】由，则，
则，且，则，
由，A对，B、C错；
由，则，
当且仅当时取等号，故，D对.
故选：AD
【变式训练】
一、单选题
1．（2021·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红 黄 蓝 绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（ ）个
A．20 B．22 C．24 D．26
2．（2021·广东·模拟预测）曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（21-22高三下·重庆·阶段练习）甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）若满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2021·全国·模拟预测）2021年全国有部分省推行“”新高考模式，选择性考试科目中，首选科目成绩直接以原始成绩呈现；再选科目化学、生物、政治、地理成绩以等级赋分转换后的等级成绩呈现.等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门再选科目考试的原始成绩从高到低划定为，，，，五个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，13%和2%.转换基数为实际参加该再选科目考试并取得有效成绩的人数.转换时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到100~86分、85~71分、70~56分、55~41分、40~30分五个等级分数区间，根据转换公式计算，四舍五入得到考生的等级成绩.等级赋分转换公式为，，分别表示某等级原始分数区间的下限和上限；，分别表示相应等级的赋分区间的下限和上限；表示考生的原始成绩，表示考生转换后的等级成绩.考生原始成绩正好为原始分数区间上限或下限时，不需要按转换公式计算，相应的赋分区间的上限或下限分数即为该考生的等级成绩.某校的一次统考中，甲同学选考科目生物成绩原始分91分，属于档，这次原始成绩的档的最低分90分，最高分100分，则甲同学赋分后的生物成绩约为 .
参考答案：
1．B
【分析】分别设红 黄 蓝 绿各有，，，个，根据题意列出不等式可分别求出范围，即可求出.
【详解】分别设红 黄 蓝 绿各有，，，个，且，，，为正整数，
则由题意得，，，，可得，
所以，，，即至少有个.
故选：B.
2．C
【分析】根据题意，设出宫音的律管长度，表示出羽音的律管长度，作比即可.
【详解】设以宫音为基音的律管长度为，则徵音的律管长度为，
商音的律管长度为，羽音的律管长度为，
所以，羽音律管长度与宫音律管长度之比是.
故选：C.
3．AD
【分析】换元后得到，用两根之和求出，两根之积求出，从而求出的两根为或，得到或.
【详解】令，
则方程可化为：，即，
则甲写错了常数b，得到的根为或，
由两根之和得：
乙写错了常数c，得到的根为或，
由两根之积得：，
所以方程为，
解得：或
即或，
解得：或.
故选：AD
4．ABD
【分析】令，代入已知条件，再由判别式可求得的范围，从而可判断A,B选项，将已知条件变形为，再由均值不等式可得的范围，再利用代入法并化简即可判断C,D选项.
【详解】令，即，代入可得：
.
所以, 解得 , 所以 A 正确. B 正确；
由 可变形为 ,
因为 , 将代入上式可得：
,
解得 , 所以不正确, D正确.
故选：.
5．87
【分析】由题设的赋分原则，结合已知数据代入等级赋分公式，解一元一次方程，即可确定甲同学赋分后的生物成绩.
【详解】将，，，，，代入等级赋分转化公式，
∴，解得.
故答案为：87.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
6．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
7．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
四、解答题
8．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2．C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
3．C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
4．BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
5．
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
6．
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

7．/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.

8．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
一、单选题
1．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川南充·一模）已知全集，集合则能表示关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，以边为直径的圆的面积为，若的面积不小于，则的形状为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，正数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
6．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2 B． C． D．1
二、多选题
7．（2024·河北沧州·二模）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数和实数，，则下列说法正确的是（ ）
A．定义在上的函数恒有，则当时，函数的图象有对称轴
B．定义在上的函数恒有，则当时，函数具有周期性
C．若，，，则，恒成立
D．若，，，且的4个不同的零点分别为，且，则
9．（2024·甘肃陇南·一模）已知，关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2023·陕西西安·模拟预测）正项数列中，为数列的前n项和，且对任意满足.若k，，且，则的最大值为 .
11．（2024·山东·二模）在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为 ．
四、解答题
12．（2024·北京海淀·一模）已知椭圆的离心率为分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.
(1)求m的值及点的坐标；
(2)设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线上，且，直线与x轴交于点M.比较与的大小.
13．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证：
(1)；
(2)．
14．（2024·四川·模拟预测）已知均为正实数，且满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：.
参考答案：
1．D
【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D.
【详解】对于A，由，可得，故A错误；
对于B，由，，，可得，故B错误；
对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误；
对于D，因为，当且仅当时，等号成立，
即，故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】由不等式的解法和集合的运算，求得或，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】由集合，且，
所以或，
因为，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D．
3．B
【分析】解出集合后，求得，逐项分析即可.
【详解】因为，
，
所以，
对于A，，错误；
对于C，，错误；
对于D，错误；B选项符合题意，
故选：B.
4．D
【分析】根据题意可得，，由，得即，又由余弦定理结合基本不等式得，所以，此时，得解.
【详解】根据题意可得，，，
，又，则，
又，所以，
由余弦定理得，，
所以，当且仅当时等号成立，所以，此时，
所以，即为等边三角形.
故选：D.
5．C
【分析】先证明函数为奇函数，由可得，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】因为，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数，有，
由解析式可以看出函数为减函数，
因为，
所以，即，
因为为正数，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C
6．B
【分析】由判别式可解得，由根与系数关系可得，由的范围结合不等式的性质变形可得答案．
【详解】由题意可得，
解得或，
设两个为，，由两根为正根可得
，解得，
综上知，.
故两个根的倒数和为
，
，，，
故，
，
故两个根的倒数和的最小值是.
故选：B
7．AC
【分析】由不等式的性质可判断；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D.
【详解】因为，
所以的符号不确定，
由不等式的性质知成立，
但不一定成立，故A正确，B错误；
因，故C正确；
因为，所以，所以，故D错误.
故选：AC.
8．ACD
【分析】根据函数的对称性和周期性可分别判断AB；求出时的解析式，然后根据自变量范围代入相应表达式解不等式即可判断C；将问题转化为直线与函数有四个交点，结合图象求得四根的关系即可判断D.
【详解】对于A，若，则，
所以函数的图象的对称轴为直线，故A正确.
对于B，当时，.
若，则，函数不具有周期性，故B错误.
对于C，若，，则，
当时，，
则，
即当时，.
当时，，
所以
，所以恒成立，C正确.
对于D，当时，，则，
令，
作出函数的图象和直线，如图.
要使有4个不同的零点，则函数的图象与直线有4个不同的交点.
又，则，
所以，，
所以，，
则，
所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析求解即可.
9．BCD
【分析】举特殊值可判断A；令，结合题意得，利用三角代换判断B；将转化为，令，继而转化为，再结合换元，利用函数的单调性，可求得的范围，即可判断C，D.
【详解】对于A，由题意知，关于x的不等式的解集为，
不妨取，则，即，
其解集为，即满足题意，故A错误；
对于B，即，
令，由于不等式的解集为，
故需满足，且，
令，则，
由于，则，即得，
又，故，B正确；
对于C，D，，，
故，
令，，则，
则，
令，则
，
由于函数在上单调递增，
故，
则，即，
即，，C，D正确，
故选：BCD
【点睛】难点点睛：本题考查了由指数型不等式的解集求解参数范围问题，综合性较强，难度较大，解答的难点在于C，D项的判断，解答时要利用三角代换以及换元法，将等价转化，再结合函数的单调性进行判断.
10．18
【分析】利用递推关系求出，再利用条件确定对应范围，最后确定最值取法.
【详解】由题意可知正项数列中，为数列的前n项和，且对任意满足,①,
当时, ,解得,
当时, ,②,
得:,整理得,
由于数列为正项数列,故,
所以以为首项,2为公差的等差数列,
即,
所以,
又k，，且，即,整理可得
,
,
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
当时，；
所以时,或时， 最大,
所以的最大值为18,
故答案为:18
11．
【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值.
【详解】因为，
所以由余弦定理，得，
所以，又，
则，
所以由余弦定理以及基本不等式得：
，
即，当且仅当时等号成立，
所以，即面积的最大值为，
故答案为：.
12．(1)，
(2)
【分析】（1）借助离心率计算即可得；
（2）设，表示出与点坐标后，可得、，借助作差法计算即可得.
【详解】（1）由，即，
由题意可得，故，解得，
故，则，故；
（2）设，，，有，
由，则有，即，
由，故有，
即有
，
由可得、，
则，
，
则，
由，故，
即.
13．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，根据基本不等式可得，利用作差法，结合立方和公式和基本不等式计算即可证明；
（2）由题意可得，结合基本不等式计算即可证明.
【详解】（1）由，且可得，
故，当且仅当时等号成立．
，
，当且仅当时等号成立．
（2）
，
当且仅当时等号成立．故．
14．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合已知等式，将化为，利用基本不等式，即可求得答案；
（2）利用柯西不等式，即可证明原不等式.
【详解】（1）因为均为正实数，，
所以
，当且仅当，
即时等号成立．
（2）证明：根据柯西不等式有，
所以．
当且仅当，即时等号成立，
即原命题得证.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
6.1等式与不等式
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 7
考点一：不等式的性质 7
考点二：一元二次不等式 8
考点三：其他不等式 10
考点四：基本不等式 11
考点五：基本不等式求最值 12
考点六：不等式与方程综合 12
【真题在线】 14
【专项突破】 15
考点 考情分析 考频
导数中含参一元二次不等式 2023年全国乙卷
条件等式求最值 2022年新高考Ⅱ卷
基本不等式证明不等关系 2022年全国甲卷
基本不等式的应用 2022年全国甲卷
基本不等式求和的最值 2022年新高考Ⅰ卷 2021年全国乙卷 3年2考
基本不等式求积最值 2021年新高考Ⅰ卷
预测：不等式是高中知识的重要组成部分，是高考考察的热点、重点内容，由于高中教材的调整，线性规划内容删除，考察的形式与以前教材有所不同，在新教材的考察中往往与其他知识相结合，选择题在多选题出现的可能性比较大，在解答题中也会有所涉及，考察的难度中等偏上.建议在复习时，掌握好基础知识，增强拓展应用.
考点一：不等式的性质
【典例精析】（多选）（2024·浙江绍兴·二模）已知，，，则（ ）
A．且 B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）若满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江台州·二模）已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（ ）
A．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
B．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低
C．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱
D．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
4．（20-21高三下·全国·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．设，则“”是“且”的必要不充分条件
B．是“”的充要条件
C．“”是“”成立的充要条件
D．设，则 “”是“”的充分而不必要条件
三、填空题
5．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ．
考点二：一元二次不等式
【典例精析】（多选）（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．函数在区间上单调递减
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2022·河南南阳·模拟预测）已知命题：，恒成立；命题：在上单调递减.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
4．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列几种说法中正确的是（ ）
A．若，则的最小值是4
B．命题“，”的否定是“，”
C．若不等式的解集是，则的解集是
D．“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件
三、填空题
5．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为 ．
考点三：其他不等式
【典例精析】（多选）（2022·重庆永川·模拟预测）下列叙述不正确的是（ ）
A．的解是
B．“”是“”的充要条件
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．函数的最小值是
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东临沂·二模）若，，则的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·广西·模拟预测）满足不等式的整数解的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2021·河北张家口·三模）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．若则实数的取值范围为.
B．若数列的前项和，且，则；
C．若数列与，且，则；
D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b，c成等比数列，则的最小值为.
三、填空题
5．（2022·上海静安·二模）若函数的反函数为，则不等式的解集是 .
考点四：基本不等式
【典例精析】（多选）（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·上海徐汇·一模）已知集合，若对于任意，总存在与之相应的（其中），使得成立，则称集合是“集合”． 下列选项为“集合”的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是递减数列
C． D．
4．（2022·江苏南通·一模）下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2021·江西·模拟预测）已知直线分别与函数和的图象交于点，现给出下述结论：①；②；③；④.则其中正确的结论序号是 .
考点五：基本不等式求最值
【典例精析】（多选）（2024·河北保定·二模）已知，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为2 D．的最小值为
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最小值 D．的最小值为
4．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
考点六：不等式与方程综合
【典例精析】（多选）（23-24高一上·广东深圳·期末），和是方程的两个根，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2021·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红 黄 蓝 绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（ ）个
A．20 B．22 C．24 D．26
2．（2021·广东·模拟预测）曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（21-22高三下·重庆·阶段练习）甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）若满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2021·全国·模拟预测）2021年全国有部分省推行“”新高考模式，选择性考试科目中，首选科目成绩直接以原始成绩呈现；再选科目化学、生物、政治、地理成绩以等级赋分转换后的等级成绩呈现.等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门再选科目考试的原始成绩从高到低划定为，，，，五个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，13%和2%.转换基数为实际参加该再选科目考试并取得有效成绩的人数.转换时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到100~86分、85~71分、70~56分、55~41分、40~30分五个等级分数区间，根据转换公式计算，四舍五入得到考生的等级成绩.等级赋分转换公式为，，分别表示某等级原始分数区间的下限和上限；，分别表示相应等级的赋分区间的下限和上限；表示考生的原始成绩，表示考生转换后的等级成绩.考生原始成绩正好为原始分数区间上限或下限时，不需要按转换公式计算，相应的赋分区间的上限或下限分数即为该考生的等级成绩.某校的一次统考中，甲同学选考科目生物成绩原始分91分，属于档，这次原始成绩的档的最低分90分，最高分100分，则甲同学赋分后的生物成绩约为 .
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
6．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
7．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
四、解答题
8．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
一、单选题
1．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川南充·一模）已知全集，集合则能表示关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，以边为直径的圆的面积为，若的面积不小于，则的形状为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，正数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
6．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2 B． C． D．1
二、多选题
7．（2024·河北沧州·二模）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数和实数，，则下列说法正确的是（ ）
A．定义在上的函数恒有，则当时，函数的图象有对称轴
B．定义在上的函数恒有，则当时，函数具有周期性
C．若，，，则，恒成立
D．若，，，且的4个不同的零点分别为，且，则
9．（2024·甘肃陇南·一模）已知，关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2023·陕西西安·模拟预测）正项数列中，为数列的前n项和，且对任意满足.若k，，且，则的最大值为 .
11．（2024·山东·二模）在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为 ．
四、解答题
12．（2024·北京海淀·一模）已知椭圆的离心率为分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.
(1)求m的值及点的坐标；
(2)设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线上，且，直线与x轴交于点M.比较与的大小.
13．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证：
(1)；
(2)．
14．（2024·四川·模拟预测）已知均为正实数，且满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑