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第5课时　实验十二：测量电源的电动势和内阻
目标要求　1.掌握伏安法、伏阻法、安阻法测量电源电动势和内阻的原理及电路设计。2.理解实验的误差分析和改进方法。
考点一　伏安法
1．实验原理
闭合电路欧姆定律。
2．实验器材
电源、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
3．实验步骤
(1)电流表用0.6 A的量程，电压表用3 V的量程，按电路图连接好电路。
(2)把滑动变阻器的滑片移到使阻值最大的一端。
(3)闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)。用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中。
(4)断开开关，拆除电路，整理好器材。
4．用实验数据求E、r的处理方法
(1)列方程求解：由U＝E－Ir得，解得E、r。
(2)用作图法处理数据，如图所示。
①图线与纵轴交点为E；
②图线与横轴交点为I短＝；
③图线的斜率的绝对值表示r＝||。
5．误差分析
(1)偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数以及作U－I图像时描点不准确。
(2)系统误差：
①如图甲所示
方法a　电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表分流越多，对应的I真与I测的差越大，IV＝。其中U－I图像如图乙所示。
结论：E测方法b　等效电源法
如图甲所示，E测＝E真②如图丙所示
方法a　电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大，UA＝I·RA。其中U－I图像如图丁所示。
结论：E测＝E真，r测>r真。
方法b　等效电源法
如图丙所示，E测＝E真，r测＝r＋RA>r真。
(3)电路选择：
①电源内阻一般较小，选图甲电路误差较小。
②当内阻已知时选图丙电路，此时r＝|k|－RA，没有系统误差。
6．注意事项
(1)合理选择电压表、电流表量程。测一节干电池的电动势和内阻时，电压表选3 V量程，电流表选0.6 A量程，滑动变阻器选0～10 Ω。
(2)应使用内阻大些(用过一段时间)的干电池；在实验中不要将I调得过大；每次读完I和U的数据后应立即断开电源，以免干电池在大电流放电时E和r明显变化。
(3)在作U－I图线时，要使较多的点落在这条直线上，不在直线上的点应均匀分布在直线的两侧，忽略个别偏离直线较远的点，以减小偶然误差。
(4)干电池内阻较小时，U的变化较慢，此时，坐标轴中数据点将呈现如图甲所示的状况，为此，可使纵坐标不从零开始，如图乙所示，把坐标的比例放大，可使结果的误差减小些，此时图线与横轴交点不表示短路电流。另外，计算内阻要在直线上任取两个相距较远的点，用r＝||算出电池的内阻r。
例1　(2023·浙江6月选考·16Ⅱ)在“测量干电池的电动势和内阻”实验中：
(1)部分连线如图甲所示，导线a端应连接到________(选填“A”“B”“C”或“D”)接线柱上。正确连接后，某次测量中电压表指针位置如图乙所示，其示数为________ V。
(2)测得的7组数据已标在如图丙所示U－I坐标系上，用作图法求干电池的电动势E＝________ V和内阻r＝________ Ω。(计算结果均保留两位小数)
答案　 (1) B　1.20　(2)1.50　1.04
解析　(1)电压表测量的电压应为滑动变阻器接入电路中电阻丝两端的电压，开关应能控制电路，所以导线a端应连接到B处；干电池电动势约为1.5 V，电压表选择0～3 V量程，分度值为0.1 V，题图乙中电压表读数为1.20 V；
(2)作出U－I图像如图所示
根据闭合电路欧姆定律U＝E－Ir
可知U－I图像纵轴截距为干电池的电动势，
可得E＝1.50 V
U－I图像斜率的绝对值等于干电池的内阻
r＝ Ω≈1.04 Ω。
例2　某同学要测量“水果电池”的电动势和内阻，提供下列仪器：
A．待测“水果电池”(电动势E约为4 V，内阻r约为200 Ω)
B．毫安表A(量程5 mA，内阻为RA＝60 Ω)
C．电压表V(量程4 V，内阻约5 kΩ)
D．电阻箱R1(0～999.9 Ω)
E．滑动变阻器R(0～1 000 Ω)
F．开关、导线若干。
(1)由于毫安表的量程太小，该同学用电阻箱R1与毫安表A并联，可使其量程扩大，取R1＝RA，则改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的____倍；
(2)用改装后的电流表完成实验，应选择的实验电路是图中的________(选填“甲”或“乙”)；
(3)根据实验数据画出U－I图线，如图所示。由图线可得，“水果电池”的电动势E＝____ V，内电阻r＝________ Ω。(均保留三位有效数字)
答案　(1)5　(2)乙　(3)3.80　175
解析　(1)设毫安表电流为IA，由并联电路的规律可得IARA＝(I－IA)R1，解得I＝5IA，因此改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的5倍；
(2)由于电流表内阻已知，因此采用题图乙电路可以避免系统误差，故选乙电路；
(3)改装后电流表的内阻为RA′＝＝ Ω＝12 Ω，则由闭合电路欧姆定律可得E＝Ir＋IRA′＋U，转化可得U＝－(r＋RA′)I＋E
由U－I图像可得b＝E＝3.80 V，
|k|＝|－(r＋RA′)|＝ Ω，
解得E＝3.80 V，r≈175 Ω。
考点二　伏阻法
1．实验原理
闭合电路欧姆定律E＝U＋r，电路图如图所示。
2．实验器材
电源、电压表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
3．数据处理
(1)计算法：由
解方程组可求得E和r。
(2)图像法：由E＝U＋r得：＝＋·。故－图像的斜率k＝，纵轴截距为，如图。
4．误差分析
(1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确；
(2)结论：E测＜E真，r测＜r真。(均选填“>”“<”或“＝”)
例3　(2024·江西抚州市临川一中月考)在测定两节干电池电动势和内阻的实验中，某同学用到的器材有一个电压表、一个电阻箱、一个定值电阻R0、一个开关S、两节干电池、若干导线，其实验实物图如图甲所示。
(1)改变电阻箱的阻值R，用图甲中的电压表测出多组电阻箱两端的电压U。实物图甲中已连接好部分电路，请按照实验要求将剩余部分电路连接好。
(2)在坐标纸上作出与的关系图线如图乙所示，结合图线计算出两节干电池的电动势E＝__________，内阻r＝__________。(结果均用a、b和R0表示)
(3)若考虑电压表并非理想电压表，则电动势的测量值与真实值相比__________；内阻的测量值与真实值相比__________。(均选填“偏大”“相等”或“偏小”)
(4)另一位同学将图甲电压表的导线改接在R0的c、d端，改变电阻箱的阻值R，测出多组电压表的数据U，若用图像法测算电源的电动势和内阻，为了使得到的图线是一条直线，则该同学应描绘__________。
A.－图像 B．U－R图像
C.－R图像 D．U－R2图像
答案　(1)见解析图　(2)　－R0　(3)偏小　偏小　(4)C
解析　(1)因电源是两节干电池，选取电压表量程为0～3 V，实物图连接如图所示。
(2)由闭合电路欧姆定律可知E＝U＋(R0＋r)
整理可得＝＋·，
因为纵轴截距b＝
所以E＝，因为斜率绝对值为＝，
可得r＝－R0
(3)由(2)问知b＝，①
＝②
若考虑电压表并非理想电压表，则E真＝U＋(R0＋r真)
其中＝＋，整理可得＝＋·＋·
由此可知b＝＋，③
＝④
对比①与③，可知E真>E测；
对比②与④，可知r真>r测
(4)由闭合电路欧姆定律可知E＝U＋(R＋r)
整理可得＝＋＋·R，所以应描绘的是－R图像，故选C。
考点三　安阻法
1．实验原理
闭合电路的欧姆定律E＝IR＋Ir，电路图如图所示。
2．实验器材
电源、电流表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
3．数据处理
(1)计算法：由
解方程组求得E、r。
(2)图像法：由E＝I(R＋r)可得
①＝R＋，可作－R图像(如图甲)
－R图像的斜率k＝，纵轴截距为。
②R＝E·－r，可作R－图像(如图乙)
R－图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r。
4．误差分析
(1)误差来源：电流表有内阻，导致电源内阻测量不准确；
(2)结论：E测＝E真，r测＞r真(r测＝r真＋rA)。(均选填“>”“<”或“＝”)
例4　(2023·广东梅州市二模)用一张锌片和一张铜片，中间夹一张浸过盐水的纸，并从锌片和铜片各引出一个电极，这样就组成了一个电池。为研究该电池组的特性，某同学进行了以下实验：
(1)将电池组按图甲所示接入电路，图中电流表的量程为10 mA，内阻为100 Ω；
(2)闭合开关，调节电阻箱的阻值，发现当R＝100 Ω时，电流表的示数I如图乙所示，则I＝________ mA；
(3)反复调节电阻箱的阻值，读出多组电流表的示数I(算出的值)和对应电阻箱的阻值R，并在图中描出了相应的数据点，请利用已描出的点绘出－R图线；
(4)由图绘出的－R图线可知，该电池组的电动势为________ V，内电阻为________ Ω。(结果均保留3位有效数字)
答案　(2)5.9　(3)见解析图　(4)1.47　47.0
解析　(3)绘出－R图线如图：
(4)由电路图可知E＝I(R＋RA＋r)，
即＝R＋，
由图像可知＝，
＝100 A－1，
解得E＝1.47 V，r＝47.0 Ω。
例5　(2021·湖南卷·12)某实验小组需测定电池的电动势和内阻，器材有：一节待测电池、一个单刀双掷开关、一个定值电阻(阻值为R0)、一个电流表(内阻为RA)、一根均匀电阻丝(电阻丝总阻值大于R0，并配有可在电阻丝上移动的金属夹)、导线若干。由于缺少刻度尺，无法测量电阻丝长度，但发现桌上有一个圆形时钟表盘。某同学提出将电阻丝绕在该表盘上，利用圆心角来表示接入电路的电阻丝长度。主要实验步骤如下：
(1)将器材如图(a)所示连接；
(2)开关闭合前，金属夹应夹在电阻丝的______端(填“a”或“b”)；
(3)改变金属夹的位置，闭合开关，记录每次接入电路的电阻丝对应的圆心角θ和电流表示数I，得到多组数据；
(4)整理数据并在坐标纸上描点绘图，所得图像如图(b)所示，图线斜率为k，与纵轴截距为d，设单位角度对应电阻丝的阻值为r0，该电池电动势和内阻可表示为E＝______，r＝______；(用R0、RA、k、d、r0表示)
(5)为进一步确定结果，还需要测量单位角度对应电阻丝的阻值r0。利用现有器材设计实验，在图(c)方框中画出实验电路图(电阻丝用滑动变阻器符号表示)；
(6)利用测出的r0，可得该电池的电动势和内阻。
答案　(2)b　(4)　－R0－RA　(5)见解析图
解析　(2)开关闭合前，为了保护电路中的元件，应将电阻丝的最大阻值接入电路，根据电阻定律R＝ρ可知电阻丝接入越长，接入电阻越大，金属夹应夹在电阻丝的b端。
(4)设圆心角为θ时，则电阻丝接入电路中的电阻为θr0，根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir可知
E＝I(RA＋R0＋θr0)＋Ir
整理得＝θ＋
结合－θ图像的斜率和纵截距有＝k，＝d
解得电池电动势和内阻分别为E＝
r＝－R0－RA。
(5)实验器材中有定值电阻R0和单刀双掷开关，考虑使用等效法测量电阻丝电阻，如图，
原理的简单说明：
①将开关置于R0位置，读出电流表示数I0；
②将开关置于电阻丝处，调节接入电路的电阻丝对应的圆心角，直到电流表示数为I0，读出此时角度θ；
③此时θr0＝R0，即可求得r0的数值。
课时精练
1．(2023·山东济南市模拟)某实验小组利用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内阻，实验器材如下：
干电池一节(电动势约为1.5 V，内阻约为0.5 Ω)；
电压表V(量程为0～3 V，内阻约为3 kΩ)；
电流表A(量程为0～0.6 A，内阻约为0.2 Ω)；
滑动变阻器(最大阻值为20 Ω)；
开关、导线若干。
(1)实验电路图选择________(选填“甲”或“乙”)。
(2)用笔画线代替导线，将图中的器材连成实验电路。
(3)完成实验后，某同学利用图像分析由电表内阻引起的实验误差。在下列图像中，实线是根据实验数据描点作图得到的U－I图线；虚线是该电源真实的路端电压U随真实的干路电流I变化的U－I图线。本次实验分析误差的U－I图像正确的是________。
(4)为减小电表内阻引起的实验误差，在电表量程不变的情况下，可以采取的措施是________。
A．换用内阻更小的电流表
B．换用内阻更大的电流表
C．换用内阻更小的电压表
D．换用内阻更大的电压表
答案　(1)甲　(2)见解析图　(3)A　(4)D
解析　(1)因为电源内阻较小，接近电流表内阻，为了减小误差，所以电流表采用相对电源外接法，选择甲；
(2)根据电路图得实物连接图如图所示；
(3)由于电压表的分流作用，相同的路端电压下，电流表测量的电流值小于流过电源的电流。内阻的测量值为电源和电压表并联后的总电阻，比实际电源的内阻小，对应实线斜率的绝对值比虚线的小，但当电压为零时，外电路短路，电压表的内阻对测量没有影响，实线和虚线重合，故A正确，B、C、D错误；
(4)本次实验是因为电压表的分流作用产生的误差，为减小电表内阻引起的实验误差，在电表量程不变的情况下，可以采取的措施是增大电压表的内阻，故D正确，A、B、C错误。
2．(2023·湖北卷·12)某实验小组为测量干电池的电动势和内阻，设计了如图(a)所示电路，所用器材如下：
电压表(量程0～3 V，内阻很大)；
电流表(量程0～0.6 A)；
电阻箱(阻值0～999.9 Ω)；
干电池一节、开关一个和导线若干。
(1)根据图(a)，完成图(b)中的实物图连线。
(2)调节电阻箱到最大阻值，闭合开关。逐次改变电阻箱的电阻，记录其阻值R、相应的电流表示数I和电压表示数U。根据记录数据作出的U－I图像如图(c)所示，则干电池的电动势为________ V(保留3位有效数字)、内阻为________ Ω(保留2位有效数字)。
(3)该小组根据记录数据进一步探究，作出－R图像如图(d)所示。利用图(d)中图像的纵轴截距，结合(2)问得到的电动势与内阻，还可以求出电流表内阻为_______ Ω(保留2位有效数字)。
(4)由于电压表内阻不是无穷大，本实验干电池内阻的测量值______(填“偏大”或“偏小”)。
答案　(1)见解析图　(2)1.58　0.64　(3)2.5
(4)偏小
解析　(1)实物连线如图：
(2)由电路结合闭合电路的欧姆定律可得U＝E－Ir
由题图(c)可知E＝1.58 V
内阻r＝ Ω≈0.64 Ω
(3)根据E＝I(R＋RA＋r)
可得＝·R＋
由题图(d)可知＝2 A－1，解得RA≈2.5 Ω
(4)由于电压表内阻不是无穷大，则实验测得的是电压表内阻与干电池内阻的并联值，即实验中测得的干电池内阻偏小。
3．(2023·海南海口市联考)为了测量由两节干电池组成的电源的电动势和内阻，某同学设计了如图甲所示的实验电路，其中R为电阻箱，保护电阻R0＝4 Ω。
(1)按照图甲所示的电路图，将图乙所示的实物连接成实验电路图。
(2)开关S断开，调整电阻箱的阻值，再闭合开关S，读取并记录电压表的示数及电阻箱接入电路中的阻值。多次重复上述操作，可得到多组电压值U及电阻值R。以为纵轴，以为横轴，作出 － 的关系图线为一直线，如图丙所示。由图线可求得电池组的电动势E＝__________ V，内阻r＝__________ Ω。(结果均保留2位有效数字)
(3)本实验中，若考虑电表对电路的影响，则该电池电动势的测量值相比真实值__________，内阻的测量值相比真实值________。(均选填“偏大”或”偏小”)
答案　(1)见解析图　(2)2.7　0.59　(3)偏小　偏小
解析　(1)按照题图甲所示的电路图，实物连接电路如图所示。
(2)根据闭合电路欧姆定律有
E＝U＋(R0＋r)
整理上式可得＝＋·
由－的图像可得图像的斜率为
k＝＝ Ω·V－1＝1.7 Ω·V－1
图像纵轴截距为b＝＝0.37 V－1
解得E≈2.7 V，r≈0.59 Ω
(3)电源电动势与内阻的测量值为E测＝
r测＝－R0
实验误差来源是电压表分流，考虑电压表分流作用，
则有E真＝U＋I真(r真＋R0)＝U＋(＋)(r真＋R0)
整理得＝·＋＋
可知－图像的斜率为k＝
纵轴截距为b＝＋
解得E真＝，r真＝－R0
从以上看出E测＜E真，r测＜r真
即电源电动势与内阻的测量值都小于真实值。
4．(2023·浙江义乌市模拟)某学习小组要测量一个电源的电动势及内阻。除该电源外还准备的器材有：一个电阻箱R(最大阻值为99.9 Ω)，一个电流表A(量程0～200 mA，内阻为10 Ω)，一个定值电阻R0(阻值为5 Ω)，一个开关和若干导线。
(1)如果用多用电表粗测电流表的内阻，需要将红表笔与电流表__________(填“正”或“负”)接线柱相连。
(2)由于电流表A的量程较小，考虑到安全因素，同学们利用定值电阻R0将该电流表进行改装，改装后的量程为__________。
(3)根据器材在虚线框中画出设计的电路图(改装部分也要画出)。若实验中记录电阻箱的阻值R和电流表的示数I，并计算出，得到多组数据后描点作出R－图像如图所示，则该电源的电动势E＝__________ V，内阻r＝__________ Ω。(结果均保留两位有效数字)
答案　(1)负　(2)0～0.6 A(或0～600 mA)
(3)见解析图　6.0　2.7
解析　(1)欧姆表测电阻时，电流从黑表笔流出，连接时要注意红表笔要与电流表的负接线柱相连。
(2)将定值电阻R0与电流表并联进行改装，改装后的量程为
I＝Ig＋＝0.2 A＋ A＝0.6 A
(3)根据提供的器材，采用安阻法进行测量，电路图如图所示
根据电路可知，电流表示数为I时，总电流为3I，
则E＝IRg＋3I(R＋r)
即R＝·－
由题图可知＝ V＝2.0 V，
＝6.0 Ω
解得E＝6.0 V，r＝ Ω≈2.7 Ω。
5.(2021·全国乙卷·23)一实验小组利用图(a)所示的电路测量一电池的电动势E(约1.5 V)和内阻r(小于2 Ω)。图中电压表量程为1 V，内阻RV＝380.0 Ω；定值电阻R0＝20.0 Ω；电阻箱R，最大阻值为999.9 Ω；S为开关。按电路图连接电路。完成下列填空：
(1)为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选________Ω(填“5.0”或“15.0”)；
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电压表的相应读数U；
(3)根据图(a)所示电路，用R、R0、RV、E和r表示，得＝________；
(4)利用测量数据，作－R图像，如图(b)所示；
(5)通过图(b)可得E＝________V(保留2位小数)，r＝________Ω(保留1位小数)；
(6)若将图(a)中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E′，由此产生的误差为||×100%＝________%。(保留1位有效数字)
答案　(1)15.0
(3)·R＋＋
(5)1.55　1.0　(6)5
解析　(1)为了避免电压表被烧坏，接通电路时电压表两端的电压不能比电压表满偏电压大，当电压表满偏时有＝
代入数据解得R＋r＝9.5 Ω，故R>7.5 Ω
因此电阻箱接入电路的电阻值选15.0 Ω。
(3)由闭合电路欧姆定律可得
E＝U＋(R＋r)
化简可得＝·R＋＋r
(5)由上面公式可得＝k＝，
＋r＝b＝＋，
由－R图像计算可得k≈0.034 V－1·Ω－1
延长图线，得到图线与纵轴的交点为0.85 V－1，则有0.85 V－1＝＋＋ (V－1)
代入可得E≈1.55 V，r≈1.0 Ω。
(6)如果电压表为理想电表，则可有
＝＋＋R
则此时E′＝
因此误差为||×100%＝5%。第5课时　实验十二：测量电源的电动势和内阻
目标要求　1.掌握伏安法、伏阻法、安阻法测量电源电动势和内阻的原理及电路设计。2.理解实验的误差分析和改进方法。
考点一　伏安法
1．实验原理
闭合电路欧姆定律。
2．实验器材
电源、电压表、电流表、____________________、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
3．实验步骤
(1)电流表用________ A的量程，电压表用________ V的量程，按电路图连接好电路。
(2)把滑动变阻器的滑片移到使阻值最________的一端。
(3)闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)。用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中。
(4)断开开关，拆除电路，整理好器材。
4．用实验数据求E、r的处理方法
(1)列方程求解：由U＝E－Ir得，解得E、r。
(2)用作图法处理数据，如图所示。
①图线与纵轴交点为______；
②图线与横轴交点为I短＝________；
③图线的斜率的绝对值表示r＝__________。
5．误差分析
(1)偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数以及作U－I图像时描点不准确。
(2)系统误差：
①如图甲所示
方法a　电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表分流越多，对应的I真与I测的差越大，IV＝。其中U－I图像如图乙所示。
结论：E测________E真，r测________r真。
方法b　等效电源法
如图甲所示，E测＝E真②如图丙所示
方法a　电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大，UA＝I·RA。其中U－I图像如图丁所示。
结论：E测________E真，r测________r真。
方法b　等效电源法
如图丙所示，E测＝E真，r测＝r＋RA>r真。
(3)电路选择：
①电源内阻一般较小，选图甲电路误差较小。
②当内阻已知时选图丙电路，此时r＝|k|－RA，没有系统误差。
6．注意事项
(1)合理选择电压表、电流表量程。测一节干电池的电动势和内阻时，电压表选3 V量程，电流表选0.6 A量程，滑动变阻器选0～10 Ω。
(2)应使用内阻大些(用过一段时间)的干电池；在实验中不要将I调得过大；每次读完I和U的数据后应立即断开电源，以免干电池在大电流放电时E和r明显变化。
(3)在作U－I图线时，要使较多的点落在这条直线上，不在直线上的点应均匀分布在直线的两侧，忽略个别偏离直线较远的点，以减小偶然误差。
(4)干电池内阻较小时，U的变化较慢，此时，坐标轴中数据点将呈现如图甲所示的状况，为此，可使纵坐标不从零开始，如图乙所示，把坐标的比例放大，可使结果的误差减小些，此时图线与横轴交点不表示短路电流。另外，计算内阻要在直线上任取两个相距较远的点，用r＝||算出电池的内阻r。
例1　(2023·浙江6月选考·16Ⅱ)在“测量干电池的电动势和内阻”实验中：
(1)部分连线如图甲所示，导线a端应连接到________(选填“A”“B”“C”或“D”)接线柱上。正确连接后，某次测量中电压表指针位置如图乙所示，其示数为________ V。
(2)测得的7组数据已标在如图丙所示U－I坐标系上，用作图法求干电池的电动势E＝________ V和内阻r＝________ Ω。(计算结果均保留两位小数)
例2　某同学要测量“水果电池”的电动势和内阻，提供下列仪器：
A．待测“水果电池”(电动势E约为4 V，内阻r约为200 Ω)
B．毫安表A(量程5 mA，内阻为RA＝60 Ω)
C．电压表V(量程4 V，内阻约5 kΩ)
D．电阻箱R1(0～999.9 Ω)
E．滑动变阻器R(0～1 000 Ω)
F．开关、导线若干。
(1)由于毫安表的量程太小，该同学用电阻箱R1与毫安表A并联，可使其量程扩大，取R1＝
RA，则改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的____倍；
(2)用改装后的电流表完成实验，应选择的实验电路是图中的________(选填“甲”或“乙”)；
(3)根据实验数据画出U－I图线，如图所示。由图线可得，“水果电池”的电动势E＝__________ V，内电阻r＝________ Ω。(均保留三位有效数字)
考点二　伏阻法
1．实验原理
闭合电路欧姆定律________________________，电路图如图所示。
2．实验器材
电源、________________、________________、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
3．数据处理
(1)计算法：由
解方程组可求得E和r。
(2)图像法：由E＝U＋r得：＝＋·。故－图像的斜率k＝______，纵轴截距为________，如图。
4．误差分析
(1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确；
(2)结论：E测________E真，r测________r真。(均选填“>”“<”或“＝”)
例3　(2024·江西抚州市临川一中月考)在测定两节干电池电动势和内阻的实验中，某同学用到的器材有一个电压表、一个电阻箱、一个定值电阻R0、一个开关S、两节干电池、若干导线，其实验实物图如图甲所示。
(1)改变电阻箱的阻值R，用图甲中的电压表测出多组电阻箱两端的电压U。实物图甲中已连接好部分电路，请按照实验要求将剩余部分电路连接好。
(2)在坐标纸上作出与的关系图线如图乙所示，结合图线计算出两节干电池的电动势E＝__________，内阻r＝__________。(结果均用a、b和R0表示)
(3)若考虑电压表并非理想电压表，则电动势的测量值与真实值相比__________；内阻的测量值与真实值相比__________。(均选填“偏大”“相等”或“偏小”)
(4)另一位同学将图甲电压表的导线改接在R0的c、d端，改变电阻箱的阻值R，测出多组电压表的数据U，若用图像法测算电源的电动势和内阻，为了使得到的图线是一条直线，则该同学应描绘__________。
A.－图像 B．U－R图像
C.－R图像 D．U－R2图像
考点三　安阻法
1．实验原理
闭合电路的欧姆定律________，电路图如图所示。
2．实验器材
电源、________________、________________、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
3．数据处理
(1)计算法：由
解方程组求得E、r。
(2)图像法：由E＝I(R＋r)可得
①＝R＋，可作－R图像(如图甲)
－R图像的斜率k＝________，纵轴截距为________。
②R＝E·－r，可作R－图像(如图乙)
R－图像的斜率k＝________，纵轴截距为________。
4．误差分析
(1)误差来源：电流表有内阻，导致电源内阻测量不准确；
(2)结论：E测________E真，r测__________r真(r测＝r真＋rA)。(均选填“>”“<”或“＝”)
例4　(2023·广东梅州市二模)用一张锌片和一张铜片，中间夹一张浸过盐水的纸，并从锌片和铜片各引出一个电极，这样就组成了一个电池。为研究该电池组的特性，某同学进行了以下实验：
(1)将电池组按图甲所示接入电路，图中电流表的量程为10 mA，内阻为100 Ω；
(2)闭合开关，调节电阻箱的阻值，发现当R＝100 Ω时，电流表的示数I如图乙所示，则I＝________ mA；
(3)反复调节电阻箱的阻值，读出多组电流表的示数I(算出的值)和对应电阻箱的阻值R，并在图中描出了相应的数据点，请利用已描出的点绘出－R图线；
(4)由图绘出的－R图线可知，该电池组的电动势为________ V，内电阻为________ Ω。(结果均保留3位有效数字)
例5　(2021·湖南卷·12)某实验小组需测定电池的电动势和内阻，器材有：一节待测电池、一个单刀双掷开关、一个定值电阻(阻值为R0)、一个电流表(内阻为RA)、一根均匀电阻丝(电阻丝总阻值大于R0，并配有可在电阻丝上移动的金属夹)、导线若干。由于缺少刻度尺，无法测量电阻丝长度，但发现桌上有一个圆形时钟表盘。某同学提出将电阻丝绕在该表盘上，利用圆心角来表示接入电路的电阻丝长度。主要实验步骤如下：
(1)将器材如图(a)所示连接；
(2)开关闭合前，金属夹应夹在电阻丝的______端(填“a”或“b”)；
(3)改变金属夹的位置，闭合开关，记录每次接入电路的电阻丝对应的圆心角θ和电流表示数I，得到多组数据；
(4)整理数据并在坐标纸上描点绘图，所得图像如图(b)所示，图线斜率为k，与纵轴截距为d，设单位角度对应电阻丝的阻值为r0，该电池电动势和内阻可表示为E＝______，r＝__________________；(用R0、RA、k、d、r0表示)
(5)为进一步确定结果，还需要测量单位角度对应电阻丝的阻值r0。利用现有器材设计实验，在图(c)方框中画出实验电路图(电阻丝用滑动变阻器符号表示)；
(6)利用测出的r0，可得该电池的电动势和内阻。(共87张PPT)
第十章
电路及其应用
第
5
课时
实验十二：测量电源的电动势和内阻
目标
要求
1.掌握伏安法、伏阻法、安阻法测量电源电动势和内阻的原理及电路设计。
2.理解实验的误差分析和改进方法。
内
容
索
引
考点一　伏安法
考点二　伏阻法
考点三　安阻法
课时精练
>
<
考点一
伏安法
1.实验原理
闭合电路欧姆定律。
2.实验器材
电源、电压表、电流表、___________、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
滑动变阻器
3.实验步骤
(1)电流表用____ A的量程，电压表用__ V的量程，按电路图连接好电路。
0.6
3
(2)把滑动变阻器的滑片移到使阻值最____的一端。
(3)闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)。用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中。
(4)断开开关，拆除电路，整理好器材。
大
4.用实验数据求E、r的处理方法
(2)用作图法处理数据，如图所示。
①图线与纵轴交点为____；
②图线与横轴交点为I短＝____；
③图线的斜率的绝对值表示r＝_____。
E
5.误差分析
(1)偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数以及作U－I图像时描点不准确。
(2)系统误差：
①如图甲所示
方法a　电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表分流越多，对应的I真与I测的差越大，IV＝ 。其中U－I图像如图乙所示。
结论：E测____E真，r测____r真。
<
<
方法b　等效电源法
②如图丙所示
方法a　电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大，UA＝I·RA。其中U－I图像如图丁所示。
结论：E测____E真，r测____r真。
方法b　等效电源法
如图丙所示，E测＝E真，r测＝r＋RA>r真。
＝
>
(3)电路选择：
①电源内阻一般较小，选图甲电路误差较小。
②当 内阻已知时选图丙电路，此时r＝|k|－RA，没有系统误差。
6.注意事项
(1)合理选择电压表、电流表量程。测一节干电池的电动势和内阻时，电压表选3 V量程，电流表选0.6 A量程，滑动变阻器选0～10 Ω。
(2)应使用内阻大些(用过一段时间)的干电池；在实验中不要将I调得过大；每次读完I和U的数据后应立即断开电源，以免干电池在大电流放电时E和r明显变化。
(3)在作U－I图线时，要使较多的点落在这条直线上，不在直线上的点应均匀分布在直线的两侧，忽略个别偏离直线较远的点，以减小偶然误差。
(4)干电池内阻较小时，U的变化较慢，此时，坐标轴中数据点将呈现如图甲所示的状况，为此，可使纵坐标不从零开始，如图乙所示，把坐标的比例放大，可使结果的误差减小些，此时图线与横轴交点不表示短路电流。另外，计算内阻要在直线上任取两个相距较远的点，用r＝ 算出电池的内阻r。
例1　(2023·浙江6月选考·16Ⅱ)在“测量干电池的电动势和内阻”实验中：
(1)部分连线如图甲所示，导线a端应连接到_____(选填“A”“B”“C”或“D”)接线柱上。正确连接后，某次测量中电压表指针位置如图乙所示，其示数为_____ V。
B
1.20
电压表测量的电压应为滑动变阻器接入电路中电阻丝两端的电压，开关应能控制电路，所以导线a端应连接到B处；干电池电动势约为1.5 V，电压表选择0～3 V量程，分度值为0.1 V，题图乙中电压表读数为1.20 V；
(2)测得的7组数据已标在如图丙所示U－I坐标系上，用作图法求干电池的电动势E＝_____ V和内阻r＝_____ Ω。(计算结果均保留两位小数)
1.50
1.04
作出U－I图像如图所示
根据闭合电路欧姆定律U＝E－Ir
可知U－I图像纵轴截距为干电池的电动势，
可得E＝1.50 V
U－I图像斜率的绝对值等于干电池的内阻
例2　某同学要测量“水果电池”的电动势和内阻，提供下列仪器：
A.待测“水果电池”(电动势E约为4 V，内阻r约为200 Ω)
B.毫安表A(量程5 mA，内阻为RA＝60 Ω)
C.电压表V(量程4 V，内阻约5 kΩ)
D.电阻箱R1(0～999.9 Ω)
E.滑动变阻器R(0～1 000 Ω)
F.开关、导线若干。
(1)由于毫安表的量程太小，该同学用电阻箱R1与毫安表A并联，可使其量程扩大，取R1＝ ，则改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的__倍；
5
设毫安表电流为IA，由并联电路的规律可得IARA＝(I－IA)R1，解得I＝5IA，因此改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的5倍；
(2)用改装后的电流表完成实验，应选择的实验电路是图中的____(选填“甲”或“乙”)；
乙
由于电流表内阻已知，因此采用题图乙电路可以避免系统误差，故选乙电路；
(3)根据实验数据画出U－I图线，如图所示。由图线可得，“水果电池”的电动势E＝_____ V，内电阻r＝_____ Ω。(均保留三位有效数字)
3.80
175
由U－I图像可得b＝E＝3.80 V，
解得E＝3.80 V，r≈175 Ω。
返回
伏阻法
>
<
考点二
1.实验原理
闭合电路欧姆定律__________，电路图如图所示。
2.实验器材
电源、_______、_______、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
电压表
电阻箱
3.数据处理
解方程组可求得E和r。
4.误差分析
(1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确；
(2)结论：E测____E真，r测____r真。(均选填“>”“<”或“＝”)
＜
＜
例3　(2024·江西抚州市临川一中月考)在测定两节干电池电动势和内阻的实验中，某同学用到的器材有一个电压表、一个电阻箱、一个定值电阻R0、一个开关S、两节干电池、若干导线，其实验实物图如图甲所示。
(1)改变电阻箱的阻值R，用图甲中的电压表测出多组电阻箱两端的电压U。实物图甲中已连接好部分电路，请按照实验要求将剩余部分电路连接好。
答案　见解析图
因电源是两节干电池，选取电压表量程为0～3 V，实物图连接如图所示。
(2)在坐标纸上作出 的关系图线如图乙所示，结合图
线计算出两节干电池的电动势E＝____，内阻r＝_______。
(结果均用a、b和R0表示)
(3)若考虑电压表并非理想电压表，则电动势的测量值与真实值相比_____；内阻的测量值与真实值相比_____。(均选填“偏大”“相等”或“偏小”)
偏小
偏小
①
②
③
④
对比①与③，可知E真>E测；
对比②与④，可知r真>r测
(4)另一位同学将图甲电压表的导线改接在R0的c、d端，改变电阻箱的阻值R，测出多组电压表的数据U，若用图像法测算电源的电动势和内阻，为了使得到的图线是一条直线，则该同学应描绘_____。
C
返回
安阻法
>
<
考点三
1.实验原理
闭合电路的欧姆定律___________，电路图如图所示。
2.实验器材
电源、_______、_______、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
E＝IR＋Ir
电流表
电阻箱
3.数据处理
解方程组求得E、r。
(2)图像法：由E＝I(R＋r)可得
－r
E
4.误差分析
(1)误差来源：电流表有内阻，导致电源内阻测量不准确；
(2)结论：E测____E真，r测____r真(r测＝r真＋rA)。(均选填“>”“<”或“＝”)
＝
＞
例4　(2023·广东梅州市二模)用一张锌片和一张铜片，中间夹一张浸过盐水的纸，并从锌片和铜片各引出一个电极，这样就组成了一个电池。为研究该电池组的特性，某同学进行了以下实验：
(1)将电池组按图甲所示接入电路，图中电流表的量程为10 mA，内阻为100 Ω；
(2)闭合开关，调节电阻箱的阻值，发现当R＝100 Ω时，电流表的示数I如图乙所示，则I＝____ mA；
5.9
(3)反复调节电阻箱的阻值，读出多组电流表的示数I(算出 的值)和对应电阻箱的阻值R，并在图中描出了相应的数据点，请利用已描出的点绘出 －R图线；
答案　见解析图
(4)由图绘出的 －R图线可知，该电池组的电动势为____ V，内电阻为____ Ω。
(结果均保留3位有效数字)
1.47
47.0
由电路图可知E＝I(R＋RA＋r)，
解得E＝1.47 V，r＝47.0 Ω。
例5　(2021·湖南卷·12)某实验小组需测定电池的电动势和内阻，器材有：一节待测电池、一个单刀双掷开关、一个定值电阻(阻值为R0)、一个电流表(内阻为RA)、一根均匀电阻丝(电阻丝总阻值大于R0，并配有可在电阻丝上移动的金属夹)、导线若干。由于缺少刻度尺，无法测量电阻丝长度，但发现桌上有一个圆形时钟表盘。某同学提出将电阻丝绕在该表盘上，利用圆心角来表示接入电路的电阻丝长度。主要实验步骤如下：
(1)将器材如图(a)所示连接；
(2)开关闭合前，金属夹应夹在电阻丝的____端(填“a”或“b”)；
b
开关闭合前，为了保护电路中的元件，应将电阻丝的最大阻值接入电路，根据电阻定律R＝ 可知电阻丝接入越长，接入电阻越大，金属夹应夹在电阻丝的b端。
(3)改变金属夹的位置，闭合开关，记录每次接入电路的电阻丝对应的圆心角θ和电流表示数I，得到多组数据；
(4)整理数据并在坐标纸上描点绘图，所得图像如图(b)所示，图线斜率为k，与纵轴截距为d，设单位角度对应电阻丝的阻值为r0，该电池电动势和内阻可表示为
E＝____，r＝_____________；(用R0、RA、k、d、r0表示)
设圆心角为θ时，则电阻丝接入电路中的电阻为θr0，根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir可知E＝I(RA＋R0＋θr0)＋Ir
(5)为进一步确定结果，还需要测量单位角度对应电阻丝的阻值r0。利用现有器材设计实验，在图(c)方框中画出实验电路图(电阻丝用滑动变阻器符号表示)；
答案　见解析图
实验器材中有定值电阻R0和单刀双掷开关，
考虑使用等效法测量电阻丝电阻，如图，
原理的简单说明：
①将开关置于R0位置，读出电流表示数I0；
②将开关置于电阻丝处，调节接入电路的电阻丝对应的圆心角，直到电流表示数为I0，读出此时角度θ；
③此时θr0＝R0，即可求得r0的数值。
(6)利用测出的r0，可得该电池的电动势和内阻。
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课时精练
1.(2023·山东济南市模拟)某实验小组利用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内阻，实验器材如下：
干电池一节(电动势约为1.5 V，内阻约为0.5 Ω)；
电压表V(量程为0～3 V，内阻约为3 kΩ)；
电流表A(量程为0～0.6 A，内阻约为0.2 Ω)；
滑动变阻器(最大阻值为20 Ω)；
开关、导线若干。
(1)实验电路图选择_____(选填“甲”
或“乙”)。
1
2
3
4
5
甲
因为电源内阻较小，接近电流表内阻，为了减小误差，所以电流表采用相对电源外接法，选择甲；
1
2
3
4
5
(2)用笔画线代替导线，将图中的器材连成实验电路。
1
2
3
4
5
答案　见解析图
根据电路图得实物连接图如图所示；
(3)完成实验后，某同学利用图像分析由电表内阻引起的实验误差。在下列图像中，实线是根据实验数据描点作图得到的U－I图线；虚线是该电源真实的路端电压U随真实的干路电流I变化的U－I图线。本次实验分析误差的U－I图像正确的是____。
1
2
3
4
5
A
由于电压表的分流作用，相同的路端电压下，电流表测量的电流值小于流过电源的电流。内阻的测量值为电源和电压表并联后的总电阻，比实际电源的内阻小，对应实线斜率的绝对值比虚线的小，但当电压为零时，外电路短路，电压表的内阻对测量没有影响，实线和虚线重合，故A正确，B、C、D错误；
1
2
3
4
5
(4)为减小电表内阻引起的实验误差，在电表量程不变的情况下，可以采取的措施是_____。
A.换用内阻更小的电流表 B.换用内阻更大的电流表
C.换用内阻更小的电压表 D.换用内阻更大的电压表
1
2
3
4
5
D
本次实验是因为电压表的分流作用产生的误差，为减小电表内阻引起的实验误差，在电表量程不变的情况下，可以采取的措施是增大电压表的内阻，故D正确，A、B、C错误。
2.(2023·湖北卷·12)某实验小组为测量干电池的电动势和内阻，设计了如图(a)所示电路，所用器材如下：
电压表(量程0～3 V，内阻很大)；
电流表(量程0～0.6 A)；
电阻箱(阻值0～999.9 Ω)；
干电池一节、开关一个和导线若干。
(1)根据图(a)，完成图(b)中的实物图连线。
1
2
3
4
5
答案　见解析图
实物连线如图：
1
2
3
4
5
(2)调节电阻箱到最大阻值，闭合开关。逐次改变电阻箱的电阻，记录其阻值R、相应的电流表示数I和电压表示数U。根据记录数据作出的U－I图像如图(c)所示，则干电池的电动势为_____ V(保留3位有效数字)、内阻为_____ Ω (保留2位有效数字)。
1
2
3
4
5
1.58
0.64
由电路结合闭合电路的欧姆定律可得U＝E－Ir
由题图(c)可知E＝1.58 V
1
2
3
4
5
(3)该小组根据记录数据进一步探究，作出 －R图像如图(d)所示。利用图(d)中图像的纵轴截距，结合(2)问得到的电动势与内阻，还可以求出电流表内阻为____ Ω(保留2位有效数字)。
1
2
3
4
5
2.5
根据E＝I(R＋RA＋r)
(4)由于电压表内阻不是无穷大，本实验干电池内阻的测量值______(填“偏大”或“偏小”)。
1
2
3
4
5
偏小
由于电压表内阻不是无穷大，则实验测得的是电压表内阻与干电池内阻的并联值，即实验中测得的干电池内阻偏小。
3.(2023·海南海口市联考)为了测量由两节干电池组成的电源的电动势和内阻，某同学设计了如图甲所示的实验电路，其中R为电阻箱，保护电阻R0＝4 Ω。
(1)按照图甲所示的电路图，将图乙所示的实物连接成实验电路图。
1
2
3
4
5
答案　见解析图
按照题图甲所示的电路图，实物连接电路如图所示。
1
2
3
4
5
(2)开关S断开，调整电阻箱的阻值，再闭合开关S，读取并记录电压表的示数及电阻箱接入电路中的阻值。多次重复上述操作，可得到多组电压值U
及电阻值R。
的关系图线为一直线，如图丙所示。由图线可求得电池组的电动势E＝____ V，内阻r＝_____ Ω。(结果均保留2位有效数字)
1
2
3
4
5
2.7
0.59
1
2
3
4
5
解得E≈2.7 V，r≈0.59 Ω
(3)本实验中，若考虑电表对电路的影响，则该电池电动势的测量值相比真实值______，内阻的测量值相比真实值______。(均选填“偏大”或”偏小”)
1
2
3
4
5
偏小
偏小
实验误差来源是电压表分流，考虑电压表分流作用，
1
2
3
4
5
从以上看出E测＜E真，r测＜r真
即电源电动势与内阻的测量值都小于真实值。
1
2
3
4
5
4.(2023·浙江义乌市模拟)某学习小组要测量一个电源的电动势及内阻。除该电源外还准备的器材有：一个电阻箱R(最大阻值为99.9 Ω)，一个电流表A(量程0～200 mA，内阻为10 Ω)，一个定值电阻R0(阻值为5 Ω)，一个开关和若干导线。
(1)如果用多用电表粗测电流表的内阻，需要将红表笔与电流表_____(填“正”或“负”)接线柱相连。
1
2
3
4
5
负
欧姆表测电阻时，电流从黑表笔流出，连接时要注意红表笔要与电流表的负接线柱相连。
(2)由于电流表A的量程较小，考虑到安全因素，同学们利用定值电阻R0将该电流表进行改装，改装后的量程为_____________________。
1
2
3
4
5
0～0.6 A(或0～600 mA)
将定值电阻R0与电流表并联进行改装，改装后的量程为
(3)根据器材在虚线框中画出设计的电路图(改装部分也要画出)。若实验中记录电阻箱的阻值R和电流表的示数I，并计算出 ，得到多组数据后描点作出R－ 图像如图所示，则该电源的电动势E＝___ V，内阻r＝___ Ω。(结果均保留两位有效数字)
1
2
3
4
5



答案　见解析图
6.0
2.7
根据提供的器材，采用安阻法进行测量，电路图如图所示
根据电路可知，电流表示数为I时，总电流为3I，
则E＝IRg＋3I(R＋r)
1
2
3
4
5
5.(2021·全国乙卷·23)一实验小组利用图(a)所示的电路测量一电池的电动势E(约1.5 V)和内阻r(小于2 Ω)。图中电压表量程为1 V，内阻RV＝380.0 Ω；定值电阻R0＝20.0 Ω；电阻箱R，最大阻值为999.9 Ω；S为开关。按电路图连接电路。完成下列填空：
1
2
3
4
5
(1)为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选______Ω(填“5.0”或“15.0”)；
15.0
代入数据解得R＋r＝9.5 Ω，故R>7.5 Ω
因此电阻箱接入电路的电阻值选15.0 Ω。
1
2
3
4
5
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电压表的相应读数U；
1
2
3
4
5
由闭合电路欧姆定律可得
1
2
3
4
5
(5)通过图(b)可得E＝_____V(保留2位小数)，r＝____Ω(保留1位小数)；
1
2
3
4
5
1.55
1.0
代入可得E≈1.55 V，r≈1.0 Ω。
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
如果电压表为理想电表，则可有
1
2
3
4
5
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