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第3课时　专题强化：电磁感应中的电路和图像问题
目标要求　1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法。2.会计算电磁感应问题中电压、电流、电荷量、热量等物理量。3.能够通过电磁感应图像，读取相关信息，应用物理规律求解问题。
考点一　电磁感应中的电路问题和电荷量的计算
1．分析电磁感应中电路问题的基本思路
思考　“相当于电源”的导体两端的电势差就是电源的电动势吗？
答案　导体两端的电势差与电源的电动势是两个不同的概念，导体两端的电势差不是电源的电动势。当电路是断开状态时，等效电源两端的电势差等于电源的电动势；当电路是闭合状态时，等效电源两端的电势差为路端电压，与电动势不相等。
例1　(多选)(2023·河南郑州市期末)在如图甲所示的电路中，电阻2R1＝R2＝2R，单匝、圆形金属线圈的半径为r1，电阻为R，半径为r2(r2A．流过电阻R1的电流方向自下向上
B．稳定后电阻R1两端的电压为
C．稳定后M、N两点间的电压为
D．0～t0时间内，电阻R2上产生的焦耳热为
答案　BD
解析　由题图乙可知磁感应强度随着时间均匀增大，根据楞次定律，可判断出线圈中感应电流方向为逆时针，则流过电阻R1的电流方向自上向下，故A错误；根据法拉第电磁感应定律有E＝，S＝πr22，＝＝，解得E＝，根据闭合电路欧姆定律，当稳定后M、N两端电压为外电压U外＝E＝，C错误；电阻R1两端的电压U1＝E＝，故B正确；根据闭合电路欧姆定律，稳定后电路中的电流I＝＝，根据焦耳定律，在0～t0时间内，电阻R2上产生的焦耳热Q2＝I2R2t0＝，故D正确。
例2　(多选)如图所示，导线圆环总电阻为2R，半径为d，垂直磁场固定于磁感应强度为B的匀强磁场中，此磁场的左边界正好与圆环直径重合，电阻为R的直金属棒ab以恒定的角速度ω绕过环心O的轴匀速转动，a、b端正好与圆环保持良好接触。以下说法正确的是(　　)
A．图示位置处杆O点电势高于b点电势
B．a、b两点的电势差Uab＝Bd2ω
C．转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率之比2∶1
D．棒转动一圈时金属棒上产生的热量为
答案　CD
解析　根据右手定则可知，图示位置直金属棒Oa部分充当电源，电源内部电流方向为O→a，外电路电流方向为b→O，则杆O点电势低于b点电势，故A错误；由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E感＝Bdv＝Bd·＝，根据等效电路可知，圆环部分电阻为R环＝＝，整个电路的总电阻为R总＝R环＋R＝，干路电流为I＝＝，a、b两点的电势差大小Uab＝IR环＝，故B错误；转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率分别为P棒＝I2R，P环＝I2R环＝，故转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率之比为P棒∶P环＝2∶1，故C正确；棒转动一圈时导体棒上产生的热量Q＝I2Rt＝()2·R·＝，故D正确。
2．电磁感应中电荷量的计算
设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律有＝n，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝，即q＝n。
注意：表示电动势的平均值，表示电流的平均值。电流变化时计算通过导体横截面的电荷量时要用电流的平均值。
例3　如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　)
A. B. C. D．2
答案　B
解析　在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，
有E1＝＝
根据闭合电路欧姆定律，有I1＝且q1＝I1Δt1
在过程Ⅱ中，有E2＝＝
I2＝，q2＝I2Δt2，又q1＝q2，
即＝
所以＝，故选B。
考点二　电磁感应中的图像问题
1．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图像还是Φ－t图像，或者E－t图像、i－t图像、F－t图像等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像。
2．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
例4　(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所在区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示。线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正方向，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律的图像是(　　)
答案　AD
解析　根据法拉第电磁感应定律有E＝＝S，根据楞次定律可得感应电流的方向，又线圈中感应电流沿abca方向为正方向，结合题图乙可得，1～2 s内通过线圈的电流为零，0～1 s、2～3 s、3～5 s内通过线圈的电流大小恒定，且0～1 s、2～3 s内通过线圈的电流方向为正，3～5 s内通过线圈的电流方向为负，且大小之比为1∶2，A正确，B错误；根据安培力的公式，即F安＝BIL，因为每段时间通过线圈的电流大小恒定，磁场均匀变化，可得安培力也是均匀变化，根据左手定则可判断出ab边所受安培力的方向，可知C错误，D正确。
例5　如图所示，两个宽度均为L的匀强磁场垂直于光滑水平桌面，磁感应强度大小相等，方向相反，高为L、上底和下底长度分别为L和2L的等腰梯形金属线框水平放置，现使其匀速向右穿过磁场区域，速度垂直梯形底边，从图示位置开始x＝0，以逆时针方向为电流的正方向。
(1)画出下列三图所示时刻感应电流方向。
(2)下列四幅图中能够反映线框中电流I随金属框向右移动距离x关系的是________。
答案　(1)①逆时针方向　②顺时针方向　③逆时针方向　(2)C
解析　(2)x在0～L内，由楞次定律判断知感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E＝Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大；x在L～2L内，线框的左右两边都切割磁感线，均产生感应电动势，两个感应电动势串联，且均匀增大，感应电流方向沿顺时针方向，为负；x在2L～3L内，由楞次定律知，感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E＝Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大，而且感应电流变化情况与线框进入磁场的过程相同，故C正确，A、B、D错误。
例6　(多选)(2022·河北卷·8)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t＝0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是(　　)
答案　AC
解析　当金属棒从O点向右运动L时，即在0～时间内，在某时刻金属棒切割磁感线的长度
L＝l0＋v0ttan θ(θ为ab与ad的夹角)，
则根据E＝BLv0，
可得i＝＝(l0＋v0ttan θ)，
可知回路电流随时间均匀增加；
安培力F＝＝(l0＋v0ttan θ)2，
则F－t关系为二次函数关系，但是不过原点；
安培力做功的功率
P＝Fv0＝＝(l0＋v0ttan θ)2，
则P－t关系为二次函数关系，且不过原点；
电阻两端的电压等于金属棒产生的感应电动势，即U＝E＝BLv0＝Bv0(l0＋v0ttan θ)
即U－t图像是不过原点的直线；根据以上分析，可排除B、D选项；
在～时间内，金属棒切割磁感线的长度不变，感应电动势E不变，感应电流i不变，安培力F大小不变，安培力的功率P不变，电阻两端电压U保持不变；同理可判断，在～时间内，金属棒切割磁感线长度逐渐减小，金属棒切割磁感线的感应电动势E均匀减小，感应电流i均匀减小，安培力F大小按照二次函数关系减小，但是不能减小到零，与0～内是对称的关系，安培力的功率P按照二次函数关系减小，但是不能减小到零，与0～内是对称的关系，电阻两端电压U按线性均匀减小，综上所述选项A、C可能正确，B、D错误。
课时精练
1.如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，连接处电阻不计，匀强磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电压为(　　)
A.E B.E C.E D．E
答案　B
解析　a、b间的电压等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的，故a、b间电压为U＝E，选项B正确。
2.(2023·上海市华师大二附中模拟)如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的匀强磁场。当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差Uab为(　　)
A.BRv B.BRv C．－BRv D．－BRv
答案　D
解析　有效切割长度即a、b连线的长度，如图所示，
由几何关系知有效切割长度为R，所以产生的电动势为E＝BLv＝B·Rv，电流的方向为a→b，所以Uab<0，由于外电路的电阻值为R总，所以Uab＝－B·Rv＝－BRv，故选D。
3．如图甲所示，在线圈l1中通入电流i1后，在l2上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，l1、l2中电流的正方向如图甲中的箭头所示。则通入线圈l1中的电流i1随时间t变化的图像可能是(　　)
答案　D
解析　因为l2中感应电流大小不变，根据法拉第电磁感应定律可知，l1中磁场的变化是均匀的，即l1中电流的变化也是均匀的，A、C错误；根据题图乙可知，0～时间内l2中的感应电流产生的磁场方向向左，所以线圈l1中感应电流产生的磁场方向向左并且减小，或方向向右并且增大，B错误，D正确。
4．(多选)(2024·北京市月考)矩形导线框abcd放在匀强磁场中，在外力控制下处于静止状态，如图甲所示。磁感线方向与导线框所在平面垂直，磁感应强度B随时间变化的图像如图乙所示。t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直导线框平面向里，在0～4 s时间内，流过导线框的电流I(规定顺时针方向为正方向)与导线框ad边所受安培力F安随时间t变化的图像(规定向左为安培力正方向)可能是(　　)
答案　AD
解析　根据楞次定律得0～2 s内线框中的感应电流为顺时针方向，即为正方向，2～4 s内感应电流为逆时针方向，即为负方向，由E＝n，I＝知，电流I大小不变，A正确，B错误；由以上分析得，在1～2 s时间内，导线框ad边电流方向由d流向a，空间所加磁场的磁感应强度方向为垂直导线框平面向外，且线性增大，电流I为定值，根据左手定则及F＝BIL得，导线框ad边受安培力向右，且线性增大，即安培力为负方向，线性增大，同理可知0～1 s、2～3 s、3～4 s内安培力的变化情况，C错误，D正确。
5.如图所示，半径为L的半圆形光滑导体框架MN垂直放置于磁感应强度为B的匀强磁场中，长为L的导体杆OP绕圆心O以角速度ω匀速转动，N、O间接阻值为R的电阻，杆OP的电阻为r，框架电阻不计，求杆沿框架转动过程中：
(1)电阻R两端电压为__________________。
(2)电阻R消耗的电功率为________________。
答案　(1)　(2)
解析　(1)设P端的线速度大小为v，则v＝ωL
杆绕O点匀速转动产生的感应电动势为
E＝BL＝BL2ω
回路中电流I＝＝
则R两端电压U＝IR＝
(2)R消耗的电功率P＝I2R＝。
6．(2023·天津市二模)饭卡是学校等单位最常用的辅助支付手段之一，其中一种饭卡其内部主要部分是一个多匝线圈，当刷卡机发出电磁信号时，置于刷卡机上的饭卡线圈的磁通量发生变化，在线圈处引起电磁感应，产生电信号。其原理可简化为如图甲所示，设线圈的匝数为1 200匝，每匝线圈面积均为S＝10－4 m2，线圈的总电阻为r＝0.1 Ω，线圈连接一阻值R＝0.3 Ω的电阻组成闭合回路，其余部分电阻不计。线圈处的磁场可视作匀强磁场，其大小按如图乙所示规律变化(设垂直纸面向里为正方向)，求：
(1)t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势E的大小；
(2)0～0.1 s时间内，电阻R产生的焦耳热Q；
(3)0.1～0.4 s时间内，通过电阻R的电流方向和电荷量q。
答案　(1)0.024 V　(2)1.08×10－4 J
(3)由N到M　0.006 C
解析　(1)在0～0.1 s内，
由题图乙可得＝ T/s＝0.2 T/s
由法拉第电磁感应定律E＝N＝NS
解得E＝0.024 V。
(2)根据闭合电路欧姆定律I＝＝0.06 A
由焦耳定律Q＝I2Rt
解得Q＝1.08×10－4 J
(3)根据楞次定律可以判断，0.1～0.4 s通过R的电流方向由N到M，根据q＝Δt
又＝，＝N
可得q＝N＝N
由题图乙可知，0.1～0.4 s内磁感应强度变化大小ΔB＝0.02 T，解得q＝0.006 C。
7．如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，接入回路的电阻为R，随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值也为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是(　　)
A．回路中的电动势为Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为
C．外电阻消耗的电功率为
D．电容器所带的电荷量为
答案　D
解析　金属棒绕OO′轴切割磁感线转动，回路中的电动势E＝Br2ω，故A错误；电容器两极板间电压等于电阻R两端电压，为，带电微粒在两极板间处于静止状态，则q＝q＝mg，解得＝，故B错误；外电阻消耗的功率P＝＝，故C错误；电容器所带的电荷量Q＝C＝，故D正确。
8.在水平光滑绝缘桌面上有一边长为L的正方形线框abcd，被限制在沿ab方向的水平直轨道上自由滑动。bc边右侧有一正直角三角形匀强磁场区域efg，直角边ge和ef的长也等于L，磁场方向竖直向下，其俯视图如图所示，线框在水平拉力作用下向右以速度v匀速穿过磁场区，若图示位置为t＝0时刻，设逆时针方向为电流的正方向。则感应电流i－t图像正确的是(时间单位为)(　　)
答案　D
解析　bc边的位置坐标x从0～L的过程中，根据楞次定律判断可知线框中感应电流方向沿a→b→c→d→a，为正值。线框bc边有效切割长度为l＝L－vt，感应电动势为E＝Blv＝B(L－vt)·v，随着t均匀增加，E均匀减小，感应电流i＝，即知感应电流均匀减小。同理，x从L～2L的过程中，根据楞次定律判断出感应电流方向沿a→d→c→b→a，为负值，感应电流仍均匀减小，故A、B、C错误，D正确。
9．在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面，一导线框abcdef位于纸面内，线框的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合。导线框与磁场区域的尺寸如图。从t＝0时刻开始线框匀速横穿两个磁场区域。以a→b→c→d→e→f为线框中电流的正方向。用i表示回路的电流，＝t，则以下i－t示意图中正确的是(　　)
答案　C
解析　由题意，画出线框在t时刻、2t时刻、3t时刻、4t时刻位置示意图，则t时刻
2t时刻
3t时刻
4t时刻
线框在0～t时间内，只有bc边切割磁感线，由右手定则知电流由c→b，回路产生顺时针方向的电流，电动势为负值，e1＝－Blv，线框在t～2t时间内，bc边切割右方磁场，产生由b→c的电动势，ed切割左方磁场，产生e→d的电动势，二者对回路来说等大反向，回路总电动势为零，e2＝0；线框在2t～3t时间内，ed切割右方磁场，产生d→e的电动势，fa切割左方磁场，产生f→a的电动势，二者对回路同向，e3＝2Blv＋Blv＝3Blv，为正方向；在3t～4t时间内，只有fa在右方磁场切割磁感线，产生a→f的电动势，回路是顺时针，电流e4＝－2Blv，结合闭合电路欧姆定律I＝知只有C图像满足，故A、B、D错误，C正确。
10.(2023·江苏丹阳高级中学质检)如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框ABCD从图示位置沿水平向右方向以速度v匀速穿过磁场区域，下列图中导线框中A、B两端电压UAB与导线框移动距离x的关系图像正确的是(　　)
答案　D
解析　由楞次定律判断可知，在导线框穿过磁场的过程中，A点的电势始终高于B点的电势，则UAB始终为正值。AB、DC两边切割磁感线时产生的感应电动势均为E＝Bav，导线框移动距离在0～a内时，AB切割磁感线，AB两端的电压是路端电压，则UAB＝E＝Bav；导线框移动距离在a～2a内时，导线框完全在磁场中运动，穿过导线框的磁通量没有变化，不产生感应电流，则UAB＝E＝Bav；导线框移动距离在2a～3a内时，A、B两端的电压等于路端电压的，则UAB＝E＝Bav，故D正确。
11．如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M、P和N、Q间各连接一个额定电压为U、阻值恒为R的灯泡L1、L2，在两导轨间矩形区域cdfe内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d0的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B0，且磁场区域可以移动，一电阻也为R、长度大小也刚好为l的导体棒ab垂直固定在磁场左边的导轨上，离灯泡L1足够远。现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒ab刚处于磁场时两灯泡恰好正常工作。棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计。
(1)求磁场移动的速度大小；
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度随时间t均匀变化，两灯泡中有一灯泡正常工作且都有电流通过，设t＝0时，磁感应强度为B0，垂直纸面向外为正方向。试求出经过时间t时磁感应强度的可能值Bt。
答案　(1)　(2)B0±t
解析　(1)当ab棒刚处于磁场时，ab棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，灯泡刚好正常工作，则电路中路端电压U外＝U
由电路的分压之比得U内＝2U
则感应电动势为E＝U外＋U内＝3U
由E＝B0lv＝3U，可得v＝
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度随时间t均匀变化，电路可视为棒与L1并联后再与L2串联，则正常工作的灯泡为L2，所以L2两端的电压为U，电路中的总电动势为E′＝U＋＝，根据法拉第电磁感应定律得E′＝＝ld0，联立解得＝，所以经过时间t时磁感应强度的可能值Bt＝B0±t。
12.(2023·陕西商洛市模拟)如图所示，半径为L的导电圆环(电阻不计)绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴以角速度ω逆时针匀速转动。圆环上接有电阻均为r的三根金属辐条OA、OB、OC，辐条互成120°角。在圆环圆心角∠MON＝120°的范围内(两条虚线之间)分布着垂直圆环平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆环的边缘通过电刷P和导线与一个阻值也为r的定值电阻R0相连，定值电阻R0的另一端通过导线接在圆环的中心轴上，在圆环匀速转动过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．金属辐条OA、OB、OC进出磁场前后，辐条中电流的大小不变，方向改变
B．定值电阻R0两端的电压为BL2ω
C．通过定值电阻R0的电流为
D．圆环转动一周，定值电阻R0产生的热量为
答案　C
解析　由题意知，三根金属辐条始终有一根在磁场中切割磁感线，切割磁感线的金属辐条相当于内阻为r的电源，另外两根金属辐条和定值电阻R0并联，故辐条进出磁场前后电流的大小、方向均改变，故A错误；电路的总电阻R＝，圆环匀速转动时感应电动势E＝BL＝，所以定值电阻R0两端的电压U＝·＝，通过定值电阻R0的电流I＝＝，故B错误，C正确；圆环转动一周用时T＝，定值电阻R0产生的热量Q＝I2rT＝，故D错误。第3课时　专题强化：电磁感应中的电路和图像问题
目标要求　1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法。2.会计算电磁感应问题中电压、电流、电荷量、热量等物理量。3.能够通过电磁感应图像，读取相关信息，应用物理规律求解问题。
考点一　电磁感应中的电路问题和电荷量的计算
1．分析电磁感应中电路问题的基本思路
思考　“相当于电源”的导体两端的电势差就是电源的电动势吗？
________________________________________________________________________
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例1　(多选)(2023·河南郑州市期末)在如图甲所示的电路中，电阻2R1＝R2＝2R，单匝、圆形金属线圈的半径为r1，电阻为R，半径为r2(r2A．流过电阻R1的电流方向自下向上
B．稳定后电阻R1两端的电压为
C．稳定后M、N两点间的电压为
D．0～t0时间内，电阻R2上产生的焦耳热为
例2　(多选)如图所示，导线圆环总电阻为2R，半径为d，垂直磁场固定于磁感应强度为B的匀强磁场中，此磁场的左边界正好与圆环直径重合，电阻为R的直金属棒ab以恒定的角速度ω绕过环心O的轴匀速转动，a、b端正好与圆环保持良好接触。以下说法正确的是(　　)
A．图示位置处杆O点电势高于b点电势
B．a、b两点的电势差Uab＝Bd2ω
C．转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率之比2∶1
D．棒转动一圈时金属棒上产生的热量为
2．电磁感应中电荷量的计算
设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律有＝n，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝，即q＝n。
注意：表示电动势的平均值，表示电流的平均值。电流变化时计算通过导体横截面的电荷量时要用电流的平均值。
例3　如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　)
A. B. C. D．2
考点二　电磁感应中的图像问题
1．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图像还是Φ－t图像，或者E－t图像、i－t图像、F－t图像等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像。
2．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
例4　(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所在区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示。线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正方向，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律的图像是(　　)
例5　如图所示，两个宽度均为L的匀强磁场垂直于光滑水平桌面，磁感应强度大小相等，方向相反，高为L、上底和下底长度分别为L和2L的等腰梯形金属线框水平放置，现使其匀速向右穿过磁场区域，速度垂直梯形底边，从图示位置开始x＝0，以逆时针方向为电流的正方向。
(1)画出下列三图所示时刻感应电流方向。
(2)下列四幅图中能够反映线框中电流I随金属框向右移动距离x关系的是________。
例6　(多选)(2022·河北卷·8)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t＝0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是(　　)(共80张PPT)
第十二章
电磁感应
第
3
课时
专题强化：电磁感应中的电路和图像问题
目标
要求
1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法。2.会计算电磁感应问题中电压、电流、电荷量、热量等物理量。3.能够通过电磁感应图像，读取相关信息，应用物理规律求解问题。
内
容
索
引
考点一　电磁感应中的电路问题和电荷量的计算
考点二　电磁感应中的图像问题
课时精练
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考点一
电磁感应中的电路问题和电荷量的计算
1.分析电磁感应中电路问题的基本思路
思考　“相当于电源”的导体两端的电势差就是电源的电动势吗？
答案　导体两端的电势差与电源的电动势是两个不同的概念，导体两端的电势差不是电源的电动势。当电路是断开状态时，等效电源两端的电势差等于电源的电动势；当电路是闭合状态时，等效电源两端的电势差为路端电压，与电动势不相等。
例1　(多选)(2023·河南郑州市期末)在如图甲所示的电路中，电阻2R1＝R2＝2R，单匝、圆形金属线圈的半径为r1，电阻为R，半径为r2(r2下列说法正确的是
√
√
由题图乙可知磁感应强度随着时间均匀增大，根据楞次定律，可判断出线圈中感应电流方向为逆时针，则流过电阻R1的电流方向自上向下，故A错误；
例2　(多选)如图所示，导线圆环总电阻为2R，半径为d，垂直磁场固定于磁感应强度为B的匀强磁场中，此磁场的左边界正好与圆环直径重合，电阻为R的直金属棒ab以恒定的角速度ω绕过环心O的轴匀速转动，a、b端正好与圆环保持良好接触。以下说法正确的是
√
√
根据右手定则可知，图示位置直金属棒Oa部分充当电源，电源内部电流方向为O→a，外电路电流方向为b→O，则杆O点电势低于b点电势，故A错误；
2.电磁感应中电荷量的计算
例3　如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、
Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则 等于
√
在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，
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电磁感应中的图像问题
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考点二
1.解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图像还是Φ－t图像，或者E－t图像、i－t图像、F－t图像等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像。
2.常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
例4　(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所在区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示。线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正方向，
则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律的图像是
√
√
根据法拉第电磁感应定律有E＝ ，
根据楞次定律可得感应电流的方向，又线
圈中感应电流沿abca方向为正方向，结合
题图乙可得，1～2 s内通过线圈的电流为
零，0～1 s、2～3 s、3～5 s内通过线圈的电流大小恒定，且0～1 s、2～3 s内通过线圈的电流方向为正，3～5 s内通过线圈的电流方向为负，且大小之比为1∶2，A正确，B错误；
根据安培力的公式，即F安＝BIL，因为每段时间通过线圈的电流大小恒定，磁场均匀变化，可得安培力也是均匀变化，根据左手定则可判断出ab边所受安培力的方向，可知C错误，D正确。
例5　如图所示，两个宽度均为L的匀强磁场垂直于光滑水平桌面，磁感应强度大小相等，方向相反，高为L、上底和下底长度分别为L和2L的等腰梯形金属线框水平放置，现使其匀速向右穿过磁场区域，速度垂直梯形底边，从图示位置开始x＝0，以逆时针方向为电流的正方向。
(1)画出下列三图所示时刻感应电流方向。
答案　①逆时针方向　
②顺时针方向　
③逆时针方向
(2)下列四幅图中能够反映线框中电流I随金属框向右移动距离x关系的是____。
C
x在0～L内，由楞次定律判断知感应电流的方向沿逆时
针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由
公式E＝Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应
电流均匀增大；x在L～2L内，线框的左右两边都切割
磁感线，均产生感应电动势，两个感应电动势串联，且均匀增大，感应电流方向沿顺时针方向，为负；
x在2L～3L内，由楞次定律知，感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E＝Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大，而且感应电流变化情况与线框进入磁场的过程相同，故C正确，A、B、D错误。
例6　(多选)(2022·河北卷·8)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t＝0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，
金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培
力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨
与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。
下列图像可能正确的是
√
√
L＝l0＋v0ttan θ(θ为ab与ad的夹角)，
则根据E＝BLv0，
可知回路电流随时间均匀增加；
则F－t关系为二次函数关系，但是不过原点；
安培力做功的功率
则P－t关系为二次函数关系，且不过原点；
电阻两端的电压等于金属棒产生的感应电动势，即U＝E＝BLv0＝Bv0(l0＋v0ttan θ)
即U－t图像是不过原点的直线；根据以上分析，可排除B、D选项；
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课时精练
1.如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，连接处电阻不计，匀强磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电压为
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√
2.(2023·上海市华师大二附中模拟)如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的匀强磁场。当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差Uab为
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√
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3.如图甲所示，在线圈l1中通入电流i1后，在l2上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，l1、l2中电流的正方向如图甲中的箭头所示。则通入线圈l1中的电流i1随时间t变化的图像可能是
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√
因为l2中感应电流大小不变，根据法拉第电磁感应定律可知，l1中磁场的变化是均匀的，即l1中电流的变化也是均匀的，A、C错误；
根据题图乙可知，0～ 时间内l2中的感应电流产生的磁场方向向左，所以线圈l1中感应电流产生的磁场方向向左并且减小，或方向向右并且增大，B错误，D正确。
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4.(多选)(2024·北京市月考)矩形导线框abcd放在匀强磁场中，在外力控制下处于静止状态，如图甲所示。磁感线方向与导线框所在平面垂直，磁感应强度B随时间变化的图像如图乙所示。t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直导线框平面向里，在0～4 s时间内，流过导线框的电流I(规定顺时针方向为正方向)与导线框ad边所受安培力F安随时间t变化的图像(规定向左为安培力正方向)可能是
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√
√
根据楞次定律得0～2 s内线框中的感应电
流为顺时针方向，即为正方向，2～4 s内
感应电流为逆时针方向，即为负方向，由
电流I大小不变，A正确，B错误；
由以上分析得，在1～2 s时间内，导线框ad边电流方向由d流向a，空间所加磁场的磁感应强度方向为垂直导线框平面向外，且线性增大，电流I为定值，根据左手定则及F＝BIL得，导线框ad边受安培力向右，且线性增大，即安培力为负方向，线性增大，同理可知0～1 s、2～3 s、3～4 s内安培力的变化情况，C错误，D正确。
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5.如图所示，半径为L的半圆形光滑导体框架MN垂直放置于磁感应强度为B的匀强磁场中，长为L的导体杆OP绕圆心O以角速度ω匀速转动，N、O间接阻值为R的电阻，杆OP的电阻为r，框架电阻不计，求杆沿框架转动过程中：
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(1)电阻R两端电压为_________。
设P端的线速度大小为v，则v＝ωL
杆绕O点匀速转动产生的感应电动势为
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(2)电阻R消耗的电功率为___________。
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6.(2023·天津市二模)饭卡是学校等单位最常用的辅助支付手段之一，其中一种饭卡其内部主要部分是一个多匝线圈，当刷卡机发出电磁信号时，置于刷卡机上的饭卡线圈的磁通量发生变化，在线圈处引起电磁感应，产生电信号。其原理可简化为如图甲所示，设线圈的匝数为1 200匝，每匝线圈面积均为S＝10－4 m2，线圈的总电阻为r＝0.1 Ω，线圈连接一阻值R＝0.3 Ω的电阻组成闭合回路，其余部分电阻不计。
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线圈处的磁场可视作匀强磁场，其大小按如图乙所示规律变化(设垂直纸面向里为正方向)，求：
(1)t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势E的大小；
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答案　0.024 V　
在0～0.1 s内，
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解得E＝0.024 V。
(2)0～0.1 s时间内，电阻R产生的焦耳热Q；
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答案　1.08×10－4 J
由焦耳定律Q＝I2Rt
解得Q＝1.08×10－4 J
(3)0.1～0.4 s时间内，通过电阻R的电流方向和电荷量q。
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答案　由N到M　0.006 C
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由题图乙可知，0.1～0.4 s内磁感应强度变化大小ΔB＝0.02 T，解得q＝0.006 C。
7.如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，接入回路的电阻为R，随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值也为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。
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已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是
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8.在水平光滑绝缘桌面上有一边长为L的正方形线框abcd，被限制在沿ab方向的水平直轨道上自由滑动。bc边右侧有一正直角三角形匀强磁场区域efg，直角边ge和ef的长也等于L，磁场方向竖直向下，其俯视图如图所示，线框在水平拉力作用下向右以速度v匀速穿过磁场区，若图示位置为t＝0时刻，设逆时针方向为电流的正方向。则感应电流i－t图像正确的是(时间单位为 )
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√
bc边的位置坐标x从0～L的过程中，根据楞次定律
判断可知线框中感应电流方向沿a→b→c→d→a，
为正值。线框bc边有效切割长度为l＝L－vt，感应
电动势为E＝Blv＝B(L－vt)·v，随着t均匀增加，E均匀减小，感应电流i＝ ，即知感应电流均匀减小。同理，x从L～2L的过程中，根据楞次定律判断出感应电流方向沿a→d→c→b→a，为负值，感应电流仍均匀减小，故A、B、C错误，D正确。
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9.在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面，一导线框abcdef位于纸面内，线框的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合。导线框与磁场区域的尺寸如图。从t＝0时刻开始线框匀速横穿两个磁场区域。以a→b→c→
d→e→f为线框中电流的正方向。用i表示回路的电流，
＝t，则以下i－t示意图中正确的是
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由题意，画出线框在t时刻、2t时刻、3t时刻、4t时刻位置示意图，则t时刻
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2t时刻
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4t时刻
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线框在0～t时间内，只有bc边切割磁感线，由右手
定则知电流由c→b，回路产生顺时针方向的电流，
电动势为负值，e1＝－Blv，线框在t～2t时间内，
bc边切割右方磁场，产生由b→c的电动势，ed切
割左方磁场，产生e→d的电动势，二者对回路来说等大反向，回路总电动势为零，e2＝0；线框在2t～3t时间内，ed切割右方磁场，产生d→e的电动势，fa切割左方磁场，产生f→a的电动势，二者对回路同向，e3＝2Blv＋Blv＝3Blv，为正方向；
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在3t～4t时间内，只有fa在右方磁场切割磁感线，产生a→f的电动势，回路是顺时针，电流e4＝－2Blv，结合闭合电路欧姆定律I＝ 知只有C图像满足，故A、B、D错误，C正确。
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10.(2023·江苏丹阳高级中学质检)如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框ABCD从图示位置沿水平向右方向以速
度v匀速穿过磁场区域，下列图中导线框中A、B两
端电压UAB与导线框移动距离x的关系图像正确的是
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11.如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M、P和N、Q间各连接一个额定电压为U、阻值恒为R的灯泡L1、L2，在两导轨间矩形区域cdfe内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d0的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B0，且磁场区域可以移动，一电阻也为R、长度大小也刚好为l的导体棒ab垂直固定在磁场左边的导轨上，离灯泡L1足够远。现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒ab刚处于磁场时两灯泡恰好正常工作。棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计。
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(1)求磁场移动的速度大小；
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当ab棒刚处于磁场时，ab棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，灯泡刚好正常工作，则电路中路端电压U外＝U
由电路的分压之比得U内＝2U
则感应电动势为E＝U外＋U内＝3U
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度随时间t均匀变化，两灯泡中有一灯泡正常工作且都有电流通过，设t＝0时，磁感应强度为B0，垂直纸面向外为正方向。试求出经过时间t时磁感应强度的可能值Bt。
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12.(2023·陕西商洛市模拟)如图所示，半径为L的导电圆环(电阻不计)绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴以角速度ω逆时针匀速转动。圆环上接有电阻均为r的三根金属辐条OA、OB、OC，辐条互成120°角。在圆环圆心角∠MON＝120°的范围内(两条虚线之间)分布
着垂直圆环平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁
场，圆环的边缘通过电刷P和导线与一个阻值也为r的
定值电阻R0相连，定值电阻R0的另一端通过导线接在
圆环的中心轴上，在圆环匀速转动过程中，
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下列说法中正确的是
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√
由题意知，三根金属辐条始终有一根在磁场中切割磁感线，切割磁感线的金属辐条相当于内阻为r的电源，另外两根金属辐条和定值电阻R0并联，故辐条进出磁场前后电流的大小、方向均改变，故A错误；
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