资源简介

专题09 锐角三角函数实际应用专题目录
题型1 俯角仰角问题 2
题型2 方位角问题 4
题型3 坡度坡角问题 7
题型4 生活中实际物体问题 9
（1）手机支架问题 9
（2）长尾夹问题 9
（3）升降阅读架问题 10
（4）太阳能热水器问题 10
（5）云梯消防车问题 10
（6）健身器材问题 11
（7）篮球架问题 11
（8）遮阳棚问题 12
（9）共享单车问题 12
（10）停车场道闸问题 13
（11）喷壶问题 13
题型5 古代文化相关问题 14
题型6 跨学科问题 17
19题型1 俯角仰角问题
【知识要点与解题策略】
1.理解仰角俯角的概念；2.构造直角三角形； 3.根据所给角的三角函数列方程解决问题．
【典例分析】
例题．（2023·山东济南·三模）
1．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的坡度小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为点，，，在同一平面内．结果精确到，参考数据：，，，，，，
(1)求度数；
(2)求居民楼的高度．
【变式训练】
（2023·海南·模拟预测）
2．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机在两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为（点A、均在同一竖直平面内）．
(1)填空：_________度，_________度；
(2)求无人机与楼的距离；
(3)求楼与之间的距离的长．
（2023·贵州贵阳·模拟预测）
3．如图，图①是山坡顶上的信号塔，图②是数学活动课上小红测量山高时使用的简图，已知信号塔高，使用测倾器在山脚下点处测得信号塔底的仰角为，塔顶的仰角为，求山高（点，，在同一条竖直线上，点，在同一条水平线上），（结果保留）．
（参考数据：，，）
（2024·天津河东·一模）
4．综合与实践活动中，要测量一个信号塔的高度，如图，信号塔前有一段高为的台阶，已知的长为5米，高为3米，点在同一条水平直线上．在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为．
(1)求的长；
(2)设塔的高度为（单位：）．
①用含有的式子表示线段的长；
②求塔的高度（，结果保留整数）．
（2023·吉林·模拟预测）
5．连云港市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．求阿育王塔的高度．（注：结果精确到．参考数据：，，）
题型2 方位角问题
【知识要点与解题策略】
1.理解方位角的概念；2.添加辅助线构造直角三角形； 3.在构造的直角三角形中利用三角函数列方程解决问题．
【典例分析】
例题（2024·江苏徐州·一模）
6．如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求：
(1)处到直线的距离．
(2)轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．
【变式训练】
（2024·陕西宝鸡·一模）
7．如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且、之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且、之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，这时，处距离港口有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）

（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）
8．近日，小南和小开分别从点B、C处出发前往点A处参加校园文化节活动．已知点A位于点B北偏东方向，点C位于点A南偏西方向，同时位于点B南偏东方向，米．

(1)求路段的长度；(结果保留根号)
(2)由于当天要举行马拉松比赛，路段实施交通管制，小南计划从B处乘公交车沿前往A处，点D在点B的正北方向，同时在点A的正西方向．小开计划骑自行车沿前往A处，若公交车速度为500米/分，小开骑自行车速度为200米/分，小开出发15分钟后小南从点B出发，公交车到站停靠时间忽略不计，请计算小南和小开各自所需时间说明谁先到达A处？（参考数据：，，）
（2023·山东青岛·模拟预测）
9．如图，指挥站A到海岸基线l的距离为10米，灯塔C在指挥站A的北偏东方向，且灯塔C到海岸基线l的距离为100米．某天一艘轮船P在海里捕捞．某时刻P位于指挥站北偏东方向上，在灯塔C西北方向上．求轮船P到海岸基线的距离．
（2024·重庆九龙坡·一模）
10．为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点在点的正东方向．点在点的正北方向，米．点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，）
(1)求步道的长度（结果保留根号）；
(2)体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？
题型3 坡度坡角问题
【知识要点与解题策略】
1.理解坡度坡角的概念；2.构造直角三角形； 3.利用三角函数列方程求解．
【典例分析】
例题．（2023·山东济南·模拟预测）
11．如图，某数学研究小组测量山体的高度，在点B处测得山顶A的仰角为，沿方向前行34米至点D处，斜坡的坡比为，在观景台E处测得山顶A的仰角为，且点E到水平地面的垂直距离为8米，点B、D、C在一条直线上，在同一竖直平面内．（参考数据：，）

(1)求斜坡的水平宽度的长；
(2)求山体的高度大约为多少米．
【变式训练】
（2023·江苏连云港·模拟预测）
12．如图，拦水坝的横断面为梯形，根据图中的数据求：
(1)坡角和；
(2)坡底和斜坡的长；（精确到0.1m）
(3)若拦水坝总长500米，修筑这样的拦水坝至少需要多少立方米的泥土？
（2024·山东菏泽·一模）
13．如图，为了测量风景区中一座塔的高度，某数学兴趣小组在斜坡上的点处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，用皮尺测得坡的长15米，已知坡的坡比为，请你帮助该数学兴趣小组计算这座塔的高度．
（22-23九年级下·辽宁沈阳·开学考试）
14．小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在处测得无人机的仰角为，同时小李登上斜坡的处测得无人机的仰角为．若小李所在斜坡的坡比为，铅垂高度米（点，，，在同一水平线上）．
(1)小王和小李两人之间的距离；
(2)此时无人机的高度．，，，结果精确到1米）
（2024·广东深圳·一模）
15．如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．
(1)求石阶路（折线）的长．
(2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）
题型4 生活中实际物体问题
（1）手机支架问题
（2024·黑龙江哈尔滨·一模）
16．如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂长度可调节，并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是，手机支撑片可绕点B上下转动，，转动角β变动范围是．小明使用该支架进行线上学习，当，且点C离底座的高度不小于时，他才感觉舒适．
(1)如图2，当时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据：）．
(2)如图3，当的情况下，要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到．参考数据）
【变式训练】
（2）长尾夹问题
（2023·吉林松原·模拟预测）
17．如图，长尾夹的侧面是，当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知，，求这个长尾夹最大夹纸厚度．（结果精确到，参考数据：，，）
（3） 升降阅读架问题
（23-24九年级上·浙江湖州·期末）
18．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
(2)小吉通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：）
（4）太阳能热水器问题
（2024·辽宁·模拟预测）
19．某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与支架所在直线相交于点，，支架与水平线垂直，另一根支架，，，求真空集热管的长度．（参考数据，，结果精确到）．
（5）云梯消防车问题
（2023·贵州贵阳·模拟预测）
20．如图，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的（），且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为（），转动点A距离地面的高度为．
(1)当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度；
(2)某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，，）
（6）健身器材问题
（2024·四川广元·二模）
21．某“综合与实践”活动小组的同学在学习了解直角三角形的知识后，想要自主设计一道试题，他们在公园测量了如图①所示健身器材的数据，并绘制了其底座的简化示意图(如图②) ，设计题目如下：该款健身器材的座位平行于地面，支架 支架AB与座位的夹角， 与支架的夹角为，求座位距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：）
（7）篮球架问题
（2023·浙江宁波·模拟预测）
22．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为2.50米，篮板顶端点到篮框的距离米，篮板底部支架与支架所成的角．

(1)求支架的顶端到地面的距离的高度．（精确到0.01米）
(2)求篮框到地面的距离．（精确到0.1米）
（参考数据：，，，，）
（8）遮阳棚问题
（2024·安徽合肥·一模）
23．为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用．如图，在侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为，且靠墙端离地的高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，）
（9）共享单车问题
（2024·河南南阳·一模）
24．某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，车轮半径为， ，坐垫 与点的距离为．

(1)求坐垫 到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的倍时，坐骑比较舒适，小明的腿长约为，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置，请直接写出 的长．（结果精确到 ．参考数据∶ ）
（10）停车场道闸问题
（2024·山东济南·一模）
25．某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．
(1)如图2，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点A到地面的距离；
(2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，，结果精确到．）
（11）喷壶问题
（2024·江苏常州·模拟预测）
26．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，此时（如图3）．
(1)求点D转动到点的路径长；
(2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，）
题型5 古代文化相关问题
【典例分析】
例题．
（2023·吉林长春·模拟预测）
27．桔棒，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧如图是《天工开物水利》中的桔棒图，若竹竿，两处的距离为，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿与绳子的夹角为求绑重物的端与悬绑汲器的绳子之间的距离（忽略提水时竹竿产生的形变）（结果保留整数，参考数据：，，）
【变式训练】
（2023·河南濮阳·模拟预测）
28．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯，如图1，其示意图如图2，已知米，米，与的张角记为．为保证采桑人的安全，可调整的范围是，为固定张角大小的锁链．
(1)求锁链的最大值．
(2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端到地面的距离（结果保留一位小数．参考数据：，，）
（2024·河南洛阳·一模）
29．圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表（高约3.27米）垂直圭，冬至正午日影长为，此时太阳高度角为，夏至正午日影长为，此时太阳高度角为．测得夏至正午日影长约为1米．
(1)试计算该市夏至正午太阳高度角（即的度数；
(2)已知夏至日正午太阳高度角与冬至日正午太阳高度角的差约为（注：正午太阳高度由当地纬度与当日太阳直射点的差决定，夏至日与冬至日对应的太阳直射点分别为北回归线和南回归线，其纬度差值为，取近似数约为．请计算的长．（结果精确到0.1米．参考数据，，，
（2024·河南信阳·一模）
30．球罐，可大幅度减少钢材的消耗，特别是对于易燃，易爆、有毒，有害等特殊物质，球罐的防护性能更好．小刚爸爸的工厂有三个球罐，阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后，小刚有了主意，他与同伴小强测得其中一个球罐最低处B离地面高度为1.5米．接着他站在球罐最高C处，看到地面F处恰好被点E遮挡，而他眼睛D与点C的距离为1.6米，用测倾器测得为55°．小强测得地面上为25.28米．两人画出了如图所示的截面图，求的高度．（结果精确到．参考数据：，，）
（2023·山东临沂·二模）
31．筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱 的山涧、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图，为中国古代人民杰出发明．如下图所示，为水平河面，筒车半径米，与水面相交于、两点，米，，导水槽，岸堤．
求：该筒车的灌溉高度（即：的长度）

（2020·安徽·一模）
32．投石机是古代的大型攻城武器，是数学、工程、物理等复杂学科相互融合的应用（如图（1））．在我国《元史·亦思马因传》中对这种投石机就有过记载（如图（2））．
图（3）是图（1）中人工投石机的侧面示意图，炮架的横向支架均与地面相互平行，已知米，炮轴距地面4.5米，，炮梢顶端点能到达水平地面，最高点能到达点处，且旋转的夹角（点，，，在同一平面内），求点到水平地面的距离．（参考数据：，，，，，）
题型6 跨学科问题
【知识要点与解题策略】
抓住问题本质，去除无关信息，建立数学模型
【典例分析】
例题．（2024·山东枣庄·一模）
33．在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得，．
(1)求入射角的度数；
(2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离．（参考数据：，，）
（2024·甘肃兰州·一模）
【变式训练】
34．小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：
问题 鹅卵石的像到水面的距离
工具 纸、笔、计算器、测角仪等
图形
说明 根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为，且，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得．
数据 ，．
请你根据上述信息解决以下问题：
(1)求的大小；
(2)求鹅卵石的像G到水面的距离．（结果精确到）
（参考数据：，，，）
（2024·陕西西安·三模）
35．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．
（2023·江苏淮安·二模）
36．某班学生到工厂参加劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形为矩形，点、分别在、上，，，，．求零件的截面面积．（参考数据：，）
（2023·四川巴中·模拟预测）
37．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知小山坡的坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为，点在同一平面上．
(1)求灯杆的高度；
(2)求的长度（结果精确到；参考数据：，）．
（2024·四川广元·二模）
38．某数学兴趣小组开展了测量某红军纪念塔顶“五角星”高度的实践活动．具体过程如下：如图，“五角星”位于垂直于地面的纪念塔上方，且B，C，D三点共线， ，在地面上的 A 处测得 ，求“五角星” 的高度．（结果精确到）（参考数据：）
（2023·吉林四平·模拟预测）
39．如图所示，一辆消防车的梯子长，并以倾斜于水平面．如果这辆消防车的高度是，求梯子可达的高度．（精确到，参考数据：，，）
（2023·江苏盐城·模拟预测）
40．如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高为，宽为，点是的中点，连杆、的长度分别为和，，且连杆、与始终在同一平面内．（参考数据：，，，）
(1)求点到水平桌面的距离；
(2)产品说明书提示，若点与的水平距离超过的长度，则该支架会倾倒．现将调节为，此时支架会倾倒吗？
（2023·重庆铜梁·一模）
41．长寿湖是西南地区最大的人工湖，五一小长假期间，游客络绎不绝．八年级学生小巴乘游艇在长寿湖中游览，当游艇在处时，小巴发现岸边处的农家乐和岸上处的游客中心都在东北方向，当游艇向正东方向行驶到达处时，小巴发现游客中心在北偏西方向，当游艇继续向正东方向行驶到达处时，游客发现农家乐在北偏西方向．（参考数据：）
(1)求处到农家乐处的距离（结果保留根号）；
(2)小巴到达处时，好友小川在游客中心处，他们相约在农家乐处汇合，二人同时出发，小巴从处沿乘游艇前往，速度是，小川从游客中心沿步行前往，速度是，请通过计算说明两人谁先到达？
（2023·海南海口·模拟预测）
42．亮亮和小明一起去草原骑马，如图，亮亮位于游客中心的正北方向的处，其中，小明位于游客中心的西北方向的处，亮亮向正西方向匀速步行，同时小明骑马向南偏东方向缓慢前进，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇．（参考数据：，，，）
(1)填空：______°，______°；
(2)求亮亮从处到处的距离；
(3)求小明从处到处的距离．（结果保留1位小数）
（2024·陕西西安·一模）
43．随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据：
（2024·河南南阳·一模）
44．如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

（2023·辽宁铁岭·模拟预测）
45．动感单车是一种新型的运动器材，这种运动器材的侧面结构如图实线所示，底座为，点，，在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少？（结果保留整数，参考数据：，，，）
（2024·浙江宁波·一模）
46．2023年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身为1.1米，下半身为0.6米，下半身与水平面的夹角，与上半身的夹角．（参考数据：，，）
(1)此时舞者的垂直高度约为多少米．
(2)如图3，下半身与水平面的夹角不变，当与在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用：
（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先得到，则，进而求出，由平行线的性质得到，则，即可得到；
（2）先解在中，得到，，设，则，解，得到，解得到，，据此得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，
斜坡的坡度，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
度数为；
（2）解：由题意得：，，
在中，，，
，，
，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
居民楼的高度约为．
2．(1)105，30；
(2)无人机与楼的距离为；
(3)楼与之间的距离的长为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）由三角形的外角性质求得，由平角定义求出可求解；
（2）利用等腰三角形的性质即可求解；
（3）在和中，利用三角函数的定义求解即可.
【详解】（1）解：由题意得：，，
故答案为：105，30；
（2）如图，延长与直线交于点．
则，
在Rt中，，
，
答：无人机与楼的距离为；
（3）如图，延长与直线交于点．
则四边形是矩形，
，
由（1）得，，
，
在中，，
．
，
答：楼与之间的距离的长为．
3．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数是解题关键．利用锐角三角函数，分别得出，，再根据，求出的长，即可得到山高．
【详解】解：由题意可知，，，，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
即山高约为．
4．(1)
(2)①；②31米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含45度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）①在中，利用锐角三角函数定义求得，进而可求解；②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
在中，，，
，
即的长为；
（2）①由题意得，
在中，，，
，
，
即的长为；
②过点作，垂足为，
根据题意，，
所以四边形是矩形．
，，，
在中，，
，
，
解得．
答：信号塔的高约为31米．
5．
【分析】本题考查解直角三角形—仰角问题，由，，可得，在中，可得，求解即可．解题的关键是理解题意，列出关于的方程．
【详解】解：根据题意：，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意．
答：阿育王塔的高度约为．
6．(1)30km
(2)km
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，设 ，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
设，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
处到直线的距离约为；
（2）如图：
由题意得：，
，
在中，，
，
轮船航行的距离约为．
7．处距离港口约
【分析】过点作的延长线于点，在中，求得，在中，求得，根据，即可求解．
【详解】解：过点作的延长线于点
在中，，
∵，，，
∴，
在中，
∵，，
∴
∴
∴处距离港口约．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
8．(1)米
(2)小开先到达A处．
【分析】本题主要考查了解直角三角的实际应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等：
（1）先求出，过B作于E，则为等腰直角三角形则，，，解直角三角形得到米，则(米)．
（2）先解直角三角形求出的长，进而求出的长，由此计算出小开花费的时间；再解直角三角形求出的长，进而求出小南花费的时间，据此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，，

∵，
∴，
∴，
过B作于E，则为等腰直角三角形
∴，，，
∴，
∴(米)．
（2）解：∵米，米，
∴米
∴(米)，
∴小开花费的时间为分钟
∵米，
，
∴(米)，
∴小南花费的时间为 分钟
∵，
∴小开先到达A处．
9．米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．过点A作于点E，过点P作交的延长线于点F，可得四边形是矩形，从而得到米，然后在和中，解直角三角形，即可求解．
【详解】解：过点A作于点E，过点P作交的延长线于点F，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴，
∵P在C的西北方向，，
∴，
∴，
∴米，
在中，，
∴
∴
即点P到海岸基线的距离为米．
10．(1)米；
(2)选时，消耗的热量更多．
【分析】本题主要考查与方位角有关的解直角三角形的应用，
过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交DE的延长线于点F，交延长线于点G，则，根据题意得，利用，解得，由题意知，即可求得．
在中，利用，解得，进一步求得米，分别计算比较两条路线消耗热量即可．
【详解】（1）解：过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交DE的延长线于点F，交延长线于点G，如图，
则四边形是矩形，
∴米，
∵点位于点的北偏东方向，
∴，
∵米，
∴，解得（米），
∵点正好在点的东北方向，
∴，
∵米．
∴米．
（2）解：在中，，解得（米），
则米，
那么，选时，消耗热量为：（千卡），
选时，消耗热量为：（千卡），
，
选时，消耗的热量更多．
11．(1)16米；
(2)120米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）过点E作，垂足为G，根据坡比即可求解；
（2）可证四边形是矩形，设，可求，，从而可求解；
掌握定义，理解三角函数的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）过点E作，垂足为G，如图：
，斜坡的坡比为，米，
，
（米）．
答：斜坡的水平宽度16米．
（2），
，
．
，
∴四边形是矩形，
设，
，
，
，
，
在中，．
即：，
解得：．
经检验，是原方程的根，
答：山体的高度120米．
12．(1)，
(2)，
(3)修筑这样的拦水坝至少需要43500立方米的泥土
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）根据坡度等于坡角的正切值，求出坡角和即可；
（2）利用坡度分别求出，进而利用线段的和差关系求出的长，勾股定理求出的长即可；
（3）求出梯形的面积乘以水坝总长进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，；
（2）作，
则四边形是矩形，
由题意，得：，
∴，
∴，；
（3）由题意可得：（立方米），
答：修筑这样的拦水坝至少需要40500立方米的泥土．
13．这座塔的高度为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点分别作地面和的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，利用坡比的定义结合勾股定理求得，，在中，利用正切函数的定义即可求解．
【详解】解：过点分别作地面和的垂线，垂足分别为，如图，
∵，∴四边形是矩形，
∴，，
∵坡的坡比为，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∵的长15米，
∴，解得，
∴，，
在中，，，
∴，
∴（米），
答：这座塔的高度为米．
14．(1)米
(2)21米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡比问题，仰角俯角问题，掌握三角函数关系是解题的关键．
（1）根据坡比的定义即可求解；
（2）过点作于点，解即可求解．
【详解】（1）解：小李所在斜坡的坡比为，铅垂高度米，
（米，
（米；
（2）解：设米，如图所示，过点作于点，
，，则米，
，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
米．
答：无人机的高度约为21米．
15．(1)120米
(2)472级
【分析】（1）根据，可得，结合，计算即可．
（2）先计算的长度，单位化成厘米后除以20，计算即可．
本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∵．
（2）∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴（级）．
答：这一段登山石阶至少有472级台阶．
16．(1)托片底部点C离底座的高度为，不符合小明使用的舒适要求；
(2)要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用三角函数是解题关键．
（1）过点作于点，于点，利用余弦值，求出，进而得到，即可得到答案；
（2）过点作于点，过点作于点，于点，由题意可知，利用三角函数分别求出，，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，
，
，即托片底部点C离底座的高度为，
，
不符合小明使用的舒适要求；
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，于点，
四边形是矩形，
，
点C离底座的高度不小于时，才感觉舒适，
点C离底座的最低高度舒适要求为，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
即要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．
17．长尾夹最大夹纸厚度约为
【分析】本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．由题意可知，这个长尾夹最大夹纸厚度即为的长，作于点，则，只要求出的长就可求出的长，由得，则，其中，，所以可求出的长．
【详解】解：当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，
这个长尾夹最大夹纸厚度即为的长．
如图，作于点．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
这个长尾夹最大夹纸厚度约为．
18．(1)
(2)当α从变化到的过程中，高度增加了
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，进而可求解；
（2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，
，
由题意得：，
四边形为矩形，
．
，
．
，
．
，
答：支点C离桌面l的高度为；
（2）解：过点C作，过点E作于点H，
，
，
，
当时，；
当时，；
，
∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了．
19．真空集热管的长度为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，利用，可求得的长度，则可求的长度，利用，从而可求得的长度，即可求的长度．
【详解】解：，，，
，
解得：，
，
在中，，
解得：，
．
答：真空集热管的长度为．
20．(1)
(2)该消防车能实施有效救援；
【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用．
（1）根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到；
（2）根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到，进而得到该消防车能否可以实施有效救援．
【详解】（1）解：过点A作，如图，
∵
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴；
（2）解：过点A作，如图，
∵
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴
∴该消防车能实施有效救援；
21．座位距离地面的高度约为
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解直角三角形等知识点．
过点B作于点E，延长，交于点F，由，推出，求出，，解直角三角形，，求出，，然后求解即可．
【详解】解：如解图，过点B作于点E，延长，交于点F．
∵，，
∴．
∵，
，
∵，
，
在中，
，
即
∴，
在中，
即，
，
∴．
答：座位距离地面的高度约为．
22．(1)2.24米
(2)3.1米
【分析】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
（1）在中，根据的值即可求解；
（2）延长交射线于点，过点作于点，证明四边形是矩形，在中，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得：在中，，
（米），
的高度为2.24米；
（2）解：如图，延长交射线于点，过点作于点，
，，，
四边形是矩形，
（米）.
，则，
.
在中，（米），
（米），
篮框到地面的距离约为3.1米；
23．的长为．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．过点作于点，作于点，易知四边形为矩形，得到，，利用三角函数求出，，推出，，再利用三角函数求出，最后根据，即可解题．
【详解】解：过点作于点，作于点，
由题易知四边形为矩形，
，，
遮阳棚长4米，与水平线的夹角为，
，
，
高为4米，
，
，
又太阳光线与地面的夹角为，
，
．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，
（1）作于点，由可得答案；
（2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案
【详解】（1）如图1，过点E作于点，

由题意知、，
∴，
则单车车座到地面的高度为；
（2）如图2所示，过点作于点，

由题意知，
则，
∴．
25．(1)2.4m
(2)一辆宽为2.58m、高为2.2m的货车可顺利通过门口
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定；
（1）过点A作于点F，过点O作于点G ，证明四边形为矩形，得到．解，得到，则点A到地面的距离．
（2）方法1：当货车靠右侧行驶，则车身到闸机的距离，作交于M，作，则四边形为矩形，解得到．则货车高度；
方法2：M为上一点，点M到地面的距离，作，则四边形为矩形，解中，得到．则点N到墙壁的距离货车宽度，综上，一辆宽为、高为的货车可顺利通过门口．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作于点F，过点O作于点G
由题意得：，，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴．
在中，，
∴，
∴点A到地面的距离．
（2）解：一辆宽为、高为的货车可顺利通过门口．
理由如下：
方法1
当货车靠右侧行驶，则车身到闸机的距离，
作交于M，作，
又∵，
∴四边形为矩形，
在中，，，
∴．
∴货车高度，
综上，一辆宽为、高为的货车可顺利通过门口．
方法2：
M为上一点，点M到地面的距离，作，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，．
∵，入口宽度．
∴点N到墙壁的距离货车宽度，
综上，一辆宽为、高为的货车可顺利通过门口．
26．(1)；
(2)点D到直线的距离约为．
【分析】本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形．
（1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点D转动到点的路径长；
（2）过D作于G，过E作于H，中，求出，在中，，再代入计算即得到点D到直线的距离．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点D转动到点的路径长为；
（2）解：过D作于G，过E作于H，如图：
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴点D到直线的距离约为，
27．绑重物的端与悬绑汲器的绳子之间的距离是
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作悬绑汲器的绳子的垂线段，垂足为，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：如图，过点作悬绑汲器的绳子的垂线段，垂足为，
则，
在中，
，，
，
绑重物的端与悬绑汲器的绳子之间的距离是．
28．(1)米
(2)3.1米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）根据大角对大边，得到当时，的值最大，进行求解即可；
（2）过点作，解直角三角形，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：当，的值最大，
∵米，
∴当，为等边三角形，
∴米；
（2）过点作，
∵米，，米，
∴，米，
在中，米；
答：桑梯顶端到地面的距离为3.1米．
29．(1)
(2)5.7米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1），
，
在中，米，米，
，
，
该市夏至正午太阳高度角（即的度数约为；
（2）由题意得：，
在中，米，
（米，
米，
（米，
的长约为5.7米．
30．米
【分析】本题主要考查了解直角三角形得应用，根据即可直接求出米，再减去即可得出的高度．
【详解】解：∵，即
∴（米）
∴（米）
31．米
【分析】如图，过点作，过点作，过点作，根据题意可得三角形是等腰直角三角形，可得，进而可得，然后解直角三角形求出即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作，过点作，过点作，则四边形是矩形，
∴，
由题意：∵，，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
∵，
，
，
；
答：灌溉高度是米

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及圆的基本性质，正确添加辅助线、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．
32．点到水平地面的距离约为10.35米．
【分析】如图，过点作水平地面的垂线，垂足为点，则米，由正弦可得∠AOF的度数，由角的和差计算可得∠A1OD的度数，在Rt△A1OD中，根据正弦可得A1D的长，结合图形计算即可求解．
【详解】如图，过点作水平地面的垂线，
垂足为点，则米.
∵，米，
∴米.
在中，，则.
过点作直线，过点作直线于点，过点
作直线于点.
由题意可知米，，
∴.
在中，米，
∴（米），
∴（米）.
答：点到水平地面的距离约为10.35米.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握正确解读题意，利用三角函数值求直角三角形的边长和角度．同时学会做辅助线构造直角三角形解决问题．
33．(1)
(2)光斑移动的距离是．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，
（1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角，即可求解；
（2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，即可求解．
理解“折射率”的定义，掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，设法线为，则，
，
，，
，
，
入射角约为，
．
（2）解：，，，
∴，
，
作，
，
设，，
则，
，
解得：，
，又，
，
答：光斑移动的距离是．
34．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）根据，求出，然后结合即可求解；
（2）先求出，在中，利用正切定义求出，在中，，利用正切定义求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
35．58m
【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解．
【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．
又∵，
∴四边形ACHG是矩形．
∴．
由题意，得．
在中，，
∴（m）﹒
∵是的外角，
∴．
∴．
∴m．
在中，
∴(m)．
∴．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．
36．截面的面积为．
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．由矩形的性质解直角三角形求得，的长，再解直角三角形求解，的长，进而可求解四边形，，的面积，根据截面的面积计算可求解．
【详解】解：四边形为矩形，，
∴，，
，
在中，，，，
，，
，，
，
，
，
在中，，，
，，
，，
，
，
，
，
截面的面积．
答：截面的面积为．
37．(1)
(2)
【分析】（1）延长交于点E，根据直角三角形的性质求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可；
（2）根据正切的定义求出，进而求出．
【详解】（1）解：如图，延长交于点，则．
在中，，，
，．
在中，，
，
，
即灯杆的高度为．
（2）在中，，
，
．
即的长度约为．
38．
【分析】根据解直角三角形的基本步骤，选择适当的三角函数计算即可，本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴
在中，，
∴
∴
答：“五角星”的高度约为．
39．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点作，通过解可求得的长，进而可求解．掌握三角函数的概念是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，
由题意知：垂直平于水平面，，
∴，
在中，
，
∴梯子可达的高度：，
答：梯子可达的高度是．
40．(1)
(2)支架不会倾倒
【分析】本题考查解直角三角形的应用，
（1）作于，于，由锐角的正弦求出的长，即可解决问题；
（2）作交延长线于，作于，由锐角的余弦求出的长，而，即可求出的长，从而解决问题；
通过辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：作于，于，
∴，
由题意知：，即，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
∴点到水平桌面的距离是；
（2）作交延长线于，作于，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
由，
∴此时支架不会倾倒．
41．(1)A处到农家乐处的距离为．
(2)小川从游客中心沿步行前往先到达，理由见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．
（1）如图，作于M，设，在两个直角三角形中，利用三角函数即可x表示出与，根据即可列方程，从而求得的长，进一步求得的长；
（2）先求解可得小巴从处沿乘游艇前往的时间，作于N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出与，根据（1）的结果求得，从而求得，可得小川从游客中心沿步行前往的时间，再比较即可．
【详解】（1）解：作于M，设，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
∴
∴
即A处到农家乐处的距离为．
（2）由（1）可得：，
∴，小巴从处沿乘游艇前往的时间为：
，
作于N，
在中，
，
在中，
．
∴小川从游客中心沿步行前往的时间为
，
∵
而，，
∴，
∴，
∴小川从游客中心沿步行前往先到达．
42．(1)45，30
(2)亮亮从处到处的距离为；
(3)小明从处到处的距离约为．
【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义．
（1）根据方位角的定义即可得到结论；
（2）根据正切的定义求出的长即可；
（3）过点作交延长线于点，设，过点作于点，得矩形，可得，，，在中，由，得出，解得，进而求得，然后利用30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得结果．
【详解】（1）解：由题意，得：，，
故答案为：45，30；
（2）解：根据题意可知：，，
，
答：亮亮从处到处的距离为；
（3）解：如图，过点作交延长线于点，
，，
是等腰直角三角形，
，
设，
过点作于点，得矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
．
答：小明从处到处的距离约为．
43．汽车从处前行米才能发现处的儿童．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用；连接，并延长交于点，证明得出，在中，求得，进而即可求解．
【详解】解：连接，并延长交于点，
由图知：，
，
，即，
．
在中，
，即，
，
．
答：汽车从处前行米才能发现处的儿童
44．堤坝高为8米，山高为20米．
【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
过B作于F，
则，
设，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i为，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：堤坝高为8米，山高为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
45．支撑杆上的点到水平地面的距离是
【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，在和中，解直角三角形即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴，
，
，
答：支撑杆上的点到水平地面的距离是．
46．(1)0.938米
(2)0.66米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确地找出辅助线是解题的关键．
（1）过点作于点，作于点，得到，四边形为矩形．根据矩形的性质得到，，求得，解直角三角形即可得到结论；
（2）作于点G，先求得，在中，求得米，从而得出
米，最后由求得最后答案，
【详解】（1）如图，过点B作于点F，作于点E，
，四边形BEDF为矩形，
，，
，
在中，，米
，
同理：，
米；
（2）如图，作于点G，
，
在中，米，
米，
米，
即舞者的高度增加了0.66米．
答案第1页，共2页
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