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数学试卷
说明：本试卷共4页，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑．
1. 下列各数中，最小的数是（ ）．
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小．据此求解即可．
【详解】解：，
所给的各数中，最小的数是．
故选：D
2. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项错误；
B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项正确；
C选项：不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C选项错误；
D选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项错误，
故选：B．
3. 中国向大海要水喝已成为现实．到目前为止我国已建成海水淡化工程123个，海水淡化能力每天超过1600000吨．数据1600000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是科学记数法，根据科学记数法表示较大数的方法求解即可．熟知科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值是解题的关键．
【详解】解：
故选：．
4. 射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员成绩（单位：环）的中位数为（ ）
A. 2 B. 8 C. 8.5 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是条形统计图和中位数．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键．
先根据条形统计图得出该队员10次射击成绩，再利用中位数的定义即可解答．
【详解】解：由题意可得：该队员10次射击成绩（单位：环）为：，第5与第6个数据都是9，所以中位数是：9．
故选D．
5. 如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，画出从上往下看的图形即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图为 ．
故选：C．
6. 下列运算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法及除法运算、幂的乘方、多项式乘多项式，根据同底数幂的乘法及除法运算、幂的乘方、多项式乘多项式的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，则错误，故不符合题意；
B、，则正确，故符合题意；
C、，则错误，故不符合题意；
D、，则错误，故不符合题意；
故选B．
7. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵方程有实数根，
∴，
解得，
故选：C．
8. 如图，在中，是的平分线，，，则为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．作于，于，由角平分线的性质可知，，再由三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：作于，于，
是的平分线，
，
．
故选：D．
9. 若，则直线与直线的交点在（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查两直线交点问题，一次函数的图象和性质，首先根据题意判断出两条直线和y轴的交点坐标增减性，然后画出图象求解即可．
【详解】当时，，
∴直线与y轴交于点，直线与y轴交于点，
∵
∴点和点都在y轴正半轴，且点在点下方
∵直线中
∴直线随x的增大而增大，
∵直线中
∴直线随x的增大而减小，
∴画简图如下：
∴直线与直线的交点在第一象限．
故选：A．
10. 如图，正方形边长为2，以为直径在正方形内作半圆，若为半圆的切线，则（ ）．
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、切线定理和切线长定理，连接、，连接交于点F，利用为直径，为半圆的切线，证得，再根据，，求得，进而得出，因此，利用即可求出答案．
【详解】连接、，连接交于点F，
由题意得，、为半圆的切线，
根据切线长定理可知，，，
又，
，
，
即，
是的直径，
，
为半圆的切线
，
又，，
，
又，，
，
，
，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 点在x轴上，则点M的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，直接利用x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．
【详解】点在x轴上，
，
解得，
则，
，
故答案为：．
12. 分解因式：___
【答案】
【解析】
【详解】由平方差公式，分解得：．
故答案为．
13. 如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则______ 度．
【答案】62
【解析】
【分析】由直角尺两边平行得到一对同位角相等，可得出与互余，即可确定出度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则．
故答案为：62．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
14. 已知，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根以及平方的非负性，已知字母的值求代数式的值，据此列式，算出的值，再代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数系数k的几何意义，连接，可得，根据反比例函数系数k的几何意义可得的面积，即可解答，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，把矩形沿直线折叠，点B落在点E处，连接，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识内容是解题的关键；
过点D作于点F，过点E作于点H，根据矩形的性质和翻折的性质可知，根据即可．
【详解】过点D作于点F，过点E作于点H，如图
∵，
∴，
由折叠，得，
∵，
∴，解得，
∴ ，
同理可得：，
∴，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减法，零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相关运算的法则是解题的关键．
先算零指数幂和负整指数幂，同时化简绝对值和特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减法．
【详解】
．
18. 将长为 ，宽为 的长方形白纸若干张，按如图所示的方式黏合起来，黏合部分的宽为 .
（1）根据题意，将下面的表格补充完整；
白纸张数 1 2 3 4 5
纸条总长度 / 20
54 71
（2）写出 与的表达式.
【答案】（1）37，88
（2）
【解析】
【分析】本题考查函数关系式，图形类规律探究，找到纸条总长度随白纸张数的变化规律是解题的关键．
（1）从第一张白纸开始，之后每增加一张白纸，纸条的总长度就增加cm，据此填空即可；
（2）根据表格中数据的变化规律解答即可．
【小问1详解】
解：从第一张白纸开始，之后每增加一张白纸，纸条的总长度就增加，
当时，；
当时，；
故答案为：，．
【小问2详解】
解：根据表格中的数据变化规律，得，
与的表达式为．
19. 如图，已知，是的一个外角．
（1）请用尺规作图法，作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边等等：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明．
【小问1详解】
解：如图所示，为所求；
【小问2详解】
解：，
，．
平分，
．
，
．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20. 为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两种统计图．请根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生；扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为______度．
（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联；画树状图法求概率；
（1）用喜欢声乐的人数除以它所占百分比即可得到调查的总人数,进而用乘以喜欢“声乐”的人数的占比，即可得出答案；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的结果数，然后根据概率公式计算．
【小问1详解】
解：一共抽查：
喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为：．
【小问2详解】
画树状图如下：
共12种等可能结果．P（恰好选中“舞蹈、声乐”）
21. 已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架，，均与地面平行，支架与之间的夹角．
（1） 求两轮轴之间的距离；
（2）若的长度为，，求点到所在直线的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出的长度即可；
（2）作辅助线，分别求出点到的距离，点到直线的距离，求和即可．
【小问1详解】
解：∵支架与之间的夹角为，
，
即两轮轮轴之间的距离为；
【小问2详解】
解：过点作于，过点作延长线与，则扶手到所在直线距离为
∵的长度为, ，
，
，
，
由（1）知 ,.
，即，
解得，
．
22. 为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了A型自动分拣流水线，一条A型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条A型自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时．
（1）一条A型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
（2）春节将至，S地转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备购买A型自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条？
【答案】（1）2400件
（2）10条
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用：
（1）设1名工人每小时分拣x件包裹，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购买A型自动分拣流水线y条，根据不等关系列出不等式，解不等式即可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程及不等关系列出不等式是解题关键．
【小问1详解】
解：设1名工人每小时分拣x件包裹，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（件），
答：一条A型自动分拣流水线每小时能分拣2400件包裹．
小问2详解】
设购买A型自动分拣流水线y条，
依题意得：，
解得：，
答：至少应购买10条A型自动分拣流水线．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
（1）求k的值；
（2）把一次函数向下平移个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
①若，求的面积；
②若四边形为平行四边形，求m的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握一次函数的平移规律和中点坐标公式是解题的关键．
（1）把点的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式，求出和的值即可；
（2）①一次函数的平移遵循“上加下减”，据此求出平移后的解析式，进而确定点和的坐标，用求面积；②用含的代数式表示点和的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解即可．
【小问1详解】
解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
，
解得：
的值；
【小问2详解】
把一次函数向下平移个单位长度后，则其解析式为
则直线与y轴交于点C坐标为，与x轴交于点D坐标为
时，C坐标为，D坐标为.
连接，如图所示，
②直线与x轴交于点B坐标为
，，
四边形为平行四边形，
对角线、互相平分.
由或由，
解得．
的值为．
24. 如图，、为的直径，连接、、、．点M在上，点N在上，且，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）剪辑诶下
（3）
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理与相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先由四边形为矩形可得，再由可得，再进行证明即可；
（2）延长交于点E，连接、，证明，可得，再由，可得出；
（3）设，则，可得，，再由，可得，再列出关于x的方程求解即可．
【小问1详解】
证明：、为的直径，
，
四边形为矩形，
.
，
.
，
，
；
【小问2详解】
证明：延长交于点E，连接、.
由垂径定理可知，，
，，
.
，，
.
，
.
在矩形中，，
，
，
；
【小问3详解】
解：设，则，
，.
，
，.
，
，
，
，
在中，，
由（2）得，，
，，
．
25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与直线的另一个交点为．点C在x轴下方抛物线上，绕原点逆时针旋转，得到，点D恰好落在抛物线的对称轴上．直线交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）长为_____________（直接写出你的结论）．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）如图，过作轴于，过作轴于，证明，可得，，求解抛物线的对称轴为直线，设，再建立方程求解即可；
（3）分两种情况讨论：当，则，求解直线为，如图，再求解，而，再利用勾股定理计算即可；当时，则，同理可得直线为，求解，而，再利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
解：由抛物线过原点可设抛物线为：，
把，代入可得：
，
解得：，
∴抛物线为：；
【小问2详解】
如图，过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵抛物线为，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∴，，
∴，
解得：，，
∴或；
【小问3详解】
当，则，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，如图，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴，而，
∴；
当时，则，
同理可得直线为，
∴，
解得：，
∴，而，
∴；
综上：为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，选择合适的方法解题是关键．数学试卷
说明：本试卷共4页，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑．
1. 下列各数中，最小的数是（ ）．
A 1 B. 2 C. D.
2. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 中国向大海要水喝已成为现实．到目前为止我国已建成海水淡化工程123个，海水淡化能力每天超过1600000吨．数据1600000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员成绩（单位：环）的中位数为（ ）
A. 2 B. 8 C. 8.5 D. 9
5. 如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）．
A. B. C. D.
6. 下列运算正确的是（ ）．
A B.
C. D.
7. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，是的平分线，，，则为（　　）
A. B. C. D.
9. 若，则直线与直线的交点在（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10. 如图，正方形边长为2，以为直径在正方形内作半圆，若为半圆的切线，则（ ）．
A. B. 2 C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 点在x轴上，则点M的坐标为_____．
12. 分解因式：___
13. 如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则______ 度．
14. 已知，则的值为_________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为___________．
16. 如图，矩形中，，把矩形沿直线折叠，点B落在点E处，连接，则的长为_____．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：
18. 将长为 ，宽为 的长方形白纸若干张，按如图所示的方式黏合起来，黏合部分的宽为 .
（1）根据题意，将下面的表格补充完整；
白纸张数 1 2 3 4 5
纸条总长度 / 20
54 71
（2）写出 与的表达式.
19. 如图，已知，是的一个外角．
（1）请用尺规作图法，作平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求证：．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20. 为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两种统计图．请根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生；扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形圆心角为______度．
（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．
21. 已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架，，均与地面平行，支架与之间的夹角．
（1） 求两轮轴之间的距离；
（2）若的长度为，，求点到所在直线的距离．
22. 为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了A型自动分拣流水线，一条A型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条A型自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时．
（1）一条A型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
（2）春节将至，S地转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备购买A型自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条？
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
（1）求k的值；
（2）把一次函数向下平移个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
①若，求的面积；
②若四边形为平行四边形，求m的值．
24. 如图，、为的直径，连接、、、．点M在上，点N在上，且，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与直线的另一个交点为．点C在x轴下方抛物线上，绕原点逆时针旋转，得到，点D恰好落在抛物线的对称轴上．直线交于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）的长为_____________（直接写出你的结论）．

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