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二〇二四年初中学业水平考试（中考）模拟
数学试题（一）
参考答案
阅卷须知：
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考
生将主要过程正确写出即可.
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数
一．选择题（共 10 小题）
1．B．2．C．3．A．4. D．5．C．6．C．7．B．8．A．9．B．10．D．
二．填空题（共 6 小题）
11．x≥-1且 x≠3; 12．117 ; 13 200; 14 3 9 3． ． ; 15．（﹣2，1），（2，1）; 16．55．
2 4
三．解答题（共 8 小题）
17．解：（1）
＝﹣1+2﹣ +2× + …………………………………………………2分
＝﹣1+2﹣ + +
＝ ．………………………………………………………………………3分
（2） ÷（a+2+ ）
(a 2)(a 2) 5
＝ ÷
a 2
a 2
＝ 2 ………………………………………………………………………4分a 9
a 2
＝
（a 3)(a 3)
＝ ，………………………………………………………………………6分
∵a是使不等式 ≤1成立的正整数，
∴a≤3且 a为正整数，
∴a＝1，2，3，………………………………………………………………………7分
1
又∵a﹣2≠0，（3+a）（3﹣a）≠0，
∴a≠2，3，﹣3，
∴a＝1，
当 a＝1时，原式＝ ＝﹣ ；………………………………………………………………………8分
18．解：（1）由题意可知出手时实心球的竖直高度即为 x＝0时 y的值，
通过图表可得当 x＝0时，y＝2.4，
得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 2.4米，
由当 x＝4时，y＝4.8；当 x＝6时，y＝4.8，
可得对称轴为直线 x＝5，
则当 x＝5时，实心球在空中取得最大高度，
通过图表可得当 x＝5时，y＝4.9，
得实心球在空中的最大高度是 4.9米，
故答案为：2.4，4.9；………………………………………………………………………4分
（2）明明在此次考试中能得到满分，理由如下：
由（1）得抛物线的顶点坐标为（5，4.9），
设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣5）2+4.9，
把（0，2.4）代入，
得 a（0﹣5）2+4.9＝2.4，
解得 a＝﹣0.1，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣0.1（x﹣5）2+4.9；……………………………………………6分
把 y＝0代入 y＝﹣0.1（x﹣5）2+4.9，
得﹣0.1（x﹣5）2+4.9＝0，
解得 x1＝12或 x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∵12＞10.5，
∴明明在此次考试中能得到满分．…………………………………8分
19．解：（1）由题意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，
∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°，……………………………………………………1分
∵∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°，
2
∴行进路线 BC和 CA所在直线的夹角∠BCA的度数为 60°；………………………3分
（2）过点 A作 AD⊥BC，垂足为 D，
在 Rt△ABD中，AB＝3 km，∠ABC＝45°，
∴AD＝AB sin45°＝3 × ＝3km，
BD＝AB cos45°＝3 × ＝3km，……………………………………6分
在 Rt△ADC中，∠ACB＝60°，
CD＝ ＝ ＝ km，
∴BC＝BD+CD＝（3+ ）km，……………………………………7分
∴检查点 B和 C之间的距离（3+ ）km．……………………………………8分
20．解：（1）50；……………………………………2分
补全图形如下：
................................3分
（2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数为 360°× ＝36°，
故答案为：36；……………………………………4分
（3）画树状图如下：
3
……………………………………6分
∵共有 12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有 2种，………7分
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为 P（选中甲、乙同学）= ．…………………8分
21．解：（1）在 Rt△AOC中，
∵tan∠AOC＝ ＝ ，
∴可设 AC＝t，OC＝2t，
∴t2+（2t）2＝（ ）2，
∴t＝1，
∴A（2，1），……………………………………2分
∴ ，
∴k＝2，
∴ ；……………………………………4分
（2）∵OD＝CD，OC＝2，
∴OD＝1，
∴y＝ ＝ ＝2，
即：B（1，2），……………………………………5 分
设 AB的解析式是：y＝ x+b，
+ = 2
∴ 2 + = 1，
= 1
∴ = 3 ，
∴y＝﹣x+3，……………………………………6分
∴平移后的函数解析式是：y＝﹣x+（3﹣m），（3﹣m>0）
由﹣x+（3﹣m）＝ 得，
x2﹣（3﹣m）x+2＝0，………………………7 分
∵两函数图象有且只有一个公共点
4
∴Δ＝（3﹣m）2﹣4×1×2＝0……………………………………8分
解得：m1＝3﹣2 ，m2＝3+2 （舍去），
∴ ．……………………………………9分
22．（1）证明：∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，……………………………………2分
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，……………………………………3分
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；……………………………………4分
（2）解：连接 AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
在 Rt△ADC中，cosC＝ ＝ ，
∴CD＝4， ……………………………………6分
在 Rt△CED中，cosC＝ ＝ ，
∴CE＝ ， ……………………………………7分
5
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BFA＝90°，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴EF＝CE＝ ， ……………………………………8分
∴CF＝ ． ……………………………………9分
23．解：（1）∵抛物线与 x轴相交于 A（﹣1，0），B（3，0）
两点，与 y轴相交于点 C（0，﹣3），
∴设抛物线的解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3），
把 C（0，﹣3），代入，得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；………………………2分
（2）A′不在抛物线上；理由如下：………………………3分
过点 A′作 A′D⊥y轴，∠AOC＝∠CDA′＝90°，
∵CA′是由 CA旋转得到，
∴AC＝A′C，∠ACA′＝90°，
∴∠ACO与∠A'CD互余
∠CA'D与∠A'CD互余
∴∠ACO=∠CA'D
∴△ACO≌△CA′D，……………………………………4分
∴OA＝CD，OC＝A′D，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
6
∴OA＝CD＝1，OC＝A′D＝3，
∴OD＝2，
∴A′（3，﹣2），……………………………………5分
∵y＝x2﹣2x﹣3，当 x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
∴A′（3，﹣2）不在抛物线上；……………………………………6分
（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线 BC：y＝kx﹣3，将 B（3，0）代入，得：k＝1，
∴y＝x﹣3；……………………………………7分
设 P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则 M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0）．
∴PM＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BH＝3﹣m．
∴ ．…………………9分
当 时，PM+2BH取最大值，最大值为 ．……………………………………10分
24.（1）证明： BAC 90 ，在 ABC中， ABC ACB 90 ，
在VADE中， ADE AED 90 ，
ADE ACB，
AED ABC；…………………2分
（2）①证明： BF ED交 ED的延长线于点 F ，
BFD 90 ，
BFD BAC，
BDF ADE，
FBD AED，由（1） AED ABC，
FBD ABC；…………………4分
②证明：如图 1，延长 BF，CA交于点G，
BFD GFE 90 ， FBD GEF， BF EF ，
7
△FBD≌△FEG(ASA)，…………………6分
FD FG，
BF FD BF FG BG，…………………7分
BAG BAC 90 ， AB AB， FBD ABC，
ABG≌ ABC(ASA)…………………8分
BG BC，
BC BF FD；…………………9分
（3）解：在Rt△ABE中， BE 42 22 2 5，
如图 2，延长 BA，CD交于点 F ，延长 BE交CF于点G．
ADC FAD F， FAD 90 ， ADC 90 C，
F C，
BF BC，
BE平分 ABC，
GF GC， BG⊥CF，
同理（2）②得 ABE≌ ADF (ASA)，得 AE AF ， BE DF 2 5 ，
BF AB AE 4 2 6，
ABE GBF， BAE BGF 90 ，
△GBF∽△ABE
GF BF GF 6 ，即 ，
AE BE 2 2 5
GF 6 5 ，
5
CD 2GF DF 2 6 5 2 5 2 5故答案为： ．…………………12分
5 5
8二〇二四年初中学业水平考试（中考）模拟
数学试题（一）
注意事项：
1. 本试题共24个题，满分120分，考试时间120分钟。
2. 请把答案与在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1. 下列图标中，改站中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台。”这是诗仙李白眼里的雪花。单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，同样10片雪花的重量用科学记数法可表示为（ ）
A. 3×10－5kg B. 3×10－6kg C. 3×10－4kg D. 0.3×10－5kg
3. 一个如图所示的几何体，知它的左视图，则其俯视图是下面的（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则b-a的结果可能是（ ）
A. B. C. 2 D. 3
6. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
7. 如图，在 ABCD中，点E在BC上且EB=2EC，AE与BD交于点F．若BD=5，则BF的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，点A、B、C在⊙O上，⊙O的半径为2，BC//OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC、DC，若∠A = 30°，则CD的长为（ ）
A. B. C. 2 D.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，分别以M，N为圆心大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，再用尺规作图作出DE⊥AB于点E，则BD的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4.5 D. 3
10. 如图，在平行四边形ABCD中，∠D=120°，AD=厘米，AB=厘米，点P从点D出发以每秒厘米的速度，沿D→C→B→A在平行四边形的边上匀速运动至点A，设点P的运动时间为t秒，△ADP的面积为s平方厘米，下列图中表示s与t之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____________．
12. 如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在应，则∠BAC的度数为_____________．
13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了__________度．
14. 如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧AB交于点C，连接AC．若OA=3，则图中阴影部分的面积是________（结果保留π）．
15. 如图，己知OP的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为__________．
16. 我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将如图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和．
……
请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是_______________．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分8分）
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，，其中a是使不等式≤1成立的正整数．
18. （本小题满分8分）
掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表：
水平距离x/m 0 4 5 6 10
竖直高度y/m 2.4 4.8 4.9 4.8 2.4
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_______米，实心球在空中的最大高度是_______米；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10.5米时，即可得满分20分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
19.（本小题满分8分）
为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A。B点A点的南偏东25°方向且距离为3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
（1）求行进路线BC和CA所在内线的夹角∠BCA的度数．
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．
20. （本小题满分8分）
2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，A组：50≤x＜60；B组：60≤x＜70；C组：70≤x＜80；D组：80≤x＜90；E组：90≤x＜100；已知C组的数据为：70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查________名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为____________度；
（3）现从E组里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加航天知识竞答决赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
21. （本小题满分9分）
如图，点A，B是反比例函数（x>0）的图象上的点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，OD=DC，连接AO，BO，AB，线段AO交BD于点E，OA=，tan∠AOC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将AB所在的直线向下平移m（m>0）个单位长度后与反比例函数的图象（x>0）有且只有一个公共点，求m的值．
22. （本小题满分9分）
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直径为5，cos∠C=，求CF的长．
23. (本小题满分10分)
如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，-3)，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A'，判断点A'是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求PM+2BH的最大值．
24. (本小题满分12分)
【问题提出】
在数学活动课上，数学王老师给出了如下的问题，
（1）如图1，在△ABC中，∠BAC = 90°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且∠ADE=∠ACB，求证：∠AED = ∠ABC
【问题探究】
王老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下，增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
（2）如图2，①“勤奋小组”增加条件：过点B作BF⊥ED交ED的延长线于点F，求证：∠FBD =∠ABC．
②在“勤奋小组”增加条件的基础上，“智慧小组”增加条件：BF = EF，求证：BC = BF+FD．
【问题解决】
（3）“梦想小组”在前面学习的基础上，创编了新的问题，请你求解．
如图 3，在四边形如ABCD中，AB = AD，∠BAD = 90°，∠D = 90°+∠C，BE平分∠ABC交AD于点E，若AE = 2，AB = 4，则CD的长=_______________．(请直接写答案)
2

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