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专题08 反比例函数与一次函数综合
目录
热点题型归纳 PAGEREF _Toc10647 \\h 1
题型01 面积问题 PAGEREF _Toc11270 \\h 1
题型02 两线段和差最值问题 PAGEREF _Toc27861 \\h 3
题型03 两函数值比较大小问题 PAGEREF _Toc2884 \\h 15
中考练场 PAGEREF _Toc2859 \\h 32
题型01 面积问题
【解题策略】
求三角形面积的一般解题步骤：类型一：三角形有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，以这边为底边，以该边所对的顶点的坐标的绝对值为高．底边平行于y轴，则以所对顶点的横坐标的绝对值为高，反之则以纵坐标的绝对值为高． 类型二：三角形没有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，可以用公式S△=水平宽×铅垂高求解．
【典例分析】
例．（2023·辽宁鞍山·中考真题）
1．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．

(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
【变式演练】
（2023·山东泰安·三模）
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)请直接写出在第一象限时，的取值范围．
(3)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接求的面积．
（2023·山东泰安·一模）
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围．
(3)若点在线段上，且，求点的坐标．
（2023·广东潮州·二模）
4．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标．
（2023·广东云浮·二模）
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，轴， ，．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点E是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E作y轴，垂足为点F，连接，如果，求点E的坐标．
题型02 两线段和差最值问题
【解题策略】
将军饮马模型：做对称，连定点，求交点．
【典例分析】
例．（2023·四川宜宾·中考真题）
6．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【变式演练】
（2023·河南濮阳·三模）
7．如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，交x轴于点C，已知点A的坐标为．
(1)求反比例函数解析式；
(2)直接写出不等式的解集______．
(3)在x轴是否存在点P，使得有最大值，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（2023·辽宁盘锦·二模）
8．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．

(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出的取值范围；
(3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．
（2023·广东云浮·二模）
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．
题型03 两函数值比较大小问题
【解题策略】
比较大小一般解题步骤： ①求交点：联立方程求出方程组的解； ②分区间：将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间； ③比大小：图像谁在上方谁就大； ④：写出对应区间自变量的取值范围．
【典例分析】
例．（2023·山东淄博·中考真题）
10．如图，直线与双曲线相交于点，．

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【变式演练】
（2023·山东青岛·一模）
11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点坐标为，点坐标为，与轴正半轴夹角的正切值为，直线交轴于点，过作轴的垂线，交反比例函数图象于点，连接、．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)请你根据图象直接写出不等式的解集．
（2023·广西桂林·一模）
12．如图，直线与双曲线相交于A、B两点，直线与x轴相交于点C，点B的坐标是，，E为x轴正半轴上一点，且．
(1)双曲线的解析式是 ，直线的解析式是 ．
(2)求证：．
(3)当时，x的取值范围是 ．
（2023·四川泸州·一模）
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，．（O是坐标原点）
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)直接写出当一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
(3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
（2024·新疆·一模）
14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点是否在一次函数的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式的解集．
（2023·贵州·中考真题）
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．

(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），直接写出的取值范围．
（2023·山东聊城·中考真题）
16．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值．
（2023·四川乐山·中考真题）
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．

(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
（2022·江苏徐州·中考真题）
18．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

（2022·四川资阳·中考真题）
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)结合图象，写出当时，满足的x的取值范围；
(3)将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的一次函数图像无交点．
（2022·四川绵阳·中考真题）
20．如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．
（2022·四川广元·中考真题）
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图像与函数（x＞0）的图像相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3
(1)求k和b的值；
(2)若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数（x＞0）的图像上，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)；
(2)
【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得；
（2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可．
【详解】（1）解：∵，的面积是6，
∴，
∴，
∵图象在第二象限，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵点，，在的图象上，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴交x轴于点C，
∴，
∴，
设直线上在第一象限的点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，解决问题的关键是画出图形．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据图象直接得出答案；
（3）求出，由，即可求解．
【详解】（1）将点的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
则点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：；
（2）把代入，得，
由图可知时，，
由图可知时，，
时，；
（3）点，点的纵坐标是，，
点的纵坐标是，
把代入，
得，
，
如图，
作轴于，交于，
当时，，
，
，
，
由．
3．(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）把坐标代入可得解析式，继而求出，用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图象直接写出的的取值范围即可；
（3）利用得出，设坐标利用勾股定理建立方程求出即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
【详解】（1）解：反比例函数经过，
，
反比例函数解析式为，
在反比例函数的图象上，
，
，
直线经过，，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：观察函数图象可知的的取值范围是或；
（3）解：设，
∵
，即，
，
解得舍去，，
点坐标为
4．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积．
（1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
（2）当时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为．
（3）先求出的面积为1，从而确定的面积为，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2；
∴A，B；
把A、B的坐标代入得；
解得；
∴一次函数的解析式为．
（2）∵；
由图象可知，当时，．
（3）∵一次函数为；
∴D；
∵A，
∴；
∴，
设点P的坐标为： ，；
∴，；
当P在直线下方时，如图1，则；
；
解得；
∴点P．
当P在直线AB的上方时，如图2，则；
；
解得；
∴点P；
综上可得：点P的坐标为： 或 ．
5．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）先求出A、D坐标，以及的长，解直角三角形求出的长，进而得到点C的坐标，然后利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（2）设出点E坐标，求出的面积为3，进而得到的面积为12，再求出点B的坐标，得到的长，利用面积法求出的长进而求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵轴，
∴ ，
∴，
∴点C的坐标为，
∴把代入中得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴将代入中得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：设，
∴
∴，
∴，
∵一次函数解析式为，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．(1)，
(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．
【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，

∵点，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，

∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
7．(1)反比例函数解析式为：y＝．
(2)．
(3)在x轴上存在点P，使有最大值为此时P点坐标是．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形的三边关系的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和数形结合法是解题关键．
（1）先求解A的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可；
（2）先求解函数的交点坐标，再结合图象可得答案；
（3）先求解一次函数与x轴的交点坐标，再结合三角形的三边关系确定P的位置即可．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为在一次函数上，
∴，
∴，
∵在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数解析式为：．
（2）联立一次函数和反比例函数得析式为：，
解得或，
∴，，
由图示可知：不等式的解集是．
（3）∵直线的解析式是，令，
则，则，
∴，
∴当P点坐标是，有最大值理由如下：
在中，根据三边关系，，
当P在点C处时，．即最大值为．
故在x轴上存在点P，使有最大值为此时P点坐标是．
8．(1)，
(2)或
(3)点的坐标为，
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先把点坐标代入一次函数解析式求出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式即可求出点的坐标；
（2）利用图象法求解即可；
（3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，再求出直线的解析式即可求出点的坐标，由，，，可求出、的值，最后根据的周长为．
【详解】（1）解：点在一次函数的图象上，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为，
联立，
解得： 或，
；
（2）观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在的图象的下方，
当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围为：或；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．
点，
点，
设直线的表达式为，
则，
解得：，
直线的表达式为，
在中，令，则，
点，
，，，
，，
的周长为．

9．（1）, ；（2）
【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，
由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；
（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．
【详解】（1） 四边形是矩形，，
为线段的中点
将代入，得
将，代入，得：
，解得
（2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P
当三点共线时，有最小值
，
设直线的解析式为
将，代入，得
，解得
令，得
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键．
10．(1)，
(2)
(3)或
【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积
数形结合求出x的范围即可.
【详解】（1）将代入双曲线，
∴,
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴,
∴,
将代入,
，
解得，
∴直线解析式为；
（2）∵直线向下平移至,

∴,
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
过点作交于,
设直线与轴的交点为，与轴的交点为,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
，
∵，
，
，
∴的面积
（3）由图可知或时,
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.
11．(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为；
(2)；
(3)或．
【分析】本题考查了反比例函数的综合题，涉及解直角三角形，待定系法求函数解析式，三角形面积等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析，再根据点在反比例函数图象上，可得点的坐标，进一步利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出点和点坐标，再根据求解即可；
（3）根据图象即可确定不等式的解集．
【详解】（1）解：与轴正半轴夹角的正切值为，
，
点，
，，
点坐标为，
，
点在反比例函数图象上，
，
解得，
点坐标为，
将点，点代入一次函数，
得，
解得，
一次函数表达式为，反比例函数表达式为；
（2）解：当时，，
点坐标为，
轴，
点纵坐标为，
点在反比例函数上，
点横坐标为，
，
；
（3）解：由图象可知，不等式的解集是或．
．
12．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据三角函数的定义求出点A的坐标，代入反比例函数解析式求出结果即可；求出点B的坐标，用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据A、B两点的坐标分别表示出和的面积即可得出答案；
（3）根据函数图象得出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
将点A的坐标代入反比例函数得，，
∴双曲线的解析式为，
∵点在反比例函数图象上，
∴，解得，
∴，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式是；
（2）解：∵，，
∴的面积，的面积，
∴的面积，
∴；
（3）解：根据函数图象可知，当或时，一次函数在反比例函数图象的上面，
∴当时，x的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数的解析式，三角函数的应用，解题的关键是数形结合，根据三角函数求出点A的坐标．
13．(1)，；
(2)或；
(3)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．
（）根据待定系数法求解即可；
（）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的的范围即可；
（）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可；
【详解】（1）解：∵反比例函数过点，，
∴，
解得：，
反比例函数解析式为：，点，
∵一次函数解析式过点，，
∴，
解得：
∴一次函数解析式为：；
（2）解：根据图象，不等式的解集为：或；
（3）解：设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，
整理得：，
，
∴，或，
∵点，
∴不符合题意舍去．
∴直线向下平移1个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
14．（1），；（2）在，理由见解析；（3）或
【分析】（1）先利用点A求出反比例函数的解析式，由此求出点B的坐标，再利用点A及点B的坐标求出一次函数的解析式；
（2）将点P的坐标代入解析式判断即可；
（3）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方确定不等式的解集．
【详解】解：（1）将点代入反比例函数中，得，
∴反比例函数解析式为；
将点代入，得-a=6，
∴a=-6，
∴，
将点、代入一次函数中，得
，∴，
∴一次函数的解析式为；
（2）点P在一次函数的图象上．
理由：当x=-2时，，
∴点P在一次函数的图象上；
（3）由图象可知：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
∴当或时．
【点睛】此题考查一次函数与反比例函数的综合，用待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特点，利用函数图象确定不等式的解集，正确掌握一次函数及反比例函数的知识是解题的关键．
15．(1)反比例函数解析式为，
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质得到，再由是的中点得到，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数的图象分别与交于点和点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：当直线 经过点时，则，解得；
当直线 经过点时，则，解得；
∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
16．(1)，
(2)
【分析】（1）根据反比例函数过点，两点，确定，待定系数法计算即可．
（2）根据平移思想，设解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，
∴，
故反比例函数的解析式为，
∴，
故，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）∵，，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位，
∴点到点Q的平移规律也是向左平移个单位，向下平移4个单位，
故，
∵在上，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
设与x轴交于点C，连接，如图所示：
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴当时，符合题意．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：对于，当时，，
∴，
，
∵，

过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
18．(1)点在这个反比例函数的图像上，理由见解析
(2)①，；②点的坐标为
【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线，即，求出，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上；
（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．(1)一次函数的表达式为
(2)
(3)
【分析】（1）将、两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的即可；
（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图像即可判断反比例函数的系数，进而得到反比例函数的解析式．
【详解】（1）解：由题意得：，，
∴，
∴，
由题意得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：由图像可知，当时，
一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的值为，
当时，满足的x的取值范围为；
（3）解：一次函数的图像平移后为，
函数图像经过第一、三象限，
要使正比例函数与反比例函数没有交点，
则反比例的函数图像经过第二、四象限，则反比例函数的，
当时，满足条件，
反比例函数的解析式为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
20．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形的面积为38．求出，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）平移一次函数与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：，联立，解得：，进一步求出：，即，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，根据以及点的坐标即可求出的面积．
【详解】（1）解：∵在上，
∴，即反比例函数解析式为：，
设，
∵四边形的面积为38．
∴，整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
将和代入可得：解得：，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，
设平移后的一次函数解析式为：，联立可得：，整理得：，
∵有唯一交点P，
∴，解得：或（舍去），
将代入得：，解得：
经检验：是分式方程的根，
∴，
连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，
则：，
∵，，，
∴，
，
，
∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点．
21．(1)b=5，k=6
(2)不在，理由见详解
【分析】（1）把点B的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；
（2）由（1）及题意易得点C的坐标，然后根据旋转的性质可知点C′的坐标，则根据等积法可得点A′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A′的横坐标，最后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，
∴b=5，k=6；
（2）解：点A′不在反比例函数图像上，理由如下：
过点A′作A′E⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图，
由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
∴点，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，且它们都以OA为底，
∴△OAC与△OAB的面积比即为点C纵坐标与点B纵坐标之比，
∴点C的纵坐标为，
∴点C的横坐标为，
∴点C坐标为，
∴CF=4，OF=1，
∴，，
由旋转的性质可得：，
根据等积法可得：，
∴，
∴，
∴，
∴点A′不在反比例函数图像上．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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