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专题11 四边形压轴题综合
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热点题型归纳
题型01 三角形与旋转变换
题型02 三角形与翻折变换
题型03 三角形类比探究问题
中考练场
题型01 四边形与旋转变换
【解题策略】
三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
【典例分析】
例．
（2023·浙江衢州·中考真题）
1．如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．

(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)令，．
①求证：；
②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值．
【变式演练】
（2023·辽宁盘锦·二模）
2．如图，已知正方形和正方形．
(1)在图1中，点E，F，G分别在边，，上，求出的值．
(2)将正方形绕点A顺时针旋转至图2所示位置，连接，，请问（1）中的结论是否发生变化？并加以证明；
(3)如果正方形的边长为5，正方形的边长为3．当正方形绕点A顺时针旋转至点E，F，B三点共线时，请直接写出的长．
（2023·辽宁阜新·一模）
3．如图，四边形和四边形都是正方形，且，交于点A，正方形绕点A旋转，连接，．
(1)如图1，求证：，；
(2)如图2，将绕点F逆时针旋转，得到线段，连接．
①求证：四边形是平行四边形；
②连接，若，，直接写出在正方形旋转的过程中，线段长度的最大值．
（2023广东深圳·模拟预测）
4．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为，宽为．
(1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点重合，边与边重合，边，在同一直线上．
请判断：的形状为_____________；
(2)【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点A顺时针转动（转动角度小于），即，边与边交于点，连接，平分，交于点，，求的度数；
(3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，，请直接写出的面积．
题型02 四边形与翻折变换
【解题策略】
考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
【典例分析】
例．
（2023·湖南·中考真题）
5．问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．

特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
【变式演练】
（2023·浙江金华·三模）
6．如图，平行四边形中，，，点是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形．
(1)如图2，当点正好落在边上时，判断四边形的形状并说明理由；
(2)如图1，当点是线段的中点且时，求的长；
(3)如图3，当点，，三点共线时，恰有，求的长．
（2023·贵州铜仁·三模）
7．阅读材料：如图，在矩形中，点O是的中点，点E是边上动点，将沿翻折得，连接并延长交边于点M，连接．
【发现问题】
（1）如图①，判断的形状是________三角形．
【探究发现】
（2）如图②，当E、F、C三点在一条直线上时，求证：M为边中点
【拓展迁移】
（3）如图③，延长交射线于点N，当，，时，求的长．
（2023·河南洛阳·二模）
8．综合与实践

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．
①______度；
②若，求线段的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形，点E，F分别在边上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请直接写出线段的长．
题型03 类比探究问题
【解题策略】
考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
【典例分析】
例．
（2023·江苏盐城·中考真题）
9．综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】
（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上.
【深入探究】
（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由.
【变式演练】
（2023·海南海口·二模）
10．（1）【证明推断】如图，在正方形中，点E是对角线上的动点（与点B、D不重合），连接，过点E作，，分别交直线于点F、G．
① 求证：；
② 求的值；
（2）【类比探究】如图，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变．
① 若，，求的值；
② 若，直接写出的值（用含m的代数式表示）；
（3）【拓展运用】如图，在矩形中，点E是对角线上一点（与点B、D不重合），连接，过点E作，，分别交直线于点F、G，连接，当，，时，求的长．
（2023·山东泰安·三模）
11．【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】
如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出）
【知识迁移】
将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：．
（2023·山西·中考真题）
12．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

（2022·辽宁阜新·中考真题）
13．已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．
(1)如图，求证：≌；
(2)直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
（2023·山东淄博·中考真题）
14．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．
试判断：的形状为________．

(2)深入探究
小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．
探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点，连接，如图③．
求线段长度的最大值和最小值．

（2022·内蒙古通辽·中考真题）
15．已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．
(1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；
(2)将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；
(3)，，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
（2022·四川乐山·中考真题）
16．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
2．如图，在正方形ABCD中，．求证：． 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．
(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______．
(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且．求的值．
（2023·甘肃兰州·中考真题）
17．综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

（2022·四川南充·中考真题）
18．如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：．
(3)点Q在边上，，当时，求的长．
（2022·贵州贵阳·中考真题）
19．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
(1)问题解决：
如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
(2)问题探究：
如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
(3)拓展延伸：
当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答；
（2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答；
（3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答；
②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于，
设设，则，
，
，
四边形为矩形，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
可得方程，
解得（此时，故舍去0），
；

（3）解：①证明：过点作于，连接，
点为矩形的对称中心，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
；

②如图，连接，
由题意可得,
点为矩形的对称中心，
，
同理可得，
由（1）知，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由①可得，
解得，
，
，
．

【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
2．(1)；
(2)不发生变化，证明见解析；
(3)或．
【分析】（1）本题根据正方形性质和勾股定理得到，再由利用平行线分线段成比例，得到，推出，即可解题．
（2）本题连接，得到，由旋转的性质证明，得到，即可证明（1）中的结论不变．
（3）本题根据正方形绕点A顺时针旋转至点E，F，B三点共线，利用勾股定理算出，点E，F，B三点共线分两种情况，①当点E，F在点B的左侧时，作于点N，作于点M，②当点E，F在点B的右侧时，作交的延长线于点，作交于点P，对以上两种情况结合辅助线构造以为斜边的直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求解，即可解题．
【详解】（1）解：四边形和都是正方形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：不变，理由如下：
连接，
四边形和都是正方形，
，
，
由旋转的性质可知，，
，
，
（1）中的结论不变．
（3）解：当正方形绕点A顺时针旋转至点E，F，B三点共线时，
分以下两种情况：
①当点E，F在点B的左侧时，如下图所示，作于点N，作于点M，
正方形的边长为5，正方形的边长为3．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
②当点E，F在点B的右侧时，如下图所示，作交的延长线于点，作交于点P，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
由题易知，四边形为矩形，
，，
，
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
3．(1)详见解析
(2)①详见解析；②最大值为
【分析】（1）由题意易得，，，然后可证，则有，进而问题可求证；
（2）①由（1）可得，，然后根据旋转的性质及平行四边形的判定定理可求证；②连接，由题意易证，则有，要使的值最大，即为的值最大，当点D、A、E三点共线时，的值最大，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
设与相交于点P，与相交于点Q．
在和中，，
∵，，
∴．
∴．
（2）①证明：由（1）可知：
，
由旋转可知：，
∴，
∴四边形是平行四边形．
②解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
要使的值最大，即为的值最大，当点D、A、E三点共线时，的值最大；
∵，
∴，
∴的最大值为，
∴最大值为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及旋转的性质是解题的关键．
4．(1)等腰直角三角形
(2)
(3)或
【分析】（1）根据矩形的性质，可证明，得到，，再利用直角三角形的性质，可推得，即得答案；
（2）过点A作于，先证明，得到，可进一步证明，，从而可得答案；
（3）分旋转角小于和大于两种情形，分别画出图形，根据三角形全等和勾股定理可逐步求得答案．
【详解】（1）长方形纸片和完全相同，
，，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形．
（2）如图2，过点A作于，
，，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
平分，
；
（3）情况一，如图，当旋转角小于时，
过作于点，
，
为中点，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
情况二：如图，当旋转角大于时，
过作于，
同情况一得，
，，
在中，，
，
，
，
综上所述，为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
5．（1）见解析；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）的形状不改变，见解析
【分析】（1）连接，，，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可；
（2）根据正方形的性质直接得到，推出，得到是等腰直角三角形；
（3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，设交于点H，交于点N，得到，由得到，推出，进而得到，再证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：连接，，，如图，

∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）的形状不改变，
延长至点M，使，连接，

∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键．
6．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠得出，，证明三角形是等腰三角形，进一步得出结果；
（2）解等腰三角形，作于，解斜三角形，从而求出结果；
（3）证明，，从而求得和，进一步求得．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由折叠可得，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）如图，
作于，作于，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，，
，
在中，，，，
∴，
∴(舍去)，
，，
；
（3），
，
即：，
四边形是平行四边形，
，
由折叠可得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，轴对称性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
7．（1）直角
（2）见解析
（3）
【分析】（1）由沿翻折得，得，，，继而证得，得到，从而得到，继而证得，即可得出结论；
（2）连接，证明，得，然后由矩形的性质与点O是的中点，可得出结论；
（3）由矩形性质和勾股定理，求得，再由翻折性质得，，，设，则，然后由勾股定理，得，解方程即可求解．
【详解】解：（1）∵点O是的中点，
∴，
∵沿翻折得，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
（2）连接，
∵矩形，
∴，，，，
∴，
∵沿翻折得，
∴，，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
当E、F、C三点在一条直线上时，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴点M是的中点．
（3）∵矩形，
∴，，
∴，
∵∵点O是的中点，
∴，
由勾股定理，得，
∵沿翻折得，
∴，，，
∴，，
设，则，
由勾股定理，得，
解得：，
即．
【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的性质，勾股定理．熟练掌握相关定理是解题的关键．
8．(1)，见解析
(2)①，见解析；，见解析；
(3)线段的长为或2；
【分析】（1）根据折叠性质和正方形的性质可得；
（2）①由折叠性质可得，，，结合可得，即可求解；②根据是等腰直角三角形，可证，设，
根据，即可求解；
（3）在上取一点J，使得，过点J作，交于点K，连接，可得，设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：；
∵四边形是正方形，
，
由折叠性质可得：，，
，
即；
（2）解：①∵四边形是正方形，
，
由折叠性质可得：，，，
，
由操作一得：，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
②∵ 是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，
，解得：，
，
；
（3）解：如图，在上取一点J，使得，过点J作，交于点K，连接，

当时，，
，
，
，
，
，
由（1）可知，，
设，则，
，
，
，
当时，同理可得，
综上所述，线段的长为或2；
【点睛】此题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识， 熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键．
9．（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析
【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论；
（3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；
（4）过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形．
理由：设与交于点，如图，
由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形．
（2）证明：四边形是矩形，，，，
，，，
，
，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
，
，，
，
，
，
点，，在同一条直线上．
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，
，，
，
设，
则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
（4），理由如下：
如图，过点作于，设交于，
由折叠得：，，，
设，，
由（3）得：，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．
10．（1）①证明见解析；②；（2）①；②；（3）
【分析】（1）①由“”可证；②由全等三角形的性质可得，即可求解；
（2）①根据（1），可证，可得，通过证明，即可求解；
②根据（1），可证△ABE∽△FGE，可得，通过证明，即可求解；
（3）由锐角三角函数和等腰三角形的性质可求的长，由相似三角形的性质可求和的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②由①知：△ABE≌△FGE，
∴AE=EF，
故答案为：1；
（2）①四边形是矩形，
∴，
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵四边形是矩形，
∴，
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点C作于H，过点E作于Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
11．（1）详见解析；（2）；（3）详见解析
【分析】（1）由，，推出，进而得出结论；
（2）在上截取，连接，可证得，从而，进而得出；
（3）以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，可得出，从而，进一步得出结论．
【详解】（1）证明：，，，
，
；
（2）解：如图，
在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
故答案为：；
（3）证明：如图，
以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”．
12．(1)正方形，见解析
(2)①，见解析；②
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．

【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)①见解析②
【分析】根据证明三角形全等即可；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，．
，．
，
，
在和中，
≌；
（2）证明：如图中，设与相交于点．
，
．
≌，
．
，
．
，
，，
四边形是矩形，
．
四边形是正方形，
，．
．
又，
≌．
．
矩形是正方形；
解：作交于点，作于点，
∵
∴≌．
．
，，
最大时，最小，．
．
由可知，是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
14．(1)等腰直角三角形
(2)探究一：；探究二：线段长度的最大值为，最小值为
【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形，
（2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积；
探究二：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，即可得出的最大值与最小值．
【详解】（1）解：两个完全相同的矩形纸片和，
，
是等腰三角形，
，．，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）探究一：，，，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，
解得，
，
的面积；
探究二：连接，取的中点，连接，，取、的中点为、，连接，，，
是的中点，
，且，
，
，，
，且，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
点在以为直径的圆上，
设的中点为，
，
的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键．
15．(1)2
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解；
（2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）解：正方形与正方形有公共点，点在上，在上，
四边形是正方形
（2）解：如图，连接，
正方形绕点逆时针方向旋转，
，
（3）解：①如图，
，，
,,，
三点共线，
中，，
，
由（2）可知，
，
．
②如图：
由（2）知△ADG∽△ACE，
∴，
∴DG=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8，AC=，
∵AG=AD，
∴AG=AD=8，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=8，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC=90°
∴CG=，
∴CE=CG+EG=8+8，
∴DG=CE=．
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为或．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
16．(1)1；证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可．
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求证△ABM∽△ADN．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．
（3）先证是等边三角形，设，过点，垂足为，交于点，则，在中，利用勾股定理求得的长，然后证，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．
【详解】（1），理由为：
过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，∴；
（2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵，，AM＝HF，AN＝EG，
∴，
∴；
故答案为：
（3）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴设，
过点，垂足为，交于点，则，
在中，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．
17．（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）；（3），证明见解析；
【分析】（1）证明，可得，从而可得结论；
（2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键．
18．(1)为直角三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)或12
【分析】（1）由点O是的中点，可知，由等边对等角可以推出；
（2）延长AM，BC交于点E，先证，结合（1）的结论得出PC是直角斜边的中线，推出，进而得到，再通过等量代换推出，即可证明；
（3）过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，得到两个K型，证明，，利用相似三角形对应边成比例列等式求出QF，FP，再通过即可求出DM．
【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下：
∵点O是的中点，，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
（2）证明：如图，延长AM，BC交于点E，
由矩形的性质知：，，
∴，
∵ 点M为边中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，即C点为BE的中点，
由（1）知，
∴，即为直角三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，
由已知条件，设，，
则，，．
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
同理，∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∴，
解得，
∴，
将代入得，
整理得，
解得或．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，，
当时，，此时点M在DC的延长线上，
综上，的长为或12．
【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，解题关键是作辅助线构造K字模型．
19．(1)
(2)
(3)作图见解析，
【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据折叠的性质即可求得，由三角形内角和定理可得，根据点在边上，当时，取得最小值，最小值为；
（3）连接，设,然后结合勾股定理分析求解．
【详解】（1），
是等边三角形，
四边形是平行四边形，
，
，
为边上的高，
，
（2），，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，为底边上的高，则
点在边上，
当时，取得最小值，最小值为；
（3）如图，连接，
，则，
设， 则，，
折叠，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
延长交于点，如图，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
同理，当点F落在下方时，
．
综上，m的值为
【点睛】本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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