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16.2 二次根式的乘除/
16.2二次根式的乘除
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
16.2 二次根式的乘除/
二次根式的乘法
第一课时
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16.2 二次根式的乘除/
导入新知
苹果ios手持操作系统的图标为圆角矩形，长为 cm，宽为 cm，则它的面积是多少呢？
如何计算 ？
16.2 二次根式的乘除/
1. 掌握二次根式乘法法则.
2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
素养目标
16.2 二次根式的乘除/
(1) = ___×___=____;
=_________;
计算下列各式:
2
3
6
4
5
20
5
6
30
观察两者有什么关系？
探究新知
知识点 1
二次根式的乘法
(2) = ___×___=____;
(3) = ___×___=____;
=_________;
=_________.
16.2 二次根式的乘除/
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
猜测：
探究新知
16.2 二次根式的乘除/
不成立！
探究新知
【思考】
成立吗？
没有意义！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0
16.2 二次根式的乘除/
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
二次根式的乘法法则是:
二次根式相乘，________不变，________相乘.
根指数
被开方数
注意：a,b都必须是非负数.
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
探究新知
16.2 二次根式的乘除/
例1 计算:
解:
探究新知
素养考点 1
简单的二次根式的乘法运算
（1） （2）
(1)
(2)
16.2 二次根式的乘除/
【想一想】下边的式子如何运算？
解:
探究新知
总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（ ）
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
16.2 二次根式的乘除/
A. B.
C. D.
1.计算 的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
C
2.下面计算结果正确的是( )
B
3.计算： ____.
20
巩固练习
16.2 二次根式的乘除/
【思考】你还记得单项式乘单项式法则吗？
试回顾如何计算4a2·5a4= .
20a6
探究新知
16.2 二次根式的乘除/
例2 计算:
解:
探究新知
素养考点 2
因数不是1二次根式的乘法运算
总结：当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项
式的法则计算，即
（1） （2）
(1)
可类比前面的计算哦！
(2)
16.2 二次根式的乘除/
探究新知
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
16.2 二次根式的乘除/
4.计算：
巩固练习
解：
=20×18=360
(1) (2)
(2)
(1)
16.2 二次根式的乘除/
解：(1)方法一：
∵ ， ，
方法二：
∵ ， ，
探究新知
素养考点 3
二次根式的大小比较
例3 比较大小:（1） 与
∴ ，
∴ ，
即 .
又∵20＜27，
又∵20＜27，
即 .
16.2 二次根式的乘除/
解：(2)∵ ，
，
又∵52＜54，
∴ ，
∴ ,即
探究新知
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
（2） 与
16.2 二次根式的乘除/
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较．
16.2 二次根式的乘除/
巩固练习
5.比较下列各组数的大小.
(1) 和 ;　(2) 和 ;
解： ∵ >0, >0,且（ ）2=98, （ ）2=99,
(1)
∴（ ）2 < （ ）2 ,
又∵98<99,
即 < .
(2)
∵ = , = ,
又∵ >
∴ > .
16.2 二次根式的乘除/
反过来，就得到：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
一般地：
我们可以运用它来进行二次根式的化简.
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
探究新知
知识点 2
二次根式的乘法法则的逆用
16.2 二次根式的乘除/
例4 化简：
（1）　　　 　；（2） ．　　
(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
探究新知
素养考点 1
利用二次根式的乘法法则的逆用计算
=
解：（1）
= 4 ×9
=36
（2）
=
=
=
16.2 二次根式的乘除/
6.化简:
提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来。
巩固练习
（1）
（2）
（3）
解:
（1）
（2）
（3）
16.2 二次根式的乘除/
例5 计算：
（1） 　 ；（2） ；（3） ．　　
探究新知
素养考点 2
利用二次根式的乘法法则及逆用计算
　　解：（1）
（2）
（3）
16.2 二次根式的乘除/
探究新知
方法点拨
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因
数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .
16.2 二次根式的乘除/
巩固练习
7.计算：（1）
解：原式=
=30
（2）
解：原式=
16.2 二次根式的乘除/
巩固练习
连接中考
B
（2019 株洲） ＝（　　）
A． B．4 C． D．
16.2 二次根式的乘除/
1.下面计算结果正确的是 ( )
A. B.
C. D.
D
基础巩固题
2.若 ，则（　　）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
A
课堂检测
16.2 二次根式的乘除/
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”
“＜” 或“=”）：
＞
＜
3. 计算：
（1） =______
（2） =______
（3） =______
（1） ___
（2） ___
基础巩固题
课堂检测
16.2 二次根式的乘除/
5. 计算：
解：
（1）
（2）
（1）
=12×13
=156
=a2
基础巩固题
课堂检测
（2）
16.2 二次根式的乘除/
6.计算：
课堂检测
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
基础巩固题
16.2 二次根式的乘除/
1.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若长为 ，宽为 ，求出它的面积.
解：它的面积为
能力提升题
课堂检测
16.2 二次根式的乘除/
2.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.
(1)已知 , ，求S；
解： S = ab =
（2）已知 , ，求S.
课堂检测
能力提升题
=
（1）
S = ab =
（2）
=240
=
=
=
=
16.2 二次根式的乘除/
（1）　　　 ；（2） ．
1. 化简：
解：（1）
拓广探索题
课堂检测
（2）
16.2 二次根式的乘除/
2.已知 试着用a, b表示 .
解：
课堂检测
拓广探索题
又
16.2 二次根式的乘除/
二次根式乘法
法则
性质
拓展法则
课堂小结
16.2 二次根式的乘除/
二次根式的除法和最简二次根式
第二课时
返回
16.2 二次根式的乘除/
站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为 .
解：
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 时，他看到的水平线的距离d1是多少？
导入新知
16.2 二次根式的乘除/
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
解：
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？
导入新知
16.2 二次根式的乘除/
2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.
1. 掌握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.
素养目标
3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二次根式化为最简二次根式.
16.2 二次根式的乘除/
(1) ___÷___=____;
= _____;
计算下列各式:
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
2
3
4
5
6
7
观察两者有什么关系？
探究新知
知识点 1
二次根式的除法
16.2 二次根式的乘除/
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
猜想 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？
特殊
一般
探究新知
16.2 二次根式的乘除/
在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？
a,b同号就可以啦
探究新知
你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦
不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.
16.2 二次根式的乘除/
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
探究新知
16.2 二次根式的乘除/
例1 计算：
解:
探究新知
素养考点 1
利用二次根式的除法法则计算根号外因数是
1的二次根式
提示：像（2）中除式是分数或分式时，先要转化为乘法
再进行运算.
（1）
（2）
（1）
（2）
16.2 二次根式的乘除/
1.计算：
解：
巩固练习
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
（3）
16.2 二次根式的乘除/
解:
探究新知
素养考点 2
提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是
1的二次根式
例2 计算:
（1）
（2）
（1）
（2）
16.2 二次根式的乘除/
2.计算，看谁算的既对又快.
巩固练习
（1）
（2）
（3）
（4）
16.2 二次根式的乘除/
我们可以运用它来进行二次根式的化简.
语言表述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.
类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
探究新知
知识点 2
商的算术平方根的性质
16.2 二次根式的乘除/
解:
补充解法：
探究新知
素养考点 1
商的算术平方根的性质的应用
例3 化简:
（1）
（2）
（1）
（2）
还有其它解法吗
16.2 二次根式的乘除/
解：
探究新知
提示：像（5）可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.
（3）
（4）
（5）
（3）
（4）
（5）
16.2 二次根式的乘除/
C
巩固练习
3.能使等式 成立的条件是 ( )
A. x≥0 B. －3＜x≤0
C. x＞3 D. x＞3或x＜0
4.化简：
（1） =_____
（2） =_____
（3） =_____
（4） =_____
16.2 二次根式的乘除/
解：（1）
（2）
　　问题1　计算：　
（1） （2） （3） 　
．
（3）
．
探究新知
知识点 3
最简二次根式
16.2 二次根式的乘除/
问题2　观察上面各小题计算的最后结果并思考：
（1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？
探究新知
16.2 二次根式的乘除/
探究新知
归纳总结
最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含____________；
(2)被开方数中不含____________的因数或因式.
注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.
二次根式
开得尽方
16.2 二次根式的乘除/
解:
探究新知
素养考点 1
分母有理化
总结：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使
分母不含根号.
例4 计算:
(1)
(2)
(3)
（2）
（3）
（1）
16.2 二次根式的乘除/
探究新知
方法点拨
化成最简二次根式的一般方法
(1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方,
如 ;
(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如
;
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简,如 .
16.2 二次根式的乘除/
5.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
解：只有(3)是最简二次根式；
巩固练习
（1） （2） （3） （4） （5）
(1)
(4)
(2)
(5)
16.2 二次根式的乘除/
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值.
解:∵
知识点 4
二次根式的应用
探究新知
∴
16.2 二次根式的乘除/
6. 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
巩固练习
16.2 二次根式的乘除/
1.（2018 绵阳）等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B． C． D．
巩固练习
连接中考
B
2.（2019 河池）下列式子中，为最简二次根式的
是（　　）
A． B． C． D．
B
16.2 二次根式的乘除/
1.化简 的结果是（　　）
A．9 B．3 C． D．
B
2.下列根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
C
课堂检测
基础巩固题
16.2 二次根式的乘除/
3.能使等式 成立的x的取值范围是（　 ）
A.x≠2 B.x≥0 C.x＞2 D.x≥2
C
4.化简：
解：
课堂检测
（1）
（3）
（2）
（1）
（2）
（3）
基础巩固题
16.2 二次根式的乘除/
在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有 .若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．
解：当W=2400，R=100，t=15时，
课堂检测
能力提升题
（安培）
16.2 二次根式的乘除/
自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“ ”，而是“ ”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
按 计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
课堂检测
拓广探索题
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
而按 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
16.2 二次根式的乘除/
二次根式除法
法则
性质
拓展法则
相关概念
分母有理化
最简二次根式
课堂小结
16.2 二次根式的乘除/
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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