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专题01 二次根式
目 录
【考点一 判断是否为二次根式】 3
【考点二 已知二次根式求参数】 3
【考点三 二次根式有意义的条件】 3
【考点四 利用二次根式的性质化简】 4
【考点五 复合二次根式化简】 4
【考点六 最简二次根式】 6
【考点七 同类二次根式】 6
【考点八 二次根式四则混合运算】 6
【考点九 二次根式分母有理化】 7
【考点十 已知字母的值，化简求值】 9
【考点十一 二次根式比较大小】 10
【考点十二 二次根式中找规律问题】 11
【考点十三 二次根式的应用】 12
一般形如（）的代数式叫做 .
二次根式的双重非负性：，.
二次根式有意义的条件：.
最简二次根式满足的三个条件：
（1）被开方数的因数是 ，因式是整式；
（2）被开方数中不含有 因式；
（3）被开方数不含 。
5.二次根式化简一般步骤：
（1）把带分数或小数化成 ；
（2）把开方数分解成质因数或分解因式；
（3）把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
（4）化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
（5） 。
6.几个二次根式化成最 后，如果被开方数 ，这几个二次根式叫做 .
注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把 ，然后判断.
二次根式的运算公式
分母有理化又称 ，指的是在二次根式中分母原为无理数
如果分母是一个单项式，例如：.
如果分母是一个多项式，例如：.
二次根式的应用主要体现在两个方面：1.利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；2.利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值.
考点一 【判断是否为二次根式】
【例题1】（2023·广西南宁·期末）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练1-1】（2023·河北唐山·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（2023·河南商丘·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】（2023·山东德州·期末）在式子，，，，，中二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点二 【已知二次根式求参数】
【例题2】（2023·河北唐山·期末）若是正整数，最小的正整数n是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．2
【变式训练2-1】（2023·山东聊城·期末）已知是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练2-2】（2023·广西·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2-3】（2023·四川眉山·期末）若|x+2|+＝0，则的值为（　　）
A．5 B．﹣6 C．6 D．36
考点三 【二次根式有意义的条件】
【例题3】能使等式成立的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】（2024·河南安阳·模拟预测）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（2023·湖北恩施·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则m取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】（2023·山东威海·期末）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四 【利用二次根式的性质化简】
【例题4】（2023·河南驻马店·期末）如果，把式子中根号外的因式移到根号内后得（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】（2023·湖南邵阳·期末）化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】化简：的结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】（2023·河南商丘·期末）当时，化简的结果是（ ）
A．1 B． C．a D．
考点五 【复合二次根式的化简】
【例题5】（2023·江西新余·期末）先阅读下列解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简
解：首先把化为，这里，；由于，，即，
。
根据上述例题的方法化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练5-1】（2023·广东东莞·期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)试着把化成一个完全平方式．
(2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：．
【变式训练5-2】（2023·上海浦东新·期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
(1)填空：______，______；
(2)化简求值．
【变式训练5-3】（2023·河南信阳·期末）阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简．
解：．
依据上述计算，填空：
(1) ， ；
(2)根据上述方法求值：．
考点六 【最简二次根式】
【例题6】（2023·北京西城·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】（2023·广东江门·期末）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ．
【变式训练6-2】（2023·湖北武汉·期末）最简二次根式和最简二次根式的和为最简二次根式，则 ， ．
考点七 【同类二次根式】
【例题7】（2023·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
【变式训练7-1】（2023·江苏无锡·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【变式训练7-2】（2023·陕西西安·期末）若最简二次根式与可以合并，求的值．
【变式训练7-3】（2023·安徽蚌埠·期末）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根．
考点八 【二次根式的四则混合运算】
【例题8】（2023·天津滨海新·期末）计算：
(1)
(2)．
【变式训练8-1】（2023·湖北黄石·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练8-2】（2023·江西上饶·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式训练8-3】（2023·河南商丘·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点九 【分母有理化】
【例题9】（2023·北京西城·期末）阅读下列材料：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化．
②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，令则．这样我们不用求出a和b的值就可以得到要求的结果．
根据以上材料回答下列问题：
(1)计算：．
(2)已知n是整数，，，且．求n的值．
【变式训练9-1】（2023·广东汕头·期末）阅读下列解题过程：请回答下列问题：
，
，
．
(1)观察上面的解答过程，请写出 ；
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ；
(3)利用上面的解法，请化简：．
【变式训练9-2】（2023·广东珠海·期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
因为，所以
所以，即．所以．
所以．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：______；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【变式训练9-3】（2023·湖北黄石·期末）阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化．
解：原式．
运用以上方法解决问题：
(1)将分母有理化；
(2)比较大小：（在横线上填“>”、“<”或“=”）
________；
_________（，且n为整数）；
(3)化简：．
考点十 【已知字母的值，化简求值】
【例题10】（2023·湖南长沙·期末）设，．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【变式训练10-1】（2023·山东烟台·期末）已知，．
(1)分别求，的值；
(2)利用（1）的结果求下列代数式的值：
①；
②．
【变式训练10-2】（2023·广西崇左·期末）已知，，求的值．
考点十一 【二次根式比较大小】
【例题11】（2023·山西吕梁·期末）阅读下列解题过程，回答问题：
(1)化简：______，______；
(2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．
【变式训练11-1】阅读材料，并解决问题：
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式==（）．运用以上方法解决问题：
(1)将分母有理化；
(2)比较大小：（在横线上填“”、“”或“”）
①__________；
②__________（，且为整数）；
(3)化简：．
【变式训练11-2】（2023·湖北武汉·期末）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小．
∵ 又∵ 则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)的整数部分是________，的小数部分是_______；
(2)比较与的大小．
(3)已知，试用“比差法”比较与的大小．
考点十二【二次根式中规律问题】
【例题12】（2023·湖南长沙·期末）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______；
(2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
【变式训练12-1】（2023·安徽宣城·期末）观察下列等式：
①；②；③；…
解决下列问题：
(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子．
(2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律．
(3)利用上述结果计算：．
【变式训练12-2】（2023·江苏淮安·期末）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式，第2式，第3式，
第4式．
(1)根据规律填空：第5式______________；
(2)若，求的值；
考点十三 【二次根式的应用】
【例题13】（2023·安徽合肥·期末）现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B．
(1)裁出的正方形纸片A的边长为_____；
(2)求图1中阴影部分的面积；
(3)小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
【变式训练13-1】（2023·广西南宁·期末）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）
(1)求从高空抛物到落地的时间；
(2)已知高空抛物动能（单位：）（单位：）物体质量（单位）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
【变式训练13-2】（2023·浙江杭州·期末）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求：
(1)长方体盒子的底面积；
(2)长方体盒子的体积．
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专题01 二次根式
目 录
【考点一 判断是否为二次根式】 3
【考点二 已知二次根式求参数】 4
【考点三 二次根式有意义的条件】 6
【考点四 利用二次根式的性质化简】 7
【考点五 复合二次根式化简】 9
【考点六 最简二次根式】 13
【考点七 同类二次根式】 15
【考点八 二次根式四则混合运算】 16
【考点九 二次根式分母有理化】 20
【考点十 已知字母的值，化简求值】 25
【考点十一 二次根式比较大小】 27
【考点十二 二次根式中找规律问题】 31
【考点十三 二次根式的应用】 34
一般形如（）的代数式叫做二次根式.
二次根式的双重非负性：，.
二次根式有意义的条件：.
最简二次根式满足的三个条件：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；
（3）被开方数不含分母。
5.二次根式化简一般步骤：
（1）把带分数或小数化成假分数；
（2）把开方数分解成质因数或分解因式；
（3）把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
（4）化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
（5）约分。
6.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.
二次根式的运算公式
分母有理化又称有理化分母，指的是在二次根式中分母原为无理数
如果分母是一个单项式，例如：.
如果分母是一个多项式，例如：.
二次根式的应用主要体现在两个方面：1.利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；2.利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值.
考点一 【判断是否为二次根式】
【例题1】（2023·广西南宁·期末）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A、1不是二次根式，不符合题意；
B、不是二次根式，不符合题意；
C、是二次根式，符合题意；
D、不是二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式的定义
【变式训练1-1】（2023·河北唐山·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式；
B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式；
C、，含有三次根号，不是二次根式；
D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式．
【点睛】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
【变式训练1-2】（2023·河南商丘·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合二次根式的定义即可求解．
【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误；
B：在中，，符合题意，故正确；
C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误；
D：在中，根指数是3，不合题意，故错误；
故答案是：B．
【点睛】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．
【变式训练1-3】（2023·山东德州·期末）在式子，，，，，中二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义解答即可
【详解】，，故是二次根式；是二次根式；，则，故不是二次根式；，则故是二次根式；不是二次根式；，，故是二次根式；是多项式，故不是二次根式；
综上所述，是二次根式的式子一共有4个
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义即形如“”这样的式子是二次根式是解题关键．
考点二 【已知二次根式求参数】
【例题2】（2023·河北唐山·期末）若是正整数，最小的正整数n是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．2
【答案】B
【分析】根据题意，算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．
【详解】由，是正整数，所以n 的最小正整数是3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，利用开方运算是解答本题的关键．
【变式训练2-1】（2023·山东聊城·期末）已知是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．
【详解】解：，且是整数，
∴是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答
【变式训练2-2】（2023·广西·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据，若是整数，则一定是一个完全平方数，即可求解．
【详解】解：∵，是整数，
∴正整数n的最小值是5，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键．
【变式训练2-3】（2023·四川眉山·期末）若|x+2|+＝0，则的值为（　　）
A．5 B．﹣6 C．6 D．36
【答案】C
【分析】先根据非负数的性质求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵|x+2|+＝0，
∴x+2＝0，y－3=0，解得：x=﹣2，y=3，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
考点三 【二次根式有意义的条件】
【例题3】能使等式成立的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
【变式训练3-1】（2024·河南安阳·模拟预测）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得，进而可求解，熟练掌握：“被开方数是非负的”和“分母不为0”是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
解得：，
所以x的取值范围是．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式及分式有意义的条件
【变式训练3-2】（2023·湖北恩施·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则m取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的有意义的条件．
【变式训练3-3】（2023·山东威海·期末）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：由题意得
，即
解得：；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的有意义的条件．
考点四 【利用二次根式的性质化简】
【例题4】（2023·河南驻马店·期末）如果，把式子中根号外的因式移到根号内后得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据，结合二次根式的性质，推出，然后再按照二次根式的性质运算变形即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式训练4-1】（2023·湖南邵阳·期末）化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：且，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，二次根式的性质
【变式训练4-2】化简：的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意判断出a的符号，再把二次根式进行化简即可．
【详解】∵有意义，
∴，且
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的意义，分式的意义及二次根式的化简
【变式训练4-3】（2023·河南商丘·期末）当时，化简的结果是（ ）
A．1 B． C．a D．
【答案】B
【分析】此题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题关键．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题关键．
考点五 【复合二次根式的化简】
【例题5】（2023·江西新余·期末）先阅读下列解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简
解：首先把化为，这里，；由于，，即，
。
根据上述例题的方法化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据解答过程即可得解，
（2）将转化为，再根据解答过程即可得解，
（3）将转化为，再根据解答过程即可得解；
先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）
．
【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式
【变式训练5-1】（2023·广东东莞·期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)试着把化成一个完全平方式．
(2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简
【变式训练5-2】（2023·上海浦东新·期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
(1)填空：______，______；
(2)化简求值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论
（2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可．
【详解】（1）
，
，
故答案为：，；
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．
【变式训练5-3】（2023·河南信阳·期末）阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简．
解：．
依据上述计算，填空：
(1) ， ；
(2)根据上述方法求值：．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解；
（2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】（1）解：
；
；
故答案为：；；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式
考点六 【最简二次根式】
【例题6】（2023·北京西城·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断即可．
【详解】解：A．是最简二次根式，故A选项符合题意；
B．不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C．不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D．不是最简二次根式，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式的定义
【变式训练6-1】（2023·广东江门·期末）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可．
【详解】∵二次根式 有意义，
∴，
解得，
当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意；
当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意；
当时，二次根式的值为，是最简二次根式，
综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是2．
故答案为：2
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．
【变式训练6-2】（2023·湖北武汉·期末）最简二次根式和最简二次根式的和为最简二次根式，则 ， ．
【答案】 3 14
【分析】根据题意可以两个最简二次根式是同类二次根式，据此得到，解方程求出a的值，进而求出两个最简二次根式，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，最简二次根式于最简二次根式是同类二次根式，
∴,
解得，
当时，，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意；
当时，，原二次根式是最简二次根式，
∴，
∴,
故答案为： 3；14．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，最简二次根式的定义
考点七 【同类二次根式】
【例题7】（2023·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式，直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．
【详解】与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同类二次根式，直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．
【变式训练7-1】（2023·江苏无锡·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】3
【分析】根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．
【详解】，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．熟知同类二次根式的概念是解题关键．
【变式训练7-2】（2023·陕西西安·期末）若最简二次根式与可以合并，求的值．
【答案】
【分析】本题考查的是同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的概念列方程，解方程即可．
【详解】解：最简二次根式与可以合并，
与是同类二次根式，
，
．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，最简二次根式
【变式训练7-3】（2023·安徽蚌埠·期末）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根．
【答案】
【分析】求一个数的平方根，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此可得方程组，解方程组求出x、y的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：最简二次根式和是同类二次根式，
，，
即，
解得，
x、y的平方和为，
x、y平方和的平方根为．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义
考点八 【二次根式的四则混合运算】
【例题8】（2023·天津滨海新·期末）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先化简小括号内的二次根式，再计算小括号内的二次根式减法，最后计算二次根式除法即可；
（2）利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的乘法计算
【变式训练8-1】（2023·湖北黄石·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式性质先化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案；
（2）根据平方差公式、二次根式性质、二次根式除法运算先化简，再由有理数加减运算求解即可得到答案；
（3）根据二次根式乘法运算、化简绝对值及负整数指数幂计算，再由二次根式性质先化简，最后利用二次根式加减运算求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及平方差公式、二次根式性质、二次根式加减运算、二次根式乘除运算、化简绝对值、负整数指数幂等知识，熟练掌握二次根式性质及混合运算法则是解决问题的关键．
【变式训练8-2】（2023·江西上饶·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算零指数幂和化简绝对值，再计算加减即可；
（2）先利用平方差公式和二次根式的乘除法化简，再计算加减即可．
【详解】（1）解：；
解：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【变式训练8-3】（2023·河南商丘·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)17
【分析】（1）利用二次根式的乘法运算计算即可；
（2）利用二次根式的除法运算法则计算即可；
（3）首先对每一项进行化简，然后合并同类项即可；
（4）利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的运算．掌握二次根式的运算法则是解题关键．
考点九 【分母有理化】
【例题9】（2023·北京西城·期末）阅读下列材料：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化．
②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，令则．这样我们不用求出a和b的值就可以得到要求的结果．
根据以上材料回答下列问题：
(1)计算：．
(2)已知n是整数，，，且．求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先分母有理化，再合并即可；
（2）先求解，，再把原方程化为，再代入解方程并检验即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，，
∴，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；
【点睛】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解本题的关键
【变式训练9-1】（2023·广东汕头·期末）阅读下列解题过程：请回答下列问题：
，
，
．
(1)观察上面的解答过程，请写出 ；
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ；
(3)利用上面的解法，请化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】
（1）分子分母同乘，运用平方差公式计算即可；
（2）利用题目中式子的变化规律（等式左边为分子为1，分母为两邻两正整数的算术平方根的和，等式右边为这两相邻两整数的算术平方根的差）求解；
（3）根据找到的规律化简，然后合并即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：
（2）解：；
故答案为：
（3）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了数字变化规律型问题的解决方法
【变式训练9-2】（2023·广东珠海·期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
因为，所以
所以，即．所以．
所以．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：______；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)5
【分析】（1）分子，分母都乘以即可化简；
（2）先分母有理化，再算加减即可；
（3）小根据例子求出，得到，再变形计算代数式的值即可．
【详解】（1）．
故答案为：；
（2）
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式训练9-3】（2023·湖北黄石·期末）阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化．
解：原式．
运用以上方法解决问题：
(1)将分母有理化；
(2)比较大小：（在横线上填“>”、“<”或“=”）
________；
_________（，且n为整数）；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；
（2）先分母有理化，求出后进行判断即可；
（3）先分母有理化，最后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，，，
，
∵，，
∴，
故答案为：，；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解题的关键是能正确进行分母有理化．
考点十 【已知字母的值，化简求值】
【例题10】（2023·湖南长沙·期末）设，．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
（1）将所给数据直接代入求解即可；
（2）先利用完全平方公式整理，将所给数据代入求解即可．
【详解】（1）将，代入得
；
（2）
将，代入得
．
【点睛】本题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及能熟练地运用完全平方公式．
【变式训练10-1】（2023·山东烟台·期末）已知，．
(1)分别求，的值；
(2)利用（1）的结果求下列代数式的值：
①；
②．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）直接把x，y的值代入进行计算即可；
（2）把（1）中的，的值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
；
（2）由（1）知，，
①；
②．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式的运用，二次根式的混合运算，熟知二次根式的加减法则是解题的关键．
【变式训练10-2】（2023·广西崇左·期末）已知，，求的值．
【答案】
【分析】先求出，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值
考点十一 【二次根式比较大小】
【例题11】（2023·山西吕梁·期末）阅读下列解题过程，回答问题：
(1)化简：______，______；
(2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）仿照题意求解即可；
（2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，．
【详解】（1）解：
；
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小
【变式训练11-1】阅读材料，并解决问题：
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式==（）．运用以上方法解决问题：
(1)将分母有理化；
(2)比较大小：（在横线上填“”、“”或“”）
①__________；
②__________（，且为整数）；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据平方差公式将分子和分母都乘以，即可求出答案；
（2）先分母有理化，求出后进行判断即可；
（3）先分母有理化，最后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）①∵，
，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题考查分母有理化，平方差公式的应用，解的关键是能正确进行分母有理化．
【变式训练11-2】（2023·湖北武汉·期末）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小．
∵ 又∵ 则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)的整数部分是________，的小数部分是_______；
(2)比较与的大小．
(3)已知，试用“比差法”比较与的大小．
【答案】(1)5；
(2)；
(3)．
【分析】（1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解；
（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；
（3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分是5；
∴，
∴，
∴的整数部分是1，则的小数部分是，
故答案为：5；；
（2）解：，
∴；
（3）解：
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
考点十二【二次根式中规律问题】
【例题12】（2023·湖南长沙·期末）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______；
(2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
【答案】(1)①（答案不唯一）；②
(2)，见解析
【分析】（1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值；
（2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可．
【详解】（1）解：①根据已知等式的规律可写出：，…（答案不唯一，符合规律即可）．
②∵（a，b为正整数），
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：第一个等式为，即；
第二个等式为，即；
第三个等式为，即．
∴用含正整数的式子表示为：，
验证如下：
．
【点睛】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键．
【变式训练12-1】（2023·安徽宣城·期末）观察下列等式：
①；②；③；…
解决下列问题：
(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子．
(2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律．
(3)利用上述结果计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用题中等式的规律即可得到；
（2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式；
（3）利用（2）的结论得出的规律，再裂项计算即可．
【详解】（1）解：∵①；②；③；…
∴第⑥个式子为．
（2）根据题干规律可得：第n个式子为．
（3）根据（2）中规律可得：
原式
．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键．
【变式训练12-2】（2023·江苏淮安·期末）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式，第2式，第3式，
第4式．
(1)根据规律填空：第5式______________；
(2)若，求的值；
【答案】(1)
(2)80
【分析】（1）根据题意得出第5个式子即可；
（2）先总结出规律，再求出n的值即可．
【详解】（1）解：第1式，
第2式，
第3式，
第4式，
所以，第5个式子为：，
故答案为：
（2）解：由（1）可得：
∴
，
∴
解得，，
经检验，符合题意，
所以：．
【点睛】本题主要考查分母有理化
考点十三 【二次根式的应用】
【例题13】（2023·安徽合肥·期末）现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B．
(1)裁出的正方形纸片A的边长为_____；
(2)求图1中阴影部分的面积；
(3)小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不能截出，理由见解析．
【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长；
（2）先算出正方形纸片B的边长，再得出矩形的长，宽，运用面积和差关系列式计算，即可作答．
（3）先计算，则，据此即可作答．
【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为；
故答案为：；
（2）解：由题意得，截出的正方形纸片B的边长为，
则矩形的长为，宽为，
∴阴影部分的面积．
（3）解：不能截出，理由如下：
∵面积为的正方形纸片的边长为，
则，
∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式训练13-1】（2023·广西南宁·期末）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）
(1)求从高空抛物到落地的时间；
(2)已知高空抛物动能（单位：）（单位：）物体质量（单位）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
【答案】(1)3秒
(2)正确，计算见详解
【分析】（1）将代入计算即可；
（2）将代入计算求出，再将及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可．
【详解】（1）解：依题意，当时，
，
（2）解：正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：
当时，，
解得，
高空抛物动能，
这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【点睛】此题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解题意代入求值是解题的关键．
【变式训练13-2】（2023·浙江杭州·期末）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求：
(1)长方体盒子的底面积；
(2)长方体盒子的体积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题意可知长方体盒子的底面是边长为的正方形，即可得答案；
（2）根据长方体盒子的体积等于底面积×高，即可得到答案．
【详解】（1）解∶ 长方体盒子的底面积
；
（2）解∶长方体盒子的体积
．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形和根据二次根式的乘法法则求解．
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