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选择题解法选讲
黄石七中 2016届高三备课组
高考选择题注重的是多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现了考基础考能力的导向，使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。能否在选择题上获得高分，对高考数学成绩影响重大，因此解答选择题必须准确、迅速。准确是解答选择题的前提。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。迅速是赢得时间获取高分的必要条件。“超时失分”是造成低分的一大因素．对于选择题的答题时间，应该控制在50分钟以内，在保证准确的前提下速度越快越好。
选择题主要考查对基础知识的理解，基本技能的掌握，基本计算的准确，基本方法的运用，考虑问题的严谨，解题速度的快捷等方面，考查是否达到《考试说明》中的“了解、理解、掌握”三个层次的要求。历年高考选择题都采用“四选一”型，即选择项中只有一项是正确的。它包括两个部分：题干，由一个不完整的陈述句或疑问句构成；备选答案，通常由四个选项A，B，C，D组成。选择题的特殊结构决定了它具有相应的特殊作用与特点：由于选择题不需写出运算、推理等解答过程，在试卷上配选择题，可以增加试卷容量，扩大考查知识的覆盖面；阅卷简捷，评分客观。在一定程度上提高了试卷的效度与信度；侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力。选择题的迷惑性大，灵活性高，技巧性强，使得不少学生由于没有掌握解选择题的方法与技巧，没有足够的训练，解题针对性不强，速度缓慢，失误也多。对没有掌握好解选择题的方法、思路与技巧的学生，在解选择题过程中，往往直接从题干出发，单一的把选择题当作解答题来解，得出一个结论后再去和选择支对照，选出答案。这样做容易被选择支迷惑，难以甄别出正确答案，结果是错误率高，费时费力。产生这种结果的原因是：审题不清、不查选项、小题大做、思路单一。
一般地，解选择题的策略是：
①熟练掌握各种基本题型的一般解法；
②结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用常用方法与技巧解题；
③挖掘题目隐藏条件，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速作出正确选择。
经典例题解析
一、特殊化
例1：一个等差数列中Sn=48 S2n=60 那么S3n=
A．－24 B．84 C．72 D．36
解：取n=1 ∴ S1=a1=48 S2=a1+a2=60 ∴ a2=12
S3n=S3=a1+a2+a3=3 a2=36，选D
注:本题结论中不论n取何值，都是肯定的结论，因此结论与n无关，可取特殊而最简单的值n=1
例2：苦0＜|a|＜，那么
A．sin2a＞sina B．cos2a＞cosa C．tan2a＞tana D．cot2α＜cotα
分析：由0＜|a|＜可知0＜|a|＜ －＜a＜0，往往负角易于得出一些人们易于忽视的结果。
解：取a=可否定A、C、D，选B
例3：定义在R上的函数f(x)为减函数，若a+b≤0给出下列不等式
① f(a)f(－a)≤0 ② f(b)f(－b)≥0 ③ f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)
④ f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b) ，其中正确的不等式的序号是（ ）
A．①②④ B．①④ 　 C．②④　 D．①③
解：取f(x)=－x ∴ f(a)f(－a)=－a·a=－a2≤0 ∴C排除 同理可知②不正确 ∴A排除f(a)+f(b)=－a－b=－(a+b)≥0 f(－a)+f(－b)=a+b≤0 ∴④成立
∴D排除因此选（B）
选取最简单的，满足条件的函数f（x）=－x是关键
例4：{an} 是等比数列a1＞0 q＞0，那么数列{logan}是（ ）
A．递增等比数列 B．递减等比数列 C．递增等差数列D．递减等差数列
解：取an=3n ∴bn= logan=－ log33n=－n ∴选（D）
例5在直三棱柱ABC－A1B1C1中，则棱AA1、BB1上各有一个动点P、Q满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面，把三棱柱分成两部，那么，其体积比为
A．3：1 B．2：1 C．3：1 D．：1
解：使P重合于A1，Q重合于B， ∴ VABC－A= ∵截面把三棱柱分成两部分，体积之比为2：1 ∴选（B）
此处把P、Q选在两个符号条件的特殊位置，便于体积计算。
例6：过y=ax2（a＞0）的焦点F作直线，交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，那么=
A．2a B． C．4a D．
解：取PQ⊥y轴
∵x2= ∴F（0，） ∴=a·x2 ∴x=±
∴p=q= ∴=4a ∴选（C）
例7：双曲线b2x2－a2b2=a2b2(a＞b＞0)的浙近线夹角为α ，离心率为e，那么cos=( )
A．e B．e2 C． D．
解：取双曲线为 ∴a2=4， b2=1 c2=5 e= tan
1+tan2 ∵1+ ∴ cos2 cos ∴选（C）
二、图解法
例1：已知α、β都是第二象限的角且cosα＞cosβ，那么
A．α＜β B．sinα＞sinβ
C．tanα＞tanβ D．cotα＜cotβ
解：在第二象限作α、β使cosα＞cosβ cosα=OM
cosβ=ON 满足已知条件 sinα=MA sinβ=NB
∴ sinα＞sinβ ∴ 选（B）
例2：如果不等式≥x(a＞0)的解集为{x|m≤x≤n}
是|m－n|=2a，那么a的值是（ ）
A．1 B．5 C．4 D．3
解：作y=的图象C1和y=x的图象C2 C1是
顶点为A（－a，0）抛物线的上半部，C2是直线y=x
设C1、C2交于B（t，t） ∵＞x
∴ C1在C2的上方 即抛物线在A、B间的弧线
又∵解集为{x|m≤x≤n} ∴ m=－a n=t ∵ |m－n|=2a
∴ |－a－t|=2a ∴ t=a ∴ B(a,a)代入=x得=a ∴a=2 ∴选（B）
例3：已知直线l：ax+y+2=0，P（－2，3），Q（3，2）为两个定点，若线段PQ与直线相交，那么a 的取值范围是（ ）
A．a≥或a≤ B．≤a≤
C．－≤a≤ D．a≥或a≤－
解：l是过定点M(0，－2)的直线系，其斜率为k=－a，设线段PQ与y轴交于T。
KMQ= KMP= 若直线在Q、T之间－a≥ a≤－ 若直线在P、T之间－a≤ 即a≥ 因此选（D）
例4：若不等式x2－logax≤0在（0，）内恒成立，则a的取值范围是
A． B．0＜a＜
C．0＜a＜1 D．a＞1
解：作y=x2的图象C1， y= logax的图象C2
∵在（0，）内x2 ≤togax恒成立 ∴在（0，）内C2必须在C1上方，C1和C2交于A（）当C2过A时， ∴ a= ∴≤a＜1 ∴选A
例5：已知f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，f(－3) =0
那么xf(x)＜0的解集是（ ）
A．x|x＜－3或0＜x＜3 B．x|x＜－3或x＞3
C．x|－3＜x＜0或0＜x＜3 D．x|－3＜x＜0或x＞3
解：f(－3)=0 ∴f(3)=0 f(x)为奇函数在（0，+∞）为增函数作f(x)的示意图 ∵xf(x)＜0
x＞0 x＜0
∴ 或
f(x)＜ 0 f(x)＞0
∴解集为x|0|＜x＜3或－3＜x＜0 选（C）
例6：已知f(x)=|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c) ＞f(b)，那么必有
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0
C．2－a＜2－c D．2a+2c＜2
解：显然A（1，1）在f(x)的图象上，f(x)= 2x－1 x≥0
1－2x x＜0 f(x)的图象
当x＜0时y=1为其浙近线， 当?x＞0时f(x)的虚线部分以y=－1为其浙近线
∵a＜b＜c f(a) ＞f(c) ＞f(b)
若c≥1 ∴ f(c) ＞1 ∴ f(a) ＞f(c) ＞1
∴ a＞1 ∴ 1＜a＜b＜c
此时f(x)为增函数与?f(a) ＞f(c) ＞f(b)矛盾 ∴ c＜1
∴a＜b＜c＜1 由图象知 2a＜1 2c＜1 ∴ 选（D）
例7：y=sin(2x+)一条对称轴是（ ）
A．x=－ B．x=－ C．x = D．x=
解：作y=sin(2x+)的示意图，由图知对称轴
方程为2x+=+K(KZ)
∴x =－+ KZ
取K=1 x= ∴选（A）
三、排除法
例1：椭圆b2 x2 + a2 y2 = a2 b2与x轴、y轴正向分别交于A、B、两点，P是椭圆上第一象限内的点，那么四边OAPB面积的最大值为（ ）
A．ab B．ab C．ab D．2ab
解：SOAPB＞S△OAB=ab 排除C SOAPB＜ab ∴排除A．D
因此选（C）
例2：x为△ABC的最小内角的大小，那么y=sinx+cosx的值域是（ ）
A．（1， B．(0,
C．[,] D．(,
解：作x的三角函数线
y=OM+MP＞1排除B、C、D ∴选（A）
例3：已知f(x)与g(x)的图象和右图所示
那么F（x）=f(x)g(x)的图象
可以是
解：f(x)为奇函数，g(x)为奇函数 ∴F（x）为偶函数 排除D
当x →0+，f（x）→0－，g(x) →+∞ ∴F（x）＜0 排除B．C ∴选（A）
四、换元与转化法
例1：若a、bR a2+b2=10，那么a－b的范围是（ ）
A．[0，] B．[，] C．[－，] D[－，]
解：a=sin b=cos a－b=( sin－cos)
∴ a－b=sin(－) ∴选（D）
例2：已知=，则=
A． B．－ C．－ D．
解：令t=2x ∵x →0 ∴t →0
∵= 　∴ ∴
∴ =选（D）
例3：已知2003Z+|Z|Z=2006i W=，那么|W|=
A．2003 B．2006 C．1 D．以上都不对
解：Z= ∴Z为纯虚数 设4Z=bi bR
∴W= ∴=1
例4：已知，那么2x+3y具备
A．最大值5，最小值－5 B．最大值 ，最小值－
C．最大值，最小值－ D．最大值，最小值－
解：令x=2cos y=sin (0≤＜2)
∴ 2x+3y=4cos+ ∴选（C）
五、从显著特点入手
例1．已知K为常数，若双曲线的焦矩与K的取值无关，那么K的取值范围是（ ）
A：－2＜k＜2 B．k＞5 C．－2＜k≤0 D．0≤k＜2
解：（k－5）(2－|K|)＜0 ∴ K－5＞0 或 5－K＞0
|K|－2＞0 2－|K|＞0
∴C2=a2+b2=k－5+|k|－2=k－5+k－2与个有关
C2=a2+b2=5－k+2－|k| ∴ k≤0 ∴选（C）
例2：f(x)=xsinx若x1.x2时，f(x1)＞f(x2)则下列结论成立的是
（A）x1＞x2 (B) x1 +x2＞0 (C) x1＜x2 （D）x12＞x22
解：∵f(x)=为偶函数 若0＜x2＜ x1＜ ∴0＜sinx2＜sinx1
∴x1sinx1＞x2sinx2 满足f(x1) ＞f(x2)排除B、C
由前面推理，显而易见A不成立 ∴选（D）
例3．若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，那么m的取值范围是
A．（0，1） B．（1，∞） C．（0，5） D（5，∞）
解： ∴
∴0＜e=＜1 ∴m＞5 ∴选（D）
例4：数列{an}满足an+1=an－an－1 (n≥2) a1=t，a2=s，前n项和Sn,那么下列结论正确的是
A．a100=－t s100=s－t B．a100=－s s100=s－t
C．a100=－t s100=2s－t D．a100=－s s100=2s－t
解：∵a1=t a2=s an+1=an－an－1
∴ a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8依次为t s s－t －t －s －s+t t s
∴ {an}是以6为周期的数列，a100=a16×6+4=a4= －t
a1+a2+a3+a4+a5+a6 =0 ∴s100= a1+a2+a3+a4=2s－t ∴选（C）
例5：长方形ABCD中， A（0，0） B（2，0） C（2，1） D（0，1） 一质点从AB之中点PO沿与AB的夹角为的方向射到BC上一点P1后，依次反射到CD、DA、AB上的P2、P3、P4点，设P4（x0，0）若1＜x0＜2那么tanθ的取值范围是
A．（，0） B．（，） C．（，） D．（，）
解：A、B、C、D四个选项中，仅有C中不含， |BC|=|AB|也恰好有若tanθ=，∵P0为AB之中点 ∴P1为BC之中点，同理P2、P3、P4均为中点
∴ x0=1 此与1＜x0＜2矛盾 ∴ tanθ≠ ∴选（C）
例6：y=2sinx－cosx(0≤x≤)的最大值是
A． B． C．1 D．2
解：∵ 0≤x≤kg sinx为增函数，cosx为减函数
∴y=2sinx－cosx在[0，]上为增函数 ∴选（D）
六、运用相关概念
例1：若（a＞b＞0）恒过定点（2，1）那么
A．a＞ B．1＜a＜2 C．a＞5 D．2＜a＜
解：由条件知： ∵a＞b＞0 ∴
∴ ＞ ∴＜1 ∴a＞ 选（A）
例2：已知为x轴上一点，若有最小值，那么P点坐标是（ ）
A．（－3，0） B．（3，0） C．（2，0） D．（4，0）
解：设P（x，0）∵－=
+而
为已知值
∴只须x2－6x取最小值即可 此时x = 3 ∴选（B）
例3：f（x）、g（x）分别是R上的奇函数与偶函数，g（－3）=0 当x＜0时f′（x）g(x)+f(x)g′(x)＞0，那么f(x)g(x)＜0的解集是
A．（－3，0）∪（3+∞） B．（－3，0）∪（0，3）
C．（－）∪（3，+∞） D．（－）∪（0，3）
解：设F（x）=f（x）g（x）
∵f（x），g（x）分别是R上的奇函
数与偶函数 ∴F（－x）=f（－x）
g（x）=－f（x）g（x）=－F（x）
∴F（x）为奇函数
∴F′（x）=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 依题意x＜0时 F′（x）＞0
∴当x＜0时F（x）为增函
数x＞0时亦为增 F（－3）=f(－3)g(－3)=0∴ F(3)=0
∴ f(x)g(x)＜0的解集为（D）
例4：三棱维ABCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到侧棱AB的距离相等，那么动点P在△ABC内的轨迹可能是
A B C D
解：作∠ABC的平分线BE，
在BE上任取一点M，过M作
MG⊥AB于O，作MN⊥BC于N。
∴MG=MN 过M
作MO⊥平面BCD于O
∴MO＜MN
∴P不在BE上
若点P在BE的下方 PO＜PN＜PG ∴P不在PE的下方 ∴选（D）
例5：某地第一季度应聘和招聘人数排名前5名的行业的情况如下表：
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215830
200250
154676
74570
65280
行业名称
计算机
营销
机械
建筑
化工
招聘人数
124620
102935
89115
76516
70436
根据表格中数据，就业形势一定是
A．计算机行业好于化工行业 B．建筑业好于物流业
C．机械行业最紧张 D．营销行业比贸易行业紧张
解：计算机行业录取率大约为
化工行业应聘人数＜65280 ∴化工行业录取率＞ ∴排除A
建筑行业应聘人数＜65280 ∴建筑行业录取率＞
物流业招聘人数＜70436 ∴物流业录取率＜ ∴选（B）
机械行业招聘人数＜70436 ∴机械行业录取率＜
由此不能说明机械行业最紧张，因为物流业和贸易的招聘人数可能很少很少
∴ 排除C
例6：已知f(x)=ax2+x对于任意x1、x2R 若恒成立，那么a的取值范围是
A．a≥0 B．a≤0
C．a＞0 D．a＜0
解：∵对行任意x1、x2R，那么f(x)为凸向上函数∴a＜0 当a=0时 f(x)=x 显然满足条件 ∴选（B）
填空题解答方法
填空题又叫填充题，通常是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等。根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成三种类型：
一是定量型，如果从主干信息出发，通过基本运算所导出的结论是填写某个数值、数的集合或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等，那么这样的填空题就是定量型数学填空题。定量型数学填空题主要是以计算为主，推导的结论与数量有关。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。
二是定性型，如果从主干信息出发，充分地联系隐含信息，所推导的结论是填写有关数学对象的性质、概念及其关系，那么这样的填空题就是定性型数学填空题。定性型数学填空题主要是以推理判断为主，所判断的对象与数学概念、性质或关系有关。
三是混合型，如果从主干信息出发，充分地联系隐含信息，所推导的结论兼有填写定量、定性的结论，那么这样的填空题就是混合型数学填空题。混合型数学填空题一般多用于判断集合的关系、求函数的单调区间、求外接球的半径等问题。
填空题和选择题的区别在于：
（1）填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误干扰的好处，但又有缺乏提示帮助的不足之处，对考生独立思考和求解，在能力要求上往往会高一些．
（2）填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填写，考查方式比较灵活．
（3）在对题目的阅读理解上，有时会显得比选择题费解。
填空题与解答题的区别：
（1）求解解答题时，考生不仅要提供出答案，还必须写出解答过程；填空题则无此要求，只要准确填写结果。
（2）试题内涵不同，填空题的考点少，目标集中，而解答题比填空题要丰富得多。
填空题可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解及对数量问题的计算能力和推理判断能力。在解答填空题时，基本要求是：正确、迅速、合理、简捷。一般来讲，每道题都应力争在3分钟左右完成。填空题只要求填写结果，每道题填对了得满分，填错了得零分，和选择题相比没有四个选择支的提示，所以，考生在填空题上失分一般比选择题和解答题严重。为此，我们很有必要探讨填空题的解答策略和方法。
高中数学填空题的解法主要有如下三种：直接法，图象法（数形结合法），特例法，下面分别进行讲述。
经典例题解析
类型一：直接法
直接从题设条件出发，运用相关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理、运算，得出结论的方法叫直接法。
1、(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.
【答案】2
【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。
【解析】∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝.
∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，
即ta·b＋(1－t)b2＝0.
∴＋1－t＝0.
∴t＝2.
2、(2014课标全国Ⅰ，理16) 已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .
【答案】：
【考点】本题主要考查解三角的正弦定理和余弦定理的灵活运用。
【解析】：由且 ，
即，由及正弦定理得：
∴，故，∴，∴
，∴，
类型二：特例法
1、(2015课标全国Ⅰ，理13)若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a=
【答案】1
【考点】本题主要函数的奇偶性
【解析】可以用特值
2、 若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是
解析　　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；
因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．
综上所述，答案是① ③
类型三：图像法
1、(2013课标全国Ⅰ，文14)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为______．
【答案】3
【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。
【解析】画出可行域如图所示．
2、(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．
【答案】
【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。
【解析】如图，
设球O的半径为R，则AH＝，OH＝.
又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.
∵在Rt△OEH中，R2＝，∴R2＝.
∴S球＝4πR2＝.

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