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第三章
§3.2　导数与函数的单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
课标要求
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区 间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上_________
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上_________
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是_________
单调递增
单调递减
常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的　　　　；
第2步，求出导数f′(x)的　　　；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
定义域
零点
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.
(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
√
√
√
×
2.(选择性必修第二册P86例2改编)(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是
A.在区间(－2,1)上f(x)单调递增
B.在区间(2,3)上f(x)单调递减
C.在区间(4,5)上f(x)单调递增
D.在区间(3,5)上f(x)单调递减
√
√
在区间(3,5)上，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，故f(x)在区间(3,4)上单调递减，在区间(4,5)上单调递增，C正确，D错误；
在区间(2,3)上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减，B正确.
3.(选择性必修第二册P97习题5.3T2(4)改编)已知f(x)＝x3＋x2－x的单调递
增区间为_______________________.
4.已知f(x)＝2x2－ax＋ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
(－∞，5]
故只需4x2－ax＋1≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，
返回
第二部分
探究核心题型
题型一　不含参函数的单调性
例1　(1)函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________.
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x－2，
当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，
当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(0，e2).
(0，e2)
(0,1)
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1).
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
跟踪训练1　已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为
√
由题意f(x)＝xsin x＋cos x，x∈[0,2π]，
则f′(x)＝xcos x，
题型二　含参数的函数的单调性
例2　已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性.
g(x)的定义域为R，
g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，
令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2，
①若a>ln 2，
则当x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，
当x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，
在(ln 2，a)上单调递减；
②若a＝ln 2，则g′(x)≥0恒成立，
∴g(x)在R上单调递增；
③若a则当x∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0，
当x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，
在(a，ln 2)上单调递减.
综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；
当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增；
当a(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
则f(0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线方程为y＝2x.
(2)求函数f(x)的单调区间.
函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).
令f′(x)＝0，解得x＝a＋1.
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；
②当a＋1<－1，即a<－2时，
令f′(x)<0，则x∈(－∞，a＋1)∪(－1，＋∞)，
令f′(x)>0，则x∈(a＋1，－1)，
函数f(x)的单调递减区间为(－∞，a＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a＋1，－1)；
③当a＋1>－1，即a>－2时，
令f′(x)<0，则x∈(－∞，－1)∪(a＋1，＋∞)，
令f′(x)>0，则x∈(－1，a＋1)，
函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(a＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a＋1).
综上所述，当a＝－2时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；
当a<－2时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，a＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a＋1，－1)；
当a>－2时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(a＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a＋1).
题型三　函数单调性的应用
命题点1　比较大小或解不等式
例3　(1)(多选)(2024·深圳模拟)若0√
√
令f(x)＝ex－ln(x＋1)且x∈(0,1)，
故f(x)在区间(0,1)上单调递增，
因为0即　－ln(x1＋1)<　 －ln(x2＋1)，
故f(x)在区间(0,1)上单调递减，
因为0f(x2)，
即 ，故 ，
所以C正确，D错误.
常见组合函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.
A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x
√
√
√
依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.
对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcos x，
故D中函数不是“F函数”.
(2)(2023·成都模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集为___________.
(1，＋∞)
令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x，
定义域为R，且g(－x)＝e－x－ex＋2x＝－g(x)，
所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x为奇函数，
f(2x－3)＋f(x)>2变形为f(2x－3)－1>1－f(x)，即g(2x－3)>－g(x)＝g(－x)，
当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，
所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x在R上单调递增，所以2x－3>－x，解得x>1，
所以所求不等式的解集为(1，＋∞).
命题点2　根据函数的单调性求参数
(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立.
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集.
跟踪训练3　(1)(2024·郑州模拟)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f′(x)，则f(x)·f′(x)>0的解集为
A.(1,6) 　 B.(1,4)
C.(－∞，1)∪(6，＋∞) 　 D.(1,4)∪(6，＋∞)
√
由图象可得，
当x<4时，f′(x)>0，当x>4时，f′(x)<0.
结合图象可得，当10，f(x)>0，
即f(x)·f′(x)>0；当x>6时，f′(x)<0，f(x)<0，
即f(x)·f′(x)>0，
所以f(x)·f′(x)>0的解集为(1,4)∪(6，＋∞).
(2)已知函数f(x)＝(1－x)ln x＋ax在(1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)
C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
√
故f′(x)在(1，＋∞)上有零点，
返回
由x>1，得z′(x)>0，z(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又由z(1)＝0，得z(x)>0，故a＝z(x)>0，
所以a的取值范围是(0，＋∞).
课时精练
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一、单项选择题
1.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是
A.(－∞，2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2，＋∞)
√
由已知得，f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
当x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间是(2，＋∞).
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2.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示， 则函数y＝f(x)的图象可能是
√
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根据导函数的图象可得，
当x<0时，f′(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当00，
f(x)在(0,2)上单调递增；
当x>2时，f′(x)<0，
f(x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以只有D选项符合.
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3.(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝ ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
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由题意知，f′(x)＝ax2＋2x＋1，
若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，
故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件.
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4.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为
A.e2 B.e C.e－1 D.e－2
√
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设g(x)＝xex，x∈(1,2)，
所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，
所以g(x)在(1,2)上单调递增，
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5.(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋sin x，则不等式f(2x－1)√
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当x≥0时，f′(x)＝ex＋cos x，
因为ex≥1，cos x∈[－1,1]，
所以f′(x)＝ex＋cos x≥0在[0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(－π)＝f(π)＝eπ，所以由f(2x－1)1
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A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
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设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R，
则f′(x)＝ex－1，
当x<0时，f′(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)＝0，
即ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，
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∵ex≥1＋x，
∴b>a，
由以上分析可知当x>0时，有ex－1≥x成立，当x＝1时取等号，
即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，
∴a>c，故b>a>c.
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二、多项选择题
7.(2023·临汾模拟)若函数f(x)＝ x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可以是
A.1 B.2 C.3 D.4
√
√
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令f′(x)>0，得x>3，令f′(x)<0，得0所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0,3)，
因为函数f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，
解得11
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A.a>b B.b>a
C.c>b D.c>a
√
√
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当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
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三、填空题
9.函数f(x)＝e－xcos x(x∈(0，π))的单调递增区间为________.
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则f′(x)<0；
则f′(x)>0，
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10.若函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为__________________________.
由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋1，
函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，
则函数f(x)＝x3＋bx2＋x有两个极值点，
即f′(x)＝3x2＋2bx＋1的图象与x轴有两个交点，
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11.(2024·上海模拟)已知定义在(－3,3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f′(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式 >0的解集为__________________.
(－3，－1)∪(0,1)
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依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，f(x)在区间(－3，－1)，(1,3)上单调
递减，f′(x)<0；
f(x)在区间(－1,1)上单调递增，f′(x)>0.
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12.已知函数f(x)＝ －2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a
的取值范围是________.
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若函数f(x)在[1,2]上单调，
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四、解答题
13.(2024·毕节模拟)已知函数f(x)＝(a－x)ln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
根据题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(1)＝0，
∴f′(1)＝a－1，
∴曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(a－1)(x－1).
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(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.
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f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令g(x)＝－xln x－x＋a，
则g′(x)＝－ln x－2，
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∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
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14.(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋1.
(1)若f(x)≤x＋c，求c的取值范围；
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f(x)≤x＋c等价于ln x－x≤c－1.
令h(x)＝ln x－x，x>0，
当00，
所以h(x)在(0,1)上单调递增；
当x>1时，h′(x)<0，
所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减.
故h(x)max＝h(1)＝－1，
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所以c－1≥－1，即c≥0，
所以c的取值范围是[0，＋∞).
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令m(x)＝x－a－xln x＋xln a，
则m′(x)＝ln a－ln x，
当x>a时，ln x>ln a，
所以m′(x)<0，m(x)在(a，＋∞)上单调递减，
当01
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所以m′(x)>0，m(x)在(0，a)上单调递增，
因此有m(x)即 g′(x)<0在x>0且x≠a上恒成立，
所以函数g(x)在区间(0，a)和(a，＋∞)上单调递减.
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即x1f(x1)令g(x)＝xf(x)＝ex－ax2，
则g(x1)又因为0所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g′(x)＝ex－2ax≥0在(0，＋∞)上恒成立，
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则只需2a≤h(x)min，
令h′(x)>0，得x>1，令h′(x)<0，得0所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝e，故2a≤e，
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16.已知偶函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，当x＞0时， ＞－f′(x)，且f(2)＝1，则不等式(x2－x)f(x2－x)＞2的解集为
A.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D.(－1,2)
√
令g(x)＝xf(x)，
由于f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数，
所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x).
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所以f(x)＋xf′(x)＞0，即g′(x)＞0.
所以当x＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
因为g(x)在R上为奇函数且在R上存在导函数，所以g(x)在R上为增函数.
因为f(2)＝1，所以g(2)＝2f(2)＝2，
又(x2－x)f(x2－x)＞2等价于g(x2－x)＞g(2)，
所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.
综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
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返回§3.2　导数与函数的单调性
课标要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　√　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　×　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　√　)
2.(选择性必修第二册P86例2改编)(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增
B．在区间(2,3)上f(x)单调递减
C．在区间(4,5)上f(x)单调递增
D．在区间(3,5)上f(x)单调递减
答案　BC
解析　在区间(－2,1)上，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，故f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，A错误；在区间(3,5)上，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，故f(x)在区间(3,4)上单调递减，在区间(4,5)上单调递增，C正确，D错误；在区间(2,3)上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减，B正确．
3．(选择性必修第二册P97习题5.3T2(4)改编)已知f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为________．
答案　(－∞，－1)，
解析　令f′(x)＝3x2＋2x－1>0，解得x>或x<－1，所以f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为(－∞，－1)和.
4．已知f(x)＝2x2－ax＋ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，5]
解析　f′(x)＝4x－a＋＝，x∈(1，＋∞)，
故只需4x2－ax＋1≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，
则a≤4x＋在x∈(1，＋∞)上恒成立，
令y＝4x＋，
因为y′＝4－＝>0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以y＝4x＋在(1，＋∞)上单调递增，
故4x＋>5，所以a≤5.
题型一　不含参函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________．
答案　(0，e2)
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x－2，
当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，
当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．
(2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________．
答案　(0,1)
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，
令φ(x)＝－ln x－1(x>0)，
φ′(x)＝－－<0，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．
思维升华 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A. B.
C．(π，2π) D.
答案　B
解析　由题意f(x)＝xsin x＋cos x，x∈[0,2π]，
则f′(x)＝xcos x，
当x∈∪时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)的单调递减区间为.
题型二　含参数的函数的单调性
例2 已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．
解　g(x)的定义域为R，
g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，
令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2，
①若a>ln 2，
则当x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，
当x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，
在(ln 2，a)上单调递减；
②若a＝ln 2，则g′(x)≥0恒成立，
∴g(x)在R上单调递增；
③若a则当x∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0，
当x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，
在(a，ln 2)上单调递减．
综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；
当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增；
当a思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
跟踪训练2 (2023·北京模拟)已知函数f(x)＝.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解　(1)当a＝0时，f(x)＝(x≠－1)，
则f(0)＝0，
因为f′(x)＝，所以f′(0)＝2.
所以曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线方程为y＝2x.
(2)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝a＋1.
①当a＋1＝－1，即a＝－2时，f′(x)＝＝＝<0，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；
②当a＋1<－1，即a<－2时，
令f′(x)<0，则x∈(－∞，a＋1)∪(－1，＋∞)，
令f′(x)>0，则x∈(a＋1，－1)，
函数f(x)的单调递减区间为(－∞，a＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a＋1，－1)；
③当a＋1>－1，即a>－2时，
令f′(x)<0，则x∈(－∞，－1)∪(a＋1，＋∞)，
令f′(x)>0，则x∈(－1，a＋1)，
函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(a＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a＋1)．
综上所述，当a＝－2时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；
当a<－2时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，a＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a＋1，－1)；
当a>－2时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(a＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a＋1)．
题型三　函数单调性的应用
命题点1　比较大小或解不等式
例3 (1)(多选)(2024·深圳模拟)若0A．>ln
B．C．
D．
答案　AC
解析　令f(x)＝ex－ln(x＋1)且x∈(0,1)，
则f′(x)＝ex－>0，
故f(x)在区间(0,1)上单调递增，
因为0即－ln(x1＋1)<－ln(x2＋1)，
故>ln ，所以A正确，B错误；
令f(x)＝且x∈(0,1)，则f′(x)＝<0，
故f(x)在区间(0,1)上单调递减，
因为0f(x2)，
即，故，
所以C正确，D错误．
常见组合函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．
典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
答案　ACD
解析　依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数．
对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0，
当x∈时，g′(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，g′(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故D中函数不是“F函数”．
(2)(2023·成都模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集为________．
答案　(1，＋∞)
解析　令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x，
定义域为R，且g(－x)＝e－x－ex＋2x＝－g(x)，
所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x为奇函数，
f(2x－3)＋f(x)>2变形为f(2x－3)－1>1－f(x)，即g(2x－3)>－g(x)＝g(－x)，
g′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，
当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，
所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x在R上单调递增，所以2x－3>－x，解得x>1，
所以所求不等式的解集为(1，＋∞)．
命题点2　根据函数的单调性求参数
例4 已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)．
(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解　(1)因为f(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．设G(x)＝－，x∈[1,4]，所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因为x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－，
又因为a≠0，所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．
(2)因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
则f′(x)<0在[1,4]上有解，所以当x∈[1,4]时，a>－有解，
又当x∈[1,4]时，min＝－1(此时x＝1)，
所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集．
跟踪训练3 (1)(2024·郑州模拟)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f′(x)，则f(x)·f′(x)>0的解集为(　　)
A．(1,6) 　 B．(1,4)
C．(－∞，1)∪(6，＋∞) 　 D．(1,4)∪(6，＋∞)
答案　D
解析　由图象可得，
当x<4时，f′(x)>0，当x>4时，f′(x)<0.
结合图象可得，当10，f(x)>0，即f(x)·f′(x)>0；当x>6时，f′(x)<0，f(x)<0，即f(x)·f′(x)>0，
所以f(x)·f′(x)>0的解集为(1,4)∪(6，＋∞)．
(2)已知函数f(x)＝(1－x)ln x＋ax在(1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　A
解析　依题意f′(x)＝－ln x＋＋a－1，
故f′(x)在(1，＋∞)上有零点，
令g(x)＝－ln x＋＋a－1，
令g(x)＝0，得a＝ln x－＋1，
令z(x)＝ln x－＋1，则z′(x)＝＋，
由x>1，得z′(x)>0，z(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又由z(1)＝0，得z(x)>0，故a＝z(x)>0，
所以a的取值范围是(0，＋∞)．
课时精练
一、单项选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案　A
解析　由已知得，f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
当x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间是(2，＋∞)．
2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示， 则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　根据导函数的图象可得，
当x<0时，f′(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当00，
f(x)在(0,2)上单调递增；
当x>2时，f′(x)<0，
f(x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以只有D选项符合．
3．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由题意知，f′(x)＝ax2＋2x＋1，
若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，
则解得a≥1，
故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件．
4．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为(　　)
A．e2 B．e C．e－1 D．e－2
答案　C
解析　依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，
所以xex≥在(1,2)上恒成立，
设g(x)＝xex，x∈(1,2)，
所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，
所以g(x)在(1,2)上单调递增，
g(x)>g(1)＝e，故e≥，
即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.
5．(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋sin x，则不等式f(2x－1)A. B.
C. D.
答案　D
解析　当x≥0时，f′(x)＝ex＋cos x，
因为ex≥1，cos x∈[－1,1]，
所以f′(x)＝ex＋cos x≥0在[0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(－π)＝f(π)＝eπ，
所以由f(2x－1)解得x∈.
6．(2023·信阳模拟)已知a＝，b＝，c＝ln ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案　B
解析　设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R，
则f′(x)＝ex－1，
当x<0时，f′(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)＝0，
即ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，
∵ex≥1＋x，
∴>1－＝，
∴b>a，
由以上分析可知当x>0时，有ex－1≥x成立，当x＝1时取等号，
即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，
∴ln <－1＝，
∴a>c，故b>a>c.
二、多项选择题
7．(2023·临汾模拟)若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可以是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　BD
解析　f′(x)＝x－＝(x>0)，
令f′(x)>0，得x>3，令f′(x)<0，得0所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0,3)，
因为函数f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，
所以或m－1≥3，
解得18．(2024·邯郸模拟)已知函数f(x)＝ln x，且a＝f ，b＝f ，c＝，则(　　)
A．a>b B．b>a
C．c>b D．c>a
答案　ACD
解析　由f(x)＝ln x，
得f′(x)＝ln x＋，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因为c＝f ，0<<<<1，
所以f >f >f ，故c>a>b.
三、填空题
9．函数f(x)＝e－xcos x(x∈(0，π))的单调递增区间为________．
答案　
解析　f′(x)＝－e－xcos x－e－xsin x＝－e－x(cos x＋sin x)＝－e－xsin，
当x∈时，e－x>0，sin>0，
则f′(x)<0；
当x∈时，e－x>0，sin<0，
则f′(x)>0，
∴f(x)在(0，π)上的单调递增区间为.
10．若函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为________．
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋1，
函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，
则函数f(x)＝x3＋bx2＋x有两个极值点，
即f′(x)＝3x2＋2bx＋1的图象与x轴有两个交点，
则判别式Δ＝4b2－12>0，解得b>或b<－.
所以实数b的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．
11．(2024·上海模拟)已知定义在(－3,3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f′(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式>0的解集为________．
答案　(－3，－1)∪(0,1)
解析　依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，f(x)在区间(－3，－1)，(1,3)上单调递减，f′(x)<0；
f(x)在区间(－1,1)上单调递增，f′(x)>0.
所以>0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
12．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　f′(x)＝－4x＋，
若函数f(x)在[1,2]上单调，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，
又a>0，所以0因为f(x)在[1,2]上不单调，所以四、解答题
13．(2024·毕节模拟)已知函数f(x)＝(a－x)ln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
解　(1)根据题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(1)＝0，
f′(x)＝－ln x＋，
∴f′(1)＝a－1，
∴曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(a－1)(x－1)．
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－ln x＋＝，
令g(x)＝－xln x－x＋a，
则g′(x)＝－ln x－2，
令g′(x)＝0，则x＝，
令g′(x)>0，则0令g′(x)<0，则x>，
∴g(x)在上单调递增，在上单调递减，g(x)max＝g＝＋a，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即＋a≤0，
∴a≤－.
14．(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋1.
(1)若f(x)≤x＋c，求c的取值范围；
(2)设a>0，讨论函数g(x)＝的单调性．
解　(1)f(x)≤x＋c等价于ln x－x≤c－1.
令h(x)＝ln x－x，x>0，
则h′(x)＝－1＝.
当00，
所以h(x)在(0,1)上单调递增；
当x>1时，h′(x)<0，
所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减．
故h(x)max＝h(1)＝－1，
所以c－1≥－1，即c≥0，
所以c的取值范围是[0，＋∞)．
(2)g(x)＝＝(x>0且 x≠a)，
因此g′(x)＝，
令m(x)＝x－a－xln x＋xln a，
则m′(x)＝ln a－ln x，
当x>a时，ln x>ln a，
所以m′(x)<0，m(x)在(a，＋∞)上单调递减，
当0所以m′(x)>0，m(x)在(0，a)上单调递增，
因此有m(x)即 g′(x)<0在x>0且x≠a上恒成立，
所以函数g(x)在区间(0，a)和(a，＋∞)上单调递减．
15．已知函数f(x)＝－ax，当0A．(－∞，e) B．(－∞，e]
C. D.
答案　D
解析　因为当0所以<，
即x1f(x1)令g(x)＝xf(x)＝ex－ax2，
则g(x1)又因为0所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g′(x)＝ex－2ax≥0在(0，＋∞)上恒成立，
分离参数得2a≤恒成立，
令h(x)＝(x>0)，
则只需2a≤h(x)min，
而h′(x)＝ex·，
令h′(x)>0，得x>1，令h′(x)<0，得0所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝e，故2a≤e，
即a≤.
16．已知偶函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，当x＞0时，＞－f′(x)，且f(2)＝1，则不等式(x2－x)f(x2－x)＞2的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－1,2)
答案　C
解析　令g(x)＝xf(x)，
由于f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数，
所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．
因为当x＞0时，＞－f′(x)，
即＞0，
所以f(x)＋xf′(x)＞0，即g′(x)＞0.
所以当x＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
因为g(x)在R上为奇函数且在R上存在导函数，所以g(x)在R上为增函数．
因为f(2)＝1，所以g(2)＝2f(2)＝2，
又(x2－x)f(x2－x)＞2等价于g(x2－x)＞g(2)，
所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.
综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．§3.2　导数与函数的单调性
课标要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上____________________
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上____________________
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是____________________
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的______________；
第2步，求出导数f′(x)的______________；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　　)
2.(选择性必修第二册P86例2改编)(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增
B．在区间(2,3)上f(x)单调递减
C．在区间(4,5)上f(x)单调递增
D．在区间(3,5)上f(x)单调递减
3．(选择性必修第二册P97习题5.3T2(4)改编)已知f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为________________________．
4．已知f(x)＝2x2－ax＋ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．
题型一　不含参函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________________．
(2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________________．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A. B.
C．(π，2π) D.
题型二　含参数的函数的单调性
例2 已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
跟踪训练2 (2023·北京模拟)已知函数f(x)＝.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型三　函数单调性的应用
命题点1　比较大小或解不等式
例3 (1)(多选)(2024·深圳模拟)若0A．>ln
B．C．
D．
常见组合函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．
典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
(2)(2023·成都模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集为____________________．
命题点2　根据函数的单调性求参数
例4 已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)．
(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；
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(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
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________________________________________________________________________
跟踪训练3 (1)(2024·郑州模拟)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f′(x)，则f(x)·f′(x)>0的解集为(　　)
A．(1,6) 　 B．(1,4)
C．(－∞，1)∪(6，＋∞) 　 D．(1,4)∪(6，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝(1－x)ln x＋ax在(1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)一、单项选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示， 则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
3．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为(　　)
A．e2 B．e C．e－1 D．e－2
5．(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋sin x，则不等式f(2x－1)A. B.
C. D.
6．(2023·信阳模拟)已知a＝，b＝，c＝ln ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
二、多项选择题
7．(2023·临汾模拟)若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可以是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．(2024·邯郸模拟)已知函数f(x)＝ln x，且a＝f ，b＝f ，c＝，则(　　)
A．a>b B．b>a
C．c>b D．c>a
三、填空题
9．函数f(x)＝e－xcos x(x∈(0，π))的单调递增区间为________．
10．若函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为________．
11．(2024·上海模拟)已知定义在(－3,3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f′(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式>0的解集为________．
12．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
13．(2024·毕节模拟)已知函数f(x)＝(a－x)ln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
14．(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋1.
(1)若f(x)≤x＋c，求c的取值范围；
(2)设a>0，讨论函数g(x)＝的单调性．
15．已知函数f(x)＝－ax，当0A．(－∞，e) B．(－∞，e]
C. D.
16．已知偶函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，当x＞0时，＞－f′(x)，且f(2)＝1，则不等式(x2－x)f(x2－x)＞2的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－1,2)
§3.2　导数与函数的单调性
1．A　2.D　3.C　4.C　5.D
6．B　[设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R，
则f′(x)＝ex－1，
当x<0时，f′(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)＝0，即ex≥1＋x，
当且仅当x＝0时取等号，
∵ex≥1＋x，
∴>1－＝，
∴b>a，
由以上分析可知当x>0时，有ex－1≥x成立，当x＝1时取等号，
即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，
∴ln <－1＝，
∴a>c，故b>a>c.]
7．BD　
8．ACD　[由f(x)＝ln x，
得f′(x)＝ln x＋，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因为c＝f ，0<<<<1，
所以f >f >f ，
故c>a>b.]
9.
10．(－∞，－)∪(，＋∞)
11．(－3，－1)∪(0,1)
12.
解析　f′(x)＝－4x＋，
若函数f(x)在[1,2]上单调，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，
又a>0，所以0因为f(x)在[1,2]上不单调，
所以13．解　(1)根据题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(1)＝0，
f′(x)＝－ln x＋，
∴f′(1)＝a－1，
∴曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(a－1)(x－1)．
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－ln x＋＝，
令g(x)＝－xln x－x＋a，
则g′(x)＝－ln x－2，
令g′(x)＝0，则x＝，
令g′(x)>0，则0令g′(x)<0，则x>，
∴g(x)在上单调递增，在上单调递减，
g(x)max＝g＝＋a，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即＋a≤0，
∴a≤－.
14．解　(1)f(x)≤x＋c等价于
ln x－x≤c－1.
令h(x)＝ln x－x，x>0，
则h′(x)＝－1＝.
当00，
所以h(x)在(0,1)上单调递增；
当x>1时，h′(x)<0，
所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减．
故h(x)max＝h(1)＝－1，
所以c－1≥－1，即c≥0，
所以c的取值范围是[0，＋∞)．
(2)g(x)＝＝(x>0且 x≠a)，
因此g′(x)＝，
令 m(x)＝x－a－xln x＋xln a，
则m′(x)＝ln a－ln x，
当x>a时，ln x>ln a，所以m′(x)<0，m(x)在(a，＋∞)上单调递减，
当00，m(x)在(0，a)上单调递增，
因此有m(x)即 g′(x)<0在x>0且x≠a上恒成立，
所以函数g(x)在区间(0，a)和(a，＋∞)上单调递减．
15．D　[因为当0所以<，
即x1f(x1)令g(x)＝xf(x)＝ex－ax2，
则g(x1)又因为0所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g′(x)＝ex－2ax≥0在(0，＋∞)上恒成立，
分离参数得2a≤恒成立，
令h(x)＝(x>0)，
则只需2a≤h(x)min，
而h′(x)＝ex·，
令h′(x)>0，得x>1，令h′(x)<0，得0所以h(x)≥h(1)＝e，故2a≤e，
即a≤.]
16．C　[令g(x)＝xf(x)，
由于f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．
因为当x＞0时，＞－f′(x)，
即＞0，
所以f(x)＋xf′(x)＞0，
即g′(x)＞0.所以当x＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
因为g(x)在R上为奇函数且在R上存在导函数，
所以g(x)在R上为增函数．
因为f(2)＝1，所以g(2)＝2f(2)＝2，
又(x2－x)f(x2－x)＞2等价于
g(x2－x)＞g(2)，
所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.
综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]

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