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(共52张PPT)
第三章
§3.4　函数中的构造问题
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
重点解读
题型一　利用f(x)与x构造函数
例1　(2023·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式 >0的解集是
A.(－2,0)∪(0,2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2,0)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2)∪(0,2)
√
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
所以g(x)为奇函数，
所以g(－2)＝－g(2).
因为f(－2)＝0，
所以g(－2)＝g(2)＝0.
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x).
跟踪训练1　(多选)(2023·郴州统考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，则
A.f(1)<4f(2) B.f(－1)<4f(－2)
C.16f(4)<9f(3) D.4f(－2)>9f(－3)
√
√
令g(x)＝x2f(x)，
∵当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，
∴当x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝
x[xf′(x)＋2f(x)]>0，
∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数，
∴g(x)＝x2f(x)为定义在R上的奇函数.
∴g(x)是增函数.
由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正确；
由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B错误；
由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C错误；
由g(－2)>g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D正确.
题型二　利用f(x)与ex构造函数
例2　(2024·吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)A.f(2 023)－ef(2 022)<2(e－1)
B.f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)
C.f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1)
D.f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1)
√
因此函数g(x)是增函数，
整理得f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)，故B正确.
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x).
跟踪训练2　(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为___________.
设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
∴F(x)是增函数.
又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.
∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，
即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).
(3，＋∞)
题型三　利用f(x)与sin x，cos x构造函数
∵当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，
∴在(0，π)上，g′(x)<0，
∴函数g(x)在(0，π)上单调递减.
∵y＝f(x)，y＝sin x是奇函数，
∴函数g(x)是偶函数，
∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增.
当x∈(－π，0)时，sin x<0，
函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝f(x)cos x，
F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
a设φ(x)＝f(x)sin x，
则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x，
∴当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，
即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数，
课时精练
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一、单项选择题
1.(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是
A.(－1,0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1,0)∪(0,1)
D.(－∞，－1)∪(0,1)
√
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令g(x)＝f(x)－x2，
因为f(x)是偶函数，
则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，
所以函数g(x)也是偶函数，
g′(x)＝f′(x)－2x，
因为当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，
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由f(1)＝3，得g(1)＝2，
所以g(x)>g(1)，
所以|x|>1，解得x>1或x<－1，
所以f(x)>x2＋2的解集是
(－∞，－1)∪(1，＋∞).
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A.α3>β3 B.α＋β>0
C.|α|<|β| D.|α|>|β|
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则f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
则f(x)为偶函数，
又f′(x)＝sin x＋xcos x，
又αsin α－βsin β>0，即f(α)>f( β)，所以|α|>|β|.
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3.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024为奇函数，则不等式f(x)＋2 024ex<0的解集是
A.(－∞，0) B.(－∞，ln 2 024)
C.(0，＋∞) D.(2 024，＋∞)
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因为f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，
所以g(x)为定义在R上的减函数，
因为f(x)＋2 024为奇函数，
所以f(0)＋2 024＝0，f(0)＝－2 024，
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f(x)＋2 024ex<0，
即g(x)0.
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则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x>0，
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5.(2024·惠州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)>8的解集为
A.(－∞，2) B.(－∞，ln 2)
C.(ln 2，＋∞) D.(2，＋∞)
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令g(x)＝e3xf(x)，
函数g(x)的定义域为R，
因为3f(x)＋f′(x)<0，
所以g′(x)＝[e3xf(x)]′＝e3x[3f(x)＋f′(x)]<0，
故g(x)为减函数，
又因为f(ln 2)＝1，
所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8，
所以不等式e3xf(x)>8可化为g(x)>g(ln 2)，
所以x8的解集为(－∞，ln 2).
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6.已知0A.cos x＋cos y<0 B.cos x＋cos y>0
C.cos x>sin y D.sin x>sin y
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由01
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所以sin y>sin x>0，
所以cos y>cos(π－x)＝－cos x，
所以cos x＋cos y>0.
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二、多项选择题
7.(2023·福州联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－1>0，则下列结论正确的是
A.f(2)－ln 2>f(1) 　　 B.f(4)－f(2)>ln 2
C.f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　　 D.f(e2)－f(e)>1
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构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
因为xf′(x)－1>0，
所以g′(x)>0，
故g(x)是增函数，
由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正确；
由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，
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即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确；
由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C错误；
由g(e2)>g(e)得，f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，
即f(e2)－2>f(e)－1，即f(e2)－f(e)>1，故D正确.
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8.(2023·保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则
A.3f(2)>2f(3)
B.f(1)C.f(x)在x＝1处取得极小值
D.f(x)无极大值
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则g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，
即f(x)＝ex－ex，x>0，
令g′(x)>0，则x>1，
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故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
则3f(2)<2f(3)，故A错误；
令f′(x)＝ex－e>0，得x>1，
令f′(x)＝ex－e<0，得0则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(1)1
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三、填空题
9.(2024·晋中统考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为___________.
(2，＋∞)
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令g(x)＝f(x)－x2－3x，
则g′(x)＝f′(x)－2x－3<0在R上恒成立，
所以g(x)是减函数.
又f(2x－3)<2x(2x－3)，
即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)<0，
又f(1)－12－3×1＝0，
即g(2x－3)1，解得x>2，
所以不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为(2，＋∞).
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∵f(x)＜f′(x)tan x，
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10§3.4　函数中的构造问题
重点解读　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．
题型一　利用f(x)与x构造函数
例1 (2023·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　)
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)．
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
跟踪训练1 (多选)(2023·郴州统考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，则(　　)
A．f(1)<4f(2) B．f(－1)<4f(－2)
C．16f(4)<9f(3) D．4f(－2)>9f(－3)
题型二　利用f(x)与ex构造函数
例2 (2024·吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)A．f(2 023)－ef(2 022)<2(e－1)
B．f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)
C．f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1)
D．f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1)
跟踪训练2 (2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________．
题型三　利用f(x)与sin x，cos x构造函数
例3 设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<2f sin x的解集为_____________________________．
跟踪训练3 已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，若a＝f ，
b＝－f ，则a与b的大小关系为________．(用“<”连接)一、单项选择题
1．(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
2．已知α，β∈，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是(　　)
A．α3>β3 B．α＋β>0
C．|α|<|β| D．|α|>|β|
3．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024为奇函数，则不等式f(x)＋2 024ex<0的解集是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，ln 2 024)
C．(0，＋∞) D．(2 024，＋∞)
4．(2023·成都模拟)已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f′(x)cos x－f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f >f 　　 B．f C．2f(0)f
5．(2024·惠州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)>8的解集为(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，ln 2)
C．(ln 2，＋∞) D．(2，＋∞)
6．已知0A．cos x＋cos y<0 B．cos x＋cos y>0
C．cos x>sin y D．sin x>sin y
二、多项选择题
7．(2023·福州联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－1>0，则下列结论正确的是(　　)
A．f(2)－ln 2>f(1) 　　 B．f(4)－f(2)>ln 2
C．f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　　 D．f(e2)－f(e)>1
8．(2023·保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则(　　)
A．3f(2)>2f(3)
B．f(1)C．f(x)在x＝1处取得极小值
D．f(x)无极大值
三、填空题
9．(2024·晋中统考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为________．
10．已知函数f(x)定义在上，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tan x成立，又知f ＝，则关于x的不等式f(x)＞sin x的解集是________．
§3.4　函数中的构造问题
1．B　2.D　3.C　4.C　5.B
6．B　[由0令f(x)＝(0则f′(x)＝，
当00，函数f(x)单调递增，
当f(x)＝f(y)时，0所以sin y>sin x>0，
所以所以cos y>cos(π－x)＝－cos x，
所以cos x＋cos y>0.]
7．ABD　[构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
则g′(x)＝f′(x)－＝，
因为xf′(x)－1>0，所以g′(x)>0，
故g(x)是增函数，
由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正确；
由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确；
由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C错误；
由g(e2)>g(e)得，
f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，
即f(e2)－2>f(e)－1，
即f(e2)－f(e)>1，故D正确．]
8．BCD　[设g(x)＝(x>0)，
则g′(x)＝＝＝′，
可设g(x)＝＋c，
则g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，
故g(x)＝－e，
即f(x)＝ex－ex，x>0，
令g′(x)>0，则x>1，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(2)即<，
则3f(2)<2f(3)，故A错误；
令f′(x)＝ex－e>0，得x>1，
令f′(x)＝ex－e<0，得0则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(1)9．(2，＋∞)
10.
解析　∵f(x)＜f′(x)tan x，
∴f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，x∈，
令g(x)＝，x∈，
∴g′(x)＝＞0，
∴g(x)在上为增函数，
由f(x)＞sin x，得＞1＝，
即g(x)>g，∴x＞，
又0∴不等式的解集为.§3.4　函数中的构造问题
重点解读　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．
题型一　利用f(x)与x构造函数
例1 (2023·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　)
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
答案　D
解析　设g(x)＝，x≠0.
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)．
因为g(－x)＝＝－＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
所以g(－2)＝－g(2)．
因为f(－2)＝0，
所以g(－2)＝g(2)＝0.
当x>0时，g′(x)＝<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
此时不等式>0的解集是(0,2)．
因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以当x<0时，不等式>0的解集是(－∞，－2)．
综上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)．
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
跟踪训练1 (多选)(2023·郴州统考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，则(　　)
A．f(1)<4f(2) B．f(－1)<4f(－2)
C．16f(4)<9f(3) D．4f(－2)>9f(－3)
答案　AD
解析　令g(x)＝x2f(x)，
∵当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，
∴当x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝
x[xf′(x)＋2f(x)]>0，
∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数，
∴g(x)＝x2f(x)为定义在R上的奇函数．
∴g(x)是增函数．
由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正确；
由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B错误；
由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C错误；
由g(－2)>g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D正确．
题型二　利用f(x)与ex构造函数
例2 (2024·吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)A．f(2 023)－ef(2 022)<2(e－1)
B．f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)
C．f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1)
D．f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1)
答案　B
解析　令g(x)＝，
则g′(x)＝>0，
因此函数g(x)是增函数，
于是得g(2 023)>g(2 022)，即>，
整理得f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)，故B正确．
思维升华 (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)．
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
跟踪训练2 (2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________．
答案　(3，＋∞)
解析　设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
∴F(x)是增函数．
又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.
∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，
即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．
题型三　利用f(x)与sin x，cos x构造函数
例3 设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<2f sin x的解集为________．
答案　∪
解析　令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)，
则g′(x)＝，
∵当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，
∴在(0，π)上，g′(x)<0，
∴函数g(x)在(0，π)上单调递减．
∵y＝f(x)，y＝sin x是奇函数，
∴函数g(x)是偶函数，
∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增．
当x∈(0，π)时，sin x>0，则不等式f(x)<2f sin x可化为<，
即g(x)当x∈(－π，0)时，sin x<0，则不等式f(x)<2f sin x可化为>＝，
即g(x)>g，
∴－综上可得，不等式的解集为∪.
思维升华 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝，
F′(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，
F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
F(x)＝，
F′(x)＝.
跟踪训练3 已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，若a＝f ，b＝－f ，则a与b的大小关系为________．(用“<”连接)
答案　a解析　设φ(x)＝f(x)sin x，
则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x，
∴当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，
即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数，
∴φ＝φ>φ，
即f ·sin>f ·sin ，
即－f >f ，
即f <－f ，∴a课时精练
一、单项选择题
1．(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案　B
解析　令g(x)＝f(x)－x2，
因为f(x)是偶函数，
则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，
所以函数g(x)也是偶函数，
g′(x)＝f′(x)－2x，
因为当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，
由f(1)＝3，得g(1)＝2，
所以g(x)>g(1)，
所以|x|>1，解得x>1或x<－1，
所以f(x)>x2＋2的解集是
(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
2．已知α，β∈，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是(　　)
A．α3>β3 B．α＋β>0
C．|α|<|β| D．|α|>|β|
答案　D
解析　令f(x)＝xsin x，x∈，
则f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
则f(x)为偶函数，
又f′(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，f′(x)≥0，
所以f(x)在区间上单调递增，
f(x)在区间上单调递减．
又αsin α－βsin β>0，即f(α)>f( β)，
所以|α|>|β|.
3．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024为奇函数，则不等式f(x)＋2 024ex<0的解集是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，ln 2 024)
C．(0，＋∞) D．(2 024，＋∞)
答案　C
解析　设g(x)＝，
则g′(x)＝，
因为f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，
所以g(x)为定义在R上的减函数，
因为f(x)＋2 024为奇函数，
所以f(0)＋2 024＝0，f(0)＝－2 024，
g(0)＝＝－2 024，
f(x)＋2 024ex<0，
即<－2 024，
即g(x)0.
4．(2023·成都模拟)已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f′(x)cos x－f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f >f 　　 B．f C．2f(0)f
答案　C
解析　构造函数g(x)＝f(x)cos x，x∈，
则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x>0，
所以g(x)在上单调递增，
则g所以f cos即f 则g>g，
所以f cos >f cos，
即f >f ，故B不正确；
则g(0)所以f(0)cos 0即2f(0)则g(0)所以f(0)cos 0即f(0)5．(2024·惠州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)>8的解集为(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，ln 2)
C．(ln 2，＋∞) D．(2，＋∞)
答案　B
解析　令g(x)＝e3xf(x)，
函数g(x)的定义域为R，
因为3f(x)＋f′(x)<0，
所以g′(x)＝[e3xf(x)]′＝e3x[3f x ＋f′ x ]<0，
故g(x)为减函数，
又因为f(ln 2)＝1，
所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8，
所以不等式e3xf(x)>8可化为g(x)>g(ln 2)，
所以x所以e3xf(x)>8的解集为(－∞，ln 2)．
6．已知0A．cos x＋cos y<0 B．cos x＋cos y>0
C．cos x>sin y D．sin x>sin y
答案　B
解析　由0得＝，
令f(x)＝(0则f′(x)＝，
当00，函数f(x)单调递增，
当f(x)＝f(y)时，0因为0所以sin y>sin x>0，
所以所以cos y>cos(π－x)＝－cos x，
所以cos x＋cos y>0.
二、多项选择题
7．(2023·福州联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－1>0，则下列结论正确的是(　　)
A．f(2)－ln 2>f(1) 　　 B．f(4)－f(2)>ln 2
C．f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　　 D．f(e2)－f(e)>1
答案　ABD
解析　构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
则g′(x)＝f′(x)－＝，
因为xf′(x)－1>0，
所以g′(x)>0，
故g(x)是增函数，
由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正确；
由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，
即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确；
由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C错误；
由g(e2)>g(e)得，f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，
即f(e2)－2>f(e)－1，即f(e2)－f(e)>1，故D正确．
8．(2023·保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则(　　)
A．3f(2)>2f(3)
B．f(1)C．f(x)在x＝1处取得极小值
D．f(x)无极大值
答案　BCD
解析　设g(x)＝(x>0)，
则g′(x)＝＝＝′，
可设g(x)＝＋c，
则g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，
故g(x)＝－e，
即f(x)＝ex－ex，x>0，
令g′(x)>0，则x>1，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(2)则3f(2)<2f(3)，故A错误；
令f′(x)＝ex－e>0，得x>1，
令f′(x)＝ex－e<0，得0则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(1)三、填空题
9．(2024·晋中统考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为________．
答案　(2，＋∞)
解析　令g(x)＝f(x)－x2－3x，
则g′(x)＝f′(x)－2x－3<0在R上恒成立，
所以g(x)是减函数．
又f(2x－3)<2x(2x－3)，
即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)<0，
又f(1)－12－3×1＝0，
即g(2x－3)所以2x－3>1，解得x>2，
所以不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为(2，＋∞)．
10．已知函数f(x)定义在上，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tan x成立，又知f ＝，则关于x的不等式f(x)＞sin x的解集是________．
答案　
解析　∵f(x)＜f′(x)tan x，
∴f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，x∈，
令g(x)＝，x∈，
∴g′(x)＝＞0，
∴g(x)在上为增函数，
由f(x)＞sin x，得＞1＝，
即g(x)>g，∴x＞，
又0∴不等式的解集为.

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