资源简介

(共117张PPT)
第七章
§7.7　向量法求空间角
课标要求
1.能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.
2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
1.异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝
|cos〈u，v〉|＝ .
2.直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线
AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
＝ .
3.平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β
的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则
cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ .
2.若平面α与平面β的夹角为θ1，平面α内的直线l与平面β所成角为θ2，则θ1≥θ2，当l与α和β的交线垂直时，取等号.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.
(　　)
(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(　　)
(4)二面角α－l－β的平面角与平面α，β的夹角相等.(　　)
×
×
×
×
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉
＝ ，则直线l与平面α所成的角为
A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150°
√
设直线l与平面α所成的角为θ，
所以直线l与平面α所成的角为30°.
3.已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为
√
设直线l1与l2所成的角为θ，
因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
4.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为
√
∵m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，
若两平面所成的二面角为θ，
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第二部分
探究核心题型
例1　(1)(2023·武汉模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为
题型一　异面直线所成的角
√
如图，以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，异面直线BF与PE所成的角为θ，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，则E(1,2,0)，F(1,1,1)，
√
以O为原点，OB所在直线为y轴，过点O作x轴⊥OB，圆台的轴为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设P(2cos θ，2sin θ，0)，0≤θ<2π，
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)用坐标表示异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)注意异面直线所成角的范围是 ，即异面直线所成角的余弦值
等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
跟踪训练1　(1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长为3，则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为
√
因为A′C＝A′D＝CD＝3.
因为CB＝CD＝3，BD＝5.
若异面直线A′B与CD所成的角为θ，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，
例2　(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝ .
(1)证明：BD⊥PA；
题型二　直线与平面所成的角
在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，如图.
因为CD∥AB，
AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，
所以四边形ABCD为等腰梯形，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.
因为PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PD⊥BD，
又PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，
所以BD⊥平面PAD.
又因为PA 平面PAD，所以BD⊥PA.
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
由(1)知，DA，DB，DP两两垂直，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
利用空间向量求线面角的解题步骤
(1)若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
设圆柱OQ的底面半径为r，高为h.
在下底面圆O中，∠APB＝90°，∠ABP＝60°，
所以AP＝BP·tan 60°＝3.
因为DA⊥平面APB，所以DA⊥BP，DA⊥AP.
因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，
又AP∩AD＝A，AP，AD 平面APD，
所以BP⊥平面APD.
因为AG 平面APD，所以BP⊥AG.
在△DAP 中，AD＝AP＝3，G是DP的中点，
所以DP⊥AG.
又BP∩DP＝P，BP，DP 平面BPD，
所以AG⊥平面BPD.
因为BD 平面BPD，所以AG⊥BD.
在下底面圆O内过O作Ox⊥AB，连接OQ.
显然，向量n＝(1,0,0) 是平面ABCD的一个法向量.
设GB与平面ABCD所成的角为θ，
题型三　平面与平面的夹角
(1)证明：EF∥平面ADO；[切入点：由BF⊥AO找F位置]
(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；[切入点：证明AO⊥平面BEF]
(3)求二面角D－AO－C的正弦值.[关键点：由AO⊥BE及PB长求点P坐标]
[思路分析]
(2)利用勾股定理→AO⊥OD→AO⊥平面BEF
(3)建系设点P坐标→由AO⊥BE及PB长求点P坐标→求法向量→求角
答题模板　规范答题不丢分
(1)证明　设AF＝tAC，
(1分)
因为BF⊥AO，
(3分)
又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点，于是EF∥PC，DO∥PC，所以EF∥DO，
又EF 平面ADO，DO 平面ADO，所以EF∥平面ADO.(4分)
(2)证明　由(1)可知EF∥DO，
(6分)
③处利用勾股定理证明AO⊥OD
所以EF⊥AO，
又AO⊥BF，BF∩EF＝F，BF，EF 平面BEF，则有AO⊥平面BEF，(7分)
又AO 平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF.(8分)
(3)解　如图，以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别
为x，y轴，建立空间直角坐标系，
由(2)得AO⊥BE，
(10分)
⑤处利用AO⊥BE及PB长求点P坐标
设平面DAO的法向量为n1＝(a，b，c)，
易知平面CAO的一个法向量为n2＝(0,0,1)，(11分)
设二面角D－AO－C的大小为θ，
⑥处利用向量法求两法向量夹角
利用法向量的方向判断二面角
二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m，n“一进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同出”时，m，n的夹角就是二面角的补角.
典例　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为棱AB
的中点，则二面角D1－EC－D的余弦值为______.
建立如图所示的空间直角坐标系，
由AD＝AA1＝1，AB＝2，得E(1,1,1)，C(0,2,1)，D1(0,0,0)，
设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝－2，得n＝(1,1，－2)，
易知平面DEC的法向量为m＝(0,0,1)，
利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小.
跟踪训练3　(2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点.
(1)证明：BC⊥DA；
如图，连接AE，DE，
因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC，
因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
所以△ACD与△ABD均为等边三角形，
所以AC＝AB，从而AE⊥BC，
又AE∩DE＝E，AE，DE 平面ADE，
所以BC⊥平面ADE，而DA 平面ADE，所以BC⊥DA.
不妨设DA＝DB＝DC＝2，
因为BD⊥CD，
所以AE2＋DE2＝4＝AD2，
所以AE⊥DE，
又AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC 平面BCD，
所以AE⊥平面BCD.
以E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设平面DAB与平面ABF的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
所以n1＝(1,1,1).
所以n2＝(0,1,1)，
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课时精练
一、单项选择题
1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝ ，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为
√
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由题意可知，AB，AC，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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2.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为
√
建立如图所示的坐标系，设AB＝2，
设AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，
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3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为
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√
设正方体的棱长为2，
则A(0,0,0)，E(2,0,1)，
F(0,2,1)，C(2,2,0)，
设平面ECF的法向量为n＝(x，y，z)，
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取x＝1，得n＝(1,1,2).
易知m＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，
设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ.
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4.(2023·沧州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为
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√
方法一　设正方体的棱长为2，取CC1的中点Q，连接PQ，AD1，AC，AQ，
∵P是C1D1的中点，∴PQ∥CD1∥A1B，
故∠APQ就是AP与BA1所成的角(或其补角)，
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方法二　设正方体的棱长为2，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(2,0,0)，P(0,1,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，
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5.(2024·郑州模拟)如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且AC∥OB，OP＝AB＝ ，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为
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√
∵AB是圆柱底面圆的一条直径，
∴∠AOB＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠BAO＝45°，∴OA＝OB，∵AC∥OB，
∴∠OAC＝90°，∴四边形OACB为正方形，
设AB＝2，
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设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
设直线PC与平面PAB所成的角为θ，
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6.(2023·杭州模拟)若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点(如图1)，沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P(如图2)，则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为
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由E，F分别是为CD，CB的中点，
可得EF2＝CE2＋CF2＝DE2＋BF2＝PE2＋PF2，
则PE⊥PF.
由AD⊥DE，AB⊥BF，
可得PA⊥PE，PA⊥PF，
所以PA，PF，PE两两互相垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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设平面PCE的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
令y′＝1，则x′＝0，z′＝1，
所以平面PCE的一个法向量为n＝(0,1,1)，
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设PA与平面PCE所成的角为θ，
二、多项选择题
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8.(2023·深圳模拟)如图，在矩形AEFC中，AE＝ ，EF＝4，B为EF中点，现分别沿AB，BC将△ABE，△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P－ABC，则
√
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由题意可得BP⊥AP，BP⊥CP，
又AP∩CP＝P，AP，CP 平面PAC，
所以BP⊥平面PAC，
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设点A到平面PBC的距离为d，
由V三棱锥B－PAC＝V三棱锥A－PBC，
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设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，
又因为BP⊥平面PAC，
三、填空题
9.(2023·天津统考)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1
＝3，则异面直线A1C1与AD1所成角的余弦值为______.
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如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，D1(0,0,3)，A1(1,0,3)，C1(0,2,3)，
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10.在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝90°，若直线AB1与直线A1C所成角的余弦值是 ，则棱AB的长度是______.
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建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a(a>0)，则A(0,0,0)，B1(a,0,2)，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，
解得a＝1，所以棱AB的长度是1.
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11.(2023·洛阳模拟)二面角α－l－β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝ ，则平面α与平面β的夹角为______.
60°
设二面角α－l－β的大小为θ，
所以θ＝60°，则平面α与平面β的夹角为60°.
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12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为________；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角
为θ，则sin θ的值为_____.
90°
则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，G(1,2,2)，
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∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF 平面EFGHKL，
∴A1C⊥平面EFGHKL，
∴直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为90°.
设直线D1B与平面EFGHKL所成的角为α，
∵直线PQ 平面EFGHKL，
∴直线D1B与直线PQ所成的角最小时即为直线D1B与平面EFGHKL所成的角，∴sin θ＝ .
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四、解答题
13.如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
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由CF∥AE，CF 平面ADE，AE 平面ADE，得CF∥平面ADE，
由AD∥BC，BC 平面ADE，AD 平面ADE，
得BC∥平面ADE，
又CF∩BC＝C，CF，BC 平面BCF，
所以平面BCF∥平面ADE，
又BF 平面BCF，所以BF∥平面ADE.
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(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值.
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因为AE⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，又AD⊥AB，
以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，
z轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2，
所以B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，
设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)，
令z＝1，则x＝2，y＝2，即m＝(2,2,1)，
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14.(2024·南昌模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝ ，现将△ADC沿AC翻至△APC，使二面角P－AC－B为直二面角.
(1)证明：CB⊥PA；
取AB的中点E，连接CE(图略)，
∴四边形ADCE是平行四边形，
CE＝AD，CE＝AE＝EB，
∴∠ACB＝90°，即CB⊥CA，
∵二面角P－AC－B为直二面角，
∴平面PAC⊥平面ACB，
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又平面PAC∩平面ACB＝AC，CB 平面ABC，
∴CB⊥平面PAC，
又PA 平面PAC，∴CB⊥PA.
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由AB＝4知PA＝PC＝2，
取AC的中点O，则OE∥CB.
∴OE⊥AC，且OP⊥AC，OC，OE，OP两两互相垂直.
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易得平面PAC的一个法向量为n1＝(0,1,0)，
设平面PAB的法向量为n2＝(x，y，z)，
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设异面直线PC与AB所成的角为θ，
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本课结束§7.7　向量法求空间角
课标要求　1.能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题．
知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
常用结论
1．异面直线所成角的范围是；直线与平面所成角的范围是；二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是.
2．若平面α与平面β的夹角为θ1，平面α内的直线l与平面β所成角为θ2，则θ1≥θ2，当l与α和β的交线垂直时，取等号．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　×　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　×　)
(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(　×　)
(4)二面角α－l－β的平面角与平面α，β的夹角相等．(　×　)
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案　A
解析　设直线l与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，
所以直线l与平面α所成的角为30°.
3．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设直线l1与l2所成的角为θ，
因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
所以cos θ＝|cos〈s1，s2〉|＝＝＝.
所以直线l1和l2所成角的余弦值为.
4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　)
A. B. C.或 D.或
答案　C
解析　∵m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，
∴m·n＝1，|m|＝1，|n|＝，
若两平面所成的二面角为θ，
则|cos θ|＝|cos〈m，n〉|＝＝，
∴两平面所成的二面角为或.
题型一　异面直线所成的角
例1 (1)(2023·武汉模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　B
解析　如图，以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，异面直线BF与PE所成的角为θ，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，则E(1,2,0)，F(1,1,1)，
所以＝(－1,1,1)，＝(1,2，－2)，
所以cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，
所以异面直线BF与PE所成角的余弦值为.
(2)(2023·开封模拟)在如图所示的圆台中，四边形ABCD为其轴截面，AB＝2CD＝4，母线长为，P为下底面圆周上一点，异面直线AD与 OP(O为下底面圆心)所成的角为，则CP2的大小为(　　)
A．7－2 B．7－2或7＋2
C．19－4 D．19－4或19＋4
答案　B
解析　以O为原点， OB所在直线为y轴，过点 O 作 x 轴 ⊥OB，圆台的轴为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
作DE⊥AB于点E，AE＝AB－CD＝1，
在Rt△ADE中，AD＝，DE＝＝，则 D(0，－1，)，A(0，－2,0)，C(0,1，)，
＝(0,1，)，
设P(2cos θ，2sin θ，0)，0≤θ<2π，
＝(2cos θ，2sin θ，0)，
由于异面直线 AD与 OP(O为下底面圆心)所成的角为，
∴cos ＝＝＝＝，
∴sin θ＝±，＝(2cos θ，2sin θ－1，－)，
CP2＝||2＝4cos2θ＋4sin2θ－4sin θ＋1＋2＝7－4sin θ＝7±2.
思维升华 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意异面直线所成角的范围是，即异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长为3，则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为A′C＝A′D＝CD＝3.
所以2·＝(＋)2－2－2＝2－2－2＝9－9－9＝－9.
因为CB＝CD＝3，BD＝5.
所以2·＝2＋2－(－)2＝2＋2－2＝9＋9－25＝－7.
所以·＝(＋)·＝·＋·＝－－＝－8.
若异面直线A′B与CD所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.
所以异面直线A′B与CD所成角的余弦值为.
(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为______．
答案　
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，
∴＝(0,2，－1)，A1A＝(0,0，－2)，
＝(－2,0,0)，
＝＋＝＋λ＝(－2λ，0，－2)．
∴|cos〈，〉|＝＝＝，
解得λ＝.
题型二　直线与平面所成的角
例2 (2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
(1)证明　在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，如图．
因为CD∥AB，
AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，
所以四边形ABCD为等腰梯形，
所以AE＝BF＝，故DE＝＝，
BD＝＝，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.
因为PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PD⊥BD，
又PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，
所以BD⊥平面PAD.
又因为PA 平面PAD，所以BD⊥PA.
(2)解　由(1)知，DA，DB，DP两两垂直，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0,0，)，
则＝(－1,0，)，
＝(0，－，)，
＝(0,0，)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
可取n＝(，1,1)，
则cos〈n，〉＝＝＝，
所以PD与平面PAB所成角的正弦值为.
思维升华 利用空间向量求线面角的解题步骤
跟踪训练2 (2023·开封模拟)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为6π，点P在圆柱OQ的下底面圆周上，且△OPB是边长为的等边三角形．
(1)若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
(2)若＝2，求GB与平面ABCD所成角的正弦值．
(1)证明　设圆柱OQ的底面半径为r，高为h.
因为△OPB是边长为的等边三角形，
所以∠ABP＝60°，r＝.
因为圆柱OQ的侧面积为6π，
所以2πrh＝6π，解得h＝3.
在下底面圆O中，∠APB＝90°，∠ABP＝60°，
所以AP＝BP·tan 60°＝3.
因为DA⊥平面APB，所以DA⊥BP，DA⊥AP.
因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，
又AP∩AD＝A，AP，AD 平面APD，
所以BP⊥平面APD.
因为AG 平面APD，所以BP⊥AG.
在△DAP 中，AD＝AP＝3，G是DP的中点，
所以DP⊥AG.
又BP∩DP＝P，BP，DP 平面BPD，
所以AG⊥平面BPD.
因为BD 平面 BPD，所以AG⊥BD.
(2)解　在下底面圆O内过O作Ox⊥AB，连接OQ.以O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(0，，0)，D(0，－，3)，
P，
因为＝2，设G点坐标为(x0，y0，z0)，
则(x0，y0＋，z0－3)＝2，
即解得
所以G(1,0,1)，所以＝(－1，，－1)．
显然，向量n＝(1,0,0) 是平面ABCD的一个法向量．
设GB与平面ABCD所成的角为θ，
所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
所以GB与平面ABCD所成角的正弦值为.
题型三　平面与平面的夹角
例3 (12分)(2023·全国乙卷)如图，三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)证明：EF∥平面ADO；
[切入点：由BF⊥AO找F位置]
(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；[切入点：证明AO⊥平面BEF]
(3)求二面角D－AO－C的正弦值．[关键点：由AO⊥BE及PB长求点P坐标]
[思路分析]
(1)利用向量及⊥→F为AC中点→EF∥OD
(2)利用勾股定理→AO⊥OD→AO⊥平面BEF
(3)建系设点P坐标→由AO⊥BE及PB长求点P坐标→求法向量→求角
(1)证明　设AF＝tAC，
(1分)
①处用，表示，
因为BF⊥AO，
(3分)
②处利用⊥找点F位置⊥找点F位置
又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点，于是EF∥PC，DO∥PC，所以EF∥DO，
又EF 平面ADO，DO 平面ADO，所以EF∥平面ADO.(4分)
(2)证明　由(1)可知EF∥DO，
(6分)
③处利用勾股定理证明AO⊥OD
所以EF⊥AO，
又AO⊥BF，BF∩EF＝F，BF，EF 平面BEF，则有AO⊥平面BEF，(7分)
又AO 平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF.(8分)
(3)解　如图，以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(2,0,0)，O(0，，0)，
＝(－2，，0)．
因为PB＝PC，BC＝2，
所以设P(x，，z)，z>0，(9分)
则＝＋＝＋＝(2,0,0)＋(x－2，，z) ＝，
④处求坐标
由(2)得AO⊥BE，
(10分)
⑤处利用AO⊥BE及PB长求点P坐标
由D为PB的中点，得D，则＝.
设平面DAO的法向量为n1＝(a，b，c)，
则即
得b＝a，c＝a，取a＝1，则n1＝(1，，)．
易知平面CAO的一个法向量为n2＝(0,0,1)，(11分)
设二面角D－AO－C的大小为θ，
则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， 所以sin θ＝＝，
⑥处利用向量法求两法向量夹角
故二面角D－AO－C的正弦值为.(12分)
利用法向量的方向判断二面角
二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m，n“一进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同出”时，m，n的夹角就是二面角的补角．
典例　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为棱AB的中点，则二面角D1－EC－D的余弦值为________．
答案　
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，
由AD＝AA1＝1，AB＝2，得E(1,1,1)，C(0,2,1)，D1(0,0,0)，
则＝(1,1,1)，＝(0,2,1)，
设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令z＝－2，得n＝(1,1，－2)，
易知平面DEC的法向量为m＝(0,0,1)，
则cos〈m，n〉＝＝＝－，
由法向量的方向为同出，
得二面角D1－EC－D的余弦值为.
思维升华 利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．
跟踪训练3 (2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足＝，求平面DAB与平面ABF夹角的正弦值．
(1)证明　如图，连接AE，DE，
因为E为BC的中点，DB＝DC，
所以DE⊥BC，
因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
所以△ACD与△ABD均为等边三角形，
所以AC＝AB，从而AE⊥BC，
又AE∩DE＝E，AE，DE 平面ADE，
所以BC⊥平面ADE，而DA 平面ADE，
所以BC⊥DA.
(2)解　不妨设DA＝DB＝DC＝2，
因为BD⊥CD，
所以BC＝2，DE＝AE＝.
所以AE2＋DE2＝4＝AD2，
所以AE⊥DE，
又AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC 平面BCD，
所以AE⊥平面BCD.
以E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(，0,0)，A(0,0，)，B(0，，0)，E(0,0,0)，
设平面DAB与平面ABF的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
平面DAB与平面ABF的夹角为θ，而＝(0，，－)，
因为＝＝(－，0，)，所以F(－，0，)，
则＝(－，0,0)．
由得取x1＝1，
所以n1＝(1,1,1)．
由得取y2＝1，
所以n2＝(0,1,1)，
所以|cos θ|＝＝＝，
从而sin θ＝＝.
所以平面DAB与平面ABF夹角的正弦值为.
课时精练
一、单项选择题
1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意可知，AB，AC，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0，)，
C(0，，0)，D，
∴＝，＝(0，，－)，
∴|cos〈，〉|＝＝，
∴异面直线AD与A1C所成的角为.
2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　建立如图所示的坐标系，设AB＝2，
则C1(，1,0)，A(0,0,2)，＝(，1，－2)，易知平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)．设AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　以点A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
设正方体的棱长为2，
则A(0,0,0)，E(2,0,1)，
F(0,2,1)，C(2,2,0)，
∴＝(0，－2,1)，＝(－2,0,1)．
设平面ECF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，得n＝(1,1,2)．
易知m＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，
设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ.
∴cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝.
∴平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为.
4．(2023·沧州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　设正方体的棱长为2，取CC1的中点Q，连接PQ，AD1，AC，AQ，
∵P是C1D1的中点，
∴PQ∥CD1∥A1B，
故∠APQ就是AP与BA1所成的角(或其补角)，
由勾股定理得AP＝AQ＝＝3，PQ＝，
由余弦定理得cos∠APQ＝＝＝，
故异面直线AP与BA1所成角的余弦值为.
方法二　设正方体的棱长为2，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(2,0,0)，P(0,1,2)，
A1(2,0,2)，B(2,2,0)，
＝(－2,1,2)，＝(0，－2,2)，
|cos〈，〉|＝
＝＝，
故异面直线AP与BA1所成角的余弦值为.
5．(2024·郑州模拟)如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且AC∥OB，OP＝AB＝OA，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵AB是圆柱底面圆的一条直径，
∴∠AOB＝90°，∠ACB＝90°，
∵OP＝AB＝OA，
∴∠BAO＝45°，
∴OA＝OB，
∵AC∥OB，
∴∠OAC＝90°，
∴四边形OACB为正方形，
设AB＝2，
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，，0)，P(0,0,2)，C(，，0)，＝(－，，0)，＝(－，0,2)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝，则n＝(，，1)，
又＝(，，－2)，
设直线PC与平面PAB所成的角为θ，
∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
∴直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
6．(2023·杭州模拟)若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点(如图1)，沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P(如图2)，则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由E，F分别是为CD，CB的中点，
可得EF2＝CE2＋CF2＝DE2＋BF2＝PE2＋PF2，
则PE⊥PF.
由AD⊥DE，AB⊥BF，
可得PA⊥PE，PA⊥PF，
所以PA，PF，PE两两互相垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得P(0,0,0)，E，F，
A(0,0，a)，
设C(x，y，z)，由 AC＝a，CE＝CF＝，
得
解得
即得C，
所以可得 ＝， ＝，
设平面PCE的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则
令y′＝1，则x′＝0，z′＝1，
所以平面PCE的一个法向量为 n＝(0,1,1)，
又 ＝(0,0，a)，
设PA与平面PCE所成的角为θ，
所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
二、多项选择题
7．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1＝(1,0,0)，n2＝(－，0,1)，则二面角A－BD－C的大小可能为(　　)
A. B. C. D.
答案　AD
解析　由已知可得|cos〈n1，n2〉|＝＝，
因此二面角A－BD－C的大小为或.
8．(2023·深圳模拟)如图，在矩形AEFC中，AE＝2，EF＝4，B为EF中点，现分别沿AB，BC将△ABE，△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P－ABC，则(　　)
A．三棱锥P－ABC的体积为
B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
D．三棱锥P－ABC外接球的半径为
答案　BD
解析　由题意可得BP⊥AP，BP⊥CP，
又AP∩CP＝P，AP，CP 平面PAC，
所以BP⊥平面PAC，
在△PAC中，PA＝PC＝2，AC边上的高为＝2，
所以V三棱锥P－ABC＝V三棱锥B－PAC＝××4×2×2＝，故A错误；
在△PAC中，cos∠APC＝＝，
BC＝＝4，
|cos〈，〉|＝＝＝
＝
＝＝，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；
S△PBC＝PB·PC＝×2×2＝2，
设点A到平面PBC的距离为d，
由V三棱锥B－PAC＝V三棱锥A－PBC，
得×2d＝，
解得d＝，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为＝＝，故C错误；
由B知，cos∠APC＝，
则sin∠APC＝，
所以△PAC的外接圆的半径
r＝·＝，
设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，
又因为BP⊥平面PAC，
则R2＝r2＋2＝＋1＝，
所以R＝，
即三棱锥P－ABC外接球的半径为，故D正确．
三、填空题
9．(2023·天津统考)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，则异面直线A1C1与AD1所成角的余弦值为________．
答案　
解析　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，D1(0,0,3)，A1(1,0,3)，C1(0,2,3)，
则＝(－1,0,3)，＝(－1,2,0)，
|cos〈，〉|＝＝＝，
因此，异面直线A1C1与AD1所成角的余弦值为.
10．在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝90°，若直线AB1与直线A1C所成角的余弦值是，则棱AB的长度是________．
答案　1
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a(a>0)，则A(0,0,0)，B1(a,0,2)，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，所以＝(a,0,2)，＝(0,1，－2)，
所以|cos〈，〉|＝＝＝，
解得a＝1，所以棱AB的长度是1.
11．(2023·洛阳模拟)二面角α－l－β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则平面α与平面β的夹角为________．
答案　60°
解析　设二面角α－l－β的大小为θ，
因为AC⊥AB，BD⊥AB，
所以·＝0，·＝0，
由题意得＝＋＋，
所以||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2·
＝36＋16＋64＋2×6×8×cos(180°－θ)＝(2)2，
所以cos(180°－θ)＝－，即cos θ＝，
所以θ＝60°，则平面α与平面β的夹角为60°.
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为________；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sin θ的值为________．
答案　90°　
解析　如图，以点D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，
G(1,2,2)，
∴＝(－2,2，－2)，＝(0,1,1)，
＝(－1,1,2)，
∴·＝0＋2－2＝0，
·＝2＋2－4＝0，
∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF 平面EFGHKL，
∴A1C⊥平面EFGHKL，
∴直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为90°.
又D1(0,0,2)，B(2,2,0)，＝(2,2，－2)，
由题意知＝(－2,2，－2)为平面EFGHKL的一个法向量，
设直线D1B与平面EFGHKL所成的角为α，则
sin α＝|cos〈，〉|＝＝＝，
∵直线PQ 平面EFGHKL，
∴直线D1B与直线PQ所成的角最小时即为直线D1B与平面EFGHKL所成的角，∴sin θ＝.
四、解答题
13.如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．
(1)证明　由CF∥AE，CF 平面ADE，AE 平面ADE，得CF∥平面ADE，
由AD∥BC，BC 平面ADE，AD 平面ADE，
得BC∥平面ADE，
又CF∩BC＝C，CF，BC 平面BCF，
所以平面BCF∥平面ADE，
又BF 平面BCF，所以BF∥平面ADE.
(2)解　因为AE⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，又AD⊥AB，
以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2，
所以B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，
则＝(－1，－2,2)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)，
设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令z＝1，则x＝2，y＝2，
即m＝(2,2,1)，
所以|cos〈m，〉|＝＝＝，
即直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
14．(2024·南昌模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝AB，现将△ADC沿AC翻至△APC，使二面角P－AC－B为直二面角．
(1)证明：CB⊥PA；
(2)若AB＝4，二面角B－PA－C的余弦值为，求异面直线PC与AB所成角的余弦值．
(1)证明　取AB的中点E，连接CE(图略)，
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝AB，AE∥DC，AE＝DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
CE＝AD，CE＝AE＝EB，
∴∠ACB＝90°，即CB⊥CA，
∵二面角P－AC－B为直二面角，
∴平面PAC⊥平面ACB，
又平面PAC∩平面ACB＝AC，CB 平面ABC，
∴CB⊥平面PAC，
又PA 平面PAC，∴CB⊥PA.
(2)解　由AB＝4知PA＝PC＝2，
取AC的中点O，则OE∥CB.
∴OE⊥AC，且OP⊥AC，OC，OE，OP两两互相垂直．
以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设OC＝a(a>0)，则C(a,0,0)，P(0,0，)，A(－a,0,0), B(a,2，0)，
＝(2a,2，0)，＝(a,0，)，
易得平面PAC的一个法向量为 n1＝(0,1,0)，
设平面PAB的法向量为n2＝(x，y，z)，
由
取x＝，得y＝－a，z＝－a，
故n2＝(，－a，－a)，
由|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，
得a＝，
则＝(，0，－1)，＝(2，2,0)，
设异面直线PC与AB所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，
所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为.§7.7　向量法求空间角
课标要求　1.能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题．
知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝________________________________________________________________________.
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝____________.
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝____________.
常用结论
1．异面直线所成角的范围是；直线与平面所成角的范围是；二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是.
2．若平面α与平面β的夹角为θ1，平面α内的直线l与平面β所成角为θ2，则θ1≥θ2，当l与α和β的交线垂直时，取等号．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　)
(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(　　)
(4)二面角α－l－β的平面角与平面α，β的夹角相等．(　　)
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　)
A. B. C.或 D.或
题型一　异面直线所成的角
例1 (1)(2023·武汉模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
(2)(2023·开封模拟)在如图所示的圆台中，四边形ABCD为其轴截面，AB＝2CD＝4，母线长为，P为下底面圆周上一点，异面直线AD与 OP(O为下底面圆心)所成的角为，则CP2的大小为(　　)
A．7－2 B．7－2或7＋2
C．19－4 D．19－4或19＋4
思维升华 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意异面直线所成角的范围是，即异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长为3，则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为______________．
题型二　直线与平面所成的角
例2 (2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________
跟踪训练2 (2023·开封模拟)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为6π，点P在圆柱OQ的下底面圆周上，且△OPB是边长为的等边三角形．
(1)若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
(2)若＝2，求GB与平面ABCD所成角的正弦值．
________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________
题型三　平面与平面的夹角
例3 (12分)(2023·全国乙卷)如图，三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)证明：EF∥平面ADO；[切入点：由BF⊥AO找F位置]
(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；[切入点：证明AO⊥平面BEF]
(3)求二面角D－AO－C的正弦值．[关键点：由AO⊥BE及PB长求点P坐标]
[思路分析]
(1)利用向量及⊥→F为AC中点→EF∥OD
(2)利用勾股定理→AO⊥OD→AO⊥平面BEF
(3)建系设点P坐标→由AO⊥BE及PB长求点P坐标→求法向量→求角
思维升华 利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．
(1)证明　设AF＝tAC，
(1分)
①处用，表示，
因为BF⊥AO，
(3分)
②处利用⊥找点F位置⊥找点F位置
又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点，于是EF∥PC，DO∥PC，所以EF∥DO，
又EF 平面ADO，DO 平面ADO，所以EF∥平面ADO.(4分)
(2)证明　由(1)可知EF∥DO，
(6分)
③处利用勾股定理证明AO⊥OD
所以EF⊥AO，
又AO⊥BF，BF∩EF＝F，BF，EF 平面BEF，则有AO⊥平面BEF，(7分)
又AO 平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF.(8分)
(3)解　如图，以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(2,0,0)，O(0，，0)，
＝(－2，，0)．
因为PB＝PC，BC＝2，
所以设P(x，，z)，z>0，(9分)
则＝＋＝＋＝(2,0,0)＋(x－2，，z) ＝，
④处求坐标
由(2)得AO⊥BE，
(10分)
⑤处利用AO⊥BE及PB长求点P坐标
由D为PB的中点，得D，则＝.
设平面DAO的法向量为n1＝(a，b，c)，
则即
得b＝a，c＝a，取a＝1，则n1＝(1，，)．
易知平面CAO的一个法向量为n2＝(0,0,1)，(11分)
设二面角D－AO－C的大小为θ，
则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， 所以sin θ＝＝，
⑥处利用向量法求两法向量夹角
故二面角D－AO－C的正弦值为.(12分)
利用法向量的方向判断二面角
二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m，n“一进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同出”时，m，n的夹角就是二面角的补角．
典例　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为棱AB的中点，则二面角D1－EC－D的余弦值为________．
跟踪训练3 (2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)点F满足＝，求平面DAB与平面ABF夹角的正弦值．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________一、单项选择题
1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
4．(2023·沧州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
5．(2024·郑州模拟)如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且AC∥OB，OP＝AB＝OA，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
6．(2023·杭州模拟)若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点(如图1)，沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P(如图2)，则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题
7．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1＝(1,0,0)，n2＝(－，0,1)，则二面角A－BD－C的大小可能为(　　)
A. B. C. D.
8．(2023·深圳模拟)如图，在矩形AEFC中，AE＝2，EF＝4，B为EF中点，现分别沿AB，BC将△ABE，△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P－ABC，则(　　)
A．三棱锥P－ABC的体积为
B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
D．三棱锥P－ABC外接球的半径为
三、填空题
9．(2023·天津统考)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，则异面直线A1C1与AD1所成角的余弦值为________．
10．在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝90°，若直线AB1与直线A1C所成角的余弦值是，则棱AB的长度是________．
11．(2023·洛阳模拟)二面角α－l－β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则平面α与平面β的夹角为________．
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为________；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sin θ的值为________．
四、解答题
13.如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．
14．(2024·南昌模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝AB，现将△ADC沿AC翻至△APC，使二面角P－AC－B为直二面角．
(1)证明：CB⊥PA；
(2)若AB＝4，二面角B－PA－C的余弦值为，求异面直线PC与AB所成角的余弦值．
§7.7　向量法求空间角
1．B　2.C　3.B　4.A
5．A　[∵AB是圆柱底面圆的一条直径，
∴∠AOB＝90°，∠ACB＝90°，
∵OP＝AB＝OA，
∴∠BAO＝45°，
∴OA＝OB，
∵AC∥OB，∴∠OAC＝90°，
∴四边形OACB为正方形，设AB＝2，
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，，0)，P(0,0,2)，C(，，0)，＝(－，，0)，＝(－，0,2)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝，则n＝(，，1)，
又＝(，，－2)，
设直线PC与平面PAB所成的角为θ，
∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
∴直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.]
6．A　[由E，F分别是为CD，CB的中点，可得EF2＝CE2＋CF2＝DE2＋BF2＝PE2＋PF2，
则PE⊥PF.
由AD⊥DE，AB⊥BF，
可得PA⊥PE，PA⊥PF，
所以PA，PF，PE两两互相垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得P(0,0,0)，E，
F，A(0,0，a)，
设C(x，y，z)，
由 AC＝a，CE＝CF＝，
得
解得
即得C，
所以可得 ＝， ＝，
设平面PCE的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则
令y′＝1，则x′＝0，z′＝1，
所以平面PCE的一个法向量为 n＝(0,1,1)，
又 ＝(0,0，a)，
设PA与平面PCE所成的角为θ，
所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.]
7．AD
8．BD　[由题意可得BP⊥AP，BP⊥CP，
又AP∩CP＝P，AP，CP 平面PAC，所以BP⊥平面PAC，
在△PAC中，PA＝PC＝2，AC边上的高为＝2，
所以V三棱锥P－ABC＝V三棱锥B－PAC＝××4×2×2＝，故A错误；
在△PAC中，cos∠APC＝＝，
BC＝＝4，
|cos〈，〉|＝
＝
＝
＝
＝＝，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；
S△PBC＝PB·PC
＝×2×2＝2，
设点A到平面PBC的距离为d，
由V三棱锥B－PAC＝V三棱锥A－PBC，
得×2d＝，解得d＝，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为＝＝，故C错误；
由B知，cos∠APC＝，
则sin∠APC＝，
所以△PAC的外接圆的半径
r＝·＝，
设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，又因为BP⊥平面PAC，
则R2＝r2＋2＝＋1＝，
所以R＝，即三棱锥P－ABC外接球的半径为，故D正确．]
9.　
10．1
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a(a>0)，则A(0,0,0)，B1(a,0,2)，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，所以＝(a,0,2)，＝(0,1，－2)，
所以|cos〈，〉|＝＝＝，
解得a＝1，所以棱AB的长度是1.
11．60°
解析　设二面角α－l－β的大小为θ，
因为AC⊥AB，BD⊥AB，
所以·＝0，·＝0，
由题意得＝＋＋，
所以||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2·
＝36＋16＋64＋2×6×8×cos(180°－θ)＝(2)2，
所以cos(180°－θ)＝－，
即cos θ＝，所以θ＝60°，
则平面α与平面β的夹角为60°.
12．90°　
解析　如图，以点D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，
G(1,2,2)，
∴＝(－2,2，－2)，＝(0,1,1)，
＝(－1,1,2)，
∴·＝0＋2－2＝0，
·＝2＋2－4＝0，
∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF 平面EFGHKL，
∴A1C⊥平面EFGHKL，
∴直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为90°.
又D1(0,0,2)，B(2,2,0)，＝(2,2，－2)，
由题意知＝(－2,2，－2)为平面EFGHKL的一个法向量，
设直线D1B与平面EFGHKL所成的角为α，则
sin α＝|cos〈，〉|＝＝＝，
∵直线PQ 平面EFGHKL，
∴直线D1B与直线PQ所成的角最小时即为直线D1B与平面EFGHKL所成的角，∴sin θ＝.
13．(1)证明　由CF∥AE，CF 平面ADE，AE 平面ADE，得CF∥平面ADE，
由AD∥BC，BC 平面ADE，AD 平面ADE，
得BC∥平面ADE，
又CF∩BC＝C，CF，BC 平面BCF，
所以平面BCF∥平面ADE，
又BF 平面BCF，
所以BF∥平面ADE.
(2)解　因为AE⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，又AD⊥AB，
以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2，所以B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，1,0)，E(0,0,2)，则＝(－1，－2,2)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)，
设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令z＝1，则x＝2，y＝2，
即m＝(2,2,1)，
所以|cos〈m，〉|＝＝＝，即直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
14．(1)证明　取AB的中点E，连接CE(图略)，
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝AB，AE∥DC，AE＝DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
CE＝AD，CE＝AE＝EB，
∴∠ACB＝90°，即CB⊥CA，
∵二面角P－AC－B为直二面角，
∴平面PAC⊥平面ACB，
又平面PAC∩平面ACB＝AC，CB 平面ABC，
∴CB⊥平面PAC，
又PA 平面PAC，∴CB⊥PA.
(2)解　由AB＝4知PA＝PC＝2，
取AC的中点O，则OE∥CB.
∴OE⊥AC，且OP⊥AC，OC，OE，OP两两互相垂直．
以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设OC＝a(a>0)，则C(a,0,0)，P(0,0，)，A(－a,0,0), B(a，2，0)，
＝(2a,2，0)，＝(a,0，)，
易得平面PAC的一个法向量为 n1＝(0,1,0)，
设平面PAB的法向量为n2＝(x，y，z)，
由
取x＝，
得y＝－a，z＝－a，
故n2＝(，－a，－a)，
由|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，得a＝，
则＝(，0，－1)，＝(2，2,0)，
设异面直线PC与AB所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，
所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为.

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