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沈阳二中 24 届高三第四次模拟考试数学试题
命题人：高三数学组 审校人：高三数学组
说明：1.测试时间：120 分钟 总分：150 分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 颐 躠 躠 颐 log香
1 ， 颐 躠 躠 颐 1 香 ，则( )
A. 颐 1香1 B. 颐
C. 颐 1香 ∞ D. 颐
2.从装有 个红球和 个黑球的口袋内任取 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球 D. 至少有一个黑球与至少有一个红球
3.在平面直角坐标系 躠中，点 在直线 4躠 1 颐 上若向量 颐 香4，则 在上的投影向量为
( )
香 4A. B. 香 4 香 4 香 4C. D.

4.已知单位圆 躠 颐 1 上一点 香 ，现将点 绕圆心逆时针旋转 到点 ，则点 的横坐标为

( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
1 1 1 1
5.已知函数 颐 ln 1 1 1的图象在点 香 处的切线的斜率为 ，则数列 的前 项和 1
为 ( )
1
A. B. C. D.
1 1 4 1 1
6.双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是 两组双曲线研究发
1
现，函数 躠 颐 的图象实际上是双曲线进一步探究可以发现对勾函数 躠 颐 ， 香 的图象

是以直线 躠 颐 颐 1， 为渐近线的双曲线现将函数 躠 颐 的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于 轴

上的双曲线 ，则它的离心率是( )
4
A. B. C. 4 D. 4

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7.已知定义在 上的函数 满足：对任意 ， ′ 恒成立，其中 ′ 为 的导函
数，则不等式 1 4 的解集为( )
A. 4香 ∞ B. 1香4 C. ∞香 D. ∞香4
8.经研究发现：任意一个三次多项式函数 颐 的图象都只有一个对称中心点
香 ，其中 是 ′′ 颐 的根，′ 是 的导数，′′ 是 ′ 的导数．若函数 颐
图象的对称点为 1香 ，且不等式 ln 1 对任意
1香 ∞ 恒成立，则 ( )
A. 颐 B. 颐
C. 的值不可能是 D. 1的值可能是

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．已知 a，b R，方程 x3 3x2 ax b 0有一个虚根为1 i，i为虚数单位，另一个虚根为 z，则（ ）
A． 颐 B．该方程的实数根为 1
C． z 2 i D． 4 颐 1 1
10．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC 2, AA1 4，E是棱 BB1上的一点，点 F在棱DD1上，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 A1，C，E，F四点共面，则 BE DF
B．存在点 E，使得 BD / /平面 A1CE
C．若 A1，C，E，F四点共面，则四棱锥C1 A1ECF的体积为定值
D．若 A1，C，E，F四点共面，则四边形 A1ECF的面积不为定值
11．已知函数 f x 和其导函数 g x 的定义域都是R ，若 f x x与 g 2x 1 均为偶函数，则（ ）
A． f 0 0
f x
B． 关于点 0,1 对称
x
C． (g(1) 1) (g(2) 1) (g(2) 1) (g(3) 1) (g(2023) 1) (g(2024) 1) 0
D． g(2023) 1
第Ⅱ卷
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三、填空题：本题共三小题，每小题 5 分，共 15 分.
2 2
12． 若点（0,1）在圆 x y 2ax 2y a 1 0外，则实数 a的取值范围为 ．
13．某班成立了 A,B两个数学兴趣小组，A组10人， B组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该
测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为 215．则在这次测试中全
班学生方差为 ．
14．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643—1727）在《流数法》
一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设 r 是函数 y f x 的一个
零点，任意选取 x0作为 r 的初始近似值，过点 x0 , f x0 作曲线 y f x 的切线 l1，设 l1与 x 轴交点的横坐
标为x1，并称x1为 r 的 1 次近似值；过点 x1, f x1 作曲线 y f x 的切线 l2，设 l2与 x 轴交点的横坐标为
x *
2，称x2为 r 的 2 次近似值．一般地，过点 xn , f xn n N 作曲线 y f x 的切线 ln 1，记 ln 1与 x 轴交
点的横坐标为 xn 1，并称 xn 1为 r 的 n 1次近似值．若 f x x2 3，取 x 20 作为 r 的初始近似值，则
3
f x 0 f x x3 3x 3x的正根的二次近似值为 ．若 3x 2，x1 1，设 a n nn 3 ，n N*，数列 a 2xn 2
n
的前 n 项积为Tn．若任意 n N*，Tn 恒成立，则整数 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.
2
15.（13 分）在 ABC中，内角 A,B,C
sin C sinC sin B
所对的边分别为 a,b,c，且 2 1cos B cos2 A
(1)求角 A的大小；
(2)若 ABC为锐角三角形，点 F 为 ABC的垂心， AF 6，求CF BF 的取值范围.
ABC - A BC ABB A
16.（15 分）如图，三棱柱 1 1 1 中，侧面 1 1 底面 ABC， AB BB1 4, AC 4 3

B1BA 60
o A B
，点D是棱 1 1的中点， BC 4BE，DE BC .
（1）证明： AC AB .
BB
（2）求直线 1与平面 DEA1 所成角的余弦值.
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17.（15 分）某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投 3球，进球多的一方获得胜利，胜利 1 次，则获
1
得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是 2 和 p，且每人进球与否互不影响．
3
(1)若 p ，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
4
1 3
(2)若 p ，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得 3 个积分且在获得一个积分的比赛中至少要超甲
3 4
2 个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
18.（17 分）已知抛物线 E : x2 2y，过点T (1,1)的直线与抛物线E交于 A,B两点，设抛物线 E在点 A,B
l1 l2 l1 x M , l l l处的切线分别为 和 ，已知 与 轴交于点 2 与 x轴交于点 N ，设 1与 2的交点为 P .
（1）证明：点 P在定直线上；
2
（2）若 PMN面积为 ，求点 P的坐标；
2
（3）若 P,M ,N ,T 四点共圆，求点 P的坐标.
19．（17 分）记 颐 颐 香 香 ，若存在 ，满足：对任意 ，均有 香
，则称
香
为函数 在 香 上的最佳逼近直线．已知函数 颐
1， 1香1 ．
(1)请写出 在 1香1 上的最佳逼近直线，并说明理由；
(2)求函数 颐 在 1香1 上的最佳逼近直线
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{#{QQABRYIEogioQIBAABhCQwXSCgIQkAGCCIoORBAAIAAASAFABAA=}#}沈阳二中 24 届高三第四次模拟考试数学答案
1.设集合 禠 紘ǘ紘 禠 log香
1 ， 禠 紘ǘ紘 禠 1 香 ，则( )

A. 禠 1香1 B. 禠
C. 禠 1香 ∞ D. 禠
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查并集运算、交集运算、补集运算、指数函数与对数函数的值域，属于基础题．
化简集合 ，，再对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：因为集合 禠 紘ǘ紘 禠 log香
1 禠 紘ǘ紘 1 ，

禠 紘ǘ紘 禠 1 香 禠 紘ǘ 紘 1 ，
所以 禠 香1 禠 ，故 A错误，D 正确；
所以 禠 ，故 B 错误；
因为 禠 ∞香 h 1香 ∞，
所以 禠 1香 h 1香 ∞，故 C错误．
故选 D．
2.从装有 个红球和 个黑球的口袋内任取 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球 D. 至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查互斥事件与对立事件，属于基础题．
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可得到结果．
【解答】
解：“至少有一个黑球”发生时，“都是黑球”也会发生，故 A 不互斥，当然不对立；
B.“至少有一个黑球”说明有黑球，黑球的个数可能是 1或 ，
而“都是红球”说明没有黑球，黑球的个数是 ，
这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故 B 是对立的；
C.“恰有 1个黒球”与“恰有 个黒球”互斥，但不是必有一个发生，故不对立；
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D.“至少有一个黑球”，黑球的个数可能是 1或 ，表明红球个数为 或 1，这与“至少有 1个红球”不互
斥，因此它们不对立．
故选 C．
3.在平面直角坐标系 体紘中，点 在直线 紘 1 禠 上若向量 禠 香 ，则体在上的投影向量为
( )
香 A. B. 香 C. 香 D. 香
5 5 5 5 5 5 5 5
【答案】C
【解析】【分析】
本题投影向量的计算，向量的数量积的计算，属于基础题．
根据题意，设 的坐标为 香 ，求出体 的值，进而计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设 的坐标为 香 ，所以体 禠 香 ，
所以体 禠 ，
又由点 在直线 紘 1 禠 上，则 禠 1，
故体 禠 1，
故体

在 体上的投影向量 · 禠
香
ǘǘ 5 5
故选：．
5 5
4.已知单位圆 紘 禠 1上一点 香 ，现将点 绕圆心逆时针旋转 到点 ，则点 的横坐标为
5 5
( )
15 5 15 5 15 5 15 5
A. B. C. D.
1 1 1 1
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角和与差的余弦公式，属于基础题．
体 体 cos 禠 5 5 记 ， 的终边分别为 ， ，由条件知 ，sin 禠 ，又 cos 禠 cos ，结合两角和与差
5 5
的余弦公式计算即可求解．
【解答】
解：记，的终边分别为 体，体，
5 5
由条件知 cos 禠 ，sin 禠 ，
5 5
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cos 禠 cos 禠 coscos sinsin 禠 5 5 1 禠 15 5故得 × × ，
5 5 1
15 5即点 的横坐标为 ，
1
故选 C．
1 1 1
5.已知函数 禠 ln 的图象在点 香 处的切线的斜率为 ，则数列 的前 项和 1
为
( )
1 5 5
A. B. C. D.
1 1 1 1
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列与函数相结合，数列求和以及函数的导数的应用，裂项相消法求和，考查转化思想以及计算
能力，属于中档题．
利用函数的导数，求出切线的斜率，得到 ，然后利用裂项相消法求解数列的前 项和即可．
【解答】
解：函数 禠 ln ，
1
可得：′ 禠 ，

因为函数 禠 ln 1 1的图象在点 香 处的切线的斜率为 ，

1
可得： 禠 1 禠 ．

1 禠 1 禠 1 1 1 ，
· 1 1
则数列 1 的前 1项的和为： 1 1 1 1 1 1 … 禠 ．
1 1 1
故选 C．
6.双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是 两组双曲线研究发
1
现，函数 紘 禠 的图象实际上是双曲线进一步探究可以发现对勾函数 紘 禠 ， 香 的图象

1
是以直线 紘 禠 ， 禠 为渐近线的双曲线现将函数 紘 禠 的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于 轴

上的双曲线 ，则它的离心率是( )

A. B. C. D.

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【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，考查正切的二倍角公式，属于中档题．
首先确定旋转前双曲线的渐近线，得到该函数对应的双曲线焦点在 紘 禠 ， 禠 夹角 锐角的角平分线
上，根据斜率与倾斜角关系、二倍角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率．
【解答】
解：由题意得 紘 禠 1的两条渐近线分别为 紘 禠 ， 禠 ，

所以该函数对应的双曲线焦点在 紘 禠 ， 禠 夹角 锐角的角平分线 上，
所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于 轴上的双曲线 一条渐近线的倾斜角为 ，


因为 禠 禠 1 ，所以 禠 1 负值舍去， 1
紘
设此时双曲线方程为 禠 1， ， ，


则 禠 1，


故 禠 1 禠 1 禠 ．
故选：．
7.已知定义在 上的函数 满足：对任意 ， ′ 恒成立，其中 ′ 为 的导函
数，则不等式 1 的解集为( )
A. 香 ∞ B. 1香 C. ∞香 D. ∞香
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与构造法的应用，考查了逻辑推理能力与运算
能力，属于中档题．

设函数 禠 ，结合已知条件，利用导数判断 的单调性，不等式 1
1

1

，即 1 ，得到 1 ，解之即可．
【解答】

解：设函数 禠

，
′
因为对任意 ， ′ 恒成立，所以 ′ 禠 ，

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在 上单调递增．
不等式 1 1 1 ，
1 1 1
即 1 ，
1 ，解得 ，
不等式 1 的解集为 ∞香 ，
故选 D．
8.经研究发现：任意一个三次多项式函数 禠 的图象都只有一个对称中心点
香 ，其中 是 ′′ 禠 的根，′ 是 的导数，′′ 是 ′ 的导数．若函数 禠
图象的对称点为 1香 ，且不等式 ln 1 h对任意
1香 ∞ 恒成立，则
( )
A. 禠 B. 禠
C. 1的值不可能是 D. 的值可能是

【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究不等式恒成立，利用导数研究函数的最值，属于中档题．
由题意可得 1 禠 且 ′′ 1 禠 ，由此列式求得 与 的值，可判断 ，；

1 h 1，等价于 ，利用放缩法求得不等式右侧的最小
ln1
值，可得 的范围，由此判断 与 ．
【解答】
解：由题意得 1 禠 1 1 禠 ，
′ 禠 1，′ ′ 禠 ，
′ ′ 1 禠 禠 ，解得 禠 ， 禠 1，故 A 正确，B 错误；
此时 禠 1，

1， ln 1 h 1等价于 ，
ln1
当 时， 1，则 禠 ln ln 1 当且仅当 禠 时，等号成立，
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{#{QQABRYIEogioQIBAABhCQwXSCgIQkAGCCIoORBAAIAAASAFABAA=}#}
1 ln
从而 禠 ，故 ，故 C，D 错误．
ln1 ln1
故选 A．
9．已知 a，b R
3 2
，方程 x 3x ax b 0有一个虚根为1 i，i为虚数单位，另一个虚根为 z，则（ ）
A． 禠 B．该方程的实数根为 1
C． z 2 i D． 禠 1 1
9．BD
【详解】由1 i是方程 x
3 3 2 3x2 ax b 0的根，得 (1 i) 3(1 i) a(1 i) b 0，
a b 2 0 a 4

整理得 (a b 2) (a 4)i 0，而 a,b R，因此 a 4 0 ，解得 b 2，
对于 A， a 4，A 错误；
3 2 2
对于 BC，方程 x 3x 4x 2 0，变形为 (x 1)(x 2x 2) 0，
显然此方程还有一个实根 1，另一个虚根1 i，B 正确，C 错误；
2024 2 1012
对于 D， z [(1 i) ] ( 2)
1012 i1012 21012 ，D正确.
ABCD ABC D AB BC 2, AA 4 BB DD
10．如图，在长方体 1 1 1 1中， 1 ，E是棱 1上的一点，点 F在棱 1上，
则下列结论正确的是（ ）
A
A．若 1，C，E，F四点共面，则 BE DF
B．存在点 E，使得 BD / /平面 A1CE
A
C．若 1
C A ECF
，C，E，F四点共面，则四棱锥 1 1 的体积为定值
A A ECF
D．若 1，C，E，F四点共面，则四边形 1 的面积不为定值
10．BCD
ABCD A1B1C1D1 A1,C,E,F ABB A / /【详解】在长方体 中，若 四点共面，平面 1 1 平面CDD1C1，
平面 A1ECF 平面 ABB1A1 A1E，平面 A1ECF 平面CDD1C1 CF ，则CF / /A1E，同理CE / /A1F ，
A1,C,E,F A1ECF A1E CF Rt A1B1E对于 A，由 四点共面，得 ，则 ， ≌Rt△CDF，
于是 B1E DF ，若 E不是棱 BB1的中点，则有 BE DF，A错误；
对于 B，当 E是棱 BB1的中点时，由选项 A知， F 为DD1的中点，四边形 BEFD是平行四边形，
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则 EF / /BD，而 EF 平面 A1CE,BD 平面 A1CE，因此BD / /平面 A1CE，B正确；
BB / /CC CC ACC BB ACC
对于 C，由长方体性质知 1 1，且 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，
BB
则 1
/ / A1CC1 DD / / ACC ACC平面 ，同理可得 1 平面 1 1，即点 E， F到平面 1 1的距离为定值，
△A1CC1 E A又 的面积为定值，因此三棱锥 1CC1 F ACC和三棱锥 1 1的体积都为定值，
四棱锥C1 A1ECF的体积为定值，C正确；
BB A ECF 2 2 2
对于 D，当点E为 1中点时， 1 是菱形， EF 2 2, A1C 2 2 4 2 6，
1
A ECF EF A1C 4 3 B
四边形 1 的面积为 2 ，当点 E与点 1重合时， F与D重合，
A ECF ABCD 2
四边形 1 为矩形 1 1 ，面积为 2 2 4
2 4 5 A1ECF，四边形 的面积不为定值，D正确.
f x g x
11．已知函数 和其导函数 的定义域都是R f x x g 2x 1 ，若 与 均为偶函数，则（ ）
f 0 0
A．
f x
x 0,1B． 关于点 对称
C． (g(1) 1) (g(2) 1) (g(2) 1) (g(3) 1) (g(2023) 1) (g(2024) 1) 0
D． g(2023) 1
11．BC
f (x) 1 x g x 1 f (x) x 1 f x x【详解】假设 ，则 ，则 ， 与 g(2x 1) 1都为偶函数，
则所设函数 f (x) 1 x符合题意，此时 f (0) 1，故 A 错误；
f (x) f ( x)
因为 f (x) x为偶函数，所以 f (x) x f ( x) x
2
，即 x x ，
h x f (x)
x h x h令 ，则 x 2 h，所以 x 关于点(0,1)对称，故 B 正确；
又 g(2) g( 2) 2 g(2) g( 2) g 2 g 2 1， ，所以 ，
由 g(x) g( x) 2，得 g(0) g( 0) 2，则 g(4) g(0) 1，所以 g(2) g(4) 2，
由 g(x 4) g(x)知函数 g(x)周期为 4，则 g(x) g(x 1)的周期也为 4，则
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(g(1) 1) (g(2) 1) (g(2) 1) (g(3) 1) (g(2023) 1) (g(2024) 1)
g(1)g(2) g(2)g(3) g(2023)g(2024) g(2024) g(1) 2023
506 g(1)g(2) g(2)g(3) g(3)g(4) g(4)g(5) g(2024)g(2025) g(2024) g(1) 2023
506 g(2) g(4) g(1) g(3) g(0)g(1) g(0) g(1) 2023
506 4 g 1 1 g 1 2023 0
，所以 C 正确.
因为 g(2x 1)为偶函数，所以 g(2x 1) g( 2x 1)，
所以函数 g(x)的图象关于直线 x 1对称，即 g(1 x) g(1 x)，即 g(2 x) g( x)，
因为 f (x) x f ( x) x，所以 f (x) 1 f ( x) 1，所以 g(x) g( x) 2，
则 g(x) g(2 x) 2，故 g(x 2) g(4 x) 2，
所以 g(x 4) g(x)，所以 g(2023) g(3)，又 g( 1) g(3)， g(0) g(4)，
所以 g(1) g(3) g(1) g( 1) 2，所以无法确定 g(2023)的值，所以 D 错误；
2 2
12． 若点（0,1）在圆 x y 2ax 2y a 1 0外，则实数 a的取值范围为 ．
12. a 1
13．某班成立了 A,B两个数学兴趣小组，A组10人， B组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该
测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为 215．则在这次测试中全
班学生方差为 ．
13.
13． 265
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.
2 2
【详解】依题意 xA 130， sA 115， xB 110， sB 215，
x 10 130 30 110 115
∴ 10 30 10 30 （分），
∴全班学生的平均成绩为115分．
2 10 2 2s 2 sA xA x
30

s2 x x
全班学生成绩的方差为 10 30 10 30
B B
10 30
115 225 215 25 85 180 265.
10 30 10 30
第 页，共 15页
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14．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643—1727）在《流数法》
y f x
一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设 r 是函数 的一个
x , f x y f x l l
零点，任意选取 x0作为 r 的初始近似值，过点 0 0 作曲线 的切线 1，设 1与 x 轴交点的横坐
x x x , f x y f x l l
标为 1，并称 1为 r 的 1 次近似值；过点 1 1 作曲线 的切线 2，设 2与 x 轴交点的横坐标为
*
x x x , f x n N y f x l
2，称 2为 r 的 2 次近似值．一般地，过点 n n 作曲线 的切线 n 1 l，记 n 1与 x 轴交
x x f x x2 3 x 2
点的横坐标为 n 1，并称 n 1为 r 的 n 1次近似值．若 ，取 0 作为 r 的初始近似值，则
3
3 a
3xn 3x n
f x 0 f x x 3x 2 x1 1 n 3 * a的正根的二次近似值为 ．若 ， ，设 2xn 2 ，n N ，数列 n
的前 n 项积为Tn．若任意 n N
*
，Tn 恒成立，则整数 的最小值为 ．
97
14． 56 2
f x 2x y 2x
【详解】 ，切线方程为 n
x xn f xn ，
f xx
3
n 1 x
n
n x
xn 3 1 3
n xn f x
故 n 2xn 2 2xn ，
x 1 x 3 3 7 1 x 1 x 3 1 7 6 97
x 2 1 0 2 1
当 0 时， 2 2x0 4 4， 2 2x1 2 4 7 56 ．
f xn x3n 3xn 2 f xn 3x2n 3 y f xn x xn f xn ， ，切线方程为 ，
x 2x
3
n 2 xn 1 2x
3 2 1
n 1 2
n
则 3xn 3， xn 3x
3
n 3xn an ，
T a a a xn xn 1 x2 x 1n n n 1 1 1
故 xn 1 xn x3 x2 xn 1 ，
1 3 1
f x函数 x
3 3x f 0 2 f 1 1 0 r ,1
为增函数， 2 8 ， ，故 2 ，
1
x 1 1
1
2
2 n 1 xn 1 min 2故 ，即 ， 为整数， ．
2
ABC A,B,C a,b,c sin C sinC sin B15.（13 分）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 2 1cos B cos2 A
(1)求角 A的大小；
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(2)若 ABC为锐角三角形，点 F 为 ABC的垂心， AF 6，求CF BF 的取值范围．
【答案】(1) A
3
(2)（6 3,12
ABC - A BC ABB A
16.（15 分）如图，三棱柱 1 1 1 中，侧面 1 1 底面 ABC， AB BB1 4, AC 4 3
B BA 60o

1 ，点D AB是棱 1 1的中点， BC 4BE，DE BC .
（1）证明： AC AB；
BB
（2）求直线 1与平面 DEA1 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
85
（2）
10
解：（1）
DA DA
由题意得 1，即DA AB .
ABB A ABB A
因为平面 1 1 平面 ABC，且交线为 AB，由DA AB，DA 平面 1 1，得DA 平面 ABC .
由 BC 平面 ABC，得DA BC，DA AC .
因为DE BC，DA DE D，且DA，DE 平面DAE，
所以BC 平面DAE . 由 AE 平面DAE，得 BC AE .
设 BE t，CE 3t
2 2 2 2
，有 BA t AC (3t) ，解得： t 2即 BE=2
2 2 2
所以 BC=8，满足 BA AC BC ，即 AC AB .
(2)

以A为坐标原点， AB, AC , AD分别为 x, y, z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.
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D(0,0,2 3)， E(3, 3,0)，A1( 2,0,2 3)，

设平面 DEA
n x, y, z
1 的法向量 ，
n

DA1 0

n EA1 0 PBD n 0,2,1 由 ， 得到平面 的一个法向量 .

又BB1 AA ( 2,0,2 3)，1
BB
设直线 1与平面DEA1 所成角的大小为 ，
n

BB1sin 3 15 cos n, BB1
n

BB1 5 4 10
则 ., cos 85
10
BB
所以直线 1与平面 DEA
85
1 所成角的余弦值为
10
17.（15 分）某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投 3球，进球多的一方获得胜利，胜利 1 次，则获
1
得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是 2 和 p，且每人进球与否互不影响．
p 3(1)若 ，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
4
1 3
(2)若 p ，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得 3 个积分且每轮比赛至少要超甲 2 个球，从数学
3 4
期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
153
【答案】(1)
256
(2) 12
i 0,1,2,3
【详解】（1）设事件 Ai表示甲在一轮比赛中投进 i个球， Bi表示乙在一轮比赛中投进 i个球，
1 3 3 3 3P A 1 P A C1 1 3 2 1 3 3 1 10 2 8 1 3 P A2 C2 8 3 2 P A3 C3 则 ， ， 8， 2 8；
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1 3
P(B0) ( )
1

4 64
P(B1)
9

64
P(B2)
27

64
P(B 273) 64
若乙在一轮比赛中获得一个积分，则乙胜利1次，
P P B1A0 P B2A0 P B2A1 P B3A0 P B3A1 P B A 故其概率 3 2
P B1 P A0 P B2 P A0 P B2 P A1 P B3 P A0 P B3 P A1 P B3 P A2
153
= .
256
C P C P B2A0 P B3 P A P B P A （2）设事件 表示乙每场比赛至少要超甲 2 个球，则 0 3 1
C2 p2 1 p 1 p3 1 3 1 3 3 3 28 8 8 p p 8 8 ；
设随机变量 X 表示 n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲 2 个球的情况下获得的积分，
X ~ B n,
1 p3 3 p2 E X 1 3 n p3 p2
显然 8 8

，故 8 8 ，
3
1 3 n 3
E X 3 n p p
2
3
1
1 3 p3
3 2
p
要满足题意，则 ，即 8 8 ，又 p , ，故 8 8 ， 3 4
3
x x 2 0
令 x 1 , 3 f (x) 8 x 1 , 3 ，则 在 恒成立， 3 4 3 4
故 f x 1 3 f x f (3 135在 ， 上单调递增，又 的最大值为 ) 3 4 4 512
3
1 p3 3 p2 1 3135 p3 p28 8 512 512则 的最大值为 ， 8 8 的最小值为 ，而 11 12
512 45 45
故理论上至少要进行 12 轮比赛.
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2
18.（17 分）已知抛物线 E : x 2y，过点T (1,1)的直线与抛物线E交于 A,B两点，设抛物线 E在点 A,B
l1 l l M , l l l处的切线分别为 和 2，已知 1与 x轴交于点 2 与 x轴交于点 N ，设 1与 2的交点为 P .
（1）证明：点 P在定直线上；
（2）若 PMN 2面积为 ，求点 P的坐标；
2
（3）若 P,M ,N ,T 四点共圆，求点 P的坐标.
【答案】（1） y x 1
（2）（0， 1）或（2,1）
（3） P(3,2)
2 2 2
2
解：（1）由 x 2y，得 y x ， y x A x , x x，设 （ 1 ）， B（ , 2 ）2 1 2 x2 2
2 2
P x , y l x x l（ ）所以 1方程为：P y x (x x ) 1 ，整理得： y x x 1 .同理可得， 2方程为：P 1 1 2 1 2
2
y x x x22 2
l1 l 联立 方程 2方程解得 x x1 x2 , y x1x2P 2 P 2
因为点 T 在抛物线内部，可知直线 AB的斜率存在，且与抛物线必相交，
2
设直线 AB的方程为 y=k(x-1)+1，与抛物线方程联立得： x 2kx 2k 2 0，
故，所以 x x 2k ,x x 2k 21 2 1 2
所以 x k , y k 1，可知 y x 1所以点 P在定直线 y x 1上.P P P P
M x1 ,0

,N
x2
,0

l , l
.（2）在 1 2的方程中，令 y 0，得 2

2 ，所以 PMN面积
S 1 MN y 1 (x 2 ) 2 P 8 1 x2 x1x2 2
故 k 0或 k=2
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所以点 P的坐标为（0， 1）或（2,1）
x 0
(3)若 1 ，则 P,N 重合，与题设矛盾.
M x1 ,0
抛物线焦点 F（0 1，），由 2 得直线MF 1 1斜率k ，2 MF x1 kMP
可知MF MP，同理 NF NP，所以 PF 是 PMN外接圆的直径.若点T 也在该圆上，则TF TP.
1
由k TPTF ，得直线 的方程为： y -2(x 1) 1.又点 P在定直线 y x 1上，2
4 1
联立两直线方程得P( , )
3 3
19．记 禠 禠 香 香 ，若存在 ，满足：对任意 ，均有 ǘ ǘ 香h
ǘ ǘ，则称 为函数 在 香 上的最佳逼近直线．已知函数 禠 1， 香h
1香1 ．
(1)请写出 在 1香1 上的最佳逼近直线，并说明理由；
(2)求函数 禠 在 1香1 上的最佳逼近直线
1
解：(1) 在 1香1 上的最佳逼近直线为 禠 . ………2 分
易知 在 1香 上单调递减，在(0香1h上单调递增，
且 禠 1 禠 1 禠 , 禠 禠 1，………4 分
1
进而有 禠 1 1 禠 1 禠 1…（*）
1香1h 1香1h 1香1h
………5 分
由 的图象特点可知，对任意 ，均有
1 1 香 1 1 香
1香1 1香1
禠 香 香 1 ……………………………7 分
1香1
下面讨论 香 的大小：
香 1 1①若 至少有一个大于等于 ，则 ，……9分
1香1
香 1 1 1 香 1②若 两个都小于 ，则 1，

1 1 1
所以 ，进而 1 , 所以 1 1

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即 1 …………………12 分
1香1
1
由①②以及（*）式可知 禠 成立
1香1 1香1
禠 1且当 时等号成立.
进而 在 1香1 1上的最佳逼近直线为 禠 . ………13 分
(2)易知点 1香 香 1香 在函数 的图象上，
设 禠 1，再令 禠 ，则 禠 1
1
由（1）问可知 禠 1在 1香1 上的最佳逼近直线为 禠

所以 禠
1香1 1香1
1
1香1
进而 在 1香1 5上的最佳逼近直线为 紘 禠 禠 ………17 分
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