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期末考试相交线与平行线压轴题模拟训练
【例题精讲】
例1．（角之间的数量关系）（1）如图1，在中，的角平分线交于点P，求证：；
（2）如图2，点P为内一点且满足，将沿折叠使得点A与点P重合，得到四边形，若；求的度数；
（3）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），，在与内，且满足，若，，直接写出和α，β之间的数量关系．
例2．（角动点问题）直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

(1)求的度数
(2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）．
①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值．
②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值．
【模拟训练】
1．已知，，点为射线上一点．
(1)如图，若，，则 ．
(2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，并说明理由．
(3)如图，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数并说明理由．
2．（1）问题提出
如图1，，点P在直线之间，且在直线的右侧，点M、N在直线上，探究的数量关系．（此问无需写）
（2）问题探究
①先将问题特殊化，如图2，连，当平分，平分，
直接写出的大小；
②再探究一般情况，如图1，当，求的大小（用含m的式子表示）；
（3）问题拓展
如图3，点E是射线上一动点，直线上有一点Q，连，当，且时，直接写出的大小．（用含n、α的式子表示）（题中所有角都是大于且小于的角）
3．如图，直线，一副直角三角板，中，，，，．
(1)若按如图摆放，当平分时，则______；
(2)若，按如图摆放，求的度数；
(3)若图中固定，（如图）将绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，线段与直线首次重合时停止旋转，当线段与的一条边平行时，请求出旋转时间的值．
4．已知，，点E在直线的右侧，．
(1)如图①，若，则 ；
(2)如图②，若，点F为平面内一点，且，点G在内部，使得，设．
①当点F在内部，且时，请在图②中补全图形，并求m的值；
②若n，m都为正整数且，直接写出m的所有可能取值．
5．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．

(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）；
①在旋转过程中，若边，求的值；
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值．
6．如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．

(1)求的度数；
(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当为角平分线时，求的度数；
②当时，求t的值．
7．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

(1)求的度数；
(2)如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值．中小学教育资源及组卷应用平台
期末考试相交线与平行线压轴题模拟训练
【例题精讲】
例1．（角之间的数量关系）（1）如图1，在中，的角平分线交于点P，求证：；
（2）如图2，点P为内一点且满足，将沿折叠使得点A与点P重合，得到四边形，若；求的度数；
（3）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），，在与内，且满足，若，，直接写出和α，β之间的数量关系．
【答案】（1）详见解析（2）（3）①，，
【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，以及平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键．
（1）由的角平分线交于点P得，，即，因为，，可证；
（2）已知，可得的度数，由于折叠，，，可得的度数，因为，可得C的度数；
（3）点F在延长线上、点F在上、点F在延长线上三种情况讨论．
【详解】（1）证明：∵的角平分线交于点P，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵沿折叠使得点A与点P重合，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）①点F在延长线上时，
，
∵，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵
，
∴，
②点F在上时，
，
∵，，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
③点F在延长线上时，
，
∵，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵
，
∴．
例2．（角动点问题）直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

(1)求的度数
(2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）．
①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值．
②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值．
【答案】(1)
(2)①10；②或．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解．
（1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题；
（2）①由得到由得到，则，解得即可．
②分两种情况，分别画出图形进行解答即可．
【详解】（1）解：如图①中，
∵，
∴，
∵平分．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①解：如图②中，

∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边，t的值为．
②如图，当时，延长交于R．

∵，
∴，
过点K作，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
如图，当时，延长交于R．．

∵，
∴，
过点K作，则，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为或．
【模拟训练】
1．已知，，点为射线上一点．
(1)如图，若，，则 ．
(2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，并说明理由．
(3)如图，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等，角平分线的定义
（1）过作，根据平行线的性质得到，，即可求得；
（2）过作，根据平行线的性质得到，，可得结论；
（3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出的值再通过三角形内角和求；
正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：过作，
∵，，，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：；
（2）．
理由如下：
过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）过作，过作，设交于点，
∵，，，
设，则，
∴，
∵，点在延长线上，
∴，
∴，
∵，点在延长线上，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的度数为．
2．（1）问题提出
如图1，，点P在直线之间，且在直线的右侧，点M、N在直线上，探究的数量关系．（此问无需写）
（2）问题探究
①先将问题特殊化，如图2，连，当平分，平分，
直接写出的大小；
②再探究一般情况，如图1，当，求的大小（用含m的式子表示）；
（3）问题拓展
如图3，点E是射线上一动点，直线上有一点Q，连，当，且时，直接写出的大小．（用含n、α的式子表示）（题中所有角都是大于且小于的角）
【答案】（1）；（2）①；②；（3）或或
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）过点P作，则，由平行线的性质得到，则；
（2）①同理可得，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则，即；②同（2）①求解即可；
（3）分当点Q在线段上时，当点Q在线段延长线上时，当点Q在线段的延长线上时，三种情况画出对应的图形讨论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点P作，则，
∴，
∵，
∴；
（2）①同理可得，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②同理可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，当点Q在线段上时，同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴
；
如图所示，当点Q在线段延长线上时，过点Q作，则，
∴，
，
∵，
∴，
∴
∴
如图所示，当点Q在线段的延长线上时，同理可得；
综上所述，或或．
3．如图，直线，一副直角三角板，中，，，，．
(1)若按如图摆放，当平分时，则______；
(2)若，按如图摆放，求的度数；
(3)若图中固定，（如图）将绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，线段与直线首次重合时停止旋转，当线段与的一条边平行时，请求出旋转时间的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或或．
【分析】()运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
()如图，过点作，利用平行线性质即可求得答案；
()设旋转时间为秒，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可；
本题考查了平行线性质及判定，角平分线定义，一元一次方程的应用等，正确作出辅助线是解题的关键.
【详解】（1）解：在中，，，，
∵ 平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为每秒转， 分三种情况：
当时，如图，此时，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，延长交于，延长交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行．
4．已知，，点E在直线的右侧，．
(1)如图①，若，则 ；
(2)如图②，若，点F为平面内一点，且，点G在内部，使得，设．
①当点F在内部，且时，请在图②中补全图形，并求m的值；
②若n，m都为正整数且，直接写出m的所有可能取值．
【答案】(1)50；
(2)① 52.5 ；②m的值为15或35或45．
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，几何图形中角度的运算，
（1）首先求出，然后利用三角形内角和定理求解即可；
（2）①过点C作射线平分，过点B作，得到，过点E作，得到，
然后根据平行线的性质求解即可；
②根据题意分两种情况讨论：点F在内部和点F在外部，然后根据n，m都为正整数且，确定n的值，进而求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
∵
∴；
（2）解：①过点C作射线平分，过点B作
∵，
∴．
∵，
∴．
过点E作，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴；
②当点F在内部时，
∵，
∴
∵
∴
∵n，m都为正整数且，
∴
∴
解得
∴
∴
∴
∴；
当点F在外部时，
∵，
∴
∴
∵n，m都为正整数且，
∴当时，如图所示，
解得
∴
∴∴
∴
∴；
当时，如图所示，
解得
∴
∴∴
∴
∴；
综上所述，m的值为15或35或45．
5．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．

(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）；
①在旋转过程中，若边，求的值；
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值．
【答案】(1)；
(2)①；②或．
【分析】利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
首先证明，由此构建方程即可解决问题．
分两种情形：如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图中，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：如图中，
，
，
，
，
，
，
在旋转过程中，若边，的值为；
如图中，当时，延长交于，
，
，
，
，
，
；
如图中，当时，延长交于，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．
6．如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．

(1)求的度数；
(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当为角平分线时，求的度数；
②当时，求t的值．
【答案】(1)
(2)①的度数为或；②或
【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解；
（2）①当为角平分线时，则，再分两种情况：当和时，分别求解即可；
②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）过点P作，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；

（2）当为角平分线时，则，
分两种情况：当时，此时的运动时间秒，
∴，这时；
当时，此时的运动时间秒，
∴，这时；
∴的度数为或；
②当即时，若，如图，
则，即，
解得：，不合题意，舍去；

当时，若，如图，
则，即，
解得：；

当时，若，如图，
则，即，
解得：；

当时，不存在互相平行的情况；
综上，当时，t的值是或．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
7．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

(1)求的度数；
(2)如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值．
【答案】(1)
(2)①3或21；②5或17或29
【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果；
（2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可；②表示出，，分三种情况，画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
，
．
（2）①如图，，
，
，
，
，
．

如图，，
，
∵，
∴，
此时旋转了，
∴，
．
在旋转过程中，若边，的值为3或21．
②如图，延长，与交于H，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；

如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
解得：；

如图，延长，与交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；

综上：t的值为5或17或29．
【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

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