资源简介

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8.1直线、圆的方程
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 6
考点一：直线的倾斜角与斜率 6
考点二：直线的方程 11
考点三：交点坐标与距离公式 16
考点四：圆的方程 21
考点五：直线与圆的位置关系 25
考点六：圆与圆的位置关系 31
【真题在线】 36
【专项突破】 46
考点 考情分析 考频
直线与圆 2023年新高考Ⅰ卷T6 2023年新高考Ⅱ卷T15 2022年新高考Ⅱ卷T15 2年3考
圆与圆的位置关系 2022年新高考Ⅰ卷T14
直线方程 2022年新高考Ⅱ卷T3
预测：直线方程、圆的方程是高考的热点考点，近几年在全国卷中都有所体现，难度整体适中，直线方程在后续与圆锥曲线结合也是常考的内容，要全面掌握好基础知识.建议在复习时在掌握好基础的同时要灵活的运用.
考点一：直线的倾斜角与斜率
【典例精析】（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【答案】BC
【分析】
根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.
【详解】由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东聊城·二模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的方程为，若直线与在第一象限内的交点为，且轴，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知与三条直线，，都相切的圆有且仅有两个，则实数的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024·全国·模拟预测）已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A．当直线的斜率为时，直线的斜率为
B．当时，点到直线的距离为
C．的最小值为
D．当时，直线的方程可以为
三、填空题
5．（2024·四川成都·三模）抛物线（）的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点（在第一象限），分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，若，则直线的倾斜角等于 .
参考答案：
1．D
【分析】分为围成的等腰三角形底边在x轴上、底边在直线上和底边在直线上三种情况，分别求解即可.
【详解】令直线的倾斜角分别为，则，
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，，；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，或，
因为，且，解得，
所以，或；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，，则.
故选：D．
2．C
【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，由轴得，利用斜率公式可得结果.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，依题意有，
即，又右焦点为，且轴，所以，
所以，
故选：C.

3．BC
【分析】根据题设可得三条直线中有两条平行，故可求参数的值.
【详解】因为与三条直线两两相切的圆有且只有两个，
故三条直线中有两条平行，且它们两条不重合，
若直线与直线平行，则，
若直线与直线平行，则，
直线与直线不平行，
故选：BC.
4．AC
【分析】通过设点的坐标，结合椭圆方程求得，由，解出判断选项A；点到直线距离公式判断选项B；通径是焦点弦中的最短弦判断选项C；由已知条件求直线的斜率判断选项D.
【详解】由椭圆方程，得，，，则.
设，，则.
若直线，的斜率都存在，则，，
得，为定值.
因为，所以，故A正确.
当时，直线的方程为，则点到直线的距离为，故B错误.
因为线段为过椭圆焦点的弦，通径是焦点弦中的最短弦，
所以的最小值为，故C正确.
当时，直线的方程为.
与椭圆方程联立，解得或
则直线与椭圆的交点为，.
若点的坐标为，则，
若点的坐标为，则，故D错误.
故选：AC.
5．/
【分析】由已知结合抛物线的定义分别表示，，，求出直线的斜率，即可求解.
【详解】抛物线的准线为：，
设，，则，，
又在第一象限，所以，，所以，
由抛物线定义可得，，
所以，
又，所以，所以，
故直线的斜率，所以直线的倾斜角为.
故答案为：.
考点二：直线的方程
【典例精析】（多选）（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大值时，
【答案】ACD
【分析】对于A，将直线方程变形即可进一步判断；对于B，举反例即可判断；对于C，将圆心坐标代入直线方程即可验算参数；对于D，当点到直线距离最大值时，有，结合它们的斜率关系即可判断.
【详解】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，圆的圆心、半径为，
点到直线的距离为，
从而，
取，则此时有，故B错误；
对于C，当直线平分圆时，有点在直线上，
也就是说有成立，解得，故C正确；
对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当，
而的斜率为，
所以当等号成立时有，解得，故D正确.
故选：ACD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线在轴上方与抛物线相交于两点，若，则点到抛物线的准线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
3．（2024·重庆·三模）已知直线：与圆：交于，两点，线段的中点为，则（ ）
A．直线恒过定点
B．的最小值为
C．面积的最大值为2
D．点的轨迹所包围的图形面积为
4．（2023·河南·模拟预测）已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（ ）
A．若直线的斜率为1，则直线的方程为
B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为
C．若M为的中点，则的方程为
D．直线的方程可能为
三、填空题
5．（2023·江西·二模）圆，，过作圆的切线，，过作斜率为1的直线与圆交于点（在内），线段上有一点使，则的坐标为 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，求得直线恒过点，结合圆的性质和弦长公式，即可求解.
【详解】因为直线，可得，
由，解得，所以直线恒过点，
可得点在圆内部，
又由圆，可得圆心，半径为，
当直线过圆心时，截得弦长最长，此时，
当直线与垂直时，此时弦长最短，又由，
可得，
所以弦长的取值范围是.
故选：B.
2．B
【分析】由题意作图，根据抛物线性质建立方程，求出点的坐标，并且写出直线方程，联立方程，解得点的坐标，可得答案.
【详解】由题意可知抛物线的焦点，准线，过作，
设．
由抛物线定义知，得，
由，，则直线的方程为，即，
代入，得，则，得，
所以点到抛物线的准线的距离为．
故选：B．
3．AD
【分析】求得直线过定点判断A；设弦心距为，结合A可得判断B；的面积，可求最大面积判断C；的轨迹为以为直径的圆，可求圆的面积判断D.
【详解】对于A，直线方程可化为：，显然，即直线恒过定点，故A正确：
对于B，设弦心距为，结合可知，，当时取等号，故B错误；
对于C，的面积，当时，，故C错误；
对于D，由，得的轨迹为以为直径的圆，所以，则此圆的面积为.
故选：AD.
4．AC
【分析】根据直线点斜式判断A，由过原点直线满足题意判断B，由中点求出A,B坐标得直线方程判断C，由直线与坐标轴有交点判断D.
【详解】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为，即，故A正确；
对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为，故B错误；
对于C，因为中点，且A，B在轴、轴上，所以，，故AB的方程为，即，故C正确；
对于D，直线与x轴无交点，与题意不符，故D错误．
故选：AC．
5．
【分析】设直线和直线交于点，作的平分线，交于于点，则直线过点，由题意画出简图，当点在左，点在右，由和得出，则，利用两直线夹角公式列出方程，即可求解；同理可得当点在左，点在右时，的坐标为同一点．
【详解】因为，，是过点的圆的切线，
所以的方程为，即，
又过作斜率为1的直线，
所以直线的方程为，
设直线与线段交于点，
联立直线和直线的方程得，解得，
即点的坐标为，
当点在左，点在右，如图所示，
可知，
当时，
则，
作的平分线，交于于第三象限一点，则直线过点，
则
因为点坐标为，
所以直线的方程为，
直线的方程与方程联立，，得出点坐标为，
直线的方程与方程联立，，解得，
因为在内，所以点坐标为，
所以，
设直线的斜率为，
因为，
所以，即，
解得，
联立直线与直线的方程得：，
解得，代入得，
则点的坐标为，
同理可得点当点在左，点在右，得出点的坐标为，
故答案为：．
考点三：交点坐标与距离公式
【典例精析】（多选）（2024·贵州·模拟预测）已知点，点Q在圆上，则（ ）
A．点P在直线上 B．点P可能在圆C上
C．的最小值为1 D．圆C上有2个点到点P的距离为1
【答案】AC
【分析】对于A：根据点P的坐标消参即可得结果；对于B：先判断直线与圆的位置关系，结合选项A分析判断；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：分析可知，结合圆的性质分析判断.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为，
对选项A：由得，消去参数m得，
所以点P在直线上，故A正确.
对选项B：因为圆心到直线的距离，
可知直线与圆相离，结合选项A可知：点P不可能在圆C上，故B错误；
对选项C：结合选项B可知的最小值为，故C正确.
对选项D：因为，可知圆C上有且仅有1个点到点P的距离为1，故D错误.
故选：AC.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系xoy中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹是一个圆 B．动点的轨迹所围成的面积为6
C．动点的轨迹跟坐标轴不相交 D．动点离原点最短距离为1
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·云南昆明·模拟预测）设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（ ）
A．直线与圆C可能相离
B．直线不可能将圆C的周长平分
C．当时，直线被圆C截得的弦长为
D．直线被圆C截得的最短弦长为
4．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．与垂直 B．
C．的最小值为 D．的最大值为
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，的坐标满足，，已知圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当最大时，圆关于点对称的圆的方程为 ．
参考答案：
1．B
【分析】由题意得，结合可知，画出图形可知P点轨迹是一个菱形，故A、C错误；由点到直线的距离即可验证D；B转换成面积的两倍来求即可.
【详解】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．
又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．
，且时，方程为；，且时，方程为；
，且时，方程为；，且时，方程为．
P点对应的轨迹如图所示：

，且，所以P点的轨迹为菱形，故A、C错误；
原点到：的距离为，D错误；
轨迹图形是平行四边形，面积为，B正确．
故选：B．
2．C
【分析】设切点，根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】令，则，
设该曲线在点处的切线为，
需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以，解得，则切点为，
故切线的方程为，即，
所以直线到直线的距离为，
即该曲线上的点到直线的最小距离为.
故选：C
3．BD
【分析】对于A，由直线过圆内的定点即可判断；对于B，直线不可能过圆心即原点，由此即可判断；对于CD，由点到直线距离公式、圆的弦长公式验算即可.
【详解】因为直线过定点，且点在圆内，所以直线与圆必相交，A错误；
若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，但这是不可能的，所以B正确；
当时，直线的方程为，圆心C到直线的距离为，所以直线被截得的弦长为，C错误；
因为圆心到直线的距离为，
所以直线被截得的弦长为，等号成立当且仅当，即，D正确，
故选：BD.
4．AC
【分析】根据题中条件，结合向量的运算法则，不等式，可化为，利用，可求得，故可求得的值，继而可判断出A,B；设，，用坐标表达及，结合结果的几何意义即可求得最值，继而判定C,D.
【详解】由恒成立得，
即恒成立，
因为，，
设夹角为，则恒成立，
所以，
即，
所以，则，
所以，
所以，
所以与垂直，A正确；
，B不正确；
设，，
则，
所以
，
其几何意义是与和连线的距离之和的2倍，
当三点共线时取得最小值，最小值为，C正确；
，，
所以
其几何意义是与和连线的距离之差的2倍，
当三点共线时最得最大值，最大值为，D不正确，
故选：AC.
5．
【分析】求出点的轨迹，利用切线的性质探讨取最大的等价条件，由此求出点的坐标，再由对称求出圆方程.
【详解】依题意，点的轨迹为直线上，显然，要最大，当且仅当最大，
在中，，而正弦函数在上单调递增，
则只需最大，即圆心到点的距离最小，因此，又圆心，
此时直线的方程为，由解得点，
于是圆心关于点对称的点的坐标为，所以圆关于点对称的圆的方程为．
故答案为：
考点四：圆的方程
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，且，MN是圆Q：的一条直径，则（ ）
A．点P在圆Q外 B．的最小值为2
C． D．的最大值为32
【答案】BCD
【分析】根据化简可得，即可得P点轨迹，进而根据圆A与圆Q外切求解A，根据即可求解B，根据向量数量积的运算律即可求CD.
【详解】对A，由，得，整理得，

所以点P在以为圆心，2为半径的圆上，记为圆A，如图．
因为，所以圆A与圆Q外切．当点P为两圆的公共点时，点P在圆Q上，故A错误．
对B，由题意，得，故B正确．
对C，，故C正确．
对D，．而，
所以，故D正确．
故选：BCD．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·二模）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，点，则下列命题中是假命题的是（ ）.
A．若点在圆外，则直线与圆相离 B．若点在圆内，则直线与圆相交
C．若点在圆上，则直线与圆相切 D．若点在直线上，则直线与圆相切
4．（2024·湖南邵阳·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆关于直线对称
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最大值为
三、填空题
5．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据正方形可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求出方程即可.
【详解】因为四边形为正方形，且,所以,
故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为.
故选：B
2．C
【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.
【详解】由题意知，
故，
又由圆的一般方程，
可得，即，
即或，
所以实数的范围为.
故选：C.
3．AB
【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.
【详解】对于A，因为点在圆外，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，故命题A是假命题；
对于B，因为点在圆内，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，故命题B是假命题；
对于C，因为点在圆上，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，故命题C是真命题；
对于D，因为点在直线上，所以，即，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，故命题D是真命题；
故选：AB.
4．ACD
【分析】求出圆心坐标判断A；求出圆心到点的距离结合圆的性质判断B；利用三角代换结合辅助角公式判断C；令，联立方程组，借助判别式求出最值判断D.
【详解】圆的圆心，半径，
对于A，显然点在直线上，圆关于直线对称，A正确；
对于B，点与点的距离，
则点与点距离的最小值为，B错误；
对于C，令，则，
其中锐角由确定，因此当时，，C正确；
对于D，，令，由消去得：
，则，
整理得，解得，因此，，D正确.
故选：ACD

5．或
【分析】设出动点的坐标，由求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线的距离等于1即可.
【详解】设点，由可得：，
两边平方整理得：，即点的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2.
若该圆上有且只有3个点到直线的距离为1，
则圆心到直线的距离，解得．
故答案为：或.
考点五：直线与圆的位置关系
【典例精析】（多选）（2024·安徽合肥·二模）已知圆，圆，则（ ）
A．两圆的圆心距的最小值为1
B．若圆与圆相切，则
C．若圆与圆恰有两条公切线，则
D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2
【答案】AD
【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距，从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D项的正误．
【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径．
对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确；
对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得．
两圆外切时，圆心距，即，解得．
综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确；
对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，，
即，可得，解得且，故C项不正确；
对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值，
因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确．
故选：AD．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·河北承德·二模）已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线 直线 直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·三模）在平面内，已知线段的长为4，点为平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·一模）在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．若直线与曲线相交，则弦最短时
C．当三点不共线时，若点，则射线平分
D．过A作曲线的切线，切点分别为，则直线的方程为
4．（2024·广东汕头·一模）如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥与河岸垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上；
③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.
经测量，点分别位于点正北方向 正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（ ）
A．新桥的长为
B．圆心可以在点处
C．圆心到点的距离至多为
D．当长为时，圆形保护区的面积最大
三、填空题
5．（2024·河北保定·二模）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则 ， ．
参考答案：
1．A
【分析】直线和直线分别与圆联立方程组，求出两点的坐标，由，得，直线和直线联立方程组，求出点的坐标，由，得，验证各选项即可.
【详解】由题意得直线，与圆方程联立，得，
可求出点，同理得点，
由于在直线上，因此，化简后得，
显然，否则点在圆上，两点重合，与题意矛盾，则，
再联立直线与直线，则点，
因此，
则，即，A选项正确，BD选项错误 ，
，即，C选项错误.
故选：A.
2．A
【分析】建立直角坐标系，求出点的轨迹时一个圆，再根据与圆相切时角最大求得结果.
【详解】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
设，因为，不妨设，
由，得，
化简得，即点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
当与圆相切时，取得最大值，此时．
因为，，所以，且为锐角，
故的最大值为．
故选：A．

3．ACD
【分析】
由点的轨迹满足已知条件列两点间距离公式化简可求A选项；由弦长公式和基本不等式可求B选项；由角平分线定理的逆定理可求C选项；由几何关系和两圆方程相减可得两圆公共弦方程可求D选项.
【详解】A：设，因为，动点满足，
所以，化简可得，故A正确；
B：由选项A可知，圆心，半径，设圆心到直线的距离为，则，
设弦长为，由弦长公式得，
因为，当且仅当，取等号，
所以弦最短时，故B错误；
C：
因为，则，又，
所以，，则，
所以由角平分线定理的逆定理可知射线平分，故C正确；
D：过A作曲线的切线，切点分别为，
则由集合关系可知在以为直径的圆上，半径为，圆心为，
此圆方程为，
两圆方程相减可得公共线的方程为，故D正确；
故选：ACD.
4．AC
【分析】根据给定条件，求出直线的方程，联立求出点的坐标判断A；设，由题意列出不等式组，再结合代换求得的范围，判断BCD.
【详解】如图，以为 轴建立直角坐标系，则，，
依题意，直线的斜率，直线方程为：，
直线的斜率，则直线方程为，
由，解得 ，即，，A正确；
设，即，直线的一般方程为，
圆的半径为，显然，由，得，
则，解得，即长的范围是，B错误，C正确；
当，即长为时，圆的半径最大，圆形保护区的面积最大，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：某些实际应用问题，由题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解是解题的关键.
5． 2
【分析】设直接计算可得，由角平分线定理可得，由此求出，得出点坐标，再由直角三角形求出点坐标即可得解.
【详解】圆的标准方程为，圆心，
则为的角平分线，所以．
设，则，
所以，则，
即，解得，则，
所以点与重合，
此时，可得，
所以．
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：根据角平分线定理，可转化为，建立方程求出参数，得到圆的圆心、半径，求出M的坐标是解题的关键.
考点六：圆与圆的位置关系
【典例精析】（多选）（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ）
A．若和外离，则或
B．若和外切，则
C．当时，有且仅有一条直线与和均相切
D．当时，和内含
【答案】ABC
【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，
若和外离，则，解得或，故A正确；
若和外切，则，解得，故B正确；
当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确；
当时，，则和相交，故D错误.
故选：ABC．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南郑州·三模）已知直线（不同时为0），圆，则（ ）
A．当时，直线与圆相切
B．当时，直线与圆不可能相交
C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足
4．（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（ ）
A．10 B．2 C． D．
三、填空题
5．（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ．
参考答案：
1．D
【分析】根据两圆公切线条数确定两圆位置关系，从而可得圆心所满足的轨迹方程，从而逐项判段直线与圆位置关系，确定直线是否过点即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切，
所以，即，所以点的轨迹为圆，
对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合；
对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合；
对于C，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故C不符合；
对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合；
故选：D.
2．D
【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长.
【详解】由，作差．
得两圆的公共弦所在直线的方程为．
由，得．
所以圆心，半径，
则圆心到公共弦的距离．
所以两圆的公共弦长为．
故选：D．
3．ACD
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离即可判断A，利用特殊值判断B，根据抛物线的定义判断C，求出以为直径的圆的方程，即可判断两圆相交，从而判断D.
【详解】圆即，圆心为，半径；
对于A：若，则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切，故A正确；
对于B：当，时满足，此时直线方程为，
则圆心到直线的距离为，显然直线与圆相交，故B错误；
对于C：当时直线，则直线与直线平行，
且两平行线间的距离，
依题意动圆圆心到直线的距离与到的距离相等，
且点不在直线上，
根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是一条抛物线，故C正确；
对于D：不妨令，，的中点为，又，
所以以为直径的圆的方程为，
又，所以圆与圆相交，
所以圆上存在点满足，故D正确.
故选：ACD
4．BD
【分析】
根据题意，由条件可得弦所在的直线方程，然后将转化为圆心到直线的距离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得弦所在的直线方程为，
因为圆，圆心，
圆，圆心，
设圆心与圆心到直线的距离分别为，
因为，即，
所以，又，
即，化简可得，
即，解得或.
故选：BD
5．10
【分析】根据两圆外切得到方程，求出，对不等式变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
两圆外切，则，即，
故，
又，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为10.
故答案为：10
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
5．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
三、填空题
6．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
8．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
9．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
10．（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
参考答案：
1．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

2．C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
3．D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线为，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
4．ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
5．ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
6．
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
7．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
8．或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
9．或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
10．
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点A到点的路线长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
4．（2024·全国·模拟预测）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）圆心为，且与直线相切的圆在x轴上的弦长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2024·山东济南·二模）已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（ ）
A．2或4 B．2或3 C．4或5 D．3或5
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）已知圆，直线，则（ ）．
A．直线恒过定点
B．直线与圆有两个交点
C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
D．若，则圆与圆0恰有三条公切线
8．（2024·安徽·二模）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（ ）
A．双曲线的方程为
B．的面积为
C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
三、填空题
9．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程 ．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点为圆上的动点，则的取值范围为 .
11．（2024·浙江·二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：）
四、解答题
12．（2024·河南开封·三模）已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且，，成等比数列．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若，求直线l的方程．
13．（2024·云南昆明·模拟预测）一动圆圆E与圆外切，同时与圆内切．
(1)求动圆圆心E的轨迹方程；
(2)设A为E的右顶点，若直线与x轴交于点M，与E相交于点B，C（点B在点M，C之间），若N为线段上的点，且满足，证明：．
14．（2024·全国·模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若点，求外接圆的方程．
参考答案：
1．C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.
【详解】当时，直线，则，
当时，，解得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
2．A
【分析】求出点关于x轴的对称点，则最短路径的长为减去圆的半径，计算求得结果
【详解】由题意可得圆心，半径点关于x轴的对称点，
所以，
该光线从点A到点的路线长的最小值为，
故选：A
3．C
【分析】根据题意可得直线表示过定点，且除去的直线，点在圆上，可判断直线与圆相交.
【详解】因为直线，即，
当时，，解得，
所以直线表示过定点，且除去的直线，
将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上，
所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意，
所以直线与圆相交.
故选：C.
4．A
【分析】先根据直线与圆的位置关系，借助点到直线的距离公式，求出的取值范围，即直线与圆有公共点的充要条件，再确定那个是必要不充分条件.
【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1.
因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交，
所以圆心到直线的距离，解得.
其必要不充分条件是把的取值范围扩大，
所以选项中只有是的必要不充分条件.
故选：A
5．B
【分析】根据直线与圆相切的位置关系，圆心到直线的距离为圆的半径，求出圆的标准方程，令，求出，进而得到圆在x轴上的弦长.
【详解】圆心到直线的距离为，即圆的半径，
所以圆的方程为，
令，则或4，故圆在轴上的弦长为4，
故选：B.
6．D
【分析】根据题意可知：点P的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，且，
因为，可知点P的轨迹为以线段的中点为圆心，半径的圆，
又因为点P在圆上，
可知圆与圆有且仅有一个公共点，则或，
即或，解得或.
故选：D.
7．BD
【分析】利用分离参数的方法求出直线l过的定点，判断A；判断直线过的定点在圆内，即可判断B；结合圆心到直线的距离以及圆的半径可判断C；判断两圆的位置关系可判断D.
【详解】直线的方程整理为，由，得，
所以直线过定点，A错误．
，即定点在圆内，
因此直线与圆相交，有两个交点，B正确．
当时，直线方程为，圆心到直线的距离为，圆半径为2，，
因此与直线平行且距离为1的两条直线只有一条与圆相交，另一条与圆相离，
因此圆上只有2个点到直线的距离等于1，C错误．
当时，圆的标准方程为，
圆心为，半径为3，两圆圆心距为，
两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确．
故选：BD．
8．BD
【分析】根据双曲线定义结合为等边三角形得，，由余弦定理得 ，进而求出方程为判断选项A；求出判断选项B；利用两圆相切的几何意义可判断选项C、D.
【详解】由已知得，由双曲线定义知：，
因为，所以，故，，
在中，由余弦定理得：，
解得：，所以，方程为，A错误.
的面积为，B正确.
取的中点，，两圆内切，故C错误.
取的中点，则，两圆外切，故D正确.
故选：BD
9．或（写出一个即可）
【分析】由条件可设直线方程为，结合条件列方程求即可得结论.
【详解】因为切线的方向向量为，
所以切线的斜率为，
故可设切线方程为，
因为直线与圆相切，
又圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，
所以或，
所以与圆相切且方向向量为的直线为或，
故答案为：或（写出一个即可）.
10．
【分析】法一：设，代入方程得到，从而题目实际上就是求的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解.
【详解】法一：我们要求的取值范围使得存在满足，，
由于满足前一个方程的必不为零，故这等价于，.
而这又可以等价转化为，，
故我们就是要求的取值范围，使得关于的方程有解.
该方程中的系数显然非零，所以命题等价于，解得.
法二：由于圆和轴无公共点，故命题等价于求实数的取值范围，
使得直线和圆有公共点.
该圆的方程可化为，故命题等价于点到直线的距离不超过，即.
解得.
故答案为：.
11．
【分析】设弧的中点为，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆的位置，分析可得弧上的点与圆上的点的最短距离.
【详解】如图，
设弧的中点为，弧所对的圆心角为，
圆的半径，在弧上取两点，则，
分别过点作圆的切线，并交直线于点，
当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线，
则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点，
过点，分别向作垂线，垂足为，则即为圆的半径，
设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度.
在中，，
则，
即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解：
相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据点点距离，结合等比中项即可化简求解，
（2）联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得，即可利用向量数量积的坐标运算求解.
【详解】（1）由题意可得，则，，，
由于，，成等比数列，所以，
即，
故点P的轨迹C的方程为
（2）由（1）知点P的轨迹C的方程为：当或，
当时，，如图；
由题意可知直线有斜率，设方程为，
联立，
则，故,
联立，
则，故,
,
解得，
故直线方程为
13．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据圆与圆内切、外切的性质，结合椭圆的定义进行求解即可；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，消去根，得到一元二次方程，据一元二次方程根与系数关系确定点的位置，结合等边对等角、外角性质进行运算证明即可.
【详解】（1）设动圆E圆心坐标，半径为，由题意可知，，，
当与相外切时，有；①
当与相内切时，有．②
将①②两式的两边分别相加，得，所以的轨迹为椭圆，
所以，所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为．
（2）
由（1）可知，圆心的轨迹方程，设点，，
联立，得，
则，即，
，.
因为，所以，所以，
即，
所以，，所以点在直线上，
所以，即，因为为△的一个外角，
所以.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用一元二次方程根与系数确定点的位置.
14．(1)
(2)
【分析】（1）设，联立直线方程与抛物线方程并消元，写出根与系数的关系，代入弦长公式即可解出，从而得到抛物线的标准方程；
（2）设外接圆的一般方程，联立直线方程与抛物线方程并消元，联立圆的方程与抛物线方程并消元，由两点既在抛物线上又在圆上，点在圆上，可得关于的方程，解出即可得到外接圆的方程．
【详解】（1）设，
将与联立，化简得，
所以，，，
所以，
得，
所以抛物线的标准方程为．
（2）
设外接圆的一般方程为，
由，得①，
由，得②，
因为两点既在抛物线上又在圆上，
所以①、②两个方程的解均为和，
故，得，，
将代入，化简得，
解得，满足，
所以外接圆的方程为．
【点睛】方法点睛：高考中解析几何解答题一般围绕直线与圆锥曲线的位置关系进行设题，解决此类问题要做好两点：一是转化，把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求解．
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8.1直线、圆的方程
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 6
考点一：直线的倾斜角与斜率 6
考点二：直线的方程 7
考点三：交点坐标与距离公式 8
考点四：圆的方程 9
考点五：直线与圆的位置关系 10
考点六：圆与圆的位置关系 12
【真题在线】 13
【专项突破】 14
考点 考情分析 考频
直线与圆 2023年新高考Ⅰ卷T6 2023年新高考Ⅱ卷T15 2022年新高考Ⅱ卷T15 2年3考
圆与圆的位置关系 2022年新高考Ⅰ卷T14
直线方程 2022年新高考Ⅱ卷T3
预测：直线方程、圆的方程是高考的热点考点，近几年在全国卷中都有所体现，难度整体适中，直线方程在后续与圆锥曲线结合也是常考的内容，要全面掌握好基础知识.建议在复习时在掌握好基础的同时要灵活的运用.
考点一：直线的倾斜角与斜率
【典例精析】（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东聊城·二模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的方程为，若直线与在第一象限内的交点为，且轴，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知与三条直线，，都相切的圆有且仅有两个，则实数的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024·全国·模拟预测）已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A．当直线的斜率为时，直线的斜率为
B．当时，点到直线的距离为
C．的最小值为
D．当时，直线的方程可以为
三、填空题
5．（2024·四川成都·三模）抛物线（）的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点（在第一象限），分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，若，则直线的倾斜角等于 .
考点二：直线的方程
【典例精析】（多选）（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大值时，
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线在轴上方与抛物线相交于两点，若，则点到抛物线的准线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
3．（2024·重庆·三模）已知直线：与圆：交于，两点，线段的中点为，则（ ）
A．直线恒过定点
B．的最小值为
C．面积的最大值为2
D．点的轨迹所包围的图形面积为
4．（2023·河南·模拟预测）已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（ ）
A．若直线的斜率为1，则直线的方程为
B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为
C．若M为的中点，则的方程为
D．直线的方程可能为
三、填空题
5．（2023·江西·二模）圆，，过作圆的切线，，过作斜率为1的直线与圆交于点（在内），线段上有一点使，则的坐标为 ．
考点三：交点坐标与距离公式
【典例精析】（多选）（2024·贵州·模拟预测）已知点，点Q在圆上，则（ ）
A．点P在直线上 B．点P可能在圆C上
C．的最小值为1 D．圆C上有2个点到点P的距离为1
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系xoy中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹是一个圆 B．动点的轨迹所围成的面积为6
C．动点的轨迹跟坐标轴不相交 D．动点离原点最短距离为1
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·云南昆明·模拟预测）设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（ ）
A．直线与圆C可能相离
B．直线不可能将圆C的周长平分
C．当时，直线被圆C截得的弦长为
D．直线被圆C截得的最短弦长为
4．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．与垂直 B．
C．的最小值为 D．的最大值为
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，的坐标满足，，已知圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当最大时，圆关于点对称的圆的方程为 ．
考点四：圆的方程
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，且，MN是圆Q：的一条直径，则（ ）
A．点P在圆Q外 B．的最小值为2
C． D．的最大值为32
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·二模）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，点，则下列命题中是假命题的是（ ）.
A．若点在圆外，则直线与圆相离 B．若点在圆内，则直线与圆相交
C．若点在圆上，则直线与圆相切 D．若点在直线上，则直线与圆相切
4．（2024·湖南邵阳·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆关于直线对称
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最大值为
三、填空题
5．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ．
考点五：直线与圆的位置关系
【典例精析】（多选）（2024·安徽合肥·二模）已知圆，圆，则（ ）
A．两圆的圆心距的最小值为1
B．若圆与圆相切，则
C．若圆与圆恰有两条公切线，则
D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·河北承德·二模）已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线 直线 直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·三模）在平面内，已知线段的长为4，点为平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·一模）在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．若直线与曲线相交，则弦最短时
C．当三点不共线时，若点，则射线平分
D．过A作曲线的切线，切点分别为，则直线的方程为
4．（2024·广东汕头·一模）如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥与河岸垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上；
③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.
经测量，点分别位于点正北方向 正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（ ）
A．新桥的长为
B．圆心可以在点处
C．圆心到点的距离至多为
D．当长为时，圆形保护区的面积最大
三、填空题
5．（2024·河北保定·二模）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则 ， ．
考点六：圆与圆的位置关系
【典例精析】（多选）（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ）
A．若和外离，则或
B．若和外切，则
C．当时，有且仅有一条直线与和均相切
D．当时，和内含
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南郑州·三模）已知直线（不同时为0），圆，则（ ）
A．当时，直线与圆相切
B．当时，直线与圆不可能相交
C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足
4．（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（ ）
A．10 B．2 C． D．
三、填空题
5．（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
5．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
三、填空题
6．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
8．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
9．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
10．（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
一、单选题
1．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点A到点的路线长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
4．（2024·全国·模拟预测）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）圆心为，且与直线相切的圆在x轴上的弦长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2024·山东济南·二模）已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（ ）
A．2或4 B．2或3 C．4或5 D．3或5
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）已知圆，直线，则（ ）．
A．直线恒过定点
B．直线与圆有两个交点
C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
D．若，则圆与圆0恰有三条公切线
8．（2024·安徽·二模）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（ ）
A．双曲线的方程为
B．的面积为
C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
三、填空题
9．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程 ．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点为圆上的动点，则的取值范围为 .
11．（2024·浙江·二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：）
四、解答题
12．（2024·河南开封·三模）已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且，，成等比数列．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若，求直线l的方程．
13．（2024·云南昆明·模拟预测）一动圆圆E与圆外切，同时与圆内切．
(1)求动圆圆心E的轨迹方程；
(2)设A为E的右顶点，若直线与x轴交于点M，与E相交于点B，C（点B在点M，C之间），若N为线段上的点，且满足，证明：．
14．（2024·全国·模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若点，求外接圆的方程．
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