资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 基本不等式（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 3
【考点1】利用基本不等式求最值 3
【考点2】基本不等式的综合应用 4
【考点3】基本不等式的实际应用 6
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 9
【培优篇】 10
考试要求：
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
3．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
6．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ．
四、解答题
8．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【考点1】利用基本不等式求最值
一、单选题
1．（2023·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（22-23高二下·陕西榆林·期中）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
3．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．当时，的最小值是3
C．当时，的最大值是5
D．若正数满足，则的最小值为3
4．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）已知，若，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为1
C．的最小值为8 D．的最小值为
三、填空题
5．（22-23高一上·广东梅州·期末）已知，，若，则的最小值为 .
6．（22-23高二下·福建三明·期中）已知实数，，则的最小值是 .
反思提升：
1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
【考点2】基本不等式的综合应用
一、单选题
1．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
二、多选题
3．（2023·广东深圳·一模）已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（ ）
A．当时，以AB为直径的圆与相交
B．当时，以AB为直径的圆经过原点O
C．当时，点M到的距离的最小值为2
D．当时，点M到的距离无最小值
4．（22-23高三·广东广州·阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．的取值范围是
C．当时，为定值
D．时，的最大值为12
三、填空题
5．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ．
6．（2023·天津和平·二模）设，，，若，，则的最大值为 ．
反思提升：
(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.
(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.
【考点3】基本不等式的实际应用
一、单选题
1．（21-22高二上·四川广安·开学考试）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示，为街道路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面，喷射角.若，，则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
3．（22-23高三·重庆沙坪坝·阶段练习）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18
4．（21-22高二上·江苏苏州·期末）如图1，曲线C：为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用.如图2，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状给出下列结论正确的是（　　）
A．曲线C只有两条对称轴
B．曲线C仅经过1个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2
D．过曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2
三、填空题
5．（22-23高二下·江西九江·期末）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为，则该矩形周长的最大值为 .
6．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 ．
反思提升：
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·北京西城·二模）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2 B． C． D．3
3．（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
4．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
5．（2023·广东深圳·模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·贵州毕节·期末）对于下列四种说法，其中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为1
C．的最小值为4 D．最小值为
7．（2024·河南信阳·一模）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则 ．
9．（2022·山西晋中·二模）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
10．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ．
四、解答题
11．（2021·山西·一模）已知函数
（1）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为正实数，且三数之和为m的最大值，求证：
12．（2024·宁夏固原·一模）已知函数．
(1)解不等式；
(2)记（1）中不等式的解集为中的最大整数值为，若正实数满足，求的最小值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，以边为直径的圆的面积为，若的面积不小于，则的形状为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
二、多选题
2．（2024·湖北·三模）已知，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为3 D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
四、解答题
4．（2024·江西宜春·模拟预测）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若外接圆的半径为，且为锐角，求面积的最大值．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·山西晋城·一模）定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（ ）
A．的最大值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）实数，满足，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．的最大值为
三、填空题
3．（21-22高一下·湖南岳阳·期末）已知函数，若当方程有四个不等实根、、、，(＜＜＜) 时，不等式恒成立，则x1·x2= ，实数的最小值为 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 基本不等式（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 9
【考点1】利用基本不等式求最值 9
【考点2】基本不等式的综合应用 13
【考点3】基本不等式的实际应用 18
【分层检测】 24
【基础篇】 24
【能力篇】 31
【培优篇】 33
考试要求：
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
3．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
6．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ．
四、解答题
8．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
参考答案：
1．C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
2．C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
3．C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
4．BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
5．
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

6．/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.

7．
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
8．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
【考点1】利用基本不等式求最值
一、单选题
1．（2023·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（22-23高二下·陕西榆林·期中）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
3．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．当时，的最小值是3
C．当时，的最大值是5
D．若正数满足，则的最小值为3
4．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）已知，若，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为1
C．的最小值为8 D．的最小值为
三、填空题
5．（22-23高一上·广东梅州·期末）已知，，若，则的最小值为 .
6．（22-23高二下·福建三明·期中）已知实数，，则的最小值是 .
参考答案：
1．A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【详解】解：已知，且xy+2x+y=6，
y=
2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，
故2x+y的最小值为4.
故选:A
2．A
【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为，
由基本不等式可得，可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.
故选：A.
3．BCD
【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，①，
但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误.
B选项，当时，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
C选项，当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
D选项，是正数，
，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：BCD
4．ACD
【分析】
AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】对于，由，即，
当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确；
对于，因为，
当且仅当时，取到最小值，所以B错误；
对于C，因为，所以，
当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；
对于，当且仅当，且，
即时，取等号，所以正确.
故选：ACD.
5．3
【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案
【详解】因为，，，
所以，即；
因为，当且仅当时取到等号，
所以，
解得或（舍）
所以当时，有最小值3.
故答案为：3
6．3
【分析】构造成对勾函数的形式,结合基本不等式来解.
【详解】,令,则,
当且仅当即时等号成立.故的最小值为3.
故答案为：3
反思提升：
1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
【考点2】基本不等式的综合应用
一、单选题
1．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
二、多选题
3．（2023·广东深圳·一模）已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（ ）
A．当时，以AB为直径的圆与相交
B．当时，以AB为直径的圆经过原点O
C．当时，点M到的距离的最小值为2
D．当时，点M到的距离无最小值
4．（22-23高三·广东广州·阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．的取值范围是
C．当时，为定值
D．时，的最大值为12
三、填空题
5．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ．
6．（2023·天津和平·二模）设，，，若，，则的最大值为 ．
参考答案：
1．A
【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可.
【详解】因为，由正弦定理可得：，
即，，
又，，故；由，解得；
由余弦定理，结合，可得，
即，解得，当且仅当时取得等号；
故的面积，当且仅当时取得等号.
即的面积的最大值为.
故选：A.
2．B
【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，
又，，所以，
又三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
3．BC
【分析】将直线代入，结合韦达定理求得坐标、点到准线的距离及．当时，由可判断A；当时，由可判断B；当时，得的关系式，代入表达式，利用基本不等式可判断C；当时，得的关系式，代入表达式，利用对勾函数的性质可判断D．
【详解】抛物线，准线方程是，
直线代入，可得，，
设，则，
，
，
设，则，
点到准线的距离，
，
当时，，点到准线的距离，则以AB为直径的圆与相切，故A错误；
当时，，则，则以AB为直径的圆经过原点O，故B正确；
当时，即，得，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
当时，即，得，
所以，令，
则，由对勾函数的性质得，当时，单调递增，
故当时，取最小值，故D错误．
故选：BC．
4．ACD
【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D.
【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F．则
，故A正确．
取AC的中点为M，连接OM，
则
，
而
故的取值范围是故B错误；
当时，
，故C正确．
当时，圆O半径取AC中点为，中点为，
则
，
最后等号成立是因为，
不等式等号成立当且仅当，故D正确．
故选:ACD.
5．4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
6．3
【分析】由已知可解得，.根据换底公式可得，.根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，.
又，，
所以，.
因为，，根据基本不等式有，
当且仅当，即，时等号成立，
所以.
则，
所以的最大值为.
故答案为：.
反思提升：
(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.
(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.
【考点3】基本不等式的实际应用
一、单选题
1．（21-22高二上·四川广安·开学考试）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示，为街道路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面，喷射角.若，，则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
3．（22-23高三·重庆沙坪坝·阶段练习）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18
4．（21-22高二上·江苏苏州·期末）如图1，曲线C：为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用.如图2，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状给出下列结论正确的是（　　）
A．曲线C只有两条对称轴
B．曲线C仅经过1个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2
D．过曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2
三、填空题
5．（22-23高二下·江西九江·期末）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为，则该矩形周长的最大值为 .
6．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求，利用余弦定理，基本不等式可求，即可得解DE的最小值.
【详解】解：到地面的距离，
因为，
则，即，
从而利用余弦定理得：，当且仅当时等式成立，
故DE，
则，当且仅当时等式成立，
故DE的最小值为.
故选：C.
2．A
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求周长的最大值.
【详解】因为四边形木板的一个内角满足，如图，

设，由题设可得圆的直径为，
故，因，为三角形内角，故，
故，
故，
故，
故，当且仅当时等号成立，
同理，当且仅当等号成立，
故四边形周长的最大值为，
故选：A.
3．CD
【分析】
由结合离心率公式判断A；当长方体R的对称轴恰好就是的对称轴椭圆C时，求出蒙日圆的半径，进而判断BC；设长方体R的长为，宽为，由基本不等式判断D.
【详解】
由题意可知，则椭圆C的离心率为，故A错误；
当长方体R的对称轴恰好就是椭圆C的对称轴时，其长为宽为，
所以椭圆C的蒙日圆的半径为，即椭圆C的蒙日圆方程为，故C正确，B错误；
设长方体R的长为，宽为，则，长方形R的面积为，
当且仅当时，取等号，即长方形R的面积最大值为18，故D正确；
故选：CD
4．BCD
【分析】对于A，由图象可得答案，对于B，由图象结合曲线方程判断即可，对于C，由曲线方程结合基本不等式可判断，对于D，利用基本不等式判断
【详解】因为曲线上任一点，关于轴的对称点满足曲线方程，关于轴的对称点满足曲线方程，关于直线的对称点满足曲线方程，关于直线的对称点满足曲线方程，所以可知曲线有4条对称轴，所以A错误，
由，得，
所以，所以，当且仅当时等号成立，
所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，所以C正确，
由图可知将第一象内的整数点分别代入曲线方程中，等号不成立，所以曲线在第一象限不经过整数点，由对称性可知曲线只经过原点，所以曲线C仅经过1个整点，所以B正确，
由曲线的对称性，在第一象限内的曲线上任取一点，则过这一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积为，当且仅当时等号成立，所以所围成的矩形的面积的最大值为2，所以D正确，
故选：BCD
5．8
【分析】矩形的一组邻边长为，则该矩形的周长为，且，由基本不等式的结论可求的范围，进而可求．
【详解】解法一：设矩形的一组邻边长为，则该矩形的周长为，且，而，即，当且仅当时取等号，所以，即该矩形周长的最大值为8.
解法二：设矩形的一组邻边长为，则该矩形的周长为，且，由不等式得，当且仅当时取等号，所以，所以，即该矩形周长的最大值为8.
故答案为：8.
6．
【分析】由海伦秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值．
【详解】由，，可得，
则，
当且仅当时，取得等号，
所以此三角形面积的最大值为．
故答案为：．
反思提升：
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·北京西城·二模）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2 B． C． D．3
3．（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
4．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
5．（2023·广东深圳·模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·贵州毕节·期末）对于下列四种说法，其中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为1
C．的最小值为4 D．最小值为
7．（2024·河南信阳·一模）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则 ．
9．（2022·山西晋中·二模）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
10．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ．
四、解答题
11．（2021·山西·一模）已知函数
（1）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为正实数，且三数之和为m的最大值，求证：
12．（2024·宁夏固原·一模）已知函数．
(1)解不等式；
(2)记（1）中不等式的解集为中的最大整数值为，若正实数满足，求的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可.
【详解】因为，，
又，，所以，
且，所以，
所以.
故选：A
2．A
【分析】利用抛物线的定义及焦半径公式先求，再由双曲线的性质，基本不等式计算即可.
【详解】设双曲线右焦点，易知，，
即，而双曲线的一条渐近线为，
易知，所以，
由双曲线的性质可知，
由基本不等式可知，当且仅当时取得等号.
故选：A
3．C
【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到m与n的等量关系，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，函数，且的图象所过定点为，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
4．A
【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解.
【详解】由可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为.
故选：A.
5．AC
【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
6．BD
【分析】根据题意，结合基本不等式，以及对勾函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，
当且仅当时，即，显然不成立，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
对于C中，由，令，
可得，则函数在为单调递减函数，
所以，所以C不正确；
对于D中，由，令，
可得，根据对勾函数的性质，可得在为单调递增函数，
所以，所以D正确.
故选：BD.
7．AD
【分析】选项A，将等式应用基本不等式求解即可；选项B、C，检验特殊情况时的结果即可判断；选项D，原不等式等价于，应用基本不等式可得.
【详解】对于选项A，，则，
当且仅当时等号成立，故A正确；
对于选项B，应用重要不等式得：（时取得等号），
接选项A中，当时取得等号，
（当时能取得等号），
即的最小值为，与矛盾，故B错误；
对于选项C，因为，则
，
其中，当取得等号，
则，即的最小值为，
且，故C错误；
对于选项D，，
且，得：，
而，当且仅当时等号成立，
即，故D正确；
故选：AD．
8．6
【分析】化简不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值.
【详解】由题意，由，得，
即，故．
又，所以，
当且仅当即时，等号成立，
此时，解得或，则，
所以.
故答案为：.
9．
【分析】先分离参数，再运用基本不等式可求解.
【详解】因为对任意，恒成立，只需满足，
因为，所以，当且仅当，即时取等号.
故实数的取值范围是.
故答案为：
10．
【分析】是的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．
故答案为：.
11．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）化简函数的解析式，分类讨论求得函数最值，即可求解；
（2）由（1）知，结合基本不等式，得到，进而得到，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以函数的值域为，
因为不等式恒成立，则，即实数m的取值范围.
（2）由（1）知，
因为，
可得，
所以，
即，
所以，当且仅当时取“=”号.
12．(1)
(2)
【分析】（1）将函数写成分段函数，分段解不等式，再求各个解集的并集即得；
（2）由（1）得，运用常值代换法，将配凑成，利用基本不等式即可求得.
【详解】（1）由
当时，由可得，则得，故；
当时，由可得，则得，故；
当时，由可得，则得，故.
综上可得：的解集为.
（2）由（1）可得，依题，，即，则因，
由，当且仅当时取等号，
由可得，即当，时，取得最小值为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，以边为直径的圆的面积为，若的面积不小于，则的形状为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
二、多选题
2．（2024·湖北·三模）已知，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为3 D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
四、解答题
4．（2024·江西宜春·模拟预测）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若外接圆的半径为，且为锐角，求面积的最大值．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意可得，，由，得即，又由余弦定理结合基本不等式得，所以，此时，得解.
【详解】根据题意可得，，，
，又，则，
又，所以，
由余弦定理得，，
所以，当且仅当时等号成立，所以，此时，
所以，即为等边三角形.
故选：D.
2．BD
【分析】对于ABC根据题意利用基本不等式分析判断；对于D，整理可得，构建函数，，利用导数判断函数单调性，结合单调性分析即可判断.
【详解】因为，
对于A，因为，当且仅当时，等号成立，
但，可得，则，
可得，可知不为的最大值，故A错误；
对于B，因为，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，因为，则，
即，则
，
当且仅当，即，时，等号成立，
这与题干不符，故3不为的最小值，故C错误；
对于D，由题意可知：，，则，
构建函数，，则，在内恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以，故D正确；
故选：BD.
3．/．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【详解】由，得，
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
4．(1)
(2)8
【分析】（1）结合正弦定理、两角和正弦公式化简题目已知条件即可求出a的边长.
（2）利用正弦定理以及先求出，再利用余弦定理和基本不等式求出的最大值即可求解.
【详解】（1）由题得．
所以．
所以，又，所以，
由正弦定理得，因为，所以.
（2）由正弦定理得，所以，
又为锐角．所以，
由余弦定理得，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积.
故面积的最大值为8.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·山西晋城·一模）定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（ ）
A．的最大值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）实数，满足，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．的最大值为
三、填空题
3．（21-22高一下·湖南岳阳·期末）已知函数，若当方程有四个不等实根、、、，(＜＜＜) 时，不等式恒成立，则x1·x2= ，实数的最小值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】由题先分析出实数，，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.
【详解】因为，所以在，，中，负数的个数为1或3，
又，所以在，，中，1个为负数，2个为正数，不妨设，则．
因为，所以，因为，所以，则，
故的最大值是，无最小值．
故选：B.
2．ACD
【分析】对于A选项，利用基本不等式即可判断；对于B选项，利用参数方程即可求解；对于C选项，利用B选项即可求解；对于D选项，令即可求解,
【详解】对于A选项，由，得，
所以，当且仅当时取“=”，故A正确；
对于B选项，令且，则，
其中，，
又，所以的最大值为1，
所以的最大值，故B错误；
对于C选项，由B中的分析知，，
其中，，
又，所以，故C正确；
对于D选项，令，
则，
且，所以当时，取最大，
故D正确.
故选：ACD.
3． 1
【分析】根据分段函数性质画出的图象，结合题设，应用数形结合及对
数函数的性质可得，利用对数的运算易得，由对称性可得
，再应用参变分离有恒成立，构造
，利用换元法结合基本不等式求最值，即可求的最小值.
【详解】当时，，
∴，如下图示：
∴、 、对应A、B、C、D的横坐标，
由，故，因为，又
得
故答题空1的答案为：.
由对称性同理可得：，
又因为
得：，，
分离参数得：，
设，
令，则，，则，
再令（）
则，
∴（当且仅当时取“=”），
∴，即，
∴，即实数的最小值为.
故答题空2的答案为：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑