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十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—概率统计多选、填空题
目录
题型一：计数原理与排列组合
题型二：二项式定理
题型三：简单的随机抽样
题型四：用样本数字特征估计总体
题型五：相关关系与回归分析
题型六：独立性检验
题型七：事件与概率
题型八：随机变量的分布列
题型一：计数原理与排列组合
一、填空题
（2023年新课标全国Ⅰ卷·第13题）
1．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
（2020年高考课标Ⅱ卷理科·第14题）
2．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
（2018年高考数学浙江卷·第16题）
3．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
（2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第15题）
4．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.
5．用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有 个（用数字作答）．
（2014高考数学北京理科·第13题）
6．把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 种.
（2015高考数学广东理科·第12题）
7．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
（2017年高考数学天津理科·第14题）
8．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.（用数字作答）
（2017年高考数学上海（文理科）·第6题）
9．若排列数，则
（2015高考数学上海理科·第8题）
10．在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
（2014高考数学浙江理科·第14题）
11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种(用数字作答)．
（2017年高考数学浙江文理科·第16题）
12．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
题型二：二项式定理
一、填空题
（2023年天津卷·第11题）
13．在的展开式中，项的系数为 ．
（2021年高考浙江卷·第13题）
14．已知多项式，则 ， .
（2020年高考课标Ⅲ卷理科·第14题）
15．的展开式中常数项是 （用数字作答）．
（2020年浙江省高考数学试卷·第12题）
16．设，则 ； ．
（2022新高考全国I卷·第13题）
17．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
（2021高考天津·第11题）
18．在的展开式中，的系数是 ．
（2021高考北京·第11题）
19．在的展开式中，常数项为 ．
（2020天津高考·第11题）
20．在的展开式中，的系数是 ．
（2019·浙江·第13题）
21．在二项式的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 .
（2019·天津·理·第10题）
22．展开式中的常数项为 .
（2019·上海·第4题）
23．已知二项式，则展开式中含项的系数为 ．
（2018年高考数学浙江卷·第14题）
24．二项式的展开式的常数项是 ．
（2018年高考数学上海·第3题）
25．的二项展开式中的系数为 ．
（2018年高考数学天津（理）·第10题）
26．在二项式的展开式中，的系数为 ．
27．的二项展开式中x的系数是 ．（用数字作答）
（2014高考数学山东理科·第14题）
28．若的展开式中项的系数为20，则的最小值为 .
（2014高考数学课标2理科·第13题）
29．的展开式中，的系数为15，则a= .(用数字填写答案)
（2014高考数学课标1理科·第13题）
30．的展开式中的系数为 .（用数字填写答案）
（2014高考数学大纲理科·第13题）
31．的展开式中的系数为 .
（2014高考数学安徽理科·第13题）
32．设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则
（2015高考数学重庆理科·第12题）
33．的展开式中的系数是 （用数字作答）.
（2015高考数学新课标2理科·第15题）
34．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则 ．
（2015高考数学天津理科·第12题）
35．在 的展开式中，的系数为 .
（2015高考数学四川理科·第11题）
36．在的展开式中，含的项的系数是 （用数字作答）.
（2015高考数学上海理科·第11题）
37．在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）．
（2015高考数学广东理科·第9题）
38．在的展开式中，的系数为 .
（2015高考数学福建理科·第11题）
39． 的展开式中，的系数等于 ．（用数字作答）
（2015高考数学北京理科·第9题）
40．在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
（2015高考数学安徽理科·第11题）
41．的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）
（2017年高考数学浙江文理科·第13题）
42．已知多项式2=，则= ，= .
（2017年高考数学山东理科·第11题）
43．已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n= .
（2016高考数学天津理科·第10题）
44．的展开式中x7的系数为__________.（用数字作答）
（2016高考数学上海理科·第8题）
45．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．
（2016高考数学山东理科·第12题）
46．若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a= .
（2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第14题）
47．的展开式中，x3的系数是 .（用数字填写答案）
（2016高考数学北京理科·第10题）
48．在的展开式中，的系数为 .（用数字作答)
二、多选题
（2021年新高考全国Ⅱ卷·第12题）
49．设正整数，其中，记．则（ ）
A． B．
C． D．
题型三：简单的随机抽样
（2014高考数学天津理科·第9题）
50．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．
（2017年高考数学江苏文理科·第3题）
51．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
2．
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
3．1260.
【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.
详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为
因此一共有个没有重复数字的四位数.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
4．16
【分析】方法一：直接法：分1女2男和2女1男讨论，再利用分类加法原理求解，方法二：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.
【详解】方法一：直接法，若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；
若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，
则根据分类计数原理可得，共有12+4=16种；
方法二，间接法，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种.
故答案为：.
5．24
【分析】对末位数字讨论，再结合排列知识求解即可.
【详解】若末位数字为0，则有个；若末位数字为2，则有；若末位为4，则有两种情况：①1或2在首位有个；②3在首位有个，共有24个满足条件的偶数.
故答案为：24.
6．36
【详解】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.
考点：排列组合，容易题.
7．1560
【详解】试题分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．
解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．
故答案为1560．
点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．
8．1080
【详解】
【考点】计数原理、排列、组合
【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.
9．3
【详解】 由，所以，解得.
10．
【详解】①男女，种；
②男女，种；
③男女，种；
∴一共有种．
故答案为120.
点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
11．60
【详解】试题分析：当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有种不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有,所以获奖的不同情况有种方法,故填：60.
考点：排列组合
【方法点睛】本题主要考查了排列组合和分类计数原理，属于基础题型，重点是分析不同的获奖情况包含哪些情况，其中一，二，三等奖看成三个不同的元素，剩下的5张无奖奖券看成相同元素，那8张奖券平均分给4人，每人2张，就可分为三张奖券被3人获得，或是被2人获得的两种情况，如果是被3人获得，那这4组奖券就可看成4个不同的元素的全排列，如何2人获得，3张奖券分为2组，从4人挑2人排列，最后方法相加.
12．660
【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.
13．
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
14． ; .
【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.
【详解】，
，
所以，
，
所以.
故答案为：.
15．
【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
16．
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【详解】的通项为，
令，则，故；
.
故答案为：；.
【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
17．-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
18．160
【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数是.
故答案为：160.
19．
【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令的指数为零，求解并计算得到答案.
【详解】
的展开式的通项
令，解得，
故常数项为．
故答案为：.
20．10
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．
【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
21．
【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.
【详解】的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.
22．
【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项．
【详解】，
由，得，
所以的常数项为.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．
23．
【分析】直接利用二项展开式通项即可得到答案.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中含项的系数值为.
故答案为：40.
24．7
【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.
详解：二项式的展开式的通项公式为,
令得，故所求的常数项为
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.
25．21
【详解】 的系数为
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
26．.
【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.
【详解】结合二项式定理的通项公式有：，
令可得：，则的系数为：.
【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
27．35
【分析】结合二项式展开项通项公式，化简后令指数为1即可得出系数
【详解】由二项式展开项通项公式可得第项为，
故当时，二项展开式中x的系数为.
故答案为：35
28．2
【分析】由二项式定理与基本不等式求解
【详解】由二项式定理得展开通项为，
令，得，故，，
，当且仅当时等号成立，
故答案为：2
29．
【详解】因为，所以令，解得，所以=15，解得.
考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.
30．
【详解】试题分析：由题意，展开式通项为，．当时，；当时，，故的展开式中项为，系数为．
【考点定位】二项式定理．
31．70.
【详解】试题分析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知．令，解得，∴的展开式中的系数为．
考点：二项式定理．
32．
【分析】利用二项式的展开式，结合题干数据可得，求解即可
【详解】由题意，的展开式为：
由图易知，
则，
即，解得.
故答案为：3
33．
【详解】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.
考点：二项式定理
34．
【详解】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．
考点：二项式定理．
35．
【详解】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.
考点：二项式定理及二项展开式的通项.
36．
【分析】根据二项式的展开式通项结合条件即得.
【详解】因为的展开式的通项为，
令，可得，
所以的系数为.
故答案为：.
37．
【详解】试题分析：因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为
考点：二项式定理．
38．
【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求求解.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以二项式的展开式中的系数为.
故答案为：.
39．
【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】的通项公式为：
令，所以的系数等于，
故答案为：
40．40
【详解】利用通项公式，，令，得出的系数为
考点：本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.
41．
【详解】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.
考点：1.二项式定理的展开式应用.
42． 16 4
【详解】由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，取，可得．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．
43．
【分析】利用通项公式即可得出．
【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．
∵含有x2的系数是54，∴r＝2．
∴54，可得6，∴6，n∈N*．
解得n＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
44．
【详解】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．
考点：二项式定理
45．112
【详解】由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为，即，所以，又二项展开式的通项为，令，所以，所以，即常数项为112.
【点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解.本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.
46．-2
【详解】试题分析：因为，所以由，因此
【考点】二项式定理
【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.
47．10
【详解】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.
考点:二项式定理
【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.
48．60.
【详解】试题分析：因为，所以的系数为
考点：二项式定理
【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
（1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
（2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
49．ACD
【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
50．60
【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.
【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，
∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.
故答案为60.
51．18
【详解】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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