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十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—极坐标与参数方程
目录
题型一：极坐标与普通方程互化
题型二：极坐标方程的应用
题型三：参数方程与普通方程互化
题型四：参数方程的应用
题型五：极坐标与参数方程的综合应用
题型一：极坐标与普通方程互化
(2023年全国甲卷理科·第22题)
1．已知点，直线（t为参数），为的倾斜角，l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，且．
(1)求；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．
(2021年高考全国甲卷理科·第22题)
2．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第22题)
选修4–4：坐标系与参数方程
3．在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.
(2015高考数学江苏文理·第23题)
4．已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.
题型二：极坐标方程的应用
(2022年高考全国乙卷数学(理)·第22题)
5．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
(2020江苏高考·第22题)
6．在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
(2019·全国Ⅲ·理·第22题)
7．如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.
(2019·全国Ⅱ·理·第22题)
8．在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
(2019·江苏·第22题)
9．在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离.
(2018年高考数学江苏卷·第23题)
10．
在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．
(2015高考数学新课标2理科·第23题)
选修4-4：坐标系与参数方程
11．在直角坐标系中，曲线(为参数，)，其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．
(1)求与交点的直角坐标；
(2)若与相交于点，与相交于点，求的最大值．
(2015高考数学新课标1理科·第23题)
选修4-4：坐标系与参数方程
12．在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求，的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．
(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第22题)
13．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
题型三：参数方程与普通方程互化
(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第22题)
14．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第22题)
15．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
(2016高考数学江苏文理科·第23题)
选修4-4：坐标系与参数方程
16．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.
题型四：参数方程的应用
(2019·全国Ⅰ·理·第22题)
17．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第22题)
选修4-4：坐标系与参数方程
18．
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第22题)
选修4－4：坐标系与参数方程
19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
(2014高考数学辽宁理科·第23题)
选修4-4：坐标系与参数方程
20．将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
(2014高考数学课标2理科·第23题)
选修4-4：坐标系与参数方程
21．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.
（1）求C的参数方程；
（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.
(2014高考数学课标1理科·第23题)
选修4—4:坐标系与参数方程
22．已知曲线，直线：（为参数）.
（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．
(2014高考数学江苏·第23题)
选修4- 4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系xoy中，已知直线的参数方程为，直线与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长．
(2014高考数学福建理科·第22题)
选修4—4：极坐标与参数方程
24．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数).
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数的取值范围.
(2015高考数学陕西理科·第23题)
选修4-4：坐标系与参数方程
25．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.
（1）写出的直角坐标方程；
（2）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标.
(2015高考数学湖南理科·第17题)
26．已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.
(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第22题)
选修4―4:坐标系与参数方程
27．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．
(2017年高考数学江苏文理科·第23题)
选修4-4:坐标系与参数方程
28．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．
题型五：极坐标与参数方程的综合应用
(2023年全国乙卷理科·第22题)
29．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.
(1)写出的直角坐标方程；
(2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.
(2021年高考全国乙卷理科·第22题)
30．在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第22题)
31．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求||：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
(2015高考数学福建理科·第22题)
选修4-4：坐标系与参数方程
32．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为
（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第22题)
33．
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.
(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)
选修4—4:坐标系与参数方程
34．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)
选修4-4：坐标系与参数方程
35．在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．
(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题)
选修4—4：坐标系与参数方程
36．选修44：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.
（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据的几何意义即可解出；
（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．
【详解】（1）因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，
令，，令，，
所以，所以，
即，解得，
因为，所以．
（2）由（1）可知，直线的斜率为，且过点，
所以直线的普通方程为：，即，
由可得直线的极坐标方程为．
2．（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.
【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；
（2）方法一：设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）
[方法一]【最优解】
设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
[方法二]：
设点的直角坐标为，，，因为，
所以，，，
由，
即，
解得，
所以，，代入的方程得，
化简得点的轨迹方程是，表示圆心为，，半径为2的圆；
化为参数方程是，为参数；
计算，
所以圆与圆内含，没有公共点．
【整体点评】本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，
方法一：利用参数方程的方法，设出的参数坐标，再利用向量关系解出求解点的参数坐标，得到参数方程.
方法二：利用代数方法，设出点的坐标，再利用向量关系将的坐标用点的坐标表示，代入曲线C的直角坐标方程，得到点的轨迹方程，最后化为参数方程.
3．(1) ；(2) .
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，将代换，即可解出；
（2）方法一：依题可知曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，根据数形结合，以及直线与圆的位置关系，即可解出.
【详解】（1）由，，，代入得，，即的直角坐标方程为．
（2）［方法一］：【最优解】分类讨论
由（1）知是圆心为，半径为的圆．
而是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
［方法二］：解方程组法
联立，化简可得，，
当时，，因为与有且仅有三个公共点，所以该方程必然有实根，而，设方程的两实根为，由可知，方程有两个相异或相等正根．
当时，，因为与有且仅有三个公共点，所以该方程必然有实根，而，设方程的两实根为，由可知，方程有两个相异或相等负根．
当方程组有两个相异正根，两相等负根时，，解得：；
当方程组有两个相等正根，两相异负根时，，解得：．
综上，所求的方程为．
【整体点评】（2）方法一：根据直线与圆的位置关系分类讨论求出，是本题的最优解；
方法二：根据图象的交点个数与方程个数之间的关系求解，是利用代数方法解决几何问题的基本方式，对运算能力有一定要求．
4．
【分析】直接利用转换关系把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步求出圆的半径．
【详解】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，
以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为：
，
化简，得.
则圆C的直角坐标方程为，
即，
所以圆C的半径为.
【点睛】本题考查的知识要点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化及相关的运算问题．
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
【详解】（1）因为l：，所以，
又因为，所以化简为，
整理得l的直角坐标方程：
（2）[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将，代入中，
可得，
化简为，
要使l与C有公共点，则有解，
令，则，令，，
对称轴为，开口向上，
，
，
，即m的取值范围为.
[方法二]：直角坐标方程
由曲线的参数方程为，为参数，消去参数，可得，
联立，得，即，即有，即，的取值范围是．
【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视的范围限制而出错．
6．（1）（2）
【分析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.
【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
，
因为点为直线上，故其直角坐标方程为，
又对应的圆的直角坐标方程为：，
由解得或，
对应的点为，故对应的极径为或.
（2），
，
当时；
当时，舍；即所求交点坐标为当
【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．(1) ,,,
(2) ,,,.
【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.
(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.
【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
，
,.
(2)解方程得，此时P的极坐标为
解方程得或，此时P的极坐标为或
解方程得，此时P的极坐标为
故P的极坐标为,,,.
【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.
8．（1），l的极坐标方程为；（2）
【分析】（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；
（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.
【详解】（1）因为点在曲线上，
所以；
即，所以，
因为直线l过点且与垂直，
所以直线的直角坐标方程为，即；
因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；
（2）
[方法一]【交轨法】
由题可得的直线方程为，直线l方程为．设点，联立两直线的方程消去k，得点P轨迹方程为，化为极坐标方程为，又点P在第一象限且在圆内，得角取值范围为．
[方法二]【利用数量积为0求得直角坐标方程，然后计算极坐标方程】
设，由题意可知，所以，即．将代入上式可得点P轨迹的极坐标方程，即．又点P在线段上，且，所以．
故点P轨迹的极坐标方程为．
[方法三]【最优解：利用斜率之积为求得直角坐标方程，然后计算极坐标方程】
设，则， ，
由题意，，所以，故，整理得，
因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，
所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.
【整体点评】(2)方法一：交轨法是一种简单的方法，但是要求学生有较强的推理能力；
方法二：先求得直角坐标方程再转化为极坐标方程是常规做法，利用数量积为0处理垂直关系是一种常用的方法；
方法三：先求得直角坐标方程再转化为极坐标方程是常规做法，利用斜率之积为处理垂直关系是一种常用的方法.
9．（1）；
（2）2.
【分析】(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；
(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线的距离.
【详解】（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，），
由余弦定理，得AB=.
（2）因为直线l的方程为，
则直线l过点，倾斜角为．
又，所以点B到直线l的距离为.
【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
10．直线l被曲线C截得的弦长为
【详解】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.
详解：因为曲线C的极坐标方程为，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为，
则直线l过A（4，0），倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，
所以．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为．
点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.
11．(1)和
(2)
【分析】（1）通过极坐标方程与普通方程的转化公式代入化简即可得到与的普通方程，联立求出交点即可；
（2）将曲线的参数方程消参化为普通方程，由普通方程求得的极坐标方程，求出、的极坐标，即可求解.
【详解】（1）根据，，，
因为，即，
所以曲线的直角坐标方程为，
因为，即，
所以曲线的直角坐标方程为；
联立解得或
所以与交点的直角坐标为和．
（2）因为曲线(为参数，)，其中，
化为普通方程为：，其中，且；时，，
根据，，，
当，且时，有，即，
时，有，即，，
所以曲线的极坐标方程为，其中．
因此得到极坐标为，的极坐标为．
所以，
当时，取得最大值，最大值为．
12．(1),；(2)．
【详解】试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为.
试题解析：
（1）因为 ，所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为
（2）将代入
得得 ， 所以
因为的半径为1，则的面积为
考点：坐标系与参数方程.
13．（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；
（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.
试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知
|OP|=，=.
由|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.
（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积
当时， S取得最大值.
所以△OAB面积的最大值为.
点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
14．（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.
【分析】（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；
（2）当时，，曲线的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线 化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.
【详解】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），
两式平方相加得，
所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当时，曲线的参数方程为为参数），
所以，曲线的参数方程化为为参数），
两式相加得曲线方程为，
得，平方得，
曲线的极坐标方程为，
曲线直角坐标方程为，
联立方程，
整理得，解得或 （舍去），
，公共点的直角坐标为 .
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
15．（1）；；（2）.
【分析】（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】(1)[方法一]：消元法
由得的普通方程为．
由参数方程可得，
两式相乘得普通方程为．
[方法二]【最优解】：代入消元法
由得的普通方程为，
由参数方程可得，
代入中并化简得普通方程为．
(2)[方法一]：几何意义+极坐标
将代入中解得，故P点的直角坐标为．
设P点的极坐标为，
由得，，．
故所求圆的直径为，
所求圆的极坐标方程为，即．
[方法二]：
由得所以P点的直角坐标为．
因为．
设圆C的极坐标方程为，所以，
从而，解得．
故所求圆的极坐标方程为．
[方法三]：利用几何意义
由得所以P点的直角坐标为，
化为极坐标为，其中．
如图，设所求圆与极轴交于E点，则，
所以，所以所求圆的极坐标方程为．
[方法四]【最优解】：
由题意设所求圆的圆心直角坐标为，则圆的极坐标方程为．
联立得解得．
设Q为圆与x轴的交点，其直角坐标为，O为坐标原点．
又因为点都在所求圆上且为圆的直径，
所以，解得．
所以所求圆的极坐标方程为．
[方法五]利用几何意义求圆心
由题意设所求圆的圆心直角坐标为，
则圆的极坐标方程为．
联立得，
即P点的直角坐标为．
所以弦的中垂线所在的直线方程为，
将圆心坐标代入得，解得．
所以所求圆的极坐标方程为．
【整体点评】(1)[方法一]利用乘积消元充分利用了所给式子的特征，体现了解题的灵活性，并不是所有的问题都可以这样解决；
[方法二]代入消元是最常规的消元方法之一，消元的过程充分体现了参数方程与普通方程之间的联系.
(2)[方法一]利用几何意义加极坐标求解极坐标方程是充分利用几何思想的提现，能提现思维的 ；
[方法二]首先确定交点坐标，然后抓住问题的本质，求得的值即可确定极坐标方程；
[方法三]首先求得交点坐标，然后充分利用几何性质求得圆的直径即可确定极坐标方程；
[方法四]直径所对的圆周角为是圆最重要的性质之一，将其与平面向量垂直的充分必要条件想联系进行解题时一种常见的方法；
[方法五]圆心和半径是刻画圆的最根本数据，利用几何性质求得圆心的坐标即可确定圆的方程.
16．
【详解】试题分析：将参数方程化为普通方程，再根据弦长公式或两点间距离公式求弦长.
试题解析：解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.
所以.
【考点】直线与椭圆的参数方程
【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．
17．（1）；；（2）
【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.
【详解】（1）由得：，又
整理可得的直角坐标方程为：
又，
的直角坐标方程为：
（2）设上点的坐标为：
则上的点到直线的距离
当时，取最小值
则
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
18．（1）
（2）为参数，
【详解】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．
（2）联立方程，由根与系数的关系求解
详解：（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数， ．
设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．
点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．
19．（1），当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为；（2）
【分析】（1）根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况；
（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．
【详解】（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，，即的直角坐标方程为；
当时，的直角坐标方程为．
（2）［方法一］：直线参数方程的应用
将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
［方法二］：【最优解】点差法的应用
设直线l（斜率为k）与曲线C相交于．因为点是线段的中点，所以直线l的斜率k存在且不为零．则，由题意得①，②，
两式相减得，即，解得．
［方法三］：【通性通法】常规联立＋韦达定理
设直线l与曲线C的交点为，．因为点是线段的中点，所以直线l的斜率k存在且不为零．由消去y整理得．因为为椭圆内部的点，只需，得．所以直线l的斜率为．
［方法四］：伸缩变换
设变换得代入椭圆方程，得圆．而点变换成点，以为中点的圆的弦所在直线的斜率，根据变换公式，得直线l的斜率．
【整体点评】（2）方法一：根据直线参数方程中的几何意义，可快速找到的关系，从而求出斜率；
方法二：中点问题考虑点差法，简单适用，是该题的最优解；
方法三：利用直线和椭圆方程联立，根据韦达定理求出斜率，是直线与椭圆位置关系问题的通性通法；
方法四：利用伸缩变换，将直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系，再根据圆的几何性质求解，最后回代即可解出．
20．（1） （t为参数）；（2） .
【详解】试题分析：（1）设为圆上的点，在曲线C上任意取一点（x，y），再根据，由于点在圆上，求出C的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得 的坐标，可得线段 的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为 ，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据 可得所求的直线的极坐标方程．
（1）设为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得 由 得，即曲线C的方程为.，故C得参数方程为 （t为参数）.
（2）由解得：，或.
不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，
化极坐标方程，并整理得
，即.
考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化．
21．（1）为参数；（2）
【分析】（1）先求出半圆的直角坐标方程，由此能求出半圆的参数方程；
（2）设点对应的参数为，则点的坐标为，且 ，半圆的圆心是因半圆在处的切线与直线垂直，故直线的斜率与直线的斜率相等，由此能求出点的坐标.
【详解】（1）由，得 ，
所以C的参数方程为为参数
（2）
【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.
22．（I）；（II）最大值为，最小值为.
【详解】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系．过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理．
试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．
（II）曲线C上任意一点到的距离为．则
．其中为锐角，且．
当时，取到最大值，最大值为．
当时，取到最小值，最小值为．
【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．
23．
【详解】直线的普通方程为，即，
与抛物线方程联立方程组解得，
∴.
24．（1）；；（2）
【分析】（1）利用所给参数方程消去参数即可求得普通方程；
（2）首先求得圆心到直线的距离，据此得到关于实数的不等式，求解不等式即可求得最终结果．
【详解】解：（1）直线的参数方程为，消去可得；
圆的参数方程为，两式平方相加可得；
（2）因为，所以圆心，半径．
由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离．
直线与圆有公共点，，即，解得，即．
【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．
25．（1）；（2）.
【分析】（1）根据极坐标转化为直角坐标的公式求得的直角坐标方程.
（2）求得的普通方程，结合图象求得的直角坐标.
【详解】（1）由得.
（2），所以圆心,半径.
直线的参数方程为（为参数），消去参数得，
斜率为，倾斜角为，过点.由于过和的直线的斜率为，，
所以当到圆心的距离最小时，的直角坐标为.
26．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）在方程两边同乘以极径可得，再根据，代入整理即得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到的值.
试题解析：（1）等价于①
将代入①既得曲线C的直角坐标方程为
，②
（2）将代入②得，
设这个方程的两个实根分别为
则由参数t 的几何意义既知，.
考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.
27．（1），；（2）或．
【详解】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．
试题解析：（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.
由解得或.
从而与的交点坐标为，.
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时，的最大值为.由题设得，所以；
当时，的最大值为.由题设得，所以.
综上，或.
点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．
28．.
【分析】利用曲线C的参数方程设P为，将直线方程化为普通方程，利用点到直线距离公式表示出P到直线l的距离，利用二次函数性质即可求最小值．
【详解】直线的普通方程为．
点在曲线上，故设，
∴点到直线的距离，
∴当时，．
∴点到直线的距离的最小值为．
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意的取值范围；
（2）根据曲线的方程，结合图形通过平移直线分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.
【详解】（1）因为，即，可得，
整理得，表示以为圆心，半径为1的圆，
又因为，
且，则，则，
故.
（2）因为（为参数，），
整理得，表示圆心为，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线过，则，解得；
若直线，即与相切，则，解得，
若直线与均没有公共点，则或，
即实数的取值范围.
【点睛】
30．（1），（为参数）；
（2）和．
【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）[方法一]：直角坐标系方法
①当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，故舍去．
②当切线斜率存在时，设其方程为，即．
故，即，解得．
所以切线方程为或．
两条切线的极坐标方程分别为和．
即和．
[方法二]【最优解】：定义求斜率法
如图所示，过点F作的两条切线，切点分别为A，B．

在中，，又轴，所以两条切线的斜率分别和．
故切线的方程为，，这两条切线的极坐标方程为和．
即和．
【整体点评】（2）
方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，
方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.
31．（1）（2）
【分析】（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；
（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】（1）令，则，解得或（舍），则，即.
令，则，解得或（舍），则，即.
；
（2）由（1）可知，
则直线的方程为，即.
由可得，直线的极坐标方程为.
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.
32．（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）消去参数t，得到圆的普通方程，利用，将直线的极坐标方程化成直角坐标系方程；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式即可求解．
【详解】（Ⅰ）消去参数t，得到圆的普通方程为,
由，得,
所以直线l的直角坐标方程为.
（Ⅱ）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即，解得
33．（1）（2）
【详解】（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.
设,由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为.
（2）C的极坐标方程为.
联立得.
故，
从而.
代入得，
所以交点M的极径为.
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
34．（1）：，：；（2），此时.
【详解】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
35．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.
（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.
于是，.
.
由得，.
所以的斜率为或.
36．（Ⅰ）圆，（Ⅱ）1
【详解】试题分析：（Ⅰ）把化为普通方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）通过解方程组可以求得.
试题解析：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.
是以为圆心，为半径的圆.
将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为
.
（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组
若，由方程组得，由已知，
可得，从而，解得（舍去），.
时，极点也为的公共点，在上.所以.
【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用
【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.
答案第1页，共2页
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