资源简介

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式选讲
目录
题型一：含绝对值不等式的解法
题型二：不等式的最值
题型三：含绝对值不等式的成立问题
题型四：含绝对值函数的图像及其应用
题型五：不等式证明
题型一：含绝对值不等式的解法
(2021年高考全国乙卷理科·第23题)
1．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)
2．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
(2020江苏高考·第23题)
3．设，解不等式.
(2019·全国Ⅱ·理·第23题)
4．已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围.
(2019·江苏·第23题)
5．设，解不等式.
(2015高考数学新课标1理科·第24题)
选修4—5：不等式选讲
6．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.
(2015高考数学江苏文理·第24题)
7．解不等式x+|2x+3|≥2．
(2014高考数学课标2理科·第24题)
选修4-5：不等式选讲．
8．设函数
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)
[选修4—5:不等式选讲]
9．已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．
(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)
[选修4—5：不等式选讲]
10．已知函数=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式≥1的解集；
（2）若不等式≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.
(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)
选修4—5:不等式选讲
11．已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
题型二：不等式的最值
(2018年高考数学江苏卷·第24题)
[选修4—5：不等式选讲]
12．若为实数，且，求的最小值．
(2014高考数学课标1理科·第24题)
选修4—5:不等式选讲
13．若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得， 并说明理由.
(2015高考数学陕西理科·第24题)
选修4-5：不等式选讲
14．已知关于的不等式的解集为
（1）求实数的值；
（2）求的最大值.
(2015高考数学福建理科·第23题)
选修4-5：不等式选讲
15．已知，函数的最小值为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小值．
题型三：含绝对值不等式的成立问题
(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)
[选修4－5：不等式选讲]
16．设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)
[选修4–5：不等式选讲]
17．已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.
题型四：含绝对值函数的图像及其应用
(2023年全国甲卷理科·第23题)
18．设，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
(2023年全国乙卷理科·第23题)
19．已知.
(1)求不等式的解集；
(2)在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.
(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)
20．已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)
选修4—5：不等式选讲
21．已知函数.

(1)画出的图象；
(2)求不等式的解集．
(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)
选修4—5：不等式选讲
22．
设函数．
（1）画出的图像；
（2）当，，求的最小值．
题型五：不等式证明
(2017年高考数学江苏文理科·第24题)
选修4-5:不等式选讲
23．已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8.
(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)
24．已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则．
(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)
25．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
(2019·全国Ⅲ·理·第23题)
26．设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.
(2019·全国Ⅰ·理·第23题)
27．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
(2014高考数学辽宁理科·第24题)
选修4-5：不等式选讲
28．设函数，，记的解集为M，的解集为N.
（1）求M；
（2）当时，证明：.
(2014高考数学江苏·第24题)
选修4 - 5：不等式选讲
29．已知，求证：.
(2014高考数学福建理科·第23题)
选修4-5：不等式选讲
30．已知定义在R上的函数的最小值为a.
（1）求a的值.
（2）若p，q，r为正实数，且，求证：.
(2015高考数学新课标2理科·第24题)
选修4-5不等式选讲
31．选修4-5不等式选讲
设均为正数，且，证明：
（Ⅰ）若，则；
（Ⅱ）是的充要条件．
(2015高考数学湖南理科·第18题)
32．设，，且.
证明：(1) ；
(2) 与不可能同时成立．
(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)
选修4-5：不等式选讲
33．已知，，，证明：
(1)；
(2).
(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题)
选修4—5：不等式选讲
34．选修4-5：不等式选讲
已知函数，M为不等式的解集.
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b时，.
(2016高考数学江苏文理科·第24题)
选修4-5：不等式选讲
35．[选修4—5：不等式选讲]
设a＞0，|x-1|＜ ，|y-2|＜ ，求证：|2x+y-4|＜a.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）.（2）.
【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.
【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法
当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当时，．
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得．
综上，的解集为．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，
,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值
由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当时，
则，此时，无解．
当时，
则，此时，由得，．
综上，a的取值范围为．
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得后，构造两个函数和，
即和，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，
由图易知，则．
【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；
方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法
方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；
方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.
2．（1）或；（2）.
【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当时，.
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或.
（2）（当且仅当时取等号），
，解得：或，
的取值范围为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
3．.
【解析】分、和去绝对值解不等式即可.
【详解】
或或
或或
所以解集为.
【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式，属于基础题.
4．（1）；（2）
【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；
（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】（1）当时，原不等式可化为；
当时，原不等式可化为，即，显然成立，
此时解集为；
当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；
当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；
综上，原不等式的解集为；
（2）当时，因为，所以由可得，
即，显然恒成立；所以满足题意；
当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；
综上，的取值范围是.
【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.
5．.
【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.
【详解】当x<0时，原不等式可化为，解得x<–：
当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；
当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.
综上，原不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．
6．（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）
【详解】试题分析：
(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为；
(Ⅱ)由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为
试题解析：
（I）当时，化为，
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得．
所以的解集为．
（II）由题设可得，
所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．
由题设得，故．
所以a的取值范围为
7．
【详解】试题分析：解法1公式法：利用，或
解法2零点分段法：对的值分“”“”进行讨论求解．
解析：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，
得2x+3≥2﹣x，或2x+3≤﹣（2﹣x），
即x≥，或x≤﹣5，
即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．
解法2：令|2x+3|=0，得x=．
①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；
②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．
综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}
8．（1）详见解析；（2）．
【详解】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.
试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.
（2）因为，所以
，解得：.
【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.
考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
9．（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．
试题解析：（1）当时，不等式等价于.①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而.
所以的解集为.
（2）当时，.
所以的解集包含，等价于当时.
又在的最小值必为与之一，所以且，得.
所以的取值范围为.
点睛:形如(或)型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，， (此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．
10．（1）；（2）.
【分析】（1）由于f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max，从而可得m的取值范围．
【详解】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x），
当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x1，
∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（）1；
当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，
∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；
综上，g（x）max，
∴m的取值范围为（﹣∞，]．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．
11．（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）当时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析： （1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
考点：不等式选讲.
12．4
【分析】方法一：根据柯西不等式即可解出.
【详解】［方法一］：【最优解】柯西不等式的应用
由柯西不等式，得．
因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，
此时，所以的最小值为4．
［方法二］：几何意义
建立空间直角坐标系，由得，向量与向量的数量积，设，所以点在表示的一个平面上．所以，的最小值为原点到上述平面的距离的平方，故最小值为．
［方法三］： 基本不等式的应用
因为（时取等号），
（时取等号），
（时取等号）．
所以，三式相加得，所以．
当时取得最小值．
［方法四］：向量数量积的应用
设向量．
因为，所以．
即，所以．
当，即，且时取等号，此时．
［方法五］： 利用直线与圆的位置关系
设，则．
因为直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离，即，．
当时取最小值，此时．
［方法六］：消元＋配方法
由得，
所以
．
当且时取等号，此时．
［方法七］： 增量分析法
设，则．
所以．
故
，当时取等号，此时．
【整体点评】方法一：直接使用柯西不等式求出，该法常规，是该题的最优解；
方法二：构建空间模型，利用式子的几何意义，由空间中的点到面的距离公式求出；
方法三：利用最值取等条件，构造多个基本不等式，相加求出；
方法四：利用空间向量数量积的坐标表示求出；
方法五：设，将题目转化为直线与圆有交点，再根据直线与圆的位置关系解出；
方法六：利用消元法，将所求式中转化为两元的函数式，再配成平方相加的形式求出；
方法七：利用增量分析法，设，貌似增加了题中的未知量和难度，但是基于取等条件，化简结果简洁，直接可以看出．
13．（1）；（2）不存在.
【分析】（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．
【详解】（1）由，得，且当时取等号．
故，且当时取等号．
所以的最小值为；
（2）由（1）知，．
由于，从而不存在，使得成立．
【考点定位】基本不等式．
14．（1）；（2）4
【分析】（1）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（2）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值．
【详解】（1）由，得
则解得,
（2）
当且仅当，即时等号成立，
故．
15．（Ⅰ） ；（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（1）利用绝对值不等式几何意义，，又因为，所以的最小值为，即可求得其值为4；（2）求的最小值，可利用柯西不等式．
试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，所以的最小值为,所以．
（Ⅱ）由（1）知，由柯西不等式得
,
即
当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值为．
考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式．
【方法点睛】解含有绝对值不等式，要巧妙利用绝对值的几何意义或者利用零点分区间法求不等式的最值．对于若干个单项式的平方和，因为其符合柯西不等式，所以只要补足另一个平方和多项式，便可利用柯西不等式来求最值．
16．(1)；(2) .
【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．
详解：（1）当时，
可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
17．（1）；（2）．
【分析】（1）方法一：将代入函数解析式，求得，利用零点分段法将解析式化为，分类讨论即可求得不等式的解集；
（2）方法一：根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.
【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法
当时，，即，所以不等式等价于或或，解得：．
故不等式的解集为．
［方法二］：【最优解】数形结合法
如图，当时，不等式即为．
由绝对值的几何意义可知，表示x轴上的点到对应的点的距离减去到1对应点的距离．结合数轴可知，当时，，当时，．故不等式的解集为．
（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论
当时，成立等价于当时，成立．
若，则当时，；
若，由得，，解得：，所以，故．
综上，的取值范围为．
［方法二］：平方法
当时，不等式成立，等价于时，成立，即成立，整理得．
当时，不等式不成立；
当时，，不等式解集为空集；
当时，原不等式等价于，解得．
由，解得．故a的取值范围为．
［方法三］：【最优解】分离参数法
当时，不等式成立，等价于时，成立，
即，解得：，而，所以．故a的取值范围为．
【整体点评】（1）方法一：利用零点分段法是解决含有两个以及以上绝对值不等式的常用解法，是通性通法；
方法二：利用绝对值的几何意义解决特殊类型的绝对值不等式，直观简洁，是该题的最优解．
（2）方法一：分类讨论解出绝对值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通法；
方法二：本题将绝对值不等式平方，转化为解含参的不等式，利用是不等式解集的子集求出，虽可解出，但是增加了题目的难度；
方法三：利用分离参数，将不等式问题转化为恒成立最值问题，思想简单常见，是该题的最优解．
18．(1)
(2)2
【分析】（1）分和讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若,则,
即,解得,即,
若,则,
解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与轴围成,
的高为,所以,
所以,解得.
19．(1)；
(2)8.
【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.
（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.
【详解】（1）依题意，，
不等式化为：或或，
解，得无解；解，得，解，得，因此，
所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，

由，解得，由, 解得，又，
所以的面积.
20．（1）详解解析；（2）.
【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；
（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．
【详解】（1）因为，作出图象，如图所示：
（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：
由，解得．
所以不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．
21．(1)答案见解析
(2)或或．.
【分析】（1）化为分段函数，再作图；
（2）由图象解不等式和可得．
【详解】（1），
作出射线和射线，再作出线段即可得：

（2）由的表达式及图像，当时，可得或；
当时，可得或，
故的解集为；的解集为或，
所以的解集为或或．.
22．（1）见解析
（2）
【详解】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．
（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值
详解：（1） 的图像如图所示．
（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．
点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．
23．见解析
【详解】试题分析：由柯西不等式可得，代入即得结论．
试题解析：证明：由柯西不等式可得：，
因为
所以，
因此.
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.
【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有，
所以，当且仅当时，取等号，所以.
[方法二]：基本不等式
由，，， ，
当且仅当时，取等号，所以.
（2）证明：因为，，，，由（1）得，
即，所以，
由权方和不等式知，
当且仅当，即，时取等号，
所以.
【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；
方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．
25．（1）证明见解析（2）证明见解析.
【分析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．
【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
均不为，则，．
［方法二］：消元法
由得，则，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知，又，故结论得证．
方式2：因为，
所以
．
即，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法四］：
因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，
不妨设则.
［方法五］：利用函数的性质
方式1：，令，
二次函数对应的图像开口向下，又，所以，
判别式，无根，
所以，即．
方式2：设，
则有a，b，c三个零点，若，
则为R上的增函数，不可能有三个零点，
所以．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设，因为，所以，
则．故原不等式成立．
［方法二］：
不妨设，因为，所以，且
则关于x的方程有两根，其判别式，即．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．
【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．
26．(1) ；(2)见详解.
【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.
(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.
【详解】(1) [方法一]【利用函数的凹凸性和琴生不等式求最值】
构造函数，因为是上凹函数，利用琴生不等式有，
所以，变形即得，
当且仅当时，等号成立，即时，等号成立．
[方法二]【建立空间直角坐标系，利用空间向量的几何意义求最值】
如图，建立空间直角坐标系，并设．由知，动点在平面上，又的几何意义表示动点与空间点的距离的平方，且平面的一个法向量为．所以当平面时，取得最小值，其最小值为．
[方法三]【利用基本不等式求最值】
，且．令，则．所以．
当时，取得最小值为，此时．
[方法四]【最优解，利用基本不等式结合二次函数的性质求最值】
设．
因为，
所以．
设，则，此二次函数的对称轴为，故当时，，即当时，取得最小值．
(2)因为，
所以.
根据柯西不等式等号成立条件，当，
即时有：
成立.
所以成立，所以有或.
【整体点评】(1)方法一：琴生不等式和函数的凹凸性体现了整体性的思想的应用；
方法二：利用空间向量的方法体现了数形结合的方法；
方法三：基本不等式求最值要求变形的技巧较高；
方法四：基本不等式+二次函数的方法求最值是常见的求最值的方法.
27．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.
【详解】（1）
当且仅当时取等号
，即：
（2），当且仅当时取等号
又，，（当且仅当时等号同时成立）
又
【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
28．（1）；（2）详见解析.
【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当时，由，或 当时，由，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由 ，求得N，可得．当x∈M∩N时，f（x）=1-x，不等式的左边化为，显然它小于或等于，要证的不等式得证．
（1）
当时，由得，故；
当时，由得，故；
所以的解集为.
（2）由得解得，因此，故.
当时，，于是
.
考点：1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．
29．详见解析
【分析】根据均值不等式及不等式的性质即可证明.
【详解】∵，∴，
则
【点睛】本题主要考查了均值不等式及不等式的性质，属于中档题.
30．(1)3；(2)证明见解析
【解析】(1)根据绝对值的三角不等式求解即可.
(2)根据三元的柯西不等式证明即可.
【详解】(1)根据绝对值的三角不等式有.
当且仅当 时取等号.故.
(2)证明：由(1)有.利用三元的柯西不等式有
.
故
【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式与三元的柯西不等式运用,属于基础题.
31．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．
【详解】（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．
（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．
（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．
考点：推理证明．
32．(1)见解析.
(2)见解析.
【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.
(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.
试题解析：
由,,得.
(1)由基本不等式及,有,即
(2)假设与同时成立,
则由及a>0得0故与不可能同时成立.
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
33．(1) 见解析(2) 见解析
【分析】（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a3+b3＝2转化为ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．
【详解】证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时取等号；
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴ab，
由均值不等式可得：ab≤
∴（a+b）3﹣2，
∴（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
【点睛】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．
34．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【详解】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．
试题解析：（I）
当时，由得解得；
当时，；
当时，由得解得.
所以的解集.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而
，
因此
【考点】绝对值不等式，不等式的证明.
【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：
（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，， （此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．
35．详见解析
【详解】试题分析：利用含绝对值的不等式进行放缩证明
试题解析：证明：因为
所以
考点：含绝对值的不等式证明
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑