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专题10 切线问题【讲】
一、导数的几何意义：
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率.注：
（1）；
（2）曲线在点处的切线方程为：.
二、常用二级结论：
1.曲线在点处的切线方程：
抓住关键：
2.曲线过点的切线方程：
设切点为，则斜率，因为过点，∴然后解出的值.（有几个值，就有几条切线，三次函数多解）
3.指数函数、对数函数过一点的切线常用结论：
令过原点的切线斜率为：；令过原点的切线斜率为：.
类推：的切线斜率分别为例（根据平移记忆）和（不要求记忆）.
函数与导数一直是高考中的热点与难点，用导数研究曲线的切线是一个主要命题点，内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题，由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等.
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1.求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式.
2.求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为.
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线问条数问题转化为关于的方程的实根个数问题.
三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点.
四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围.常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解.
考向一 过一点的切线问题
例1.（2024浙江温州期末考试）已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（ ）
A. B. C. D.
【典例解读】
根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，进而即可判断AB；画出函数与图象，由可得，化简计算即可判断CD.
【解析】由题意知，，则，
∴曲线在点处的切线方程分别为
，
∵切线均过原点，∴，
即，得，故AB错误；
由，得，画出函数与图象，如图，
设，如上图易知：，
由正切函数图象性质，得，即，
又，∴，
即，解得，故C正确，D错误.故选C.
【题后反思】
证明选项CD的关键是根据构造新函数，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键.
【再练一个】
1．在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是 ，切线方程为
考向二 已知切线求参数问题
例2.（2024福建漳州开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则k的最大值是（ ）
A. B. C.2e D.4e
【典例解读】
设切点分别为和，则，根据题意转化为有解，设，求得，得出函数的单调性和极小值，结合，即可求解.
【解析】∵是和的公切线，
设切点分别为和，则，
由，可得，则
又由，可得，且，则，
∴，可得，
即，显然同号，不妨设，
设，（其中），
可得，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
要使得有解，则需要，即
即，解得，∴，即的最大值为.故选B.
【题后反思】
（1）通过设切点将问题转化为方程有解的问题；
（2）对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①②通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
【再练一个】
（2024四川成都期中考试）
2．设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
考向三 切线的夹角问题
例3.（2024上海建平中学月考）若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质.若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是 .
【典例解读】
根据三角函数辅助角公式和将函数解析式中的，消去，再求出函数导数，根据题意利用导数列式表示出性质，将式子展开后把等式当作一个关于的方程的有解问题，根据一元二次方程有解条件化简等式求解出a值，再根据将，换元为三角函数形式代入求解出实数的取值范围即可.
【解析】由题意可得，.于是，.设切点分别为，，则由函数具有性质，可得，即，整理得，
将上式视为关于的方程，则其判别式：
，
即，注意到，
，则，故，此时或，
代入方程可得，因此，.
另一方面，由，可设，，其中，
则，即.因此，.
【题后反思】
对于函数新定义，解题第一步都是模仿定义列式求解，此题难度不在于新定义，而在于式子的复杂性，一方面需要根据题意优先化简函数解析式，为求导后的计算打下基础；另一方面，在求导后的计算中，要将a作为主元进行求解，因此展开方程即便系数复杂，也能看出方程本质为关a的一元二次方程，最终按照一元二次方程性质解题即可.
【再练一个】
（2024山东烟台期末考试）
3．我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩 千姿百态 引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线分别逆时针旋转可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（ ）
A．开口向下的抛物线的方程为
B．若，则
C．设，则时，直线截第一象限花瓣的弦长最大
D．无论为何值，过点且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值
考向四 切线的条数问题
例4.（2024辽宁锦州期末考试）过点（）有条直线与函数的图象相切，则的最大值是 ，此时的取值范围是 .
【典例解读】
根据导数的几何意义，求解出切线方程，利用代入法、常变量分离法、数形结合思想进行求解即可.
【解析】设切点为，对函数求导得，切线斜率为，
∴曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，
∴，令，其中，
∴，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
由可得，解得或，如图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
当时，直线与函数的图象有二个交点，
当时，直线与函数的图象有一个交点，
当，或时，直线与函数的图象没有交点，
故答案为：3；.
【题后反思】
本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于利用导数的几何意义，写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，最终把等价转化为函数的零点个数问题，利用导数与数形结合思想来求解.
【再练一个】
4．若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
考向五 公切线问题
例5.（2024浙江湖州期末考试）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【典例解读】
设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围.
【解析】由题意可知：，
设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，
且，，则公切线的斜率，可得，
则公切线方程为，
代入得，
代入可得，整理得，
令，则，
若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，
设，则，
令，解得；令，解得；
则在内单调递增，在单调递减，可得，
且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于，
可得，解得，故实数的取值范围为.故选A.
【题后反思】
涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围.
【再练一个】
（2024江苏横林高中月考）
5．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
考向六 以切线为背景的范围问题
例6.（2024江苏南京金陵中学月考）已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【典例解读】
设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，，即该方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.
【解析】设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，
又，则公切线的斜率，则，∴，
则公切线方程为，即，
代入得：，则，整理得，
若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，
设，则，令得，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如图所示：
∴，解得，故实数a的取值范围为.故选B.
【题后反思】
解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为，且，，且，可得，即有，得公切线方程为，代入切点将双变量方程转化为单变量方程，根据含参方程进行“参变分离”得，转化为一曲一直问题，即可得实数a的取值范围.
【再练一个】
6．设函数，，若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向七 切线引出的最值问题
例7.（2024山东学情调研）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【典例解读】
首先得到函数的图象与函数的图象关于直线对称，则问题转化为点到直线距离最小值的倍，求出过点的切线恰与平行时切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得.
【解析】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，
又，即点在函数的图象上，
∴函数的图象与函数的图象关于直线对称，
∴这，两点之间距离的最小值等于点到直线距离最小值的倍，
由，则，
函数在点处的切线斜率为，令，解得，，
∴点到直线距离的最小值为，
∴这，两点之间距离的最小值为.故选D.
【题后反思】
（1）解决本题的关键是通过分析得出两函数图象关于直线对称这一重要条件，从而巧妙地将两点间距离问题转化为点到直线距离问题，进一步的转化为点到切线的距离.同时，在求切线斜率及切点时，对函数求导并运用导数的意义准确计算，这体现了导数在研究函数性质方面的关键作用.
（2）通过这道题，进一步加深了对函数对称性、导数以及距离公式等知识点的理解和综合运用能力，也让我们意识到在面对复杂问题时，要善于寻找突破点和合理进行转化.
【再练一个】
（2024湖北名校联盟联考三模）
7．若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
例8.（2024九省联考适应性考试）设为的图象在轴两侧的点，则在处的切线与轴围成的三角形的面积的最小值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【典例解读】
设点、，不妨设，利用导数求出曲线在点处的切线方程，求出点的坐标，以及，可得出的表达式，利用基本不等式结合导数法可求得面积的最小值.
【解析】对函数求导得，设、，且，
∴曲线在点处的切线方程为，可得，
同理可知，曲线在点处的切线方程为，
联立可得，即点，
在直线方程中，令，得，即，同理得，
∴，
，
令，，
，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，则.
当且仅当时，的面积取得最小值.故选D.
【题后反思】
（1）解题过程中需要巧妙地设出两点坐标，通过求导得到切线方程，进而确定相关点的坐标和线段长度；
（2）求出三角形的表达形式后，利用换元法，构造函数，再利用导数求函数最值.
【再练一个】
（2024辽宁沈阳二中月考）
8．已知曲线在点处的切线与圆也相切，当半径最大时圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题：
（2024陕西师大附中月考）
9．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2024浙江湖州行知中学月考）
10．过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（2024湖北荆州月考）
11．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2021年新高考I卷第7题）
12．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：
（2024山东济南一中月考）
13．假设直线与曲线相切，若切点唯一，则称直线与曲线单切；若切点有两个，则称直线与曲线双切；若还与曲线相交，则称直线与曲线交切.已知函数，则（ ）
A．直线与曲线双切
B．直线与曲线单切
C．直线与曲线交切
D．存在唯一的直线，与曲线单切且交切
（2024广东广州模拟）
14．已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
（2024安徽合肥一中期末考试）
15．已知点，（）是函数（）图象上两点，则（ ）
A．对任意点A，存在无数个点B，使得曲线在点A，B处的切线倾斜角相等
B．若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则
C．若对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则a的取值范围是
D．若且曲线在点A，B处的切线都过原点，则
三、填空题：
（2024湖南邵阳邵东一中月考）
16．已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ．
（2024江苏连云港期中考试）
17．如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 .
四、双空题：
（2024安徽毛坦厂中学期末考试）
18．设函数，曲线在点和点的两条切线相互垂直，且分别交轴于两点，则 ；的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】求导，根据点斜式得切线方程，代入可得，构造函数，求导，根据函数的单调性结合，可得，即可求解.
【详解】设点，则.又，
当时，，
曲线在点A处的切线方程为，即，
代入点，得，即，
记，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为，切线方程为，
故答案为：，
2．C
【分析】先设切点写出切线方程，再求的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.
【详解】令的切点为，因为，
所以过切点的切线方程为，
即，所以，
所以，
令，则，
所以当时恒成立，此时单调递减，
当时恒成立，此时单调递增，
所以，所以，
故选：C
3．ABD
【分析】根据图象的对称性判断A；由及抛物线方程得到点的坐标，由对称性得到点坐标，代入即可求，判断B；由题意得到直线截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可判断C；利用导数的几何意义求出过点的切线，借助图象的对称性判断D.
【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，
若抛物线逆时针旋转，则开口向下，焦点为，
故开口向下的抛物线方程为：，故A正确；
对于B，由题意可知，关于轴对称，
因为，设，所以，，
因为点在抛物线上，所以，
所以，即，所以，
由在抛物线上，所以，解得，故B正确；
对于C，当，由得，所以，
由题意直线截第一象限花瓣弦长为，，
所以，令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取到最大值，故C错误；
对于D，由得，
过第二象限的两抛物线分别为：①，②，
对于①，，则，设切点坐标为，
所以过点的切线方程为：，
将点代入得，解得，
因为，故，
所以切线的斜率为，故无论为何值，切线斜率均为，其与直线的夹角为定值，
由题意可知，与关于直线对称，
故过点的两切线也关于直线对称，故的切线与直线的夹角为定值，
即无论为何值，过点且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助抛物线图象的对称性，利用导数的几何意义和导数求单调性及最值解决问题.
4．A
【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义列等式，把有两条切线的问题转化为方程有两个解的问题，再把方程有两个解的问题转化为函数图像有两个交点的问题，结合函数图像求的范围即可.
【详解】设切点为，的导函数为，
可得切线的斜率，
由切线经过点，可得，
化简可得①，
由题意可得方程①有两解，
设，可得，
当时，，所以在上递减，
当时，，所以在上递增，
可得在处取得最大值，
如图所示，所以，解得.
故选：A.
5．D
【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得的范围.
【详解】由，得；由，得，
因为曲线与曲线存在公切线，
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，又，则，
将代入，得，则，
所以，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，则的范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的性质得到，从而得到关于的表达式，从而得解.
6．D
【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记且，利用导数与函数的单调性即可求解.
【详解】设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即；
设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即，
由题意知，因为，
由可得，
将其代入可得：，
显然，整理得.
记且，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即，
化简得，解得.
故选：D.
【点睛】求曲线的切线问题主要分两大类：
一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；
另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标，利用导数表示切线的斜率以及切线方程，根据所过的点求切点，得出切线方程.
7．
【分析】先对函数求导，得导函数是偶函数，由在A，B两点处切线互相平行，可得，计算原点O到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有，设，
所以函数在点A处的切线方程为，
所以原点O到点A处切线的距离为，
因为，
所以
当且仅当时等号成立，
因为是偶函数，且在A，B两点处切线互相平行，
所以，即在A，B两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离最大值即为原点O到点A处切线的距离最大值的2倍.
8．D
【分析】首先利用导数的几何意义求得切线的方程，接着利用圆与直线相切得到，整理化简之后，利用基本不等式求出r的最大值，进而求得t的值，最后写出圆的方程.
【详解】因为，所以在处的取值为，
所以曲线在点处的切线的方程为： ，
即，
因为切线与圆也相切，
所以 ，
，
当且仅当时，有最大值，
此时圆的方程为：，
故选：D
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
9．B
【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围.
【详解】由，则的切线斜率为，
由，则的切线斜率为，
而两曲线上总存在切线、有，即，
而，即，故，
所以，解得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由导数的几何意义及指数函数、正弦函数的性质确定切线斜率的范围，根据恒存在确定包含关系求参数范围.
10．C
【分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程的根的个数问题转化为函数与函数的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】解：由题意得，设切点为，，
，，
则过点的切线方程为，整理得，
由点在切线上，则，即，
因为过直线上一点可以作曲线两条切线，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
即函数与函数的图象有两个交点，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
则函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，，
故选：C.
11．A
【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.
【详解】设公切线与函数切于点，
由，得，所以公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，
由，得，
令，则，
所以在上递减，
所以，
所以由题意得，
即实数的取值范围是，
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.
12．D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
13．AC
【分析】利用函数的图象可作出的图象，数形结合，即可判断A，C；结合单切的含义以及导数的几何意义可判断B；根据函数图象的对称性可判断D.
【详解】令，则，
令或；令；
则在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为，
且时，或，
由此可得的图象，继而可作出的图象，如图：
对于A，C，直线与曲线相切，切点为，
故直线与曲线双切，同时还与曲线相交，
故直线与曲线交切，A，C正确；
对于B，由于，则，故曲线不存在斜率为的切线，
令，解得，即曲线斜率为4的切线的切点横坐标位于内，
结合的图象知：曲线斜率为的切线的切点横坐标位于内，故作出直线与曲线相交，B错误；
对于D，由于定义域为R，满足，故为偶函数，其图象关于y轴对称，
故不存在唯一的直线，与曲线单切且交切，
否则若存在直线与曲线单切且交切，如图，则必存在关于y轴对称的直线与曲线单切且交切，D错误，
故选：AC
14．ACD
【分析】对于A，构造函数，计算即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，而，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得，为两切线的交点代入化简得，再计算可得；对于D，根据，计算即可判断.
【详解】令，则，
故时，递增；时，递减，
所以的极大值，且，，
因为直线与曲线相交于 两点，
所以与图像有2个交点，
所以，故A正确；
设，且，可得，
在点处的切线程为
，得，即，
因为，所以，即，故B错误；
因为，所以，
因为为两切线的交点，
所以，
即，所以，
所以，故C正确；
因为，所以，所以，
同理得，得，即，
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.

【点睛】方法点睛：判断B，关键在于根据切线方程联立求得，而两点得斜率即为直线得斜率得，化简可得；判断C，根据斜率相等得，根据在切线上，代入化简计算可得，计算得后即可判断，判断D，关键在于利用不等式进行计算化简即可判断.
15．ABD
【分析】选项A，转化为在点A，B处导数值相同，由方程有无数解可得；选项B，转化为在点A，B处导数值之积为，方程有解可得参数的范围；选项C，转化为函数单调递减，利用导数小于等于恒成立可求；选项D，由切线斜率的两种求法建立等量关系可得.
【详解】对于A，因为，
要使，则，
得，
所以，，即对任意，的值有无数个，故A正确：
对于B，若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，
即存在，使得，
因为，，
则且，即，
则的最小值为，
故要使有解，
则有，
解得，满足条件，故B正确；
对于C，对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，
则，即，
所以在上是减函数，
所以恒成立，
设，，且，
所以要使恒成立，则，即，故C错误；
对于D，曲线在点A，B处的切线都过原点，
由，则点均不与原点重合，设曲线在处切线的斜率为，
则，由切线过原点，
则切线即直线的斜率，
所以，化简得，
若时，则，这与矛盾，
故，所以有，
同理可得，
所以由，得，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：导数与切线有关的问题处理的关键在于以下三个关系的应用：
（1）切点在切线上，即切点的坐标满足切线的方程；
（2）切点在函数图象上，即切点的坐标满足函数的解析式；
（3）在切点处的导数值等于切线的斜率，即斜率的求法可以通过求导运算，也可以通过两点斜率坐标公式求解，或通过算两次建立等量关系.
16．18
【分析】求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由于，
故，
故，，
则
，
由，得，
由，即，知位于之间，
不妨设，则，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故则的最小值为18，
故答案为：18
【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可.
17．1
【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.
【详解】函数，
因为，
所以该函数在单调递减，在单调递增.
过原点作的切线，设切点，
由，则切线的斜率为，
直线过，
∴，∴，
即，由函数与的图象在有且只有一个交点，
且当时满足方程，故方程有唯一解，则；
过原点作的切线，设切点，
由，得切线的斜率，
则切线过原点，
则有，∴，
则，则有，
∴两切线垂直，曲线C的相对于点O的“确界角”为，
则，.
故答案为：1.
18． 2
【分析】结合导数求得切线的方程，由此求得的坐标，结合两条切线相互垂直求得.求得，由此求得的取值范围.
【详解】当时，；当时，，
依题意可知，且，
切线分别是，
，
故，
由两切线垂直知，
；
由两点间的距离公式得，，
.
故答案为：；
答案第1页，共2页
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