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分式方程应用题分类训练（5种类型50道）
【类型1 工程问题】
1．某中铁集团有甲乙两个施工队，该集团承担一条高速铁路的施工任务，甲工程队单独施工10个月后，为了加快进度，乙工程队也加人施工，这样又用了20个月完成了任务．已知乙工程队单独施工该项任务需要40个月才能完成．
(1)求甲工程队单独施工完成该项任务需要多少个月？
(2)如果两个施工队从一开始就合作完成此项施工任务，需要多少个月？
2．重庆市重点改造提升工程江南立交一期工程在建中，甲、乙工程队承建了该项目中的一段2350米的道路施工任务．计划甲工程队单独施工5天后，剩下的施工任务由甲、乙工程队合作2天完成．已知甲工程队每天的施工量比乙工程队每天的施工量多94米．
(1)甲、乙两工程队每天计划各施工多少米？
(2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干天后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用11天完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是万元，已知乙工程队的总施工费用为12万元，甲工程队每天的施工费用是乙工程队每天施工费用的倍．则甲工程队每天的施工费用是多少万元？
3．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
4．某单位需要在规定时间内生产一批物资，通过调研，发现投标的工厂中有甲、乙两家资质合格，并获得如下信息：
信息1：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
信息2：乙厂单独完成这项任务比规定时间多用5天；
信息3：甲、乙两厂的生产速度之比为；
根据以上信息解决下列问题：
(1)求规定时间；
(2)若甲乙两厂合作一些天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．求甲乙两厂合作的时间．
5．为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标．已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的倍．
(1)请问乙队独立完成此项工程需要多少天？
(2)为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程．两队同时开工，同时完工，已知甲队每天的工程款比乙队每天的工程款少2000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每天的工程款至多为多少？
6．春节过后，我市又降大雪给交通带来了一定影响．为保证市民第二天的正常出行，某社区计划调用甲、乙两个工程队合作清扫1800平方米的积雪．已知甲工程队每小时能清雪的面积是乙工程队每小时能清雪的面积的2倍，并且在独立清扫面积为300 平方米的积雪时，甲工程队比乙工程队少用3 小时．
(1)求甲、乙两个工程队每小时能独立清雪多少平方米；
(2)已知甲工程队清雪的费用是 6 元/平方米，乙工程队清雪的费用是 5 元/平方米．在合作完成这1800 平方米的清雪任务中，如果乙工程队的施工时间为t（小时），两个工程队的总费用为w（元），求w关于t的函数关系式．
7．某棚户区改造项目绿化工程的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入，结果提前12天完成了该项绿化工程．已知乙施工队每天完成的绿化面积是甲施工队的1.2倍，求甲施工队每天完成的绿化面积．
8．甲、乙两个工程队计划参与某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务，承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程按时完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且，为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
9．修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
(2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由．
10．某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？
(2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
【类型2 行程问题】
11．一辆汽车开往距离出发地 的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶 ， 后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前分钟到达目的地，求汽车原计划的行驶速度．
12．某学校组织学生去离学校的红色基地开展研学活动，先遣队员和大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到．求先遣队和大队的速度各是多少？
13．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车在高速公路上行驶的平均速度．
14．从太原南站到北京西站，乘坐动车和高铁均可直达．已知从太原南站至北京西站的铁路里程约为480km，高铁的平均速度是动车的1.5倍，走完全程高铁比动车少用1h，求高铁和动车从太原南站到北京西站的平均速度．
15．某中学组织学生去离学校80的红色教育基地进行校外实践活动，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的倍，结果先遣队比大队早到，先遣队和大队的速度各是多少？
16．2023年苏州马拉松比赛于3月26日举行，苏马的赛道设置充分体现了穿越千年文脉，感受古韵今风的特点，沿途经过护城河、大运河、金鸡湖等重要水系和寒山寺、西园寺、东方之门等苏州地标，犹如一幅古今辉映的城市“双面绣”，无一不在向跑友们展示苏州2500年的悠久历史文化和“强富美高”的崭新图景．小明参与“半程马拉松”（约）项目，前以平均速度完成，之后身体竞技状态提升，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划提前到达目的地．求小明前的平均速度．
17．刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为，比返回时大巴车行驶的路程多，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．
18．甲、乙两个救援队向相距50千米某地震灾区送救援物资，已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的2倍，乙救援队先出发1小时后，甲救援队才出发，结果甲乙救援队同时到达灾区．求甲、乙两个救援队的平均速度各是多少？
19．2024年2月25日，以“相聚曲靖 畅游花海”为主题的曲靖罗平马拉松在万亩油菜花海间鸣枪开赛，1.5万名运动爱好者扎进万亩花海，畅享赛道，充分体验着当地精心打造的花海赛道魅力．杨老师也在这次活动中参加了半程马拉松（21千米）项目，当他跑了一半后，他将平均速度提高到原来的1.2倍，结果提前小时到达终点，求杨老师原来的平均速度是多少？
20．甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学校的黄庄观赏油菜花，乙速度是甲速度的1.5倍．
(1)若甲先行驶，乙才开始从学校出发，乙出发后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？
(2)若甲先出发，乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？
【类型3 销售利润】
21．南阳市历史文化厚重，是楚汉文化的重要发祥地，同时也是“中国月季之乡”．某苗圃经营商从批发市场购进甲、乙两种月季花进行售卖．若每棵甲种月季花的进价比每棵乙种月季花的进价少5元，且用1200元购进甲种月季花的数量与用1400元购进乙种月季花的数量相等．
(1)求购进甲、乙两种月季花的单价分别为多少元．
(2)该苗圃经营商计划购进甲、乙两种月季花共100棵，且乙的数量不多于甲的数量的3倍，已知甲的售价是40元/棵，乙的售价是50元/棵，试问如何购买能使利润最大？并求出最大利润．
22．某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，第一次用600元购进A款自拍杆，用250元购进B款自拍杆，A款自拍杆所购数量是B款自拍杆所购数量的2倍，同时每个A款自拍杆的进价比B款自拍杆多5元．
(1)求这两款自拍杆每个的进价分别是多少元？
(2)若该网店A款自拍杆的售价为45元/个，B款自拍杆的售价为37元/个，第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？
23．“母亲节”来临之际，某某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售，百合每束的进价比康乃馨每束进价多5元．其中购买百合的数量是康乃馨数量的倍，则购买百合花费了1050元，康乃馨花费了600元．
(1)求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元？
(2)若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多10元，则两种鲜花全部售完后，每束百合的售价应至少定为多少元才能使获利润不低于500元？
24．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”世界读书日来临之即，育知书店决定用不多于23000元购进甲、乙两种图书共1000本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本25元、20元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍．若用2800元育知书店购买甲种图书的本数比用1750元购买乙种图书的本数多10本．
(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？
(2)育知书店为了让利给读者，决定将甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低1元．那么，育知书店销售完购进的这两种图书后，所获利润最大是多少元？
25．信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x
销售（元/袋） 70 90
(1)第一次进货时，该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌毛尖每袋上涨5元，B品牌毛尖每袋上涨6元．该茶叶专卖店计划购进A，B两种品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍．销售时，A品牌毛尖售价不变，B品牌毛尖售价提高，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
26．双十二，某网店的“三只松鼠”和“每日坚果”礼盒装销售非常火爆，已知用2000元购进“三只松鼠”或“每日坚果”的数量之比为5∶4，且每盒“每日坚果”的进价比“三只松鼠”进价多10元．
(1)请求出每盒“三只松鼠”和“每日坚果”各自的进价；
(2)12月初该网点店将“三只松鼠”进价提高50%出售，每天可销售“三只松鼠”30盒，“每日坚果”售价每盒60元，每天可销售“每日坚果”40盒，12月中旬后需求量下降，该老板决定在月初售价的基础上降价促销以增加销量，“三只松鼠”打折出售，每天销量在月初基础上增加20盒，“每日坚果”降价5元出售，每天销量在月初基础上增加25%，若降价后每天利润比月初每天的利润多100元，则“三只松鼠”打几折出售？
27．某茶叶店用21000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多8盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的3倍．
(1)求A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
(2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶叶店再次以相同的进价购进A，B两种等级茶叶共90盒，但购茶的总预算控制在3万元以内．若A等级茶叶的售价是每盒450元，B等级茶叶的售价是每盒150元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使利润最大？最大利润是多少？
28．第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州正式开幕，亚运会吉祥物由三个机器人造型组成，分别是宸宸、琮琮、莲莲，代表杭州的三大世界遗产．某商店购进了一批热销的吉祥物小商品，其中“宸宸”的进货单价比“琮琮”的进货单价少2元，用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同．
(1)“宸宸”和“琮琮”的进货单价分别是多少元？
(2)该商店计划购进“宸宸”和“琮琮”共100个，“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，若“宸宸”和“琮琮”的销售单价分别为16元和20元，商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
29．今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批腊肉每件进价多少元？
(2)王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润售价进价）
30．学校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计后义卖，将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场分别花元购买了红、蓝两种颜色的文化衫若干件，其中每件红色文化衫比蓝色文化衫贵5元，红色文化衫比蓝色文化衫少买了件，手绘后红色文化衫的零售价为元/件，蓝色文化衫的零售价为元/件．
(1)学校购进红、蓝文化衫的批发价格各是多少？
(2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：这次学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
【类型4 植树问题】
31．大地回春，春暖花开，正是植树好时节，市政决定完成鹿山公园的植树计划．市政有甲、乙两个植树工程队，原计划甲工程队每天比乙工程队多植树10棵，且甲工程队植树600棵和乙工程队植树360棵所用的天数相等．
(1)求甲、乙两工程队原计划每天各植树多少棵？
(2)风和日丽，甲、乙两个工程队工作效率也得到提升，甲工程队实际每天比原计划多植树20%，乙工程队每天比原计划多植树40%．因其他公园有不少树木需要补植，甲工程队需要中途离开去执行补植任务．已知在鹿山公园的植树任务中，乙工程队植树天数刚好是甲工程队植树天数的2倍，且鹿山公园的植树任务不少于1080棵，则甲工程队至少在鹿山公园植树多少天可以完成任务？
32．不负好时光，添绿正当时，植树造林是实现天蓝、地绿、水净的重要途径．为自觉践行“绿树青山就是金山银山”的发展理念，某中学在“3.12植树节”当天组织了一批教师和学生分组进行植树活动，若每组植棵，则多出棵树；若每组植棵，则还差棵树．（用方程解决下列问题）
(1)求共需要植树多少棵？
(2)当植完一半的树时，天气预报显示可能会下雨，于是大家把植树速度提高了，结果比原计划提前了小时结束植树，求原计划每小时植树多少棵？
33．在今年的月日第个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用元购买甲种树苗的棵数与用元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少元．
(1)求甲种树苗每棵多少元；
(2)若准备用不超过元购买甲、乙两种树苗共棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
34．春风十里正少年，植此春绿上春山，万州二中开展植树活动，计划在荒坡上种植两种树苗共1000株，其中A树苗的数量比树苗的数量的一半多100株．
(1)请问两种树苗各多少株；
(2)万州二中将36名青年志愿者分成两队种植这批树苗．其中第一队种植A树苗，每人每天平均能种植A树苗25株；第二队种植树苗，每人每天平均能种植树苗30株.要使两队同时完成任务，第一队应安排多少名青年志愿者？
35．三～四月的哈尔滨，冰雪消融，大地回春，正是植树好季节，市政有甲、乙两个植树工程队，甲工程队每天比乙工程队多植树20棵，甲工程队植树480棵和乙工程队植树360棵所用的时间相等.
(1)求甲、乙两工程队每天各植树多少棵？
(2)甲、乙两个工程队工作热情高涨，甲工程队每天比原来多植树10%，乙工程队每天比原来多植树20%，现有植树任务不少于1160棵，且乙工程队植树天数是甲工程队植树天数的2倍，则甲工程队至少植树多少天可以完成任务？
36．某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用940元购买甲种树苗的棵数与用800元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少7元．
(1)求乙种树苗每棵多少元？
(2)若准备用4400元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
37．为了深刻践行习近平总书记的“绿水青山就是金山银山”重要思想，某校积极开展植树活动，准备购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格；
（2）若购买这两种树苗共100棵，且费用不超过3800元，则至少购买乙种树苗多少棵？
38．绿水青山就是金山银山”某校计划在“植树节”期间安排教师植树300棵，教师完成植树120棵后，学校全体团员加入植树活动，植树速度提高到原来的1.5倍，整个植树过程共用了3小时．
(1)学校原计划每小时植树多少棵？
(2)如果团员全程参加，整个植树过程需要多少小时完成？
39．阳春三月催新芽，植树造林正当时，为提升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？
（2）适逢植树节在周末，且天气晴好，不断有客户预约参加植树活动，于是农场决定第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最多可购买甲种树苗多少棵？
40．为创建省文明卫生城市，某街道将一公园进行绿化改造．计划种植甲、乙两种花木，甲种花木每棵进价800元，乙种花木每棵进价3000元，共需107万元；每种植一棵甲种花木需人工费30元，每种植一棵乙种花木需人工费80元，共需人工费32000元．
（1）求计划种植甲、乙两种花木各多少棵？
（2）如果承包植树的老板安排28人同时种植这两种花木，每人每天能种植甲种花木20棵或乙种花木5棵，应分别安排多少人种植甲种花木和乙种花木，才能确保同时完成各自的任务？
【类型5 方案问题】
41．五一将至，某卖场欲购销一批电视机和空调，电视机和空调的进价和售价如下表：
电视机 空调
进价（元）
售价（元）
(1)已知20万元购进电视机的数量与26万元购进空调的数量相同，求的值；
(2)若某单位准备从该卖场购买空调和电视机共50台，且空调数量不少于电视机的2倍，请求出最省钱的购买方案.
42．今年春节，疫情缓解后，湿地公园游客大幅度增长．为了方便更多的游客在景区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
(1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
43．某商店要购进A、B两种型号的文具，通过市场调研得知：A种型号文具的单价比B种文具的单价多100元，且用22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种文具的数量的1.5倍．
(1)求A、B两种型号文具的单价分别为多少？
(2)学校计划用不超过10000元的资金购买A、B两种文具共40套，为使购买的A种型号的文具尽可能多，请设计出购买方案．
44．某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买锅笔的数量多8．一学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20，且购买笔记本的数量是10的倍数．
(1)请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
(2)探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
45．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用300万元购进A型汽车的数量比用240万元购进B型汽车的数量少2辆．
(1)每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？
(2)该汽车销售中心购进A型和B型汽车共20辆，且A型汽车的数量不超过B型汽车的数量的2倍．已知A型汽车的售价为35万元，B型汽车的售价为23万元．如何制定进货方案，可以使得销售中心利润最大，请求出最大利润和此时的购进方案．
46．某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人．
(1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人；
(2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问：
①A、B两种游船每艘分别有多少个座位；
②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案．
47．某单位将沿街的一部分铺面出租，年所有铺面出租的租金为万元，年租金为万元，年每间铺面租金比年多元．
(1)求该单位年每间铺面的租金是多少元？
(2)该单位在做至年的铺面出租的规划，根据调研提出了两种方案．方案一，合同一年一签，每间铺面在上一年的基础上涨元，每年有一间铺面不能出租；方案二，合同三年一签，每间铺面的租金保持年租金不变，铺面可以全部出租．请通过计算说明该单位选择哪种方案租金更多？
48．某校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高，用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台．
(1)求，型设备单价分别是多少元；
(2)该校计划购买两种设备（两种设备均需购买）共台，要求型设备数量不少于型设备数量的，请为学校设计出购买这两种设备所需费用最小的方案，并说明理由．
49．某水果超市两次去批发市场采购同一品种的苹果，第一次用800元购进了若干千克，很快实完，第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了．
(1)求第一次购买苹果的进价；
(2)求第二次购买苹果的数量；
(3)该水果超市按以下方案卖出第二次购买的苹果；先以a元/千克的价格售出m千克，再以15元/千克的价格售出剩余的全部苹果（不计损耗），共获利1500元，若a，m均为正整数，且a不超过第二次进价的2倍，直接写出a和m的值．
50．某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
(1)求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
(2)若A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价为2700元．手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．中小学教育资源及组卷应用平台
分式方程应用题分类训练（5种类型50道）
【类型1 工程问题】
1．某中铁集团有甲乙两个施工队，该集团承担一条高速铁路的施工任务，甲工程队单独施工10个月后，为了加快进度，乙工程队也加人施工，这样又用了20个月完成了任务．已知乙工程队单独施工该项任务需要40个月才能完成．
(1)求甲工程队单独施工完成该项任务需要多少个月？
(2)如果两个施工队从一开始就合作完成此项施工任务，需要多少个月？
【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要60天
(2)如果两队一开始就合作完成此项工程，需要24天
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，利用甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程款=总工程量，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）利用工作时间=工作总量÷两队的工作效率之和，即可求出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天；
（2）（天）．
答：如果两队一开始就合作完成此项工程，需要24天．
2．重庆市重点改造提升工程江南立交一期工程在建中，甲、乙工程队承建了该项目中的一段2350米的道路施工任务．计划甲工程队单独施工5天后，剩下的施工任务由甲、乙工程队合作2天完成．已知甲工程队每天的施工量比乙工程队每天的施工量多94米．
(1)甲、乙两工程队每天计划各施工多少米？
(2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干天后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用11天完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是万元，已知乙工程队的总施工费用为12万元，甲工程队每天的施工费用是乙工程队每天施工费用的倍．则甲工程队每天的施工费用是多少万元？
【答案】(1)甲工程队每天的施工量为282米，则乙工程队每天的施工量为188米
(2)甲工程队每天的施工费用是万元
【分析】本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，解方程即可．
（1）设甲工程队每天的施工量为x米，则乙工程队每天的施工量为米，根据等量关系列出方程，解方程即可；
（2）设乙工程队每天施工费用为y万元，则乙工程队每天施工费用为万元，根据等量关系列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设甲工程队每天的施工量为x米，则乙工程队每天的施工量为米，根据题意得：
，
解得：，
（米），
答：甲工程队每天的施工量为282米，则乙工程队每天的施工量为188米；
（2）解：设乙工程队每天施工费用为y万元，则乙工程队每天施工费用为万元，根据题意得：
，
解得：，
（万元），
答：甲工程队每天的施工费用是万元．
3．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
【答案】(1)的值是
(2)乙工程队至少施工天
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；
（1）根据甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等，列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设乙工程队单独施工m天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）根据题意得：
解得：，
经检验，是所列方程的解，
∴的值是300；
（2）解：设乙工程队单独施工m天，
解得：,
答：乙工程队至少施工15天.
4．某单位需要在规定时间内生产一批物资，通过调研，发现投标的工厂中有甲、乙两家资质合格，并获得如下信息：
信息1：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
信息2：乙厂单独完成这项任务比规定时间多用5天；
信息3：甲、乙两厂的生产速度之比为；
根据以上信息解决下列问题：
(1)求规定时间；
(2)若甲乙两厂合作一些天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．求甲乙两厂合作的时间．
【答案】(1)规定时间是20天；
(2)甲、乙两厂合作的时间是4天．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设规定时间是天，则甲厂单独完成这项任务需要天，乙厂单独完成这项任务需要天，根据甲、乙两厂的生产速度之比为，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设甲、乙两厂合作的时间为天，利用甲厂完成的任务量乙厂完成的任务量总任务量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设规定时间是天，则甲厂单独完成这项任务需要天，乙厂单独完成这项任务需要天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：规定时间是20天；
（2）解：设甲、乙两厂合作的时间为天，
根据题意得：，
解得：．
答：甲、乙两厂合作的时间是4天．
5．为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标．已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的倍．
(1)请问乙队独立完成此项工程需要多少天？
(2)为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程．两队同时开工，同时完工，已知甲队每天的工程款比乙队每天的工程款少2000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每天的工程款至多为多少？
【答案】(1)10天
(2)至多11000元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出分式方程和一元一次不等式是解决本题的关键．
（1）设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲需要天，根据乙队的施工效率为甲队施工效率的倍建立方程，解方程即可，注意检验；
（2）首先计算出两队合作需要的天数，设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天元，根据总工费不超过12万元，得到不等式，解不等式取最大值即可．
【详解】（1）解：设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲需要天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
原方程的解为：，则甲队需要天，
答：乙队独立完成此项工程需要10天；
（2）解：由（1）得，乙队独立完成此项工程需要10天，则甲需要15天
两队同时开工，同时完工，
两队合作需要天完工，
设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天元，
由题意得：，
解得：，
y的最大值为11000元，
因此，乙施工队每天的工程款至多11000元．
6．春节过后，我市又降大雪给交通带来了一定影响．为保证市民第二天的正常出行，某社区计划调用甲、乙两个工程队合作清扫1800平方米的积雪．已知甲工程队每小时能清雪的面积是乙工程队每小时能清雪的面积的2倍，并且在独立清扫面积为300 平方米的积雪时，甲工程队比乙工程队少用3 小时．
(1)求甲、乙两个工程队每小时能独立清雪多少平方米；
(2)已知甲工程队清雪的费用是 6 元/平方米，乙工程队清雪的费用是 5 元/平方米．在合作完成这1800 平方米的清雪任务中，如果乙工程队的施工时间为t（小时），两个工程队的总费用为w（元），求w关于t的函数关系式．
【答案】(1)甲工程队每小时能完成清雪的面积为100平方米，乙工程队每小时能完成清雪的面积为50平方米
(2)
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设乙工程队每小时能完成清雪的面积为x平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，根据“在独立完成面积为300平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用3小时”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总费用等于甲工程队的费用与乙工程队的费用之和，即可求解．
【详解】（1）解：设乙工程队每小时能完成清雪的面积为x平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：甲工程队每小时能完成清雪的面积为100平方米，乙工程队每小时能完成清雪的面积为50平方米；
（2）解：根据题意，得
，
即．
7．某棚户区改造项目绿化工程的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入，结果提前12天完成了该项绿化工程．已知乙施工队每天完成的绿化面积是甲施工队的1.2倍，求甲施工队每天完成的绿化面积．
【答案】甲施工队每天完成的绿化面积为2000．
【分析】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意解分式方程时一定要检验．可设甲施工队每天完成的绿化面积为 ，利用等量关系列出分式方程求解即可
【详解】解：设甲施工队每天完成的绿化面积为 ，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
答：甲施工队每天完成的绿化面积为2000．
8．甲、乙两个工程队计划参与某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务，承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程按时完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且，为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【分析】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
（1）设乙单独完成需要个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务”建立分式方程求解即可；
（2）由题意可得：，可得，结合，，可得，结合，都为正整数，可得为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案．
【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）解：由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵，都为正整数，
∴为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
9．修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
(2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由．
【答案】(1)甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米
(2)甲工程队所花费用较少；理由见解析
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算．
（1）设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，列出方程，解方程即可；
（2）分别求出两个工程队完成任务需要的时间和费用，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
（天），
答：甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米．
（2）解：甲工程队修建时间为：（天），需要花费：
（万元），
乙工程队修建时间为：（天），需要花费：
（万元），
∵，
∴两个工程队都能在天内完成，
∵，
∴甲工程队所花费用较少．
10．某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？
(2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
【答案】(1)甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米
(2)共需修建费用元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米，列方程并进行计算，注意验根；
（2）设甲施工队单独修建天，列式，得出，结合“甲施工队每天的修建费用为20000元，乙施工队每天的修建费用为15000元”进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米，
依题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴（千米），
∴甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米；
（2）解：设甲施工队单独修建天，
依题意，得，
解得，
∴甲施工队单独修建5天，
则（元），
∴共需修建费用元．
【类型2 行程问题】
11．一辆汽车开往距离出发地 的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶 ， 后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前分钟到达目的地，求汽车原计划的行驶速度．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
设汽车原计划的行驶速度为，则提速后行驶速度为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设汽车原计划的行驶速度为，则提速后行驶速度为，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意；
∴汽车原计划的行驶速度为．
12．某学校组织学生去离学校的红色基地开展研学活动，先遣队员和大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到．求先遣队和大队的速度各是多少？
【答案】先遗队的速度是，大队的速度是
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，弄懂题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键．
【详解】解：设大队速度为，则先遣队的速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，符合题意，
，
答：先遣队的速度是，大队的速度是．
13．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车在高速公路上行驶的平均速度．
【答案】该客车在高速公路上行驶的平均速度为．
【分析】本题主要考查分式方程的应用．设客车由高速公路从甲地到乙地需，则走普通公路需，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需，则走普通公路需，
根据题意得：，
解得，
经检验，原方程的根，
，
答：该客车在高速公路上行驶的平均速度为．
14．从太原南站到北京西站，乘坐动车和高铁均可直达．已知从太原南站至北京西站的铁路里程约为480km，高铁的平均速度是动车的1.5倍，走完全程高铁比动车少用1h，求高铁和动车从太原南站到北京西站的平均速度．
【答案】高铁和动车从太原南站到北京西站的平均速度分别是和
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设动车从太原南站到北京西站的平均速度为，根据高铁的平均速度是动车的1.5倍，走完全程高铁比动车少用1h，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设动车从太原南站到北京西站的平均速度为，则高铁的平均速度为．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意．
∴高铁的平均速度为，
答：高铁和动车从太原南站到北京西站的平均速度分别是和．
15．某中学组织学生去离学校80的红色教育基地进行校外实践活动，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的倍，结果先遣队比大队早到，先遣队和大队的速度各是多少？
【答案】先遣队和大队的速度各是
【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意用时间作为等量关系列出方程再解答即可．
【详解】解：设大队的速度为km/h，则先遣队的速度是km/h，根据题意得，
，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意，
．
答：先遣队和大队的速度各是．
16．2023年苏州马拉松比赛于3月26日举行，苏马的赛道设置充分体现了穿越千年文脉，感受古韵今风的特点，沿途经过护城河、大运河、金鸡湖等重要水系和寒山寺、西园寺、东方之门等苏州地标，犹如一幅古今辉映的城市“双面绣”，无一不在向跑友们展示苏州2500年的悠久历史文化和“强富美高”的崭新图景．小明参与“半程马拉松”（约）项目，前以平均速度完成，之后身体竞技状态提升，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划提前到达目的地．求小明前的平均速度．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意找出等量关系“前所用的时间加上后所用的时间等于原计划的时间减去比原计算提前的时间”列出方程求解即可．
【详解】解：，
根据题意有：，
解得：,
经经验，是原方程的根，符合题意，
∴求小明前的平均速度是．
17．刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为，比返回时大巴车行驶的路程多，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．
【答案】大巴车的平均速度为．
【分析】此题考查了分式方程的应用，设大巴车的平均速度为，列出，解方程检验即可，解题的关键读懂题意，列出分式方程．
【详解】解：设大巴车的平均速度为，
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：大巴车的平均速度为．
18．甲、乙两个救援队向相距50千米某地震灾区送救援物资，已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的2倍，乙救援队先出发1小时后，甲救援队才出发，结果甲乙救援队同时到达灾区．求甲、乙两个救援队的平均速度各是多少？
【答案】甲、乙数援队的平均速度分别是50千米/小时和25千米/小时
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设乙救援队的平均速度为千米/小时，则甲救援队的平均速度为千米/小时，根据“乙救援队先出发1小时后，甲救援队才出发，结果甲乙救援队同时到达灾区”列出方程并求解．
【详解】解：设乙救援队的平均速度为千米/小时，则甲救援队的平均速度为千米/小时，
根据题意得：，解得，
经检验：是原分式方程的解，
答：甲、乙数援队的平均速度分别是50千米/小时和25千米/小时．
19．2024年2月25日，以“相聚曲靖 畅游花海”为主题的曲靖罗平马拉松在万亩油菜花海间鸣枪开赛，1.5万名运动爱好者扎进万亩花海，畅享赛道，充分体验着当地精心打造的花海赛道魅力．杨老师也在这次活动中参加了半程马拉松（21千米）项目，当他跑了一半后，他将平均速度提高到原来的1.2倍，结果提前小时到达终点，求杨老师原来的平均速度是多少？
【答案】千米/小时
【分析】本题考查了分式方程的应用等知识点，设原来的平均速度为x千米/小时，可得出提速后的平均速度为千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合杨老师提前小时到达终点，即可列出关于x的分式方程，解方程即可得解，找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键．
【详解】设杨老师原来的平均速度为x千米/小时，提速后的平均速度为千米/小时，
根据题意得：，
解方程得：
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：杨老师原来的平均速度是千米/小时．
20．甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学校的黄庄观赏油菜花，乙速度是甲速度的1.5倍．
(1)若甲先行驶，乙才开始从学校出发，乙出发后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？
(2)若甲先出发，乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？
【答案】(1)乙每小时行驶
(2)乙每小时行驶
【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）设甲每小时行驶，根据路程相等列出方程，解方程即可；
（2）设甲每小时行驶，根据时间关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】（1）设甲每小时行驶，
由题意得：
解得，
则
答：乙每小时行驶；
（2）设甲每小时行驶，由题意得
解得
经检验，是原分式方程的根
答：乙每小时行驶
【类型3 销售利润】
21．南阳市历史文化厚重，是楚汉文化的重要发祥地，同时也是“中国月季之乡”．某苗圃经营商从批发市场购进甲、乙两种月季花进行售卖．若每棵甲种月季花的进价比每棵乙种月季花的进价少5元，且用1200元购进甲种月季花的数量与用1400元购进乙种月季花的数量相等．
(1)求购进甲、乙两种月季花的单价分别为多少元．
(2)该苗圃经营商计划购进甲、乙两种月季花共100棵，且乙的数量不多于甲的数量的3倍，已知甲的售价是40元/棵，乙的售价是50元/棵，试问如何购买能使利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)甲种月季每棵30元，乙种月季每棵35元
(2)购进甲种月季25棵时，该苗圃获得利润最大，为1375元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用：
（1）设甲种月季每棵x元，乙种月季每棵元，根据用1200元购进甲种月季花的数量与用1400元购进乙种月季花的数量相等，列方程求解；
（2）设该苗圃获得利润为y元，购进甲种月季a棵，根据题意，列出方程，然后根据购进两种月季的总数量共100棵，且乙的数量不多于甲的数量的3倍，求出a的范围，求其最大利润．
【详解】（1）解：设甲种月季每棵x元，乙种月季每棵元，由题意得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则乙种月季的价格为：元，
答：甲种月季每棵30元，乙种月季每棵35元；
（2）解：设该苗圃获得利润为y元，购进甲种月季a棵，则购进乙种月季棵，由题意得，
，
∵
∴，
∵，
∴当时，y有最大值，即，
即：购进甲种月季25棵时，该苗圃获得利润最大，为1375元．
22．某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，第一次用600元购进A款自拍杆，用250元购进B款自拍杆，A款自拍杆所购数量是B款自拍杆所购数量的2倍，同时每个A款自拍杆的进价比B款自拍杆多5元．
(1)求这两款自拍杆每个的进价分别是多少元？
(2)若该网店A款自拍杆的售价为45元/个，B款自拍杆的售价为37元/个，第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？
【答案】(1)该网店款自拍杆的进价为30元/个，款自拍杆的进价为25元/个；
(2)、两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元．
【分析】（1）设该网店款自拍杆的进价为元/个，款自拍杆的进价为元/个，根据“第一次用600元购进A款自拍杆，用250元购进B款自拍杆，A款自拍杆所购数量是B款自拍杆所购数量的2倍，”列出分式方程，即可求解；
（2）设购进m个A款自拍杆，则购进个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了，分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【详解】（1）解：设该网店款自拍杆的进价为元/个，款自拍杆的进价为元/个，
根据题意，得：，
解得：，．
经检验，是原分式方程的解．
答：该网店款自拍杆的进价为30元/个，款自拍杆的进价为25元/个．
（2）解：设购进个款自拍杆，则购进个款自拍杆，
根据题意，得：，
解得：．
设再次购进、两款自拍杆的销售利润为元，
则，
即．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，，
．
答：、两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元．
23．“母亲节”来临之际，某某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售，百合每束的进价比康乃馨每束进价多5元．其中购买百合的数量是康乃馨数量的倍，则购买百合花费了1050元，康乃馨花费了600元．
(1)求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元？
(2)若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多10元，则两种鲜花全部售完后，每束百合的售价应至少定为多少元才能使获利润不低于500元？
【答案】(1)每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元
(2)每束百合的售价应至少定为47元才能使获利润不低于500元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设每束康乃馨的进价为x元，则每束百合的进价为元，根据购买百合的数量是康乃馨数量的倍列出方程求解即可；
（2）先分别求出购进百合和康乃馨的数量，再设每束百合的售价为m元，则每束康乃馨的售价为元，根据利润不低于500元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每束康乃馨的进价为x元，则每束百合的进价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元；
（2）解：由（1）得购进百合束，购进康乃馨束，
设每束百合的售价为m元，则每束康乃馨的售价为元，
由题意得，，
解得，
答：每束百合的售价应至少定为47元才能使获利润不低于500元．
24．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”世界读书日来临之即，育知书店决定用不多于23000元购进甲、乙两种图书共1000本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本25元、20元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍．若用2800元育知书店购买甲种图书的本数比用1750元购买乙种图书的本数多10本．
(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？
(2)育知书店为了让利给读者，决定将甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低1元．那么，育知书店销售完购进的这两种图书后，所获利润最大是多少元？
【答案】(1)甲种图书的售价为每本元，乙种图书的售价为每本元．
(2)5800元
【分析】（1）设乙种图书的售价为每本x元，则甲种图书的售价为每本元，根据用2800元在育知书店购买甲种图书的本数比用1750元购买乙种图书的本数多10本列方程，解方程并检验即可；
（2）设甲种图书购进x本，则乙种图书购进本，先根据用不多于23000元购进甲、乙两种图书共1000本列出不等式求出x的取值范围，再表示出利润，得到一次函数，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设乙种图书的售价为每本x元，则甲种图书的售价为每本元，由题意可得，
，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意，
∴（元），
所以甲种图书的售价为每本元，乙种图书的售价为每本元．
（2）设甲种图书购进x本，则乙种图书购进本，
则根据题意得，，
解得，
设所获利润为w，
∴，
∵
∴w随x的增大而增大
∴当时，获利润最大，即元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，读懂题意正确列方程和不等式是解题的关键．
25．信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x
销售（元/袋） 70 90
(1)第一次进货时，该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌毛尖每袋上涨5元，B品牌毛尖每袋上涨6元．该茶叶专卖店计划购进A，B两种品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍．销售时，A品牌毛尖售价不变，B品牌毛尖售价提高，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)x的值为50
(2)购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用；
（1）根据用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同列出方程求解即可；
（2）设A为m袋，则B为袋，根据B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍列出不等式求出，设总利润为w元，根据总利润A的单件利润数量B的单件利润数量列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
∴x的值为50．
（2）解：设A为m袋，则B为袋，
由题知：，
解得，
设总利润为w元，，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，，
∴购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元．
26．双十二，某网店的“三只松鼠”和“每日坚果”礼盒装销售非常火爆，已知用2000元购进“三只松鼠”或“每日坚果”的数量之比为5∶4，且每盒“每日坚果”的进价比“三只松鼠”进价多10元．
(1)请求出每盒“三只松鼠”和“每日坚果”各自的进价；
(2)12月初该网点店将“三只松鼠”进价提高50%出售，每天可销售“三只松鼠”30盒，“每日坚果”售价每盒60元，每天可销售“每日坚果”40盒，12月中旬后需求量下降，该老板决定在月初售价的基础上降价促销以增加销量，“三只松鼠”打折出售，每天销量在月初基础上增加20盒，“每日坚果”降价5元出售，每天销量在月初基础上增加25%，若降价后每天利润比月初每天的利润多100元，则“三只松鼠”打几折出售？
【答案】(1)每盒“三只松鼠”的进价为40元，则每盒“每日坚果”的进价为50元
(2)“三只松鼠”打9.5折出售
【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．
（1）设每盒“三只松鼠”的进价为x元，则每盒“每日坚果”的进价为元，根据用2000元购进“三只松鼠”或“每日坚果”的数量之比为5∶4列分式方程，求解即可；
（2）设“三只松鼠”打m折出售，根据降价后每天利润比月初每天的利润多100元，列一元一次方程，求解即可．
【详解】（1）设每盒“三只松鼠”的进价为x元，则每盒“每日坚果”的进价为元，由题意得
，
解得，
经检验，时所列方程的解，且符合题意，
∴（元），
所以，每盒“三只松鼠”的进价为40元，则每盒“每日坚果”的进价为50元；
（2）设“三只松鼠”打m折出售，
月初每天的总利润为：
（元），
降价后每天的总利润为：
由题意得
，
解得，
所以，“三只松鼠”打9.5折出售．
27．某茶叶店用21000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多8盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的3倍．
(1)求A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
(2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶叶店再次以相同的进价购进A，B两种等级茶叶共90盒，但购茶的总预算控制在3万元以内．若A等级茶叶的售价是每盒450元，B等级茶叶的售价是每盒150元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)375元；125元
(2)购进A等级茶叶75盒，B等级茶叶15盒时，利润最大，最大利润为6000元．
【分析】（1）设B等级茶叶每盒x元，则A等级茶叶每盒元，根据题意，得，解方程即可．
（2）设购进A等级茶叶m盒，则B等茶叶盒，销售利润为w元，根据题意，得，结合购茶的总预算控制在3万元以内，建立不等式计算即可．本题考查了分式方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．
【详解】（1）设B等级茶叶每盒x元，则A等级茶叶每盒元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：B等级茶叶每盒125元，则A等级茶叶每盒375元．
．
（2）设购进A等级茶叶m盒，则B等茶叶盒，销售利润为w元，
根据题意，得，
∵购茶的总预算控制在3万元以内，
∴，
解得，
根据，得y随x的增大而增大，
故时，利润最大，最大为（元）．
此时，
答：购进A等级茶叶75盒，B等级茶叶15盒时，利润最大，最大利润为6000元．
28．第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州正式开幕，亚运会吉祥物由三个机器人造型组成，分别是宸宸、琮琮、莲莲，代表杭州的三大世界遗产．某商店购进了一批热销的吉祥物小商品，其中“宸宸”的进货单价比“琮琮”的进货单价少2元，用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同．
(1)“宸宸”和“琮琮”的进货单价分别是多少元？
(2)该商店计划购进“宸宸”和“琮琮”共100个，“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，若“宸宸”和“琮琮”的销售单价分别为16元和20元，商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)“宸宸”的进货单价为10元，则“琮琮”的进货单价为12元
(2)商店购买“宸宸”40个，购买“琮琮”60个，才能获得最大利润，最大利润是720元
【分析】
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设“宸宸”的进货单价为x元，则“琮琮”的进货单价为元，根据用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同列出方程求解即可；
（2）用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同，根据利润单价利润销售量求出“宸宸”和“琮琮”的利润，然后求和得到W关于m的一次函数关系式，再根据“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设“宸宸”的进货单价为x元，则“琮琮”的进货单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：“宸宸”的进货单价为10元，则“琮琮”的进货单价为12元；
（2）解：设购买“宸宸”m个，总利润为W元，则购买“琮琮”个，
由题意得，，
∵“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，
∴，
解得，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W最大，最大值为，
∴
∴商店购买“宸宸”40个，购买“琮琮”60个，才能获得最大利润，最大利润是720元．
29．今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批腊肉每件进价多少元？
(2)王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润售价进价）
【答案】(1)第一批腊肉每件进价为60元
(2)剩余的腊肉每件售价最少打8折
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．
（1）设第一批腊肉每件进价为x元，则第二批腊肉每件进价为元，根据“第二批腊肉所购件数是第一批的2倍”列分式方程求解即可；
（2）设剩余的腊肉每件售价打y折，根据利润售价进价，列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设第一批腊肉每件进价为x元，则第二批腊肉每件进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一批腊肉每件进价为60元；
（2）解：设剩余的腊肉每件售价打y折，
根据题意得：，
解得：，
答：剩余的腊肉每件售价最少打8折．
30．学校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计后义卖，将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场分别花元购买了红、蓝两种颜色的文化衫若干件，其中每件红色文化衫比蓝色文化衫贵5元，红色文化衫比蓝色文化衫少买了件，手绘后红色文化衫的零售价为元/件，蓝色文化衫的零售价为元/件．
(1)学校购进红、蓝文化衫的批发价格各是多少？
(2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：这次学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)学校购进红、蓝文化衫的批发价格各是25元、元
(2)学校购进红色文化衫件时获得最大利润，最大利润是元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列
出方程组或不等式是解题的关键．
（1）设学校购进红文化衫的批发价格为元，蓝文化衫的批发价格元，根据红色文化衫比蓝色文化衫少买了件，列出方程求解即可；
（2）设学校再次购进红文化衫件，则蓝文化衫件，获得的利润为元，
列出方程，然后由一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设学校购进红文化衫的批发价格为元，蓝文化衫的批发价格元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
故学校购进红、蓝文化衫的批发价格各是元、20元；
（2）设学校再次购进红文化衫件，则蓝文化衫件，获得的利润为元，
则
，
由题意得，
解得，
随的增大而增大．
当时，最大利润为元．
故学校购进红色文化衫件时获得最大利润，最大利润是元．
【类型4 植树问题】
31．大地回春，春暖花开，正是植树好时节，市政决定完成鹿山公园的植树计划．市政有甲、乙两个植树工程队，原计划甲工程队每天比乙工程队多植树10棵，且甲工程队植树600棵和乙工程队植树360棵所用的天数相等．
(1)求甲、乙两工程队原计划每天各植树多少棵？
(2)风和日丽，甲、乙两个工程队工作效率也得到提升，甲工程队实际每天比原计划多植树20%，乙工程队每天比原计划多植树40%．因其他公园有不少树木需要补植，甲工程队需要中途离开去执行补植任务．已知在鹿山公园的植树任务中，乙工程队植树天数刚好是甲工程队植树天数的2倍，且鹿山公园的植树任务不少于1080棵，则甲工程队至少在鹿山公园植树多少天可以完成任务？
【答案】(1)甲工程队原计划每天植树25棵，乙工程队原计划每天植树15棵
(2)15天
【分析】本题考查了解分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到数量关系列出方程与不等式是关键．
（1）设乙工程队每天植树棵，则甲工程队每天植树棵，根据时间相等列出分式方程，求解即可，注意检验；
（2）设甲工程队植树天可以完成任务，则乙工程队天，根据：植树任务不少于棵，列出不等式并解之即可．
【详解】（1）解：设乙工程队每天植树棵，则甲工程队每天植树棵；
由题意可得：；
解得：；
经检验，是原方程的解，且符合题意；
则；
答：甲工程队原计划每天植树棵，乙工程队原计划每天植树棵；
（2）设甲工程队植树天可以完成任务，则乙工程队天；
由题意得：；
解得：；
答：甲工程队至少在鹿山公园植树天可以完成任务．
32．不负好时光，添绿正当时，植树造林是实现天蓝、地绿、水净的重要途径．为自觉践行“绿树青山就是金山银山”的发展理念，某中学在“3.12植树节”当天组织了一批教师和学生分组进行植树活动，若每组植棵，则多出棵树；若每组植棵，则还差棵树．（用方程解决下列问题）
(1)求共需要植树多少棵？
(2)当植完一半的树时，天气预报显示可能会下雨，于是大家把植树速度提高了，结果比原计划提前了小时结束植树，求原计划每小时植树多少棵？
【答案】(1)共需要植树棵
(2)原计划每小时植树棵
【分析】本题考查了一元一次方程、分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列方程．
（1）设一共有组，根据题意列方程求解即可；
（2）设原计划每小时植树棵，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：设一共有组，
根据题意得：
解得：，
，
答：共需要植树棵；
（2）设原计划每小时植树棵，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：原计划每小时植树棵．
33．在今年的月日第个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用元购买甲种树苗的棵数与用元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少元．
(1)求甲种树苗每棵多少元；
(2)若准备用不超过元购买甲、乙两种树苗共棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【答案】(1)甲种树苗每棵元；
(2)至少要购买乙种树苗棵．
【分析】（）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，由用元购买甲种树苗的棵数与用元购买乙种树苗的棵数相同列出方程即可；
（）设购买乙种树苗的棵，则购买甲种树苗的棵，列出不等式即可；
此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．
【详解】（1）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，
依题意列方程得，
，
解得，
经检验是原方程的解，
答：甲种树苗每棵元；
（2）设购买乙种树苗的棵，则购买甲种树苗的棵，
根据题意，得，
解得，
∵为整数，
∴的最小值为，
答：至少要购买乙种树苗棵．
34．春风十里正少年，植此春绿上春山，万州二中开展植树活动，计划在荒坡上种植两种树苗共1000株，其中A树苗的数量比树苗的数量的一半多100株．
(1)请问两种树苗各多少株；
(2)万州二中将36名青年志愿者分成两队种植这批树苗．其中第一队种植A树苗，每人每天平均能种植A树苗25株；第二队种植树苗，每人每天平均能种植树苗30株.要使两队同时完成任务，第一队应安排多少名青年志愿者？
【答案】(1)A树苗种了400株，B树苗种了600株
(2)第一队应安排16名青年志愿者种植
【分析】本题考查了二元一次方程组与分式方程的实际应用，根据题意列出方程或方程组是关键．
（1）设A树苗种了x株，B树苗种了y株，根据题意列出方程组并解之即可；
（2）设第一队应安排z名青年志愿者种植，则第二队有名青年志愿者种植，根据题意列出分式方程即可．
【详解】（1）解：设A树苗种了x株，B树苗种了y株，
根据题意得：，
解得：，
答：A树苗种了400株，B树苗种了600株；
（2）解：设第一队应安排z名青年志愿者种植，则第二队有名青年志愿者种植，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且满足题意；
答：第一队应安排16名青年志愿者种植．
35．三～四月的哈尔滨，冰雪消融，大地回春，正是植树好季节，市政有甲、乙两个植树工程队，甲工程队每天比乙工程队多植树20棵，甲工程队植树480棵和乙工程队植树360棵所用的时间相等.
(1)求甲、乙两工程队每天各植树多少棵？
(2)甲、乙两个工程队工作热情高涨，甲工程队每天比原来多植树10%，乙工程队每天比原来多植树20%，现有植树任务不少于1160棵，且乙工程队植树天数是甲工程队植树天数的2倍，则甲工程队至少植树多少天可以完成任务？
【答案】(1)甲工程队每天植树80棵，乙工程队每天植树60棵
(2)甲工程队至少植树5天可以完成任务
【分析】本题考查了解分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到数量关系列出方程与不等式是关键；
（1）设乙工程队每天植树x棵，则甲工程队每天植树棵，根据丙队的时间相等列出分式方程，求解即可，注意检验；
（2）设甲工程队植树m天可以完成任务，则乙工程队天，根据：植树任务不少于1160棵，列出不等式并解之即可．
【详解】（1）解：设乙工程队每天植树x棵，则甲工程队每天植树棵，
由题意得：，
解得： ，
经检验，是原方程的解，且符合实际，
则甲工程队每天植树（棵）；
答：甲、乙两工程队每天各植树80棵、60棵；
（2）解：设甲工程队植树m天可以完成任务，则乙工程队天，
由题意得：，
解得：，
答：甲工程队至少植树5天可以完成任务．
36．某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用940元购买甲种树苗的棵数与用800元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少7元．
(1)求乙种树苗每棵多少元？
(2)若准备用4400元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【答案】(1)乙种树苗每棵40元
(2)至少要购买乙种树苗43棵
【分析】（1）设乙种树苗每棵元，则甲种树苗为元，根据等量关系联立方程，解方程即可．
（2）设购买棵乙种树苗，则购买甲种树苗棵，根据不等关系联立一元一次不等式，求解不等式，取正整数即可．
【详解】（1）解：设乙种树苗每棵元，则甲种树苗为元，则：
，
解得：，经检验是原方程的解，且符合题意，
答：乙种树苗每棵40元．
（2）设购买棵乙种树苗，则购买甲种树苗棵，则：
，
解得：，
又是正整数，
的最小值为：43，
答：至少要购买乙种树苗43棵．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，理清题意，找准等量关系和不等关系，联立方程和不等式是解题的关键．
37．为了深刻践行习近平总书记的“绿水青山就是金山银山”重要思想，某校积极开展植树活动，准备购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格；
（2）若购买这两种树苗共100棵，且费用不超过3800元，则至少购买乙种树苗多少棵？
【答案】（1）甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元；（2）至少购买乙种树苗34棵
【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x－6）元，再由所购的甲，乙两种树苗数量相等列方程，再解方程可得答案；
（2）设购买乙种树苗y棵，则购买甲种树苗（100－y）棵，再利用购买树苗的总金额不超过3800元，列不等式，再解不等式即可得到答案.
【详解】解：（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x－6）元
由题意得：
解得x＝40
经检验x＝40是原方程的解
答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元．
（2）设购买乙种树苗y棵，则购买甲种树苗（100－y）棵
40（100－y）＋34y≤3800
为正整数，的最小值是
答：至少购买乙种树苗34棵
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，分式方程的应用，掌握确定正确的不等关系与相等关系是解题的关键.
38．绿水青山就是金山银山”某校计划在“植树节”期间安排教师植树300棵，教师完成植树120棵后，学校全体团员加入植树活动，植树速度提高到原来的1.5倍，整个植树过程共用了3小时．
(1)学校原计划每小时植树多少棵？
(2)如果团员全程参加，整个植树过程需要多少小时完成？
【答案】(1)原计划每小时植树80棵
(2)整个植树过程需2.5小时完成
【分析】（1）设学校原计划每小时植树x棵，则学校全体团员加入植树活动后，植树速度为每小时1.5x棵，根据等量关系：教师植树120棵所用的时间+学校全体团员加入植树活动后植树180棵所用的时间＝3小时，据此列出方程，解方程即可；
（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用植树总棵数300除以学校全体团员加入植树活动后植树的速度，所得商即为所求．
【详解】（1）解：设学校原计划每小时植树x棵．
依题意，得：，
解方程，得：x=80；
经检验，x=80是原分式方程的解．
答：学校原计划每小时植树80棵．
（2）解：团员全程参加，整个植树过程需要（小时）
答：整个植树过程需2.5小时完成．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题常用的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．
39．阳春三月催新芽，植树造林正当时，为提升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？
（2）适逢植树节在周末，且天气晴好，不断有客户预约参加植树活动，于是农场决定第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最多可购买甲种树苗多少棵？
【答案】（1）购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；（2）该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【分析】（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，根据“购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设设该农场第二次购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（300－y）棵，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过10000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，
由题意，得：，
解得：x＝36，
经检验：x＝36是原方程的解，
∴x＋4＝40，
答：购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；
（2）40×（1－12.5%）＝35（元），
36－4＝32（元），
设该农场第二次可购买甲种树苗y棵，
由题意，得：35y＋32（300－y）≤10000，
解得：y≤，
∴y的最大整数值为133，
答：该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
40．为创建省文明卫生城市，某街道将一公园进行绿化改造．计划种植甲、乙两种花木，甲种花木每棵进价800元，乙种花木每棵进价3000元，共需107万元；每种植一棵甲种花木需人工费30元，每种植一棵乙种花木需人工费80元，共需人工费32000元．
（1）求计划种植甲、乙两种花木各多少棵？
（2）如果承包植树的老板安排28人同时种植这两种花木，每人每天能种植甲种花木20棵或乙种花木5棵，应分别安排多少人种植甲种花木和乙种花木，才能确保同时完成各自的任务？
【答案】（1）计划种植甲种花木400棵，乙种花木250棵；（2）应安排种植甲种花木8人和乙种花木的20人．
【分析】（1）此题的等量关系为：甲种花木每棵进价×计划种植甲种花木的数量=1070000，种一棵甲种花木的人工费×计划种植甲种花木的数量+种一棵乙种花木的人工费×计划种植乙种花木的数量=32000，再设未知数，列方程组，求出方程组的解．
（2）根据安排种植甲种花木的人数+种植乙种花木的人数=28；再根据每人每天能种植甲种花木20棵或乙种花木5棵，设未知数，列方程求出方程的解即可．
【详解】（1）解：设计划种植甲种花木x棵，乙种花木y棵，则
由题意得
解得
答：计划种植甲种花木400棵，乙种花木250棵．
（2）解：设安排种植甲种花木的a人，则种植乙花木的(28-a)人，则
由题意得
解得a=8
经检验，a=8是所列方程的根，且符合题意
∴28-a=20(人)．
答：应安排种植甲种花木8人和乙种花木的20人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，读懂题意找出等量关系是解题的关键．
【类型5 方案问题】
41．五一将至，某卖场欲购销一批电视机和空调，电视机和空调的进价和售价如下表：
电视机 空调
进价（元）
售价（元）
(1)已知20万元购进电视机的数量与26万元购进空调的数量相同，求的值；
(2)若某单位准备从该卖场购买空调和电视机共50台，且空调数量不少于电视机的2倍，请求出最省钱的购买方案.
【答案】(1)2000
(2)购买34台空调，16台电视机为最省钱的购买方案
【分析】（1）根据“20万元购进电视机的数量与26万元购进空调的数量相同”列分式方程解答；
（2）设购买空调台，则购买电视机台，根据“空调数量不少于电视机的2倍”求出x的取值范围，设总费用为元，得到，根据一次函数的性质解答
【详解】（1）解：根据题意，得
，解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际，
的值为2000；
（2）设购买空调台，则购买电视机台，根据题意，
得，解得，
由（1）知，电视机售价为元，空调售价为元，
设总费用为元，则，
，，且为整数，
当台时，最小，
此时（台），
答：购买34台空调，16台电视机为最省钱的购买方案
42．今年春节，疫情缓解后，湿地公园游客大幅度增长．为了方便更多的游客在景区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
(1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
【答案】(1)弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元
(2)购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用
【分析】（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为元，
根据题意，得，解答即可．
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅张，则，
解得；解不等式解答即可．
本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟练掌握解不等式，正确确定等量关系是解题的关键．
【详解】（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为元
根据题意，得根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故 (元)．
答：弧形椅的单价为160元，则条形椅的单价为120元．
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅张
，
解得；
设购买休闲椅所需的费用为W元，
则，
即，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时，W有最小值，，
；
答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用．
43．某商店要购进A、B两种型号的文具，通过市场调研得知：A种型号文具的单价比B种文具的单价多100元，且用22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种文具的数量的1.5倍．
(1)求A、B两种型号文具的单价分别为多少？
(2)学校计划用不超过10000元的资金购买A、B两种文具共40套，为使购买的A种型号的文具尽可能多，请设计出购买方案．
【答案】(1)购买A种型号文具的单价为300元，购买B种型号文具的单价为200元
(2)购买A种型号玩具20套，购买B种型号玩具20套
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用：
（1）设B种型号文具的单价是x元，则A种型号文具的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种型号文具数量的1.5倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B种型号文具的单价，再将其代入中，即可求出A种型号文具的单价；
（2）设购买m套A种型号文具，则购买套B种型号文具，利用总价=单价×数量，结合总价不超过10000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大值，即可得出购买方案．
【详解】（1）解：设购买B种型号文具的单价为x元，则购买A种型号文具的单价为元
解得，
经检验是原分式方程的解，且符合题意
∴（元）
答：购买A种型号文具的单价为300元，购买B种型号文具的单价为200元；
（2）解：设购买A种型号玩具m套，则购买B种型号玩具套，根据题意得：
解得，
∴m的最大值为20，此时（套）
答：购买A种型号玩具20套，购买B种型号玩具20套
44．某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买锅笔的数量多8．一学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20，且购买笔记本的数量是10的倍数．
(1)请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
(2)探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
【答案】(1)笔记本的单价为5元/本，钢笔的单价为10元/支
(2)见解析
【分析】（1）设笔记本的单价为元本，根据“用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件”列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买钢笔支，笔记本本．根据“总花费为元”列出方程，根据，，且是的倍数，求出，的值即可．
【详解】（1）设笔记本的单价为元本，则钢笔的单价为元本．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
此时．
答：笔记本的单价为5元/本，钢笔的单价为10元/支．
（2）设购买钢笔支，笔记本本．根据题意，得
，
化简得．
由题意，得，，且是10的倍数，
∴或或 ．
故有以下方案：方案一：购买钢笔30支，笔记本20本；
方案二：购买钢笔25支，笔记本30本；
方案三：购买钢笔20支，笔记本40本．
45．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用300万元购进A型汽车的数量比用240万元购进B型汽车的数量少2辆．
(1)每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？
(2)该汽车销售中心购进A型和B型汽车共20辆，且A型汽车的数量不超过B型汽车的数量的2倍．已知A型汽车的售价为35万元，B型汽车的售价为23万元．如何制定进货方案，可以使得销售中心利润最大，请求出最大利润和此时的购进方案．
【答案】(1)每辆B型汽车的进价为万元，则每辆A型汽车的进价为万元；
(2)该销售中心购进A型汽车13辆，B型汽车7辆，才能使售完这20辆汽车的总利润最大，最大利润是86万元．
【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式和一次函数的实际应用．
（1）设每辆B型汽车的进价为万元，则每辆A型汽车的进价为万元，根据“用300万元购进A型汽车的数量比用240万元购进B型汽车的数量少2辆”列分式方程，解分式方程即可求解；
（2）设购进A型汽车x辆，则B型汽车辆，由A型汽车的数量不超过B型汽车数量的2倍可得x的取值范围；求得总利润的表达式再结合一次函数的增减性计算求值即可．
【详解】（1）解：设每辆B型汽车的进价为万元，则每辆A型汽车的进价为万元，
依题意得，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意，
，
答：每辆B型汽车的进价为万元，则每辆A型汽车的进价为万元；
（2）解：设购进A型汽车x辆，售完这20辆汽车的总利润为y万元，
根据题意得购进B型汽车辆，
∵A型汽车的数量不超过B型汽车数量的2倍，
∴，
解得，
总利润，
∵比例系数，
∴y随x的增大而增大，
又x为正整数，
∴当时，y有最大值，最大值为，
此时B型汽车的数量为辆，
答：该销售中心购进A型汽车13辆，B型汽车7辆，才能使售完这20辆汽车的总利润最大，最大利润是86万元．
46．某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人．
(1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人；
(2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问：
①A、B两种游船每艘分别有多少个座位；
②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案．
【答案】(1)七年级教师有26人，学生有274人
(2)①A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；②见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设八年级教师有x人，学生有y人，根据七、八年级的师生数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位，根据八年级乘坐B型船要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，根据每艘游船恰好全部坐满，即可得出关于a，b的二元一次方程，变形后可得出，再结合a，b均为非负整数，即可得出各租船方案．
【详解】（1）解：设八年级教师有x人，学生有y人，
依题意，得：，
解得：，
∴．
答：七年级教师有26人，学生有274人；
（2）解：①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；
②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，
依题意，得：，
∴．
又∵a，b均为非负整数，
∴，，，，，
∴共有5种租船方案，方案1：租用13艘B型船；方案2：租用2艘A型船，10艘B型船；方案3：租用4艘A型船，7艘B型船；方案4：租用6艘A型船，4艘B型船；方案5：租用8艘A型船，1艘B型船．
47．某单位将沿街的一部分铺面出租，年所有铺面出租的租金为万元，年租金为万元，年每间铺面租金比年多元．
(1)求该单位年每间铺面的租金是多少元？
(2)该单位在做至年的铺面出租的规划，根据调研提出了两种方案．方案一，合同一年一签，每间铺面在上一年的基础上涨元，每年有一间铺面不能出租；方案二，合同三年一签，每间铺面的租金保持年租金不变，铺面可以全部出租．请通过计算说明该单位选择哪种方案租金更多？
【答案】(1)该单位2023年每间铺面的租金是元
(2)该单位选择方案二租金更多，见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用．
（1）设该单位年每间铺面的租金是元，则该单位年每间铺面的租金是元，根据该单位出租铺面的间数不变，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）分别求出选择方案一及选择方案二该单位年至年可获得的总租金，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设该单位2023年每间铺面的租金是x元，则该单位年每间铺面的租金是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该单位年每间铺面的租金是元；
（2）按方案一该单位2024年至2026年可获得的总租金为：
（元）；
按方案二该单位2024年至2026年可获得的总租金为（元）．
∵，
∴该单位选择方案二租金更多．
48．某校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高，用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台．
(1)求，型设备单价分别是多少元；
(2)该校计划购买两种设备（两种设备均需购买）共台，要求型设备数量不少于型设备数量的，请为学校设计出购买这两种设备所需费用最小的方案，并说明理由．
【答案】(1)设备单价元；设备单价元；
(2)购买设备台，购买设备台费用最小．
【分析】（）设每台型设备的价格为万元，则每台型号设备的价格为万元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解；
（）根据总费用购买型设备的费用购买型设备的费用，可得出与的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出的取值范围，根据一次函数的性质即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设每台型设备的价格为万元，则每台型号设备的价格为万元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：每台型设备的价格为元，每台型号设备的价格为元；
（2）解：设购买台型设备，则购买台型设备， 购买这两种设备所需费用为元，
则，
∵，
解得且为整数，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最小值，
∴，
∴购买设备台，购买设备台费用最小．
49．某水果超市两次去批发市场采购同一品种的苹果，第一次用800元购进了若干千克，很快实完，第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了．
(1)求第一次购买苹果的进价；
(2)求第二次购买苹果的数量；
(3)该水果超市按以下方案卖出第二次购买的苹果；先以a元/千克的价格售出m千克，再以15元/千克的价格售出剩余的全部苹果（不计损耗），共获利1500元，若a，m均为正整数，且a不超过第二次进价的2倍，直接写出a和m的值．
【答案】(1)第一次购买苹果的进价为10元/千克，第二次购买的进价为11元/千克
(2)200千克
(3)，
【分析】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
（1）设第一次购买苹果的进价为元，根据第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了，列出分式方程进行求解即可；
（2）用总价除以进价，求出数量即可；
（3）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出二元二次方程，用含的代数式表示出的值，根据a不超过第二次进价的2倍，求出的范围，求出的正整数解即可．
【详解】（1）解：设第一次购买苹果的进价为元/千克，则：第二次购买的进价为元/千克，
由题意，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴，
答：第一次购买苹果的进价为10元/千克，第二次购买的进价为11元/千克；
（2）第二购买的数量为（千克）；
（3）由题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∵均为正整数，
∴，．
50．某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
(1)求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
(2)若A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价为2700元．手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
【答案】(1)款手机的进货单价是3200元，款手机的进货单价是2400元
(2)见解析
【分析】（1）设款手机的进货单价是元，根据花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同列出方程，解之即可；
（2）设购买款手机部，款手机部，列出二元一次方程，求出正整数解，可得相应方案，再求出相应利润，即可得解．
【详解】（1）解：设款手机的进货单价是元，则款手机的进货单价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
则，
答：款手机的进货单价是3200元，款手机的进货单价是2400元
（2）设购买款手机部，款手机部，
根据题意，得，
化简得，，
都是正整数，
∴或或，即有三种进货方案：
方案一：购买款手机2部，款款手机9部，
利润是：（元）；
方案二：购买款手机5部，款款手机5部，
利润是：（元）；
方案三：购买款手机8部，款款手机1部，
利润是：（元）；
，
选择方案三获得的总利润最高．
【点睛】本题考查了分式方程，二元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出相应的方程．

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