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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 广东省深圳市2024年中考数学信息卷
17．（7 分） 19．（8 分）
数学·答题卡
姓
名：__________________________
准考证号： 贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填
写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考
考生禁填： 缺考标记
证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记
2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用 2B 铅
必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂
或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3
．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例：
超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题
正确填涂 卷上答题无效。
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [／]
第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [ D] 9 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [ D] 10 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [ D]
18．（8 分）
20．（8 分）
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [ D]
第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答）
二、填空题（本题共 5 小题，每小题
3 分，共 15 分）
11.______________ 12.______________ 13.______________
14.______________ 15.______________
三、解答题（本大题共 7小题，共 55 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
16．（5 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出 黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑 色矩形边框限定区域的答案无效！
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出
黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21．（9 分） 22．（10 分）
请在各题目的答题区域内作答，超 出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色 矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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广东省深圳市2024年中考数学信息卷
注意事项：
1．本试卷共三个大题，满分100分，考试时间90分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．的相反数是（　　）
A． B．2024 C． D．
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．据《龙华新闻》公众号报道：深圳从数字化转型、核心技术研究、创意设计能力建设、时尚消费环境等方面入手，推进现代时尚产业集群建设，目标是到2025年，形成“深圳设计”“深圳品牌”“深圳产品”的高端供给新格局．将420亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级7名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下：14，15，13，13，18，15，15.请问阅读课外书数量的众数是（ ）
（　　）
A．13 B．14 C．15 D．18
6．下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ）
隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语
A． B．
C． D．
7．如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，过点A和两弧的交点作射线，交于点D，则（ ）
A． B． C． D．
8．小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，将绕点旋转得到交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为，和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x的增大而减小；
④当或时，函数的最小值是9；
⑤当与的图象恰好有3个公共点时或
其中结论正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
第ⅠⅠ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若，则 ．
12．一个箱子里装有除颜色外都相同的2个白球，3个红球，1个蓝球，现添加若干个相同型号的篮球，使得从中随机摸取 1 个球，摸到蓝球的概率是，那么添加了 个蓝球．
13．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．
14．如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在矩形中，是的中点，过点E作的垂线交于点，对角线分别交，于点，，当时，则的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：．
17．（7分）先化简，再求值：，其中a=．
18．（8分）为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢建子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题．
(1)本次抽取调查的学生共有______人；
(2)请补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为______°；
(4)八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率．
19．（8分）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
(1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
(2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
20．（8分）如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求的长．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由．
22．（10分）在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
（1）问题发现： 如图1，．若，则 ， ；
（2）类比探究：
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用： 如图3，点 E为正方形 的边上的三等分点，以为边在上方作正方形， 点O为正方形的中心， 若，请直接写出线段 EF的长．中小学教育资源及组卷应用平台
广东省深圳市2024年中考数学信息卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．的相反数是（　　）
A． B．2024 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：B．
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
B、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；
C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；
故选：A．
3．据《龙华新闻》公众号报道：深圳从数字化转型、核心技术研究、创意设计能力建设、时尚消费环境等方面入手，推进现代时尚产业集群建设，目标是到2025年，形成“深圳设计”“深圳品牌”“深圳产品”的高端供给新格局．将420亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】∵亿，
故选D．
4．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程有实数解可知，解不等式即可．
【详解】解：一元二次方程有实数解，
，
解得，
故选B．
5．小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级7名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下：14，15，13，13，18，15，15.请问阅读课外书数量的众数是（ ）
（　　）
A．13 B．14 C．15 D．18
【答案】C
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数进行解答即可．本题考查了众数的概念，熟记概念是解决此题的关键．
【详解】解：∵这组数据中15出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是15．
故选：C．
6．下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ）
隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两”，即可列出关于x或y的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：∵如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两．
∴或或．
故选：D．
7．如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，过点A和两弧的交点作射线，交于点D，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查角平分线性质与作图，解直角三角形，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【详解】如图，过点作于点，
由作图知平分，又，则，
因为，
所以 ，
因为，
所以．
8．小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角函数，余角性质，利用余角性质可得，进而得，再根据折射率计算即可求解，由余角性质推导出是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∵光线经折射后沿垂直边的方向射出，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
9．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，将绕点旋转得到交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．过点A作交的延长线于点G，连接，由旋转的性质得出，证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，证出，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点G，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
由旋转可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选D．
10．我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为，和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x的增大而减小；
④当或时，函数的最小值是9；
⑤当与的图象恰好有3个公共点时或
其中结论正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】分别令和即可对结论①进行判断；观察函数的图象即可对结论②进行判断；根据函数的图象和增减性即可对结论③进行判断；根据函数与x轴有两个交点，且这两个交点是函数图象的最低点，可对结论④进行判断；根据函数与x轴的两个交点，与平行可分两种情况进行讨论：①经过点，②与函数只有一个交点，分别求出b的值即可对结论⑤进行判断．
【详解】解：∵令，得，
令，则
解得，
∴与坐标轴的交点为，和，
∴结论①正确；
观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为，
故结论②正确；
∵函数与x轴的两个交点坐标为，，且对称轴为x=2，
∴当或时，函数值y随x值的增大而增大，
故结论③不正确；
∵当或5时，，
∴当或时，函数的最小值是0．
故结论④不正确；
∵函数与x轴的两个交点为，，
又∵与平行，
∴当与的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：
①经过点，此时b=1，
②当与函数只有一个交点时，
则方程有两个相等的实数根，
将整理得：，
∴判别式，
解得：．
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②⑤．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，设，则，
∴
故答案为：．
12．一个箱子里装有除颜色外都相同的2个白球，3个红球，1个蓝球，现添加若干个相同型号的篮球，使得从中随机摸取 1 个球，摸到蓝球的概率是，那么添加了 个蓝球．
【答案】4
【分析】本题考查了概率公式，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 ．设添加的蓝球的个数是 x，根据概率公式列出算式，再进行求解即可．
【详解】设添加了 x 个蓝球，
根据题意，得：，
解得：，
经检验： 是原分式方程的解， 即添加了 4 个蓝球，
故答案为4．
13．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作于点E，于点F，先证明，得到，然后设，求出，再根据，及反比例函数的中心对称性，可求得，从而得到方程，求得，最后由点A在反比例函数的图象上，可知．
【详解】过点A作于点E，于点F，
，
，
轴，
，
，
设，则，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
．
14．如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查求不规则图形的面积问题，掌握割补法求阴影部分的面积，是解题的关键．连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，根据勾股定理求出，即可由求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，则，
由折叠得，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．如图，在矩形中，是的中点，过点E作的垂线交于点，对角线分别交，于点，，当时，则的值为 ．
【答案】/
【分析】设，，根据矩形性质和勾股定理可得，再证得，可得，，进而可得，再由，可得，得出，联立得，求得，再证得，即可求得答案．
【详解】解：四边形是矩形，设，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：．
【答案】0
【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：原式
．
17．（7分）先化简，再求值：，其中a=．
【答案】，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
将a=代入，
原式=．
18．（8分）为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢建子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题．
(1)本次抽取调查的学生共有______人；
(2)请补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为______°；
(4)八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率．
【答案】(1)125
(2)见解析
(3)
(4)，见解析
【分析】（1）用项目B的人数除以其人数占比即可求出本次抽取调查的学生人数；
（2）先求出项目D的人数，再补全统计图即可；
（3）用乘以项目A的人数占比即可得到答案；
（4）先列出图表得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．
【详解】（1）解：（人），
∴此次调查共抽取了125名学生，
故答案为：125，
（2）解：项目D的人数为：（人），
条形统计图补充为：
（3）解：在此扇形统计图中，A篮球类所对应的扇形圆心角为：，
故答案为：，
（4）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣
∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有10种，
∴甲和乙至少有一人被选上的概率为，
故答案为：．
19．（8分）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
(1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
(2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
【答案】(1)购进甲种笔记本本，乙种笔记本本
(2)第二次购买乙种笔记本本
【分析】本题主要考查一元一次方程和分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设文具店购进甲种笔记本本，根据题意列出等量关系即可得到答案；
（2）设第二次购买乙种笔记本本，列出方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设文具店购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，
依题意得：，
解得，
，
文具店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本；
（2）解：设第二次购买乙种笔记本本，
依题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
故第二次购买乙种笔记本本．
20．（8分）如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)
【分析】（1）先判断出，得出，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数可得，即可求解；
（3）由锐角三角函数可求的长，通过证明，可得，可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
（3）如图2，连接，
、
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，的面积最大．
(3)存在，或
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设，求出直线的解析式为，设，得到，根据二次函数的性质解答即可；
（3）设点，交于点E，若四边形是菱形，连接，则，，得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）设，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∴
当时，的面积最大，
，
此时，点的坐标为，的面积最大值为．
（3）存在．如图，设点，交于点E，
若四边形是菱形，连接，则，，
∴，
解得，
∴或.
22．（10分）在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
（1）问题发现： 如图1，．若，则 ， ；
（2）类比探究：
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用： 如图3，点 E为正方形 的边上的三等分点，以为边在上方作正方形， 点O为正方形的中心， 若，请直接写出线段 EF的长．
【答案】（1），；（2），；（3）或
【分析】（1）由已知条件可判定和均是等边三角形，由等边三角形的性质得，，，由可判定，由全等三角形的性质即可求解；
（2）由等腰三角形的性质及勾股定理得，，，由等式性质得，，由相似三角形的判定法得，由相似三角形的性质即可求解；
（3）①当时，连接，由正方形的性质及余弦的定义，，可判定，由相似三角形的性质得，可求
，由勾股定理得，即可求解； ②当时，连接，由①得：同理可求，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：（1），
，
，，
和均是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
；
故答案：，；
（2），；
理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①当时，
如图，连接，
四边形和四边形均是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
；
②当时，
如图，连接，
由①得：同理可求，
，
，
，
，
；
综上所述：的长为或．

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