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2024年河北中考最后一卷
数学解析及参考答案
一、单选题（本大题共16小题，共38分，1-6小题各3分，7-16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B
【分析】此题主要考查了代数式，掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子是解题关键．
【详解】解：代数式的意义是与的积，
故选B．
2．C
【分析】分别画出在，，，处观察小树的角度，判断即可．
【详解】解，如图，
，，，分别是
小树在点，，，处的方位角，
小树在点的北偏西方向上，
故选C．
【点睛】本题主要考查根据方位描述确定物体的位置，明确题意、熟知方位是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查单项式乘以单项式，积的乘方，掌握相关的运算法则是解题的关键．
先算积的乘方，再算单项式乘以单项式，求解即可．
【详解】
．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键就是找到射门角，即射门点与球门两侧所成的角，且角越大，进球率越高．根据射门角越大，射门进球的可能性就越大．
【详解】解：因为点 都在圆上，故通过观察处的射门角相等；故三位同学踢进足球的可能性一样大．
故选D．
5．B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．
【详解】解：当时，此时，
∴，
当时，则，
∵，
∴三条线段不能构成三角形，
当时，则，
∵，
∴三条线段不能构成三角形，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
将原式展开进行因式分解，进而即可得到答案．
【详解】解：，
∴多项式都能整除，
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，本题关键在于利用完全平方公式以及平方差公式简化运算．将变形为已知的值，分别计算出的值，整体代入求值即可．
【详解】解：，，
，，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．甲：根据作图过程可得有一组邻边相等的平行四边形是菱形；乙：根据作图过程可得是的垂直平分线，然后证明，可得，判断四边形是平行四边形，根据，即可得四边形是菱形．
【详解】
解：甲正确，理由如下：四边形是平行四边形，
，
根据作图过程可知：，
，
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
故甲的说法正确；
乙正确，理由如下：
如图(2)，连接交于点O，
根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，.
四边形是平行四边形，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
故乙的说法正确，
故选：C.
9．B
【分析】在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径，进而得出小正六边形的长，再根据正六边形的性质求出半径，即边长即可．
【详解】解：如图，连接交于O，则点O是圆心，过点O作于N，连接，取的中点G，连接，，，过点S作于点T，

由对称性可知，，
∵图中均为正六边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由正六边形的性质可知，、、都是正三角形，
∴FHMF，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
10．B
【分析】先将1.35亿写成科学记数法的形式，再除以3即可得出平均每天出游人数．
本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】亿人=人，
则平均每天出游人数为人．
故选：B．
11．B
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正方形的性质，连接，先证得是等边三角形，进而可得点A是的外接圆的圆心，可得，根据正方形的性质及全等三角形的判定及性质得，根据即可求解，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
此题是一道综合题目，解决此题的关键是合理的推理正确的计算
【详解】解：如图，连接．
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴点A是的外接圆的圆心，
，
∵四边形是正方形，
，，，
，
，
，
．
故选B．
12．A
【分析】根据题意，观察图形，从俯视图可知底层有6个小正方体，从主视图可知，一共有两层，第二层最少有2个小正方体，即可进行解答．
【详解】从主视图看左边的一列只有一行，说明俯视图中的左边一列只有2个小正方体，主视图右边的一列有两行，说明俯视图中的右边一列至少有4个小正方体，中间只有2个小正方体，所以此几何体至少有8个小正方体．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了物体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
13．D
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，延长交于点，先利用勾股定理的逆定理证，，再证得，进而可得，，由此可得，进而得，，，据此得，，然后在中由勾股定理可求出的长．
【详解】延长交于点，如图：
四边形为正方形，边长为15，
，，
，，，
，，
，
即为直角三角形，则，
同理：，
在和中，
，
，
，
，，
，，
又，，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
同理：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故选：D．
14．B
【分析】首先根据正方形的边长与动点M、N的速度可知动点始终在边上，而动点M可以在边、边、边上，再分三种情况进行讨论；；，分别得出关于的函数解析式，即可解答．
【详解】由题意可得，，
①时，M在边上，，则的面积是，
即，
②时，M在边上，则的面积是，
即，
③时，M在边上，，则的面积是，
即，
综上所述，关于的函数解析式是，
由此可得到关于的函数图象是
．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图像的判断，正方形的性质，三角形的面积，涉及到有关动点的问题时，需要分类讨论．
15．D
【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解．
【详解】解：分别取的中点为，连接，
分别是的中点，
，
又，
，
四边形是正方形，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形．
16．A
【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．
【详解】解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，∴，
∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大，
综上所述，A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18-19小题各题4分）
17．
【分析】
根据直角三角形的勾股定理计算出，的长，根据旋转得到，的长，如图所示（见详解），过点作轴于，证明，求出点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：绕点点旋转至的位置，且在的中点，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，，
∴与轴的夹角为，与轴的夹角为，即，
如图所示，过点作轴于，
∴，，
在，中，
，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
把点代入反比例函数得，，反比例函数的解析式为：
∴的值为，
故答案为：．
18．3
【分析】本题考查了代数式求值，方程的解，由表格可得到①，②，③，通过可得，进而可得到结果．
【详解】解：由表可知，当时，，即①，
当时，，即②，
当时，，即③，
可得，，即，
，
，
故答案为：3．
19． 8
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，先根据题意求出优弧的长为8，再根据扇形面积等于其弧长与半径乘积的一半求出阴影部分面积，进而根据弧长公式求出圆心角度数即可．
【详解】解；由题意得，优弧的长为，
∴所得扇形（阴影部分）的面积为，
∴该扇形所对的圆心角是，
故答案为：8；．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）
20．(1)，
(2)第三组答对8次
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题．
（1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得：，
解得：
（2）解：设第三组答对n次，根据题意，得
，
解得，
答：第三组答对8次．
21．（1），理由见解析；（2）9
【分析】（1）首先利用多项式乘以多项式，将表示出来，再做差，根据m为正整数判断结果正负即可得出结论；
（2）首先根据甲长方形的周长表示出正方形的面积，再计算出，即可求得这个常数．
【详解】解：（1），
，
∴，
∵m为正整数，
∴，
∴．
（2）图中甲的长方形周长为，
∴该正方形边长为，
∴，
∴，
∴这个常数为9．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式和完全平方公式与几何图形面积问题，解题关键是掌握多项式乘以多项式和完全平方公式．
22．(1)3，8，4，1，4，5，4
(2)男生和女生的优秀率分别是10%、20%
(3)女生跳绳成绩更好一些，理由见解析
(4)坚持跳绳训练；注重节奏和基础技巧；强化核心肌肉
【分析】本题考查的是从统计表与统计图中获取信息，理解关联信息是解本题的关键；
（1）观察数据可得，男生60～80、80～100、100～120有多少个，女生60～80、80～100、100～120、140以上有多少个；
（2）根据优秀率优秀人数总人数即可得到答案；
（3）可根据优秀率判断男生和女生的跳绳成绩哪一个更好一些；
（4）写出合理建议即可．
【详解】（1）解：观察数据可得，男生：60～80有3个，80～100有8个，100～120有4个，
女生：60～80有1个，80～100有4个，100～120有5个，140以上有4个，
，
（2）观察表格可得，一分钟跳绳在140个以上（含140个/1分钟）的男生有2人、女生有4人，
男生的优秀率，
女生的优秀率，
答：男生和女生的优秀率分别是10%、20%；
（3）∵女生的优秀率比男生的优秀率高
∴女生跳绳成绩更好一些；
（4）①坚持跳绳训练，②注重节奏和基础技巧，③强化核心肌肉．
23．(1)4米
(2)米
【分析】（1）令，求出x值，取正值即可；
（2）令，求出x值，根据无法在对称轴右侧盖帽，得出，继而计算距离．
【详解】（1）解：在中，令，
则，
解得：或（舍），
∴，即他的脚底与篮筐中心正下方的距离l是4米；
（2）在中，令，
则，
解得：或，
由于无法在对称轴右侧盖帽，
∴，
∴他应该在离投篮运动员米的地方起跳．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，将实际情况与函数图象相结合是解决本题的关键．
24．(1)见解析
(2)①存在，或或；②
【分析】（1）根据得出，连接，可得则，即可得证；
（2）①勾股定理可得，进而可得，，，，，分三种情况讨论，分别解直角三角，即可求解；
②根据题意得出四边形是菱形，分当在上时，当在上时，求得临界值，进而结合图形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴，
连接，如图，
∵是直径，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）∵中，，
∴，
∴，
∵
∴，，
若存在是等腰三角形；
①当时，，则
连接，
∵是直径，
∴
∵
∴
解得：
当时，过点作于点，
∵
∴（等腰三角形三线合一）
∴平行，
∴
∴是的中位线，
∴，
∵
∴，
解得：，
当时，如图所示，过点作于点，
∴
∴
∴，
∴
∴
∵∵
∴，
解得：，
综上所述，或或；
②连接，依题意，
∴四边形是菱形，
当在上时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴
∴
∴
∴为的中位线，
∴
∴，
②当在上时，∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，菱形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)，1
(4)1，
【分析】（1）根据圆的有关概念分别求出、的长，根据三角形的三边关系即可得答案；
（2）根据（1）中的取值范围，结合、的长即可得答案；
（3）过点作于，用表示出的面积，根据圆的概念得出时，即时的面积最大，利用勾股定理可求出的长，即可得答案；
（4）根据及可得时只有于的一种情况，利用勾股定理求出的长，代入求出值即可得答案．
【详解】（1）解：∵，是半圆的直径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：
（2）∵，，，
∴当时，为等腰三角形．
故答案为：
（3）如图，过点作于，
∴，
∴当取最大值时，的面积最大，
∴当时，即时的面积最大，
∴，，
∴，有最大值为．
故答案为：，
（4）∵，
∴当时，，
∵，，，
∴当时只有如图于的一种情况，
∴直线与图象有个公共点，
∴，
当时，，
∴交点坐标为．
故答案为：
【点睛】本题考查圆的概念、三角形的三边关系、等腰三角形的定义、勾股定理及一次函数的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
26．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系，分情况讨论是解题关键；
（1）根据平分，得出，然后表示出，在依据每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，即可得出方程，解答即可；
（2）根据题意可分两种种情况讨论：①当过，但并未过，②超过延长线且未过延长线时，根据角平分线的性质和角的和差关系，表示即可解答；
（3）分三种情况讨论①未超过时，②超过，但未超过时，③超过时，分别表示出，再根据平分，平分，根据角的和差关系即可求出，最后得出结论，
【详解】（1）平分，
，
绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，
，
（2）①当过，但并未过，如图
，
，
，，
，
，
②超过延长线且未过延长线时，如图
，
，
，
，
，
即：，
，
综上所述：t的值为或
（3）①未超过时，如图
，
，
，
平分，平分，
，
，
②超过，但未超过时，如图
，，
，
，
平分，平分，
，
，
③超过时，
，，
，
，
平分，平分，
，
，
，
综上所述：的度数为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年河北中考最后一卷
数学
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分120分，考试时间120分钟.
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效.
一、单选题（本大题共16小题，共38分，1-6小题各3分，7-16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）代数式的意义可以是（ ）
A．与的和 B．与的积 C．与的差 D．与的商
2．（3分）如图是东西流向且两岸，互相平行的一段河道，在河岸有一棵小树，在河岸的琪琪观测到小树在他的北偏西方向上，则琪琪的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）计算：（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点 都在圆上，小明站在 点，小强站在 点，小宁站在 点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是（ ）
A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大
C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大
5．（3分）如图，在折线段中，可绕点B旋转，线段上有一点P，将线段分成两部分，可绕点P旋转．旋转，当三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长可为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）对于任何整数a，多项式都能（ ）
A．被a整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
7．（2分）已知，，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）在给定的平行四边形中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：如图（1），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点N，连接，则四边形是菱形．
乙：如图（2），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线交于点K，连接，则四边形是菱形．

下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
9．（2分）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（ ）

A． B． C． D．
10．（2分）2024年元旦假期，全国文化和旅游市场平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游亿人次，同比增长．则这3天全国国内旅游平均每天出游人数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2分）如图，正方形中，E为中点，，，交于O，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2分）由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图、俯视图如图所示，那么搭成这个几何体至少需用小正方体的个数是(　　)
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
13．（2分）如图，正方形的边长为15，，，连接，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
14．（2分）如图，正方形是边长为6，点从点A出发以的速度沿运动，动点从点A出发以的速度沿向点运动，两点均到达点停止运动．设点的运动时间是，的面积是，则能正确反映关于的函数图象是（ ）

A． B． C． D．
15．（2分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　）
A．2 B． C． D．
16．（2分）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18-19小题各题4分）
17．（2分）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为 ．
18．（4分）当取不同值，代数式的值如下表所示，则的为 ．
1 2 4
1
19．（4分）如图，将边长为2的正六边形铁丝框变形为以点A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形（阴影部分）的面积为 ，该扇形所对的圆心角是 度．（结果用含π的式子表示）
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）
20．（9分）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况：
第一组 第二组
答错次数 1 2
答对次数 7 9
最终分数 40 45
(1)求x，y的值；
(2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？
21．（9分）如图，甲、乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中m为正整数）．
（1）图中的甲长方形的面积，乙长方形的面积，试比较、的大小，并说明理由；
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数．
22．（9分）笑笑想比较自己所在六（1）班的男生和女生跳绳成绩．体育课上，笑笑随机记录了六（1）班男生和女生各20名同学一分钟跳绳的个数．（单位：个/1分钟）
男生：89，96，103，92，77，87，109，97，45，92，76，128，98，57，112，79，91，104，164，198；
女生：132，120，118，97，102，127，91，115，104，114，131，56，165，98，72，137，150，98，159，148．
(1)请按分数段整理数据表，并补全条形统计图．（注：这里的60～80表示大于等于60同时小于80）
个数/1分钟 60个以下 60～80 80～100 100～120 120～140 140个以上
男生 2 1 2
女生 1 5
(2)如果一分钟跳绳在140个以上（含140个/1分钟）算优秀，那么男生和女生的优秀率分别是多少？
(3)你认为男生和女生的跳绳成绩哪一个更好一些，请说明理由．
(4)如何提高跳绳成绩，你有什么建议吗？
23．（10分）如图，一位篮球运动员跳起投篮，篮球的运动路线是抛物线的一部分，若这次投篮正好命中篮筐中心，已知篮筐的中心离地面的距离为．

(1)他的脚底与篮筐中心正下方的距离l是多少？
(2)若对方一名球员想对此球进行成功盖帽，已知该球员的弹跳高度可达，那么他应该在离投篮运动员多远的地方起跳？
24．（10分）如图，在中，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，．
(1)当时，求证：；
(2)当，时．
①是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的的长；若不存在，请说明理由；
②连接，点在的延长线上，若点关于的对称点恰好落在内，求的取值范围．
25．（12分）已知：如图①，是半圆的直径，点是的中点，点在半圆上运动（不与点重合），若，设线段的长为的面积为，回答下列问题：
(1)x的取值范围是_____；
(2)当_____时，为等腰三角形；
(3)当_____时，有最大值，最大值为______；
(4)图②是根据满足条件的的值所画出的图象，则直线与图象有______个公共点，公共点的坐标为______．
26．（13分）如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为．
(1)如图2，当平分时，求t的值；
(2)当时，画出相应的图形，并求t的值；
(3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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