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【题型攻关】用一元一次不等式解决实际问题（两大题型）
一、题型一：用一元一次不等式解决实际问题，20题，难度三星
1．某街心花园运动操场如图所示（操场一圈超过但不足米）．某同学从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了几圈？（ ）
A．8圈 B．9圈 C．10圈 D．11圈
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的应用，由题意可知，小明恰好跑3圈时，路程比多，但小于，再根据一圈的路程比多，据此可得答案．
【详解】解：观察图形可得：小明恰好跑3圈时，路程超过了，但小于，
所以小明跑9圈时，路程超过但小于，
又因为一圈的路程比多，
所以小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了圈．
故选：C．
2．小杰到学校食堂买饭，看到，两窗口前面排队的人一样多（设为人，，且为偶数），就站在窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，窗口每分钟有8人买了饭离开队伍，且窗口队伍后面每分钟增加6人．若小杰迅速从窗口队伍转移到窗口队伍后面重新排队，且到达窗口所花的时间比继续在窗口排队到达窗口所花的时间少，则的最小整数是 （不考虑其他因素）．
【答案】13
【分析】考查不等式解决问题的能力．本题主要考查不等式知识，考查学生的应用能力，试题与实际生活的关系较紧密，有一定的能力要求．表示出他继续在窗口排队到达窗口所花的时间，根据“到达窗口所花的时间比继续在窗口排队到达窗口所花的时间少”列不等式，即可解得答案．
【详解】解：他继续在窗口排队到达窗口所花的时间为，即分；
到达窗口所花的时间比继续在窗口排队到达窗口所花的时间少，
，
解得．
的最小整数是13．
故答案为：13．
3．我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为（，且均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小颖 26
小睿 12
小涵 10
根据题中所给的信息，下列说法正确的是 （填序号）．
①可求得；
②小睿每轮比赛都没有获得第一名；
③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名；
④每轮比赛第二名得分为2分．
【答案】①③④
【分析】此题主要考查了比赛得分问题中的推理与论证，解答此题的关键是求出的值.
首先根据每轮分别决出第名 (不并列),可得，所以然后根据小颖的得分，推得再根据及最小取, 可知 ，进而求出和的值，再逐项判断即可.
【详解】∵每轮分别决出第名 (不并列) ,
∴
∴, 故选项①正确，符合题意；
∵小颖的得分最高为，
∴,
∵为正整数，
∴,
∵,且均为正整数,
∴的最小值分别为,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴, 故选项④正确，符合题意;
∵,
∴小颖轮得第一，轮得第三；
假设小涵有轮获得第名，
则小涵的得分至少是(分),与小涵实际得了分不符，
∴小涵没有轮获得第名，小睿有轮获得第名,
∴选项②错误，不符合题意;
(分),
∴小睿轮得第一，轮得第二，轮得第三，
∴小涵轮得第二，轮得第三，
∴选项③正确，符合题意,
综上可得：说法正确的是①③④，
故答案为：①③④.
4．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况．根据题中所给信息， ，小奕同学第三轮的得分为 分．
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小恩 a a 27
小地 a b c 11
小奕 c b 10
【答案】 5 2
【分析】本题考查方程的解逻辑推理能力，根据三位同学的最后得分情况列出关于的等量关系式，然后结合且均为正整数确定的值，从而确定小奕同学第三轮的得分，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键，
【详解】由题意可得：，
∴，
∵均为正整数，
若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为，
∴a必大于4，
又∵，
∴最小取3，
∴，
∴，，，
∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；
小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；
又∵表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三，
∴第二轮比赛中小恩第二，
∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二，
∴小奕的第三轮比赛得2分，
故答案为：5，2．
5．随着疫情的结束，光雾山的游客人数越来越多，光雾山旅游公司打算购买游览车20辆，现有A和B两种型号车，如果购买A型号车6辆，B型号14辆，需要资金580万元；如果购买A型号车12辆，B型号车8辆，需要资金760万元．经预算，光雾山旅游公司准备购买设备的资金不高于500万元．（每种型号至少购买1辆）．已知每种型号游览车的座位数如表所示：
A型号 B型号
座位数（个/辆） 60 30
(1)每辆A型车和B型车各多少万元？
(2)请问光雾山旅游公司有几种购买方案？且哪种方案的座位数最多，是多少？
【答案】(1)每辆型车50万元，每辆型车20万元
(2)共有3种购买方案，购买型车3辆，型车17辆时，座位数最多，是690个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，
（1）设每辆型车万元，每辆型车万元，根据“购买型号车6辆，型号14辆，需要资金580万元；购买型号车12辆，型号车8辆，需要资金760万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买型车辆，则购买型车辆，根据资金不高于500万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出有3种购买方案，分别求出各方案的座位数，比较后即可得出结论．
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【详解】（1）解：设每辆型车万元，每辆型车万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆型车50万元，每辆型车20万元．
（2）设购买型车辆，则购买型车辆，
依题意得：，
解得：．
又，均为正整数，
可以为1，2，3，
有3种购买方案，
方案1：购买型车1辆，型车19辆，座位数为（个；
方案2：购买型车2辆，型车18辆，座位数为（个；
方案3：购买型车3辆，型车17辆，座位数为（个．
，
方案3的座位数最多．
答：共有3种购买方案，购买型车3辆，型车17辆时，座位数最多，是690个．
6．2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．振华纪念品经销店要购进A、B两种工艺品，若购进A种工艺品2件和B种工艺品3件共需68元，若购进A种工艺品3件和B种工艺品1件共需60元．
(1)求A、B两种工艺品每件的进价分别为多少元？
(2)若A种工艺品售价为21元，B种工艺品售价为19元，该经销店准备购进A、B两种工艺品共40件，这两种工艺品全部售出后总获利不低于216元，那么该经销店最多可以购进A种工艺品多少件？
【答案】(1)A种工艺品每件的进价为16元，B种工艺品每件的进价为12元
(2)32件
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
（）设种工艺品每件的进价为元，种工艺品每件的进价为元，列出方程组，然后求解即可；
（）根据题意和（）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可；
【详解】（1）解：设种工艺品每件的进价为元，种工艺品每件的进价为元，
由题意可得：，
解得，
答：种工艺品每件的进价为元，种工艺品每件的进价为元；
（2）解：设购进A种工艺品x件，则购进B种工艺品 件，由题意可得：，解得，
∵为整数，
∴的最大值为，
答：该经销店最多可以购进种工艺品件．
7．【问题背景】
污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买 A，B两种型号污水处理设备共12台，已知 A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
型号 A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3 万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
【问题解决】
(1)求a，b的值；
(2)经预算：治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，通过计算说明该公司有哪几种购买方案；
(3)若要求每月处理的污水量不少于2260 吨，该公司至少需要购买多少台A型设备 并求出此时该公司所花费的钱数．
【答案】(1)
(2)该公司有4种购买方案：购买A型设备1台，B型设备台；购买A型设备2台，B型设备台；购买A型设备3台，B型设备台；购买A型设备4台，B型设备台
(3)该公司至少需要购买3台A型设备，此时该公司所花费的钱数为45万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用：根据等量关系列出方程组及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
（1）根据等量关系列出方程组求解即可．
（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台，根据不等关系列出不等式，根据x和取正整数，进而可求解；
（3）根据不等关系列出不等式，根据x取正整数，进而可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
解得；
（2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台，
，
解得，
x和均为正整数，
，2，3，4，
，10，9，8，
综上可知，该公司有4种购买方案：
购买A型设备1台，B型设备台；
购买A型设备2台，B型设备台；
购买A型设备3台，B型设备台；
购买A型设备4台，B型设备台；
（3）解：由题意得，，
解得，
x取正整数，
的最小值为3，
购买资金为：（万元），
综上可知，该公司至少需要购买3台A型设备，此时该公司所花费的钱数为45万元．
8．某批发部有甲、乙两种产品．已知甲产品的批发单价比乙产品的批发单价少元；件甲产品的总价正好和件乙产品的总价相等．
(1)求甲、乙两产品的批发单价各是多少？
(2)友谊商店计划从该批发部购进以上两种产品．
①若所用资金为元，且购进甲产品不超过件，则该店购进乙产品至少多少件？
②能否通过合理安排，使所用资金恰好为元？若能，请给出进货方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)甲产品的批发单价为元/件，乙产品的批发单价为元/件
(2)①该店购进乙产品至少件；②能，当该店购进甲、乙产品都为件时，使所用资金恰好为元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用：
（1）设甲产品的批发单价为元/件，乙产品的批发单价为元/件，根据题意，列出方程，即可；
（2）①设该店购进甲、乙产品分别为件、件，根据题意得，解得．根据题意列出不等式，求出m，n的取值范围，即可求解；
②设该店购进甲、乙产品分别为件、件，根据题意可得．再由，，可得．然后根据都为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：设甲产品的批发单价为元/件，乙产品的批发单价为元/件，根据题意得：
，
解得：，
故．
答：甲产品的批发单价为元/件，乙产品的批发单价为元/件．
（2）解：①设该店购进甲、乙产品分别为件、件，根据题意得，解得．
∵，
∴，
解得：，
∴该店购进乙产品至少件．
②设该店购进甲、乙产品分别为件、件，根据题意得：
，
解得．
∵，，
∴，
∴．
∵都为正整数，
∴，
∴，
∵是的整数倍，
∴，
∴，
∴．
∴当该店购进甲、乙产品都为件时，使所用资金恰好为元．
9．为了筹备第十八届春季越野比赛，学校计划购买甲、乙两种纪念品．已知购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元．
(1)求每件甲种纪念品和每件乙种纪念品各多少元；
(2)若学校购买甲、乙两种纪念品共1000件，总费用不超过2800元，那么最多可以购买甲种纪念品多少件？
【答案】(1)每件甲种纪念品为3元，每件乙种纪念品为2元
(2)最多可以购买甲种纪念品件
【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键．
（1）设每件甲种纪念品为x元，每件乙种纪念品为y元，根据购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元列出方程组进行解答即可；
（2）设购买甲种纪念品m件，则购买乙种纪念品为件，根据总费用不超过2800元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设每件甲种纪念品为x元，每件乙种纪念品为y元，
根据题意得，
解得：，，
答：每件甲种纪念品为3元，每件乙种纪念品为2元；
（2）设购买甲种纪念品m件，则购买乙种纪念品为件，
，
解得：，
答：最多可以购买甲种纪念品件．
10．某公司分两次购进一批同种型号的电脑和硬盘，第一次购进7台电脑和12个硬盘，用去资金30600元；第二次购进10台电脑和25个硬盘，用去资金50000元．
(1)求电脑和硬盘每台的采购价分别是多少元；
(2)若该公司计划再购进这两种设备共40个，而可用于购进这两种设备的资金不得超过65000元，问该商场最多可购进电脑多少台？
【答案】(1)电脑和硬盘每台的采购价分别是3000元和800元
(2)该商场最多可购进电脑15台
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，准确的确定相等关系与不等关系列方程组与不等式是解题的关键．
（1）设电脑每台的采购价是x元，硬盘每个的采购价是y元，利用购进7台电脑和12个硬盘，用去资金30600元；购进10台电脑和25个硬盘，用去资金50000元，列方程组即可得到答案；
（2）设再购进电脑a台，则购进硬盘台，再利用购买这两种设备的资金不得超过65000元，列不等式，即可得到答案．
【详解】（1）解：设电脑每台的采购价是x元，硬盘每个的采购价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：电脑和硬盘每台的采购价分别是3000元和800元；
（2）解：设再购进电脑a台，则购进硬盘台，
由题意得：，
解得：，
答：该商场最多可购进电脑15台．
11．某校计划购买型和型两种笔记本作为奖品发放给学生，若购买型笔记本5本，型笔记本8本，共需80元；若购买型笔记本15本，型笔记本4本，共需140元．
(1)型和型笔记本每本的价格分别是多少元？
(2)该校计划购买型和型两种笔记本共80本，费用不超过500元，型笔记本最多买多少本？
【答案】(1)型笔记本每本8元，型笔记本每本5元
(2)型笔记本最多买33本
【分析】本题主要考查二元一次方程组和不等式，找出题中的等量关系和不等关系是解题关键，第二问注意要取正整数．
（1）根据题意列出二元一次方程组即可解答．
（2）设型笔记本本，则型笔记本本，列出不等式即可解答．
【详解】（1）解：设型笔记本每本元，型笔记本每本元，
根据题意得，
解得．
答：型笔记本每本8元，型笔记本每本5元．
（2）解：设购买型笔记本本，
根据题意得．
解得，
是正整数，
最大取33，
答：型笔记本最多买33本．
12．汽车销售公司为提高某品牌汽车的销量，准备购进一批擦窗机器人与扫地机器人作为购车赠品．已知购买2台擦窗机器人和3台扫地机器人需要14000元，购买4台擦窗机器人和2台扫地机器人需要16000元．
(1)购买1台擦窗机器人、1台扫地机器人的单价各是多少元？
(2)该汽车销售公司决定购买这两种机器人共20台，要求其总费用不超过56000元，则最多可以购买多少台扫地机器人？
【答案】(1)购买1台擦窗机器人单价是2500元，购买1台扫地机器人得单价是3000元
(2)12台
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设擦窗机器人的单价为x元，扫地机器人的单价为y元，根据购买2台擦窗机器人和3台扫地机器人需要14000元，购买4台擦窗机器人和2台扫地机器人需要16000元列出方程组求解即可；
（2）设购进擦窗机器人m台，则购进扫地机器人台．根据总费用不超过56000元，构建一元一次不等式，然后求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设擦窗机器人的单价为x元，扫地机器人的单价为y元，，
由题意可得：，
解得，
答：购买1台擦窗机器人单价是2500元，购买1台扫地机器人得单价是3000元；
（2）解：设购进扫地机器人m台，则购进擦窗机器人台，
由题意可得：，
解得，
答：最多可以购买12台扫地机器人．
13．在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加c人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为b人/分钟．若车站只开1个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放2个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕．
(1)求a与b之间的数量关系．
(2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查三元方程的应用，不等式的应用，根据题意，列出方程组是解题的关键．
（1）根据开放窗口与通过时间等列方程组求解；
（2）设5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放个检票口．根据开放窗口与通过时间等列方程和不等式解答．
【详解】（1）解：根据题意，得
由②①得：，
∴；
（2）解：设5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放个检票口．根据题意，得
由②①得：，
得④，
把④代入①，得⑤，
把④，⑤代入③，得，
，
，
为整数，，
答：至少要同时开放4个检票口．
14．我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分．
(1)求小明所在班级胜、负的场次各是多少；
(2)根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？
【答案】(1)小明所在的班级胜4场，负1场
(2)小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得3场胜利
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设小明所在班级胜了场，负了场，根据小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，根据总积分超过15分才能确保进入前两名，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设小明所在的班级胜场，负场，依题意得
解得，
答：小明所在的班级胜4场，负1场．
（2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，依题意得
解得，
为正整数，
答：小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得3场胜利．
15．2024年1月某银行发行了A、B两种龙年纪念币，已知购买3枚A型纪念币和2枚B型纪念币需55元，购买3枚A型纪念币和5枚B型纪念币需115元．
(1)求每枚A、B两种型号的纪念币各多少元？
(2)若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求A型纪念币最多能购买多少枚？
(3)在（2）的条件下，若小明至少要购买A型纪念币9枚，则有几种购买方案？哪种方案最划算？
【答案】(1)每枚A种型号的纪念币为5元，每枚B种型号的纪念币为20元；
(2)A型纪念币最多能买10枚；
(3)共有2种购买方案，最划算的购买方案为：A型纪念币买10枚，B型纪念币买40枚．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和不等式．
（1）设每枚A种型号的纪念币为x元，每枚B种型号的纪念币为y元，根据题意列出方程组，解之即可；
（2）设A型纪念币能买m枚，根据用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，列出不等式，解之即可；
（3）先得到a的范围，可得共有2种方案，分别计算各方案所需价格，比较可得结果．
【详解】（1）设每枚A种型号的纪念币为x元，每枚B种型号的纪念币为y元
由题意得：，
解得：，
答：每枚A种型号的纪念币为5元，每枚B种型号的纪念币为20元．
（2）设A型纪念币能买m枚，则B型纪念币能买枚
由题意得：，解得：，
答：A型纪念币最多能买10枚；
（3）由题意得：，
，
为正整数，
为9或10，
共有2种购买方案：
①A型纪念币买9枚，B型纪念币买41枚，费用为：（元）；
②A型纪念币买10枚，B型纪念币买40枚，费用为：（元）；
，
最划算的购买方案为：A型纪念币买10枚，B型纪念币买40枚．
16．某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
(1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
(2)若该体育用品店要求购进甲种跳绳的数量是乙种跳绳数量的3倍，不超过1000元购进这两种跳绳，至多购进乙种跳绳多少根？
【答案】(1)每根甲种跳绳需要5元，每根乙种跳绳需要10元
(2)40根
【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解题的关键是学会设未知数列出方程或不等式解决问题．
（1）设购进每根甲种跳绳需要x元，购进每根乙种跳绳需要y元，根据题意列出方程组即可解决问题；
（2）设购进乙种跳绳m根，则甲种跳绳根，列出不等式即可解决问题．
【详解】（1）设购进每根甲种跳绳需要x元，购进每根乙种跳绳需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购进每根甲种跳绳需要5元，每根乙种跳绳需要10元．
（2）设购进乙种跳绳m根，则甲种跳绳根，

答：至多购进乙种跳绳40根．
17．欣鑫中学开学初准备在商场购进A、B两种品牌的排球，已知购买一个B品牌排球比购买一个A品牌排球多花20元，购买2个A品牌排球和3个B品牌排球共需310元．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的排球各需多少元？
(2)开学后学校决定再次购进A，B两种品牌排球共50个，恰逢商场对两种品牌排球的售价进行调整，A品牌排球售价比第一次购买时提高了，B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌排球的总费用不超过3016元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌排球？
【答案】(1)购买一个A品牌的排球需要50元、一个B品牌的排球70元
(2)35个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于、的二元一次方程组；（2）根据总价单价购买数量，列出一元一次不等式．
（1）设购买一个品牌的排球需元，购买一个品牌的排球需元，根据“购买一个B品牌排球比购买一个A品牌排球多花20元，购买2个A品牌排球和3个B品牌排球共需310元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设此次购买品牌排球个，则购买品牌篮球个，根据总价单价购买数量结合总费用不超过3016元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最大值即可．
【详解】（1）解：设购买一个A品牌排球需要x元、一个B品牌的排球需要y元，
则
解得：，
答：购买一个A品牌的排球需要50元、一个B品牌的排球70元；
（2）解：设购买B品牌排球a个，则购买A品牌排球个，
由题意得：，
解得：，
∵a取整数，
∴，
答：最多购买B品牌排球35个．
18． 某学校计划购买A型和B型两种笔记本作为奖品发放给期中考试优秀学生，若购买A型笔记本5本，B型笔记本8本，共需80元；若购买A型笔记本15本，B型笔记本4本，共需140元．
(1)A型和B型笔记本每本的价格分别是多少元？
(2)该校计划购买A型和B型两种笔记本共120本，费用不超过800元，A型笔记本最多买多少本？
【答案】(1)A型笔记本每本8元，B型笔记本每本5元
(2)A型笔记本最多买66本
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程组和不等式．
（1）设A型笔记本每本x元，B型笔记本每本y元，根据“购买A型笔记本5本，B型笔记本8本，共需80元；若购买A型笔记本15本，B型笔记本4本，共需140元”列出方程组求解即可；
（2）设购买A型笔记本m本，则够买B型笔记本本，根据“费用不超过800元”列出不等式，再根据m为整数，即可解答．
【详解】（1）解：设A型笔记本每本x元，B型笔记本每本y元，
根据题意得，
解得．
答：A型笔记本每本8元，B型笔记本每本5元．
（2）解：设购买A型笔记本m本，则够买B型笔记本本，
根据题意得．
解得，
∵m是正整数，
∴m最大取66，
答：A型笔记本最多买66本．
19．某绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如表：
种植户 种植A类蔬菜面积（公顷） 种植B类蔬菜面积（公顷） 总收入
甲 3 1 125000
乙 2 3 165000
（注：不同种植户种植的同类蔬菜每公顷平均收入相等）
(1)求种植两类蔬菜每公顷平均收入各是多少元．
(2)某种植户准备租20公顷地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于630000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户的所有种植方案．
(3)在（2）的条件下，该种植户选择哪种方案，能使总收入最大？最大总收入是多少？
【答案】(1)类蔬菜每公顷平均收入是30000元，类蔬菜每公顷平均收入是35000元
(2)该种植户共有4种种植方案，方案1：种植类蔬菜11公顷，类蔬菜9公顷；方案2：种植类蔬菜12公顷，类蔬菜8公顷；方案3：种植类蔬菜13公顷，类蔬菜7公顷；方案4：种植类蔬菜14公顷，类蔬菜6公顷．
(3)该种植户选择方案1，能使总收入最大，最大总收入是645000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设类蔬菜每公顷平均收入是元，类蔬菜每公顷平均收入是元，根据两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设种植类蔬菜公顷，则种植类蔬菜公顷，根据“总收入不低于630000元，且种植类蔬菜的面积多于种植类蔬菜的面积”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各种植方案；
（3）利用总收入每公顷收入种植数量，即可分别求出选择各方案获得的总收入，再比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设类蔬菜每公顷平均收入是元，类蔬菜每公顷平均收入是元，
依题意得：，
解得：．
答：类蔬菜每公顷平均收入是30000元，类蔬菜每公顷平均收入是35000元．
（2）设种植类蔬菜公顷，则种植类蔬菜公顷，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为11，12，13，14，
该种植户共有4种种植方案，
方案1：种植类蔬菜11公顷，类蔬菜9公顷；
方案2：种植类蔬菜12公顷，类蔬菜8公顷；
方案3：种植类蔬菜13公顷，类蔬菜7公顷；
方案4：种植类蔬菜14公顷，类蔬菜6公顷．
（3）选择方案1获得的总收入为（元；
选择方案2获得的总收入为（元；
选择方案3获得的总收入为（元；
选择方案4获得的总收入为（元．
，
该种植户选择方案1，能使总收入最大，最大总收入是645000元．
20．商场某柜台销售A、B两种款式的电饭锅，A种款式的电饭锅每台进价为170元、B种款式的电饭锅每台进价为150元，下表是两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种款式 B种款式
第一天 1个 2个 580元
第二天 3个 1个 840元
(1)求A、B两种款式的电饭锅的销售单价；
(2)若商场准备用不多于9650元的金额再采购这两种款式的电饭锅共60个．求A种款式的电饭锅最多能采购多少个？
(3)在（2）的条件下，商场销售完这60个电饭锅能否实现利润为2400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A、B两种型号电饭锅的销售单价分别为220元和180元；
(2)商场最多采购A种型号电饭锅32台
(3)采购A种型号电饭锅30台，采购B种型号电饭锅30台时能实现实现利润为2400元的目标
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用：
（1）设A、B两种型号电饭锅的销售单价分别为x元、y元，根据1台A型号和2台B型号的电饭锅收入580元，3台A型号和1台B型号的电饭锅收入840元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电饭锅a台，则采购B种型号电饭锅台，根据金额不多于9650元，列不等式求解；
（3）设利润为2400元，列方程求出a的值，符合（2）的条件，即可得到采购方案．
【详解】（1）解：设A、B两种型号电饭锅的销售单价分别为x元和y元，
由题意，得：，
解得，
∴A、B两种型号电饭锅的销售单价分别为220元和180元；
（2）设采购A种型号电饭锅a台，则采购B种型号电饭锅台，
依题意，得，
解得，a取最大值为32，
∴商场最多采购A种型号电饭锅32台时，采购金额不多于9650元；
（3）依题意，得
解得，
∵a的最大值为32，
∴在（2）的条件下商场能实现利润为2400元的目标，
∴
∴采购A种型号电饭锅30台，采购B种型号电饭锅30台时能实现实现利润为2400元的目标．
二、题型二：用一元一次不等式解决几何问题，10题，难度三星
21．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得．
【详解】根据题意和图形可得，
解得：，
故选：D
【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
22．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（ ）
用法用量：口服，每天．分次服用．
规格：□□□□□□
贮藏：□□□□□□
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用每天服用的最低剂量除以最多次数，用最高剂量除以最少次数．
【详解】解：每天最少服用30药品，最多服用3次，则每次最少服用，
同理每天最多服用60药品，最少服用2次，则每次最多服用.
∴x=10，y=30，
故选：D.
【点睛】本题考查一元一次不等式，关键是理解题意，用最小的药品剂量除以最大的次数得到每次最小的服用量，用最大的药品剂量除以最小的次数得到每次最大的服用量．
23．如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在( )

A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．数轴的任意位置
【答案】B
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：-2x+3＞1，
解得x＜1；
-x＞-1．
-x+2＞-1+2，
解得-x+2＞1．
所以数轴上表示数-x+2的点在A点的右边；
作差，得：-2x+3-（-x+2）=-x+1，
由x＜1，得：-x＞-1，
-x+1＞0，
-2x+3-（-x+2）＞0，
∴-2x+3＞-x+2，
所以数轴上表示数-x+2的点在B点的左边,点A的右边．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式．
24．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是 ．
【答案】0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线定义求得∠DAC，再由三角形内角和定理求得∠ADC，进而分两种情况：∠ADE是钝角；∠AED是钝角．进行解答便可求得结果．
【详解】解：∵∠B＝50°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝95°，
当∠ADE是钝角时，90°＜∠ADE＜95°，
当∠AED是钝角时，
∴∠AED＞90°，
∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣∠ADE＝135°﹣∠ADE，
∴135°﹣∠ADE＞90°，
∴0°＜∠ADE＜45°，
综上，0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°．
故答案为：0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线定义，钝角三角形的定义，一元一次不等式的应用，关键分类进行讨论．
25．如图，在数轴上，点分别表示数1、，则数轴上表示数的点应落在 ．（填“点的左边”、“线段上”或“点的右边”）

【答案】线段上
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，利用作差法，可得点在B点的左边．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得： 2x+3>1，
解得x<1；
x> 1，
两边同时加上2，得： x+2> 1+2，
解得 x+2>1，
∴数轴上表示数 x+2的点在A点的右边，
根据作差法，得：
2x+3 ( x+2)= x+1，
由x<1，得： x> 1，
x+1>0，
2x+3 ( x+2)>0，
∴ 2x+3> x+2，
∴数轴上表示数 x+2的点在B点的左边，
∴数轴上表示数 x+2的点应落在线段AB上，
故答案为：线段AB上；
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的性质，数轴上数的大小，掌握一元一次不等式的性质及数轴上数的大小是解题的关键．
26．如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是 ；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论；
（2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
当时，，
故答案为：；
（2）由题意得：，，
或，
，
或，
解得：或，
即或时，；
（3），
点在线段上，
，
和的高相等，
，
即，
解得：，
即当秒时，．
27．如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：

(1)如图2，当为何值时，与的一边平行；
(2)如图3，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点、时，
①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得，直接写出此时的范围．
【答案】(1)，，
(2)①不变，；②
【分析】（1）分，，，三种情况，画出图形，利用平行线的性质和外角的性质分别求解；
（2）①连接，如图3，在中，由三角形内角和定理得，则，再在中，利用三角形内角和定理得到，所以；
②由，可解得，由于，即，则，所以，解得，利用直角三角板的边、分别交、的延长线于点、得到，于是得到．
【详解】（1）解：在中，，，
，
在中，，，
，
若，

，
；
若，

则；
若，

则，
，
；
综上所述，当为，，时，与的一边平行；
（2）解：①与度数的和不变．
连接，如图3，

在中，，
，
在中，，
即，
；
②，，
，
，
，
即，
，
，解得，
的度数范围为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，合理选择三角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键，同时运用不等式的性质解决的度数范围．
28．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为），则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为．
(1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是______（用含a的代数式表示）．
(2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为．
①当时，问t为何值时，点A到点B的追击值；
②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于7个单位长度，请直接写出b的取值范围．
【答案】(1)或
(2)①1或3；②
【分析】（1）据题干的定义，分两种情况，一种是点N在点M左侧，一种是点N在点M右侧；
（2）①先用含t的式子表示点A和点B，由即可求解；
②先用含t的式子表示点A和点B，再分两种情况，点A在点B的左侧，和点A在点B的右侧，求出的最大值不大于7个单位长度即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，点M表示的数为1，且点N到点M的d追随值，
∴点M到点N的距离为a，如点N在点M左侧，则N表示的数为，若点N在点M右侧，则N表示的数为
故答案为：或；
（2）解：①根据题意，点A所表示的数为，点B所表示的数为，
，
，
，
当时，解得；当时，解得．
的值为1或3．
②当点B在点A左侧或者重合时，此时，随着时间的增大，A和B之间的距离会越来越大，当时最大，
当时，点A到点B的追击值，
∴当时最大，
∵点A到点B的追击值都满足不大于7个单位长度
，
，
．
当点B在点A右侧时，此时，
在A、B不重合的情况下，A和B之间的距离会越来越小，
∴当时最大，
∵点A到点B的追击值都满足不大于7个单位长度
，
，
．
综合两种情况，b的取值范围是．
【点睛】此题考查了数轴上的动点，及两点之间的距离，还有绝对值的意义，理解题意，正确列出方程与不等式，及采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
29．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α．
(1)如图①，若α=90°，判断入射光线FE与反射光线GH的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若α=135°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD=θ(90°<θ<180°)，入射光线FE与镜面AB的夹角∠1=m(0°(3)如图③，若90°<α<180°，∠1=20°，入射光线FE与反射光线GH的夹角∠FMH=β．若△MEG为锐角三角形，请求出α的取值范围．
【答案】(1)EF∥GH
(2)θ＝90°＋m
(3)115°＜α＜135°
【分析】（1）在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α＝90°，可得∠2＋∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG＋∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）根据题意以及第（1）题的方法，求得含有m的代数式直接表示θ的度数；
（3）在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，可得∠2＋∠3＝180° α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＋∠MGE＋β＝180°，求出β与α的数量关系，在△MEG中，0°＜β＜90°，0°＜∠MGE＜90°，可得出α的取值范围．
【详解】（1）解：EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∵∠1＋∠2＋∠FEG＝180°，
∠3＋∠4＋∠EGH＝180°，
∴∠FEG＋∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）如图，作，
，
，
，∠1=m，
，
，
，
，
，
在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α=135°，
∵∠3＝∠4，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即θ＝90°＋m．
（3）在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，
∴∠2＋∠3＝180° α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG＋∠MGE＋β＝180°，
∴β＝180° （∠MEG＋∠MGE）＝180° （2∠2＋2∠3）
＝180° 2（∠2＋∠3）
＝180° 2（180° α）
＝2α 180°，
∵△MEG为锐角三角形，
∴0°＜β＜90°，0°＜∠MGE＜90°，
，
∴115°＜α＜135°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、列代数式，一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
30．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为，则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为．
（1）点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是____________（用含a的代数式表示）．
（2）如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒4个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为．
①当b＝5时，问t为何值时，点A到点B的追击值；
②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于9个单位长度，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）或；（2）①或；②
【分析】（1）根据追击值的定义，分在左侧和右侧两种情况进行讨论，分别求解；
（2）①分点在的左侧和右侧两种情况，根据追击值，列方程求解即可；②用含有的式子表示出、，分点在的左侧和右侧两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）由题意可得：点到点的距离为，
当在左侧时，则表示的数为，
当在右侧时，则表示的数为
故答案为或；
（2）①由题意可得：点表示的数为，点表示的数为
当点在的左侧时，即，解得，
∵，∴，解得
当点在的右侧时，即，解得，
∵，∴，解得
综上，或时，；
②由题意可得：点表示的数为，点表示的数为
当点在点的左侧或重合时，此时，随着的增大，与之间的距离越来越大，
∵时，，即时，，，解得
即
当点在点的右侧时，此时，在不重合的情况下，之间的距离越来越小，最大为初始状态，即时，，，
在可以重合的情况下，，，的最大值为
综上，
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了两点之间的距离，解题的关键是对数轴上两点之间的距离进行分情况讨论．
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【题型攻关】用一元一次不等式解决实际问题（两大题型）
一、题型一：用一元一次不等式解决实际问题，20题，难度三星
1．某街心花园运动操场如图所示（操场一圈超过但不足米）．某同学从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了几圈？（ ）
A．8圈 B．9圈 C．10圈 D．11圈
2．小杰到学校食堂买饭，看到，两窗口前面排队的人一样多（设为人，，且为偶数），就站在窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，窗口每分钟有8人买了饭离开队伍，且窗口队伍后面每分钟增加6人．若小杰迅速从窗口队伍转移到窗口队伍后面重新排队，且到达窗口所花的时间比继续在窗口排队到达窗口所花的时间少，则的最小整数是 （不考虑其他因素）．
3．我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为（，且均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小颖 26
小睿 12
小涵 10
根据题中所给的信息，下列说法正确的是 （填序号）．
①可求得；
②小睿每轮比赛都没有获得第一名；
③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名；
④每轮比赛第二名得分为2分．
4．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况．根据题中所给信息， ，小奕同学第三轮的得分为 分．
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小恩 a a 27
小地 a b c 11
小奕 c b 10
5．随着疫情的结束，光雾山的游客人数越来越多，光雾山旅游公司打算购买游览车20辆，现有A和B两种型号车，如果购买A型号车6辆，B型号14辆，需要资金580万元；如果购买A型号车12辆，B型号车8辆，需要资金760万元．经预算，光雾山旅游公司准备购买设备的资金不高于500万元．（每种型号至少购买1辆）．已知每种型号游览车的座位数如表所示：
A型号 B型号
座位数（个/辆） 60 30
(1)每辆A型车和B型车各多少万元？
(2)请问光雾山旅游公司有几种购买方案？且哪种方案的座位数最多，是多少？
6．2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．振华纪念品经销店要购进A、B两种工艺品，若购进A种工艺品2件和B种工艺品3件共需68元，若购进A种工艺品3件和B种工艺品1件共需60元．
(1)求A、B两种工艺品每件的进价分别为多少元？
(2)若A种工艺品售价为21元，B种工艺品售价为19元，该经销店准备购进A、B两种工艺品共40件，这两种工艺品全部售出后总获利不低于216元，那么该经销店最多可以购进A种工艺品多少件？
7．【问题背景】
污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买 A，B两种型号污水处理设备共12台，已知 A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
型号 A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3 万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
【问题解决】
(1)求a，b的值；
(2)经预算：治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，通过计算说明该公司有哪几种购买方案；
(3)若要求每月处理的污水量不少于2260 吨，该公司至少需要购买多少台A型设备 并求出此时该公司所花费的钱数．
8．某批发部有甲、乙两种产品．已知甲产品的批发单价比乙产品的批发单价少元；件甲产品的总价正好和件乙产品的总价相等．
(1)求甲、乙两产品的批发单价各是多少？
(2)友谊商店计划从该批发部购进以上两种产品．
①若所用资金为元，且购进甲产品不超过件，则该店购进乙产品至少多少件？
②能否通过合理安排，使所用资金恰好为元？若能，请给出进货方案；若不能，请说明理由．
9．为了筹备第十八届春季越野比赛，学校计划购买甲、乙两种纪念品．已知购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元．
(1)求每件甲种纪念品和每件乙种纪念品各多少元；
(2)若学校购买甲、乙两种纪念品共1000件，总费用不超过2800元，那么最多可以购买甲种纪念品多少件？
10．某公司分两次购进一批同种型号的电脑和硬盘，第一次购进7台电脑和12个硬盘，用去资金30600元；第二次购进10台电脑和25个硬盘，用去资金50000元．
(1)求电脑和硬盘每台的采购价分别是多少元；
(2)若该公司计划再购进这两种设备共40个，而可用于购进这两种设备的资金不得超过65000元，问该商场最多可购进电脑多少台？
11．某校计划购买型和型两种笔记本作为奖品发放给学生，若购买型笔记本5本，型笔记本8本，共需80元；若购买型笔记本15本，型笔记本4本，共需140元．
(1)型和型笔记本每本的价格分别是多少元？
(2)该校计划购买型和型两种笔记本共80本，费用不超过500元，型笔记本最多买多少本？
12．汽车销售公司为提高某品牌汽车的销量，准备购进一批擦窗机器人与扫地机器人作为购车赠品．已知购买2台擦窗机器人和3台扫地机器人需要14000元，购买4台擦窗机器人和2台扫地机器人需要16000元．
(1)购买1台擦窗机器人、1台扫地机器人的单价各是多少元？
(2)该汽车销售公司决定购买这两种机器人共20台，要求其总费用不超过56000元，则最多可以购买多少台扫地机器人？
13．在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加c人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为b人/分钟．若车站只开1个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放2个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕．
(1)求a与b之间的数量关系．
(2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？
14．我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分．
(1)求小明所在班级胜、负的场次各是多少；
(2)根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？
15．2024年1月某银行发行了A、B两种龙年纪念币，已知购买3枚A型纪念币和2枚B型纪念币需55元，购买3枚A型纪念币和5枚B型纪念币需115元．
(1)求每枚A、B两种型号的纪念币各多少元？
(2)若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求A型纪念币最多能购买多少枚？
(3)在（2）的条件下，若小明至少要购买A型纪念币9枚，则有几种购买方案？哪种方案最划算？
16．某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
(1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
(2)若该体育用品店要求购进甲种跳绳的数量是乙种跳绳数量的3倍，不超过1000元购进这两种跳绳，至多购进乙种跳绳多少根？
17．欣鑫中学开学初准备在商场购进A、B两种品牌的排球，已知购买一个B品牌排球比购买一个A品牌排球多花20元，购买2个A品牌排球和3个B品牌排球共需310元．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的排球各需多少元？
(2)开学后学校决定再次购进A，B两种品牌排球共50个，恰逢商场对两种品牌排球的售价进行调整，A品牌排球售价比第一次购买时提高了，B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌排球的总费用不超过3016元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌排球？
18． 某学校计划购买A型和B型两种笔记本作为奖品发放给期中考试优秀学生，若购买A型笔记本5本，B型笔记本8本，共需80元；若购买A型笔记本15本，B型笔记本4本，共需140元．
(1)A型和B型笔记本每本的价格分别是多少元？
(2)该校计划购买A型和B型两种笔记本共120本，费用不超过800元，A型笔记本最多买多少本？
19．某绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如表：
种植户 种植A类蔬菜面积（公顷） 种植B类蔬菜面积（公顷） 总收入
甲 3 1 125000
乙 2 3 165000
（注：不同种植户种植的同类蔬菜每公顷平均收入相等）
(1)求种植两类蔬菜每公顷平均收入各是多少元．
(2)某种植户准备租20公顷地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于630000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户的所有种植方案．
(3)在（2）的条件下，该种植户选择哪种方案，能使总收入最大？最大总收入是多少？
20．商场某柜台销售A、B两种款式的电饭锅，A种款式的电饭锅每台进价为170元、B种款式的电饭锅每台进价为150元，下表是两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种款式 B种款式
第一天 1个 2个 580元
第二天 3个 1个 840元
(1)求A、B两种款式的电饭锅的销售单价；
(2)若商场准备用不多于9650元的金额再采购这两种款式的电饭锅共60个．求A种款式的电饭锅最多能采购多少个？
(3)在（2）的条件下，商场销售完这60个电饭锅能否实现利润为2400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
二、题型二：用一元一次不等式解决几何问题，10题，难度三星
21．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
22．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（ ）
用法用量：口服，每天．分次服用．
规格：□□□□□□
贮藏：□□□□□□
A． B． C． D．
23．如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在( )

A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．数轴的任意位置
24．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是 ．
25．如图，在数轴上，点分别表示数1、，则数轴上表示数的点应落在 ．（填“点的左边”、“线段上”或“点的右边”）

26．如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是 ；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由．
27．如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：

(1)如图2，当为何值时，与的一边平行；
(2)如图3，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点、时，
①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得，直接写出此时的范围．
28．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为），则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为．
(1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是______（用含a的代数式表示）．
(2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为．
①当时，问t为何值时，点A到点B的追击值；
②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于7个单位长度，请直接写出b的取值范围．
29．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α．
(1)如图①，若α=90°，判断入射光线FE与反射光线GH的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若α=135°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD=θ(90°<θ<180°)，入射光线FE与镜面AB的夹角∠1=m(0°(3)如图③，若90°<α<180°，∠1=20°，入射光线FE与反射光线GH的夹角∠FMH=β．若△MEG为锐角三角形，请求出α的取值范围．
30．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为，则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为．
（1）点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是____________（用含a的代数式表示）．
（2）如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒4个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为．
①当b＝5时，问t为何值时，点A到点B的追击值；
②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于9个单位长度，请直接写出b的取值范围．
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