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第九章
10.1.4 概率的基本性质
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.通过实例，理解概率的基本性质. 1.数学抽象素养.
2.结合实例，掌握概率的运算法则． 2.数学抽象素养.
3.能利用概率的运算法则求较复杂事件的概率. 3.数学运算素养和逻辑推理素养.
温故知新
1.古典概型的特征：
2.古典概型的概率计算公式：
⑴有限性：样本空间的样本点只有有限个；
⑵等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P(A)
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
温故知新
3.事件的关系与运算
事件的关系或运算 含义 符合表示
包含 A发生导致B发生 A B或B A
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且只有一个发生 A∩B= ，A∪B=Ω
对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．
新知探究
一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.
例如：在给出指数函数的定义后，我们通过定义域、值域、单调性、特殊点等角度来研究函数性质.
类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质.
你认为可以从哪些角度研究概率的性质
下面我们从概率的定义出发研究概率的性质.例如：概率的取值范围；特殊事件的概率;事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等.
知新探究
由概率的定义可知：
任何事件的概率都是非负的；
在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不发生.
一般地，概率有如下性质：
性质1 对任意的事件A，都有
P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为 1， 不可能事件的概率为 0，即
P(Ω)=1，P( )=0.
知新探究
在“事件的关系和运算中”我们研究过事件的某些关系，具有这些关系的数据，它们的概率之间有什么关系呢？
设事件A与事件B互斥,和事件A∪B的概率与事件A、B的概率之间具有怎样的关系
我们先来看10.1.2节例6:一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球 (标号为1和2)，2个绿色球 (标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.
事件R=“两次都摸到红球”与事件G=“两次都摸到绿球”互斥，R∪G= “两次摸到的球颜色相同”.
因为n(Ω)=12,n(R)=2,n(G)=2,n(R∪G)=2+2=4,所以
P(R)=P(G)=，
P(R∪G)=.
因此
P(R∪G)==P(R)+P(G).
知新探究
一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)=n(A)+n(B),这等价于P(A∪B)=P(A)+P(B).即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.所以我们有互斥事件的概率加法公式：
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么 P(A∪B) = P(A)＋P(B).
互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1, A2, …, Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和.
推论 如果事件A1, A2, …, Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
知新探究
设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系
因为事件A和事件B互为对立事件，所以和事件A∪B是必然事件，即P(A∪B)=1.由性质3，得
1=P(A∪B)=P(A)+P(B).
由此我们得到
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)＝1－P(A)，P(A)=1－P(B).即P(A)+P(B)=1.
知新探究
在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A B，那么n(A)≤n(B).于是,即P(A)≤P(B).
一般地，对于事件A与事件B，如果A B，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率，于是我们有概率的单调性：
性质5(概率的单调性) 如果A B，那么 P(A) ≤ P(B).
由性质5可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以P( )≤P(A)≤P(Ω)，
即0≤P(A)≤1.
所以，对于任意事件A，有0≤P(A)≤1.
知新探究
在10.1.2节的摸求试验中，“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+ P(R2)相等吗 如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2).
因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,所以P(R1) =P(R2)=,P(R1∪R2)=.
因此P(R1∪R2)≠P(R1)+ P(R2).
这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠ ，即事件R1和R2不互斥.
由于P(R1∩R2)=，所以
一般地，我们有如下性质：
P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2).
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(A∩B) .
显然，性质3是性质6的特殊情况.
知新探究
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P( )=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
推论 如果事件A1, A2, …, Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 即 P(A)+P(B)=1.
性质5 如果A B，那么P(A)≤P(B).
对于任意事件A，有0≤P(A)≤1.即P(A)∈[0,1].
性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
知新探究
【例1】从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，
设事件A= “抽到红心”，事件B= “抽到方片”，
P(A)=P(B)=. 那么.
⑴C= “抽到红花色”，求P(C);
⑵D= “抽到黑花色”，求P(D).
解：
⑴因为C = A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式，得
P(C) = P(A)＋P(B) =.
⑵因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件.因此
P(D) = 1－P(C) =1-=.
初试身手
1.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，将频率视为概率，求下列事件的概率：
⑴命中的环数大于8环；
⑵命中的环数小于9环.
解：
⑴P(x>8)=P(x=9或x=10)=P(x=9)+P(x=10)=0.3+0.2=0.5,
命中环数 6 7 8 9 10
频率 0.10 0.15 0.25 0.30 0.20
用x表示命中的环数，由题意，事件“x=6”“x=7”“x=8”“x=9”“x=10”两两互斥，
所以“命中的环数大于8环”的概率为0.5；
⑵P(x<9)=1－P(x≥9)=1－P(x=9)－P(x=10)=1－0.2－0.3=0.5;
所以“命中的环数小于9环”的概率为0.5.
知新探究
【例2】为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
解：
设A=“中奖”，A1=“第一罐中奖”,A2=“第二罐不中奖”,那么事件AlA2=“两罐都中奖”， =“第一罐中奖, 第二罐不中奖”,=“第一罐不中奖, 第二罐中奖”，且
P(A)=P(A1A2)+P()+P().
因为A1A2、 、两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
A=A1A2∪ ∪.
分析:“中奖”包括是“第一罐中奖但第二罐不中奖”、“第一罐不中奖但第二罐中奖”、“两罐都中奖”三种情况.如果设A=“中奖”，A1=“第一罐中奖”,A2=“第二罐不中奖”,那么就可以通过事件的运算构建相应事件概率的性质解决问题.
知新探究
【例2】为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
解：
P(A)=.
因为n(A1A2)=2,n()=8,n()=8,所以
可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30.且 每个样本点都是等可能的.
我们借助树状图（如图）来求相应事件的样本点数.
上述方法需要分若干种情况计算概率.
知新探究
【例2】为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
P(A)=1-P()=.
因此
注意到，事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐均不中奖”，
由于=“两罐均不中奖”,而n()=4×3=12,所以
P()=.
小试身手
2.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，
某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．
现从中随机抽取一名队员，求：
⑴该队员只属于一支球队的概率；
⑵该队员最多属于两支球队的概率．
解：
分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C. 由题图知3支球队共有球员20名．则
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
P(D)=P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.
⑴令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.则D＝A＋B＋C，
因为事件A，B，C两两互斥，所以
小试身手
2.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，
某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．
现从中随机抽取一名队员，求：
⑴该队员只属于一支球队的概率；
⑵该队员最多属于两支球队的概率．
解：
⑵令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以
P(E)＝1-P()＝1-＝.
知新探究
【例3】袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
⑴试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；
解：
⑴从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则
P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,P(C∪D)=P(C)+P(D)=,P(B∪C∪D)=P(B)+
P(C)+P(D)=1-P(A)=1-.
∴
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.
则得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，.
知新探究
【例3】袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
⑵从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.
解：
⑵事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，
由⑴及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)=.
∴得到的不是红球也不是绿球的概率P＝1－P(A∪D)＝1-=.
初试身手
3.从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
解：
B
则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=.故选B.
设事件“摸出的数是偶数”=A，事件“摸出的数能被5整除”=B，则
P(A)=,P(B)=,P(A∩B)=.
课堂小结
概率的基本性质：
性质 内 容 公式
性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 P(Ω)=1，P( )=0.
性质5 如果A B，那么P(A)≤P(B). 对于任意事件A，有0≤P(A)≤1.即P(A)∈[0,1].
运算法则 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). P(A∪B)=P(A)+P(B)
推论 如果事件A1, A2, …, Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和. P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B) P(A)+P(B)=1.
性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
作业布置
作业： P246 习题10.1 第10，11,12,13,14题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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