资源简介

江西师大附中2024届高考第三次模拟测试卷 7.A 3、B是一个随机试验中的两个事件，且P(A) = 5 ,P A B =
2
5 ,P(A+B) =
7
10 ,则下
数 学 列错误的是 ( )

本卷满分：150分，考试时间：120分钟． A. P(B) = 12 B. P(AB) =
2
5 C. P(AB) =
3
5 D. P B A =
1
3
注意事项：
1．答题前、考生先在答题卡上用直径 05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写 2
清楚，然后贴好条形码．清认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 8. C : x
2 y
已知双曲线 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为Fa b 1
-c,0 ,F2 c,0 ，点P在
2．答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、用橡皮擦
干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 3c
区域内作答，在试题卷上作答无效． y轴上，且△PF1F2的内心坐标为 0, 3 ，若线段PF1上靠近点P的三等分点Q恰好
在C上，则C的离心率为 ( )
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个逃项中，只有一项是
符合题目要求的． A. 1+ 5 B. 2 7- 2 C. 2+ 7 D. 11+ 4 7
1+2i 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目1.已知复数 z= 2025 - 3i，则 z= ( )1-i 要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
A. 1 - 32 2 i B.
1 + 32 2 i C. -
1 3
2 - 2 i D. -
1
2 +
3
2 i 9.已知数列 an 满足 a1= 1，an+1= 2an+ 1，则 ( )
2. (2x+ 3)4的展开式中，x的系数为( ) A.数列 an 是等比数列
A. 96 B. 144 C. 180 D. 216 B.数列 log2(an+1) 是等差数列
sin2α C.数列 a
n+1
n 的前n项和为 2 -n- 2
3.若 tanα= 2，则 的值为 ( )
cos2α-sin2α D. a20能被 3整除
A. - 4 B. 27 3 C.
4
9 D.
4
7 10.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A，B，
4.已知 3个数据的平均数为 3，方差为 4，现再加入一个数据 7，则这 4个数据的方差为( ) C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为 b，c，曲面ABC(阴影部分)叫做曲面三角

△ = = · ( ) 形，若 a= b= c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封5.已知钝角 ABC的面积为 3，AB 4，AC 2，则AB AC的值是
A. - 6 B. - - - 闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O-ABC .设∠BOC= α，∠AOC= β，∠AOB=2 7 C. 2 7或 2 7 D. 6或 6
γ，则下列结论正确的是 ( )
6.已知函数 f x =Asin ωx+φ A>0,ω>0, φ <π 的部分图象如图所示，将 f x 的图
π
象向左平移 4 个单位长度后得到函数 g x 的图象，若 g x 在区间 0,t 上的值域为
- 3,2 ，则 t的取值范围为 ( )
y
2
- π O 2π x12 3 A.若平面△ABC
3
是面积为 R24 的等边三角形，则 a= b= c=R
B.若 a2+ b2= c2，则 α2+ β2= γ2
C.若 a= b= c= π3 R，则球面O-ABC的体积V>
2 R312
A. 5π 2π π 5π 5π 5π 5π 12 , 3 B. 4 , 6 C. 12 , 6 D. 12 ,π D. π若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB= ，则 a2+ b2= c22
·1·
{#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}
11.已知函数 f x 及其导函数 f x ，且 g x = f x ，若 x∈R, f x = f 6-x ,g 4+x
= g 4-x ，则 ( )
A. f -2 = f 8 B. g -1 + g 3 = 2
2025
C. g(i) = 0 D. f 0 + f 4 = 2
i=1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.已知函数 f x 是定义在R上的奇函数，当 x≥ 0时，f x =-x5- 3x+ a- 1，则 f -a
的值为 . (1)求证：平面A1B1C⊥平面A1B1C1；
13. 2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等 5位农业干部分配到 3个村庄去指导农民春 (2)如果A1C=B1C，AB=BC= 4，求二面角A1-BB1-C的余弦值.
耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去
同一个村庄，则不同的分配方法共有____种 (用数字作答).
14.已知函数 f x = ax- logax,a∈ 0,1 ∪ 1,+∞ ，若 f x 在其定义域上没有零点，则 a
的取值范围是___．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． (本题满分 13分)已知函数 f(x) = a(2x+ a) - lnx．
(1)讨论 f(x)的单调性； 18． (本题满分 17分)已知抛物线C：y
2= 2px(p> 0)的准线与圆O：x2+ y2= 1相切．
(2)证明：当 a> 0时，f(x)> 9lna． (参考数据：ln2≈ 0.693) (1)求C的方程；
(2)设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是△PAB的内切
圆．
①若 AB = 2 5，求点P的横坐标；
②求△PAB面积的最小值．
16.(本题满分 15分)某商场举办购物有奖活动，若购物金额超过 100元，则可以抽奖一次，
奖池中有 8张数字卡片，其中两张卡片数字为 1，两张卡片数字为 2，两张卡片数字为 3，两
张卡片数字为 4，每次抽奖者从中随机抽取两张卡片，取出两张卡片之后记下数字再一起放
回奖池供下一位购物者抽取，如果抽到一张数字为 1的卡片，则可获得 10元的奖励，抽到两
张数字为 1的卡片，则可获得 20元的奖励，抽到其他卡片没有奖.小华购物金额为 120元，
有一次抽奖机会。
(1) 19． (本题满分 17分)已知有穷数列An:a1，a2， ，an(n∈N
*，n≥ 2)满足 a = a = 0，且 2
求小华抽到两张数字不同的卡片的概率； 1 n
(2) X X E X . ≤ k≤n(k∈N *)时，(a
2
记小华中奖金额为 ，求 的分布列及数学期望 k
- ak-1) = 1，令S(An) = a1+ a2+ +an．
(1)写出S(A5)所有可能的值；
(2)求证：n一定为奇数；
2
( ) (n-3)3 是否存在数列An，使得S(An) = 4 ？若存在，求出数列An；若不存在，说明理由．
17． (本题满分 15分)如图，在三棱锥P-ABC中，A1，B1，C1分别是侧棱PA，PB，PC的
中点，AB⊥BC，A1C⊥平面BB1C1C.
·2·
{#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}江西师大附中2024届高考第三次模拟测试卷 1 4 1 3
据的平均数为 4，方差为 x2- 16= x2 24 i i+7 - 16= 6.故选A项.数 学 i=1 4 i=1
本卷满分：150分，考试时间：120分钟． 5.已知钝角△ABC的面积为 3，AB= 4，AC= 2，则AB·AC的值是 ( )
注意事项： A. - 6 B. - 2 7 C. 2 7或-2 7 D. - 6或 6
1．答题前、考生先在答题卡上用直径 05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写
清楚，然后贴好条形码．清认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 【答案】C
2．答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、用橡皮擦
干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 【解析】略
区域内作答，在试题卷上作答无效． 6.已知函数 f x =Asin ωx+φ A>0,ω>0, φ <π 的部分图象如图所示，将 f x 的图
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个逃项中，只有一项是 π
象向左平移 4 个单位长度后得到函数 g x 的图象，若 g x 在区间 0,t 上的值域为符合题目要求的．
= 1+2i - - 3,2 ，则 t的取值范围为 ( )1.已知复数 z 2025 3i，则 z= ( )1-i y
A. 1 - 3 i B. 1 + 32 2 2 2 i C. -
1 3 1 3
2 - 2 i D. - 2 + 2 i 2
【答案】D
= 1+2i - = 1+2i
1+2i
- =
1+i
z 3i 3i - 3i= -1+3i
π x
【详解】 2025 1-i 2 - 3i=-
1 - 3 i，故 - O 2π
1-i 1-i 1+i 2 2 12 3
z =- 12 +
3
2 i.故选：D.
2. (2x+ 3)4的展开式中，x的系数为( ) A. 5π , 2π B. π , 5π C. 5π , 5π D. 5π ,π 12 3 4 6 12 6 12
A. 96 B. 144 C. 180 D. 216
【答案】C
【答案】D
f x 3 2π π 3π= r( )4-r r = 【详解】设T C 2x 3 . r 3 T = 33·21·C3·x= 216x. D . 的最小正周期为T，由图象可知A= 2, T= + = ，【解析】 r+1 4 当 时， 4 4 故选 项 4 3 12 4
3. tanα= 2 sin2α ( ) 所以T= π，则ω= 2，故 f x = 2sin 2x+φ ，若 ，则 的值为
cos2α-sin2α
f x 2π ,2 2π π又 的图象过点 3 ，所以 2× 3 + φ= 2 + 2kπ,k∈ Z，
A. - 4 B. 27 3 C.
4
9 D.
4
7 φ=- 5π所以 6 + 2kπ,k∈ Z
5π
，又 φ < π，所以 φ=- 6 ，则 f(x) = 2sin 2x-
5π
6 ，
【答案】A π π 5π π
sin2α 则 g x = f x+ = 2sin 2 x+ - = 2sin 2x- .
【详解】由题意可得： 2 =
2sinαcosα = 2tanα = 4 =- 4 . 4 4 6 3
cos2α-sin α cos2α-2sin2α 1-2tan2α 1-8 7
. 当 x∈ 0,t
π π π
时，2x- ∈ - ,2t-
故选：A 3 3 3
，
4.已知 3个数据的平均数为 3，方差为 4，现再加入一个数据 7，则这 4个数据的方差为( ) 2x- π =- π 4π . x= 0 x= 5π当 3 3 或 3 即 或 6 时，g x =- 3，
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
当 2x- π = π x= 5π3 2，即 12 时，g x = 2，
【答案】A
5π 5π
n 3 3 所以 t的取值范围为 , .故选：C.1 1
【解析】由方差公式 s2= 2 2n xi - x 得 4= 3 x
2
i - 2=
12 6
9，因此 xi 39.加入数据后，新数
i=1 i=1 i=1 7.A、B是一个随机试验中的两个事件，且P(A) = 35 ,P A B =
2
5 ,P(A+B) =
7
10 ,则下
·1·
{#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}
列错误的是 ( ) A.数列 an 是等比数列
1 A. P(B) = B. P(AB) = 2 C. P(AB) = 3 D. P B A = 1 B.数列 log2(an+1) 是等差数列2 5 5 3 C.数列 a 的前n项和为 2n+1n -n- 2
【答案】C D. a20能被 3整除
【解析】略
2 【答案】BCD
8. x
2 y
已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F1 -c,0 ,F2 c,0 ，点P在a b 【解析】略
3c 10.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A，B，y轴上，且△PF1F2的内心坐标为 0, 3 ，若线段PF1上靠近点P的三等分点Q恰好 C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，
在C上，则C的离心率为 ( ) 圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为 b，c，曲面ABC(阴影部分)叫做曲面三角
A. 1+ 5 B. 2 7- 2 C. 2+ 7 D. 11+ 4 7 形，若 a= b= c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封
【答案】C 闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O-ABC .设∠BOC= α，∠AOC= β，∠AOB=
【详解】设 PF = t，则 PF = t， PO = t2-c2 (O为坐标原点)，设△PFF 的内心为 γ，则下列结论正确的是 ( )1 2 1 2
I 0, 3c3 ，所以△PF1F
3
2的内切圆的半径为 r= 3 c，
1 1
在△PF1F2中，S△PFF =S△IFF +S△PIF +S△PF I= 2 PF1 + PF2 + F2F1 r= 2 2c+2t ×1 2 1 2 1 2
3c 1 1
3 ，又S
2 2
△PFF = 2 F2F1 PO = 2 × 2c× t -c ，1 2
1 3c 1
由等面积法得 2 2c+2t × 3 = × 2c× t
2-c22 ，解得 t= 2c，
A.若平面△ABC 3是面积为 R24 的等边三角形，则 a= b= c=R
B.若 a2+ b2= c2，则 α2+ β2= γ2
C. a= b= c= π R O-ABC V> 2若 3 ，则球面 的体积 12 R
3
D.若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB= π2，则 a
2+ b2= c2
【答案】BC
所以△PF1F2为等边三角形，其边长为 2c，高为 3c，则P 0, 3c ， 3 2
Q - c 2 3c c
2 2 【解析】若平面△ABC是面积为 R 的等边三角形，则AB=BC=AC=R，则 α= β= γ
所以 3 , 3 ，代入C的方程得 2 -
4c
2 = 1，
4
9a 3b = π，a= b= c= π R.A不正确.
整理得 b2c2- 12a2c2= 9a2b2，由 b2= c2- a2， 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
可得 c4- a2c2- 12a2c2= 9a2c2- 9a4，两边同时除以 a4，可得 e4- 22e2+ 9= 0，解得 e2= 11 若 a + b = c ，则 αR + βR = γR ，则 α + β = γ .B正确.
± 4 7，因为 e> 1，所以 e2= 11+ 4 7，即 e= 2+ π π7 .故选：C. 若 a= b= c= 3 R，则 α= β= γ= 3，AB=BC=AC=R，则平面△ABC的外接圆半径
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 1 R = 3R
2 6
为 ，则O到平面ABC的距离 h= R2- 3R = R，则三棱锥O-
要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 2 sin π 3
3 3
3
9.已知数列 an 满足 a1= 1，an+1= 2an+ 1，则 ( )
·2·
{#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}
ABC 1的体积VO-ABC= 3 S△ABC h=
2 3
12 R ，则球面O-ABC的体积V>V =
2 3 所以 f -a = f(-1) =-f 1 =- (-1- 3) = 4.
O-ABC 12 R .
13. 2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等 5位农业干部分配到 3个村庄去指导农民春
C正确.
2 2 2 耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去BC =2R -2R cosα,
π
由余弦定理可知 AC2=2R2-2R2cosβ,因为C= ，所以BC2+AC2=AB2，则 cosα+ 同一个村庄，则不同的分配方法共有____种 (用数字作答). 2AB2=2R2-2R2cosγ, 【答案】30
2 3
cosβ- cosγ= 1. α= β= π π
2 2
取 ，γ= ，则 a= b= π R c= π， R，则 a2+ b2= 2π R2< π 2 【解析】分两类考查：第一类，甲、丙两人去同一个村庄，共有C3A3种分配方法；第二类，甲、3 2 3 2 9 4 R 丙和除乙以外的某一人去同一村庄，共有C 1A32 3种分配方法.故共有C 2A3+C 1A33 3 2 3= 30种分
= c2.D不正确.故选：BC 配方法.
11.已知函数 f x 及其导函数 f x ，且 g x = f x ，若 x∈R, f x = f 6-x ,g 4+x
= - ( 14.已知函数 f x = a
x- log x,a∈ 0,1 ∪ 1,+∞ ，若 f x
g 4 x ) a 在其定义域上没有零点，则 a ，则
的取值范围是___．
A. f -2 = f 8 B. g -1 + g 3 = 2 1
e
2025 【答案】 e ,+∞
C. g(i) = 0 D. f 0 + f 4 = 2
i=1 【解析】因为 f x 在 0,+∞ 上连续，又 f 1 = a> 0，所以要使 f x 无零点，需使 f x > 0
【答案】AC 在其定义域上恒成立．于是原问题转化为 f x = a
x- logax> 0，求 a的取值范围.
x x
【详解】因为 f x = f 6-x ，所以 f x 的图像关于直线 x= 3对称.令 x=-2，得 f -2 = a - logax> 0 a > logax
f 8 ，故A项正确； ax> lnxlna
因为 f x = f 6-x .所以 f x =-f 6-x ，即 g x =-g 6-x ， axlna> lnx
所以 g 4+x =-g 2-x ，因为 g 4+x = g 4-x ，所以 g 4-x =-g 2-x ， axxlna> xlnx
即 g x+2 =-g x ，所以 g x+4 =-g x+2 = g x ，则 g x 的一个周期为 4. axlnax> xlnx
因为 f x 的图像关于直线 x= 3对称，所以 x= 3是 f x 的一个极值点， 令 x = xex x>0 ， x = x+1 ex> 0，所以 x 单调递增，又由 式得
所以 g 3 = f 3 = 0，所以 g -1 = g 3 = 0，则 g -1 + g 3 = 0.故B项错误；
lnax > lnx lnx ，所以 lnax= xlna> lnx，即 lna> 恒成立．
由 g x+2 =-g x ，得 g 1 + g 3 = 0,g 2 + g 4 = 0，即 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 = 0. x
2025 φ x = lnx令 ，φ x 1-lnx = 2 ，令 φ x = 0得 x= e.
所以 g(i) = 506[g(1) + g(2) + g(3) + g(4)] + g(1) = g(1) = 0，故C项正确； x x
i=1 当 0< x< e时，φ x > 0，φ x 单调递增；当 x> e时，φ x < 0，φ x 单调递减，所
设 h x = f x + c(c为常数)，定义域为R，
x= e φ x φ x = φ e = 1 lna> 1
1
以 是 的极大值点， ，所以 ，即 a> e e．
则 h x = f x = g x ,h 3+x = f 3+x + c,h 3-x = f 3-x + c ， max e e
1
又 f 3+x = f 3-x ，所以 h 3+x = h 3-x ，显然 h x = f x + c也满足题设， 综上所述，a的取值范围为 e e,+∞ ．
即 f x 上、下平移均满足题设，显然 f 0 + f 4 的值不确定，故D项错误.故选：AC 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 15． (本题满分 13分)已知函数 f(x) = a(2x+ a) - lnx．
12.已知函数 f x 是定义在R上的奇函数，当 x≥ 0时，f x =-x5- 3x+ a- 1，则 f -a (1)讨论 f(x)的单调性；
的值为 . (2)证明：当 a> 0时，f(x)> 9lna． (参考数据：ln2≈ 0.693)
【答案】4
【详解】(1)由题意得 f x = 2a- 1 ，
【详解】由题得 f 0 = a- 1= 0，解得 a= 1，所以当 x≥ 0时，f x =-x5- 3x， x
当 a≤ 0时，f x < 0在 (0, +∞)上恒成立，f(x)在 (0, +∞)上单调递减，
·3·
{#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}
当 a> 0 1时，令 f x = 0，解得 x= ． 17． (本题满分 15分)如图，在三棱锥P-ABC中，A1，B1，C1分别是侧棱PA，PB，PC的2a
1 1 中点，AB⊥BC，A1C⊥平面BB1C1C.
当 x∈ 0, 时，f 2a x < 0，当 x∈ 2a ,+∞ ，f x > 0．
f(x) 0, 1所以 在 2a
1
上单调递减，在 2a ,+∞ 上单调递增；
综合得：当 a≤ 0时，f(x)在 (0, +∞)上单调递减，
a> 0 f(x) 0, 1 1当 时， 在 2a 上单调递减，在 2a ,+∞ 上单调递增；
(2)由 (1)可知，当 a> 0时，f(x) 1 1 1的最小值为 f 2a = a a+ a - ln 2a = a
2+ 1+ ln2a．
要证 f(x)> 9lna成立，需 a2+ 1+ ln2a> 9lna成立，即证 a2- 8lna+ 1+ ln2> 0．
8 2a2-8 (1)求证：平面A1B1C⊥平面A1B1C1；
令 h(a) = a2- 8lna+ 1+ ln2(a> 0)，则 h (a) = 2a- a = a ． (2)如果A1C=B1C，AB=BC= 4，求二面角A1-BB1-C的余弦值.
令 h (a) = 0，得 a= 2(负值舍去)． 【详解】(1)因为A1，B1，C1分别是侧棱PA，PB，PC的中点，
当 a∈ (0,2)时，h (a)< 0；当 a∈ (2, +∞)时，h (a)> 0． 所以A1B1 AB,B1C1 BC，
因此 h(a)在 (0,2)上单调递减，在 (2, +∞)，上单调递增． 因为AB⊥BC，所以A1B1⊥B1C1，
所以当 a= 2时，h(a)取得最小值，h(2) = 4- 8ln2+ 1+ ln2= 5- 7ln2> 5- 7× 0.7= 0.1 因为A1C⊥平面BB1C1C，B1C1 平面BB1C1C，
> 0，故当 a> 0时，f(x)> 9lna． 所以A1C⊥B1C1，
16.(本题满分 15分)某商场举办购物有奖活动，若购物金额超过 100元，则可以抽奖一次， 又A1C∩A1B1=A1,A1C,A1B1 平面A1B1C，
奖池中有 8张数字卡片，其中两张卡片数字为 1，两张卡片数字为 2，两张卡片数字为 3，两 所以B1C1⊥平面A1B1C，
张卡片数字为 4，每次抽奖者从中随机抽取两张卡片，取出两张卡片之后记下数字再一起放 又因为B1C1 平面A1B1C1，
回奖池供下一位购物者抽取，如果抽到一张数字为 1的卡片，则可获得 10元的奖励，抽到两 所以平面A1B1C⊥平面A1B1C1；
张数字为 1的卡片，则可获得 20元的奖励，抽到其他卡片没有奖.小华购物金额为 120元， (2)因为A1C⊥平面BB1C1C，BC,B1C 平面BB1C1C，所以A1C⊥B1C,A1C⊥BC，
有一次抽奖机会。 因为AB=BC= 4，所以A1B1=B1C1= 2，所以A1C=B1C= 2，
(1)求小华抽到两张数字不同的卡片的概率； 因为B1C1⊥平面A1B1C，B1C1 BC，所以BC⊥平面A1B1C，
(2)记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望E X 。 又B1C 平面A1B1C，所以BC⊥B1C，所以CA1,CB,CB1两两垂直，
C2C12C
1
2 6
【详解】(1)由题可得：小华抽到两张数字不同的卡片的概率为： 4 = . 如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，
C28 7 则B 4,0,0 ,C 0,0,0 ,A1 0,0, 2 ,B1 0, 2,0 ，
(2)由题可知X的取值为：0，10，20，
C2 15 C1C1 2
故A1B1= 0, 2,- 2 ,A1B= 4,0,- 2 ，
P( = )= 6 = CX 0 2 28，P(X= 10) =
2 6 = 32 7，P(X= 20) =
2 = 1 ，
C C C2 28 设平面A1BB1的法向量为n= x,y,z ，8 8 8
故X的分布列为：
则有 n A 1B 1= 2y- 2z=0 ，可取n = 1,2 2,2 2 ，
X 0 10 20 n A1B=4x- 2z=0
P 15 3 1 因为A1C⊥平面BB1C1C，所以CA1= 0,0, 2 即为平面BB1C1C的一条法向量，28 7 28


E(X) = 0× 15
n CA
+ 10× 3 + 20× 1 = 5，故E(X) = 5. 故 cosn,CA =
1 = 4 = 2 34 2 341 17 ，所以二面角A1-BB1-C的余弦值 .28 7 28 n CA 17× 2 171
·4·
{#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}
2y0 x +1
则m+n=- x -1 ,mn=-
0
0 x
，
0-1
2y 2 2= - = - 0 + 4 x0+1 = 4y0 + 4 x0+1 可得 AB m n x0-1 x0-1 x 20-1 x -1 ，0
注意到点P x0,y0 在抛物线C：y2= 4x上，则 y20= 4x0，
= 16x0 4 x +1 x
2+4x -1
则 AB 0 0 0
x -1 2
+ x -1 = 20 0 x0- 2
.
1
2
= x0+4x -1①若 AB 2 0 2- 2 = 2 5，整理得 2x0- 7x0+ 3= 0，18． (本题满分 17分)已知抛物线C：y2= 2px(p> 0)的准线与圆O：x2+ y2= 1相切． x0 1
(1)求C的方程； 解得 x0= 3或 x0= 12 (舍去)，即点P的横坐标为 3；
(2)设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是△PAB的内切
②因为点P x0,y0 到准线 x=-1的距离 d= x0+ 1，
圆．
△ = 1 = 1 + × x
2
0+4x0-1 = x
2
0+1 x2PAB S d AB x 1 2 0+4x0-1 ①若 AB = 2 5，求点P的横坐标； 则 面积 △PAB 2 2 0 x0-
，
1 2 x0-1 2
②求△PAB面积的最小值． 设 t= x0- 1> 0，则 x0= t+ 1，
【详解】(1)因为圆O：x2+ y2= 1的圆心为O 0,0 ，半径 r= 1，
t2+4t+4 t2= +6t+4 可得S 2 16 4p △PAB 2 = t + 2 +10 t+ +32，
由题意可知：抛物线C的准线为 x=- 2 =-1，可得 p= 2， t
t t
2 t2+ 16= 且 ≥ 2 t2 16
4 4
所以抛物线C的方程为 y 4x. 2 2 = 8,t+ t ≥ 2 t t = 4，当且仅当 t= 2,x0= 3时，等号成立，t t
(2)设P x0,y0 ,x0> 1,A -1,m ,B -1,n ，
所以S△PAB= t2+ 162 +10 t+ 4t +32≥ 8+40+32= 4 5，t
所以△PAB面积的最小值为 4 5 .
19． (本题满分 17分)已知有穷数列An:a1，a2， ，a (n∈N *n ，n≥ 2)满足 a1= an= 0，且 2
≤ k≤n(k∈N *)时，(ak- a 2k-1) = 1，令S(An) = a1+ a2+ +an．
(1)写出S(A5)所有可能的值；
(2)求证：n一定为奇数；
2
(3) (n-3)是否存在数列An，使得S(An) = 4 ？若存在，求出数列An；若不存在，说明理由．．
可知直线PA: - y -my m= 0x +1 x+1 ，即 y0-m x- x0+1 y+m x0+1 + y0-m = 0， 【详解】(1)由题意，满足条件的数列A5的所有可能情况有：0
m x0+1 + y0-m 0，1，2，1，0，此时S(A5) = 4；
因为直线PA与圆O相切，则 = 1，
x0+1 2 + y0-m 2 0，1，0，1，0，此时S(A5) = 2；
整理得 y0-m 2 + x 2 20+1 = y0-m + 2m x0+1 y0-m +m2 x0+1 ， 0，1，0，-1，0，此时S(A5) = 0；
且 x0> 1，化简可得： x0-1 m2+ 2y0m- x0+1 = 0， 0，-1，-2，-1，0，此时S(A5) =-4；
同理可得： x0-1 n2+ 2y0n- x0+1 = 0， 0，-1，0，1，0，此时S(A5) = 0；
同构可知：m,n是关于 x的方程 x -1 x2+ 2y x- x +1 = 0的两根， 0，-1，0，-1，0，此时S(A5) =-2．0 0 0
综上所述，S(A5)的所有可能取值为 4，2，0，-2，-4；
·5·
{#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}
(2)由 (ak- a 2k-1) = 1，可设 ak- ak-1= ck-1，则 ck-1= 1或 ck-1=-1(2≤ k≤n,k∈N *)，
所以 an= an-1+ cn-1= an-2+ cn-2+ cn-1= = a1+ c1+ c2+ +cn-2+ cn-1，
因为 a1= an= 0，所以 c1+ c2+ +cn-2+ cn-1= 0，
设 ck中有m个 1，n- 1-m个-1，则m- (n- 1-m) = 0，
故n= 2m+ 1为奇数；
(3)n n-1 n-1为奇数，c1，c2， ，cn-2，cn-1是由 2 个 1和 2 个-1构成的数列，
S(An) = c1+ (c1+ c2) + + (c1+ c2+ +cn-2+ cn-1) = (n- 1)c1+ (n- 2)c2+ +2cn-2+
cn-1，
则当 c1，c2， ，cn-2，c n-1 n-1n-1的前 2 项取 1，后 2 项取-1时，S(An)最大，
2
S(A ) = (n- 1) + (n- 2) + + n+1 - n-1 + + + = (n-1)此时 n 2 2 2 1 4 ，不符合题意；
如果 c1，c2， ，cn-2，c n-1n-1的前 2 项中恰有 t项 cm1，cm2， ，cmt取-1，
n-1
后 2 项中恰有 t项 cn1，cn2， ，cnt取 1，
2 t
则S( (n-1)An) = 4 - 2 (ni-mi)，i=1
( ) = (n-3)
2 t
若S An 4 ，则n- 2= 2 (ni-mi)，i=1
t
因为n是奇数，所以n- 2是奇数，而 2 (ni-mi)是偶数，
i=1
(n-3)2
因此不存在数列An，使得S(An) = 4 ．
·6·
{#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}

展开更多......

收起↑