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二〇二四年初中学业水平模拟考试（一）
数学试题
说明：
1.试题由选择题和非选择题两部分组成，共8页.选择题30分，非选择题90分，共120分.考试时间为120分钟.
2.将自己的姓名、准考证号、班级、考场（座位号）填涂到答题卡指定位置.选择题选出答案，要用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须用橡皮擦干净，再改涂其它答案.非选择题答案直接写在答题卡相应位置，考试结束，只交答题卡.
3.答题必须用0.5mm黑色签字笔.
4.不允许使用计算器.
愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷.
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合要求。
1.手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子.则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A.平移 B.轴对称 C.旋转 D.位似
3.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）
A.主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B.左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C.俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D.主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
5.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，，平分，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立直角坐标系.则关于的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，某展览大厅有个2入口和2个出口，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开小明从入口1进入并从出口离开的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心.若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11.若为整数，为正整数，则的值是______.
12.如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，则的长为______.
13.用与教材中相同型号的计算器，依次按键，显示结果为2.236067977.借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为______（精确到0.001）
14.已知表示取三个数中最大的那个数，例如：当时，.当时，则的值为______.
15.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为______.
图（1） 图（2）
16.在求的值时，发现：，，从而得到.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则______.（结果用含的代数式表示）
图（1） 图（2） 图（3）
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分8分）
（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
（2）先化简，再求值：，其中.
18.（本题满分8分）如图，中，点、分别为、的中点，延长到点，使得，连接.求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形.
19.（本题满分8分）某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告：
××学校学生参与家务劳动情况调查报告
调查主题 ××学校学生参与家务劳动情况
调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生
数据的收集、整理与描述 第一项 你日常家务劳动的参与程度是(单选)A.天天参与;B.经常参与;C.偶尔参与;D.几乎不参与.
第二项 你日常参与的家务劳动项目是(可多选)E.扫地抹桌;F.厨房帮厨;G.整理房间;H.洗晒衣服.
第三项 … …
调查结论 …
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）参与本次抽样调查的学生有______人；
（2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数；
（3）估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数；
（4）如果你是该校学生，为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，请你面向全体同学写出一条倡议.
20.（本题满分8分）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵综合实践活动报告时间：2024年4月2日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量.
【步骤二】准备测量工具图②自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示.准备皮尺.
【步骤三】实地测量并记录数据图③ 图④如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点.如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角.测出眼睛到地面的距离.测出所站地方到古树底部的距离.______...
【步骤四】计算古树高度.（结果精确到）（参考数据：，，）
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】.
图①
21.（本题满分9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本.
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
22.（本题满分9分）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点.将绕着点逆时针旋转得到.
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式.
23.（本题满分10分）如图，四边形内接于，为的直径，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接.若.
（1）求证：为的切线.
（2）若，，求的半径.
24.（本题满分12分）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数.
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①；②，其中，______为函数的轴点函数.（填序号）
【尝试应用】
（2）函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值.
【拓展延伸】
（3）如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值.
二〇二四年初中生学业水平模拟考试（一）
数学试题参考答案
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1.D 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.A
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11.4或7或8 12. 13.0.618 14. 15. 16.
三、解答题（满分72分，解答应写出必要的文字说明和解题步骤）
17.（本小题满分8分）
解：（1），
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2）解：原式，
当时，原式.
18.（本小题满分8分）
证明：（1）点、分别为、的中点，，
在与中，，
；
（2）由（1）证得，，
点、是、的中点，，即，
四边形是平行四边形.
19.（本小题满分8分）
解：（1）200；
（2）
所以“天天参与”对应扇形的圆心角的度数为；
（3）（人），
所以估计参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为1494
（4）同学们可在家多帮助父母扫地抹桌和洗晒衣服（合理即可）.
20.（本小题满分8分）
解：测角仪显示的度数为，，
，，，
，四边形是矩形，
，，
在中，，
.
答：古树高度约为.
21.（本小题满分9分）
解：（1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
.
答:《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，解得：.
设购买这两种图书共花费元，则，
，
，随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，此时.
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少.
22.（本题满分9分）
解：（1）点的坐标是，点的坐标是，点为中点，
，，，
将绕着点逆时针旋转得到，
反比例函数的图象经过点，，
该反比例函数的表达式为；
（2）作轴于.
，
，，
，
，，
，，
，，，，
，，
设一次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得，该一次函数的表达式为.
23.（本小题满分10分）
（1）证明：连接，如图：
为的直径，，
，，
.
，，
，，，
，，，
，
是半径，为的切线.
（2）解：连接，如图，
为的直径，，
，，，
设半径为，则，
在中，，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
的半径为4.
24.（本小题满分12分）
解：（1）①；
（2）令，得，解得：，，
令，得，
函数（为常数，）的图象与轴交于点，
其轴点函数经过点，
，且，，即，
，
设，则，，
，，，
，，，或；
（3）由题意得：，，，
四边形是矩形，，
，，
当时，轴点函数的顶点
与点重合，即，如图，
，，且，
；
当时，轴点函数的顶点在边上，即，如图，
，消去、，得，
解得：，，
函数的对称轴在轴左侧，
与同号，即，
；
当时，轴点函数的顶点在边上，即，如图，
，，
综上所述，的值为1或或.

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