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专题19.16 一次函数与方程、不等式（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围．
【知识点二】一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解．
【知识点三】如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【考点目录】
【考点1】已知直线与坐标轴交点，求方程的解；
【考点2】由一元一次方程的解，判断直线与坐标轴交点；
【考点3】利用图象法解一元一次方程；
【考点4】由直线与坐标轴交点求一元一次不等式的解集；
【考点5】由两直线与坐标轴交点求一元一次不等式组的解集；
【考点6】由两直线与坐标轴交点求二元一次方程的解；
【考点7】图象法解二元一次方程组；
【考点8】求直线围成的图形的面积；
【考点1】已知直线与坐标轴交点，求方程的解；
【例1】（23-24八年级上·山东济南·期中）
1．如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出方程的解为 ；
(3)求的面积．
【变式1】（23-24七年级上·山东泰安·期末）
2．已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3
y 6 4 2 0
那么方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）
3．已知一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则一元一次方程的解为 ．
【考点2】由一元一次方程的解，判断直线与坐标轴交点；
【例2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）
4．如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点，与函数的图象交于点，点的横坐标为2，在轴上有一点（其中），过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点．
(1)求线段的长；
(2)若，求点D坐标．
【变式1】（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）
5．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（21-22八年级下·福建福州·期中）
6．已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ．
【考点3】利用图象法解一元一次方程；
【例3】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）
7．根据一次函数的图象，写出下列问题的答案：
(1)关于x的方程的解是 ；
(2)关于x的方程的解是 ；
(3)当时，y的取值范围是 ．
【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）
8．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是（　　）

A． B． C． D．都不对
【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）
9．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ．
【考点4】由直线与坐标轴交点求一元一次不等式的解集；
【例4】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）
10．若y与成正比例，且当时，．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)当时，则y的取值范围是________________；
(3)当x在什么范围内时，？
【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）
11．如图，已知一次函数的图象为直线l，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）
12．直线经过，两点，则不等式的解集为 ．
【考点5】由两直线与坐标轴交点求一元一次不等式组的解集；
【例5】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）
13．如图，一次函数的图象与坐标轴交于两点，目，与正比例函数的图象交手点，若．
(1)求一次函数和正比例函数的表达式；
(2)结合图象直接等出不等式的解集．
【变式1】（22-23八年级下·吉林白山·期末）
14．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·江苏徐州·模拟预测）
15．如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点，则关于的不等式组的解集为 ．
【考点6】由两直线与坐标轴交点求二元一次方程的解；
【例6】（23-24八年级下·全国·随堂练习）
16．如图，直线与直线相交于点．
(1)求c的值；
(2)写出方程组的解；
(3)直线能否也经过点P，若能，求出a、b的值；若不能，请说明理由．
【变式1】（23-24八年级下·全国·随堂练习）
17．如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解？（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·陕西榆林·一模）
18．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ．
【考点7】图象法解二元一次方程组；
【例7】（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）
19．利用图象法解下列二元一次方程组：
(1)
(2)
【变式1】（21-22八年级上·江西抚州·期末）
20．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）
21．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ．
【考点8】求直线围成的图形的面积；
【例8】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点是线段上一动点，若直线把的面积分成：的两部分，请求点的坐标；
(3)直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求出点的坐标．
【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期末）
23．如图，一次函数第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结，则的周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）
24．在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解；
（3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可．
【详解】（1）解：把，代入，得，
解得：，
故这个一次函数的解析式为；
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴交于点C的坐标为，
∴方程的解为．
故答案为：．
（3）解：的面积为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式．
2．C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，据此即可求解．
【详解】解：由表格数据可知：当时，；
∴方程的解是，
故选：C．
3．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．根据“一次函数与一元一次方程的关系”求解．
【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为，
∴一元一次方程的解为：，
故答案为：．
4．(1)
(2)
【分析】（1）先求出点M坐标，再求出直线解析式，令，求出x的值，令，求出y的值，即可求得A、B的坐标，进而求得的长．
（2）根据，设设C点坐标为点坐标为，列出关于a方程，解方程即可求得D的坐标．
【详解】（1）点在直线的图象上，且点的横坐标为2，
∴，
点的坐标为，
把代入得，
解得，
一次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
点坐标为，
把代入得，
点坐标为，
；
（2）点坐标为，
，
，
轴，
设C点坐标为点坐标为，
，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，勾股定理，掌握图象上的点满足图象的解析式是本题的关键．
5．A
【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．先根据一次函数与坐标轴的交点排除B、C、D，进而可得出A正确．
【详解】解：∵，
∴一次函数过点，故B、C、D不合题意，
A、由一次函数的图象可得即，而正比例函数图象可得，符合题意．
故选：A．
6．（ 2，0）
【分析】当y＝0时，ax b 1＝0，可得ax b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标．
【详解】解：当y＝0时，ax b 1＝0，
∴ax b＝1，
∵关于x的方程ax b＝1的解为x＝ 2，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（ 2，0），
故答案为：（ 2，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，
（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出时对应的自变量的值即可
（3）利用函数图象写出时对应的函数值范围即可．
【详解】（1）利用函数图象可知函数值为0时，，
故答案为：；
（2）利用函数图象可知时对应的自变量的值为，
故答案为：；
（3）根据图象可知：当时，，
故答案为：．
8．A
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握两直线交点解方程，图形结合分析是解题的关键．
根据两直线的交点为，即可求解．
【详解】解：∵函数和的图象交于点，
∴根据图象可得方程的解集是，
故选：．
9．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键．
【详解】解：把代入得，解得，
∴一次函数与的图象的交点为，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，是常用的一种解题方法．
（1）因为与成正比例，可设，又时，，利用待定系数法即可求出与的函数解析式；
（2）分别将及代入中求解，再回答即可；
（3）图象与直线的交点及其下方的部分所对应的值即为所求．
【详解】（1）因为与成正比例，设，
又时，，
则
解得：．
故与的函数关系式为：；
（2）将代入，得，
将代入，得，
所以y的取值范围是，
故答案为：；
（3）当时，，
∵，
∴随的增大而减小，则图象与直线的交点下方的部分所对应的值使得，
时，．
11．B
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．根据图象可知当时，函数值小于1，即．
【详解】解：当时，，
即不等式的解集为．
故选：B．
12．##
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式，一次函数的增减性等等，先利用待定系数法求出直线解析式为，进而求出当时，，最后根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】解：把，代入中得：，
∴，
∴直线解析式为，
当时，，
∵，
∴y随x增大而增大，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
13．(1)一次函数，正比例函数
(2)
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，求一次函数解析式；
（1）先求出两点坐标，即可求出解析式，再设点坐标根据列方程求出点坐标代入计算即可；
（2）观察函数图象发现满足不等式的点都在点左边，即可解不等式．
【详解】（1）∵，
∴，，
∵一次函数的图象与坐标轴交于两点，
∴，解得，
∴一次函数，
∴设，
∵，
∴,
∴，
解得，
∴，
∵与正比例函数的图象交手点，
∴，解得，
∴正比例函数；
（2）由函数图象可得不等式的解集为．
14．D
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等式的解集．
【详解】解：如图所示：
一次函数与一次函数的图象交于点，
关于的不等式的解集是：．
故选：D．
15．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．利用函数图象，写出在轴上方且函数的函数值小于函数的函数值对应的自变量的范围即可．
【详解】解：当时，；
当时，，
所以不等式组的解集为．
故答案为：：．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组的关系：
（1）把代入可求出的值；
（2）由直线与直线相交于点可得结论；
（3）把分别代入和，然后联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，得
，
解得．
（2）解：∵，
∴直线l和直线m的交点坐标为，
即方程组的解为；
（3）解：直线也经过点P．
理由如下：将点代入直线，得
，
将点代入直线，得
，
联立解得
∴当时，直线也经过点P．
17．A
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，把两直线的交点坐标分别代入四个方程组中进行判断即可．
【详解】解：由图象可得，直线过点和，
设直线解析式为：，则
解得：
直线的表达式为
直线经过点，
同理可得直线的表达式为
联立可得方程组为．
所以A选项符合题意．
故选：A．
18．
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，先求出点A的坐标，再根据两直线的交点的横纵坐标即为两直线联立所得的方程组的解进行求解即可．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
∵在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，
∴关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】（1）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解；
（2）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解．
【详解】（1）解：如图所示：

两函数图象交于点，
方程组的解为；
（2）解：如图所示：

两函数图象交点为，
方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根据二元一次方程画出函数图象．
20．B
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2），
∴方程组的解是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
21．
【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解．
【详解】解：一次函数和的图象相交于点，
的解为，
故答案为：．
22．(1)直线的解析式为
(2)点的坐标为或
(3)或
【分析】本题考查了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，点在函数图像上的坐标特点，注意分类讨论．
（1）首先求出A、C两点的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）求出的面积；设，，分两种情况考虑：当：：时；②当：：时；由面积关系求出m的值，即可求得点G的坐标；
（3）设，则，从而求得，由即可求得n的值，从而得到点P的坐标．
【详解】（1）解：在中，令，得；令，得；
∴，，
点．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：，，．
，
，
设，，
当：：时，即，
，
，
；
②当：：时，即，
，
，
．
综上，点的坐标为或；
（3）解：设，则，
，
，
，
或，
或．
23．C
【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短．
设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令，可求得点B的坐标，令可求出点C的坐标，从而得到，的长，的面积．设点P的坐标为（），则，当垂直一次函数的图象时，取得最小值时，的周长为最小．根据的面积可求得的最小值，即可解答．
【详解】如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，
把代入函数中，得，
解得，
∴点B的坐标为，
把代入函数中，得，
∴点C的坐标为，
∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点，
∴设点P的坐标为（），
∵轴于点A，
∴，，
∴
∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小．
∵，，
∴，，
∴，
，
∵，即，
∴，
即的最小值为1，的最小值为．
故选：C．
24． 6 或##或
【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．设点，根据的面积与的面积相等，先计算的面积，然后列出等式计算y即可解答．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴的面积为：；
设点，
∵的面积与的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为：或．
故答案为：6；或．
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