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专题19.35 一次函数几何分类专题（旋转问题）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
（2021·陕西西安·二模）
1．若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1
（2019·陕西西安·模拟预测）
2．已知一次函数y＝﹣x+2的图象，绕x轴上一点P（m，0）旋转180°，所得的图象经过（0．﹣1），则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
（2018·陕西西安·三模）
3．把直线l：y=kx+b绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B（0,4），则直线l的表达式是（ ）
A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=-2x+2 D．y=-2x-2
（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
（21-22八年级上·江苏无锡·期末）
5．如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（　　）
A．（﹣8，0） B．（3，0）
C．（﹣11，0），（，0） D．（﹣10，0），（2，0）
（2018·江苏扬州·三模）
6．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（　　）

A．（0， ） B．（0，） C．（0，） D．（0，3）
（18-19八年级·甘肃·期中）
7．如图,直线与轴交于点P，将它绕着点P旋转90°所得的直线的解析式为
A． B． C． D．
（2022·广东佛山·一模）
8．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，把线段AB以A为旋转中心，逆时针方向旋转90°，得到线段AC，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
（19-20八年级下·浙江·期中）
9．如图所示，直线交轴于点，交轴于点轴上有一点为轴上一动点，把线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结，则当长度最小时，线段的长为（ ）
A． B． C．5 D．
（18-19九年级上·浙江杭州·期末）
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C是AB的中点，∠ECD绕点C按顺时针旋转，且∠ECD=45°,∠ECD的一边CE交y轴于点F,开始时另一边CD经过点O,点G坐标为（-2,0),当∠ECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的路径长为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
（22-23八年级上·江苏南京·期末）
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线绕点A顺时针旋转，则旋转后的直线的函数表达式为 ．
（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点为中心，把点按逆时针方向旋转得到点，若点的横坐标为，在，，，四个点中，直线经过的点是 ．
（20-21八年级下·四川成都·期末）
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交，轴于点，，将直线绕点按顺时针方向旋转45°，交轴于点，则直线的函数表达式是 ．
（15-16八年级下·福建泉州·期末）
14．已知函数y=2x+b经过点A（2，1），将其图象绕着A点旋转一定角度，使得旋转后的函数图象经过点B（﹣2，7）．则①b= ；②旋转后的直线解析式为 ．
（2019·湖南邵阳·一模）
15．如图，在平面鱼角坐标系xOy中，A（﹣3，0），点B为y轴正半轴上一点，将线段AB绕点B旋转90°至BC处，过点C作CD垂直x轴于点D，若四边形ABCD的面积为36，则线AC的解析式为 ．
（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）
16．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，现将直线绕点按逆时针方向旋转交轴于点，则点的坐标是 ．

（2023·江苏南通·一模）
17．已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，为y轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为 ．
（19-20八年级上·浙江丽水·期末）
18．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得线段AC，连接BC．
（1）线段AB的长为 ；
（2）若该平面内存在点P（a，1），使△ABP与△ABC的面积相等，则a的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
（2023八年级上·全国·专题练习）
19．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点O逆时针方向旋转后得到．
(1)填空：点C的坐标是（ ___________，___________），点D的坐标是（ ___________，___________）；
(2)设直线与交于点M，求点M坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023八年级下·全国·专题练习）
20．在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与x轴交于点A，与直线交于点P．
(1)求出直线的解析式；
(2)当时，直接写出时自变量x的取值范围；
(3)直线绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当是等腰三角形时，请直接写出符合条件的所有点B的坐标．
（2023八年级下·全国·专题练习）
21．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求直线的表达式；
(2)点M是坐标轴上的一点，若以为直角边构造，请求出满足条件的所有点M的坐标；
(3)如图2，以A为直角顶点作，射线交x轴的正半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，求的值．
（22-23八年级上·四川南充·期末）
22．在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，．
(1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标．
(2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标．
(3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值．
（22-23八年级上·陕西西安·期中）
23．问题提出：
如图，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证： ；
问题探究：
如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角，，求点C的坐标；
问题解决：
古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．
（22-23七年级下·河北石家庄·期中）
24．如图，直线与坐标轴分别交于点A，，与直线交于点，线段上的点以每秒1个长度单位的速度从点出发向点A做匀速运动，运动时间为秒，连接．

(1)写出点的坐标________；
(2)若是等腰直角三角形，则的值为________；
(3)若平分的面积，求直线对应的函数关系式；
(4)若点与点、、组成的四边形为平行四边形，则点为________；
(5)点是直线上一点，点是直线上一点，连接线段，若轴，且，写出符合条件的点的坐标________；
(6)将绕点旋转后，交轴于点，则长为________．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得，得到直线解析式为y＝x-2，将其向左平移2个单位，得到y＝x-1，绕着原点旋转180°，得解．
【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，
解得，
∴直线解析式为y＝x-2，
将其向左平移2个单位，得y＝（x+2）-2，
即y＝x-1，
∴与y轴的交点为（0，-1），与x轴的交点为（2,0），
∵绕着原点旋转180°，
∴新直线与与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-2,0），
∵设直线的解析式为y=mx+1，
∴-2m+1=0，
解得m=，
∴y＝x+1，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键．
2．C
【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为y=-x-1，然后根据解析式求得与x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
【详解】∵一次函数y＝﹣x+2的图象，绕x轴上一点P（m，0）旋转180°，所得的图象经过（0．﹣1），
∴设旋转后的函数解析式为y＝﹣x﹣1，
在一次函数y＝﹣x+2中，令y＝0，则有﹣x+2＝0，解得：x＝4，
即一次函数y＝﹣x+2与x轴交点为（4，0）．
一次函数y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则有﹣x﹣1＝0，解得：x＝﹣2，
即一次函数y＝﹣x﹣1与x轴交点为（﹣2，0）．
∴m＝＝1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式．本题属于基础题，难度不大．
3．B
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．
【详解】解：设直线AB的解析式为y＝mx＋n．
∵A（ 2，0），B（0，4），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝2x＋4．
将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y＝2（x 1）＋4，即y＝2x＋2，
再将y＝2x＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为 y＝ 2x＋2，即y＝2x 2，
所以直线l的表达式是y＝2x 2．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键．
4．B
【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，求得，求得直线的函数表达式，据此求解可得到结论．
【详解】解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令，得，令，则，
∴，，
∴，
过A作交于F，过F作轴于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为：，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为：，
∴，
∴，
∴的面积是，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．C
【分析】先求出点A的坐标；设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，可求出AC和BC的长；若将直线y=2x+2绕点A旋转45°，则需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P；过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可得△ACB≌△BED，进而可得点D的坐标，用待定系数法可求出直线AP的表达式，进而求出点P的坐标；当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则△ADF是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点F的坐标，进而求出直线AQ的表达式，最后可求出点Q的坐标．
【详解】解：令2x+2=-x+5，解得x=1，
∴A（1，4）．
设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，
∴OC=1，AC=4，
令y=2x+2=0，则x=-1，
∴OB=1，
∴BC=2．
将直线y=2x+2绕点A旋转45°，需要分两种情况：
①当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P，此时∠BAP=45°，
过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠ACO=∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠ABC=∠BDE，
∵∠ABD=90°，∠BAP=45°，
∴∠BDA=∠BAP=45°，
∴AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BC=DE=2，BE=AC=4，
∴OE=3，
∴D（3，-2），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y=-3x+7，
令y=0，则x=，
∴P（，0）；
②当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，
则∠BAQ=45°，
∵∠ABF=∠ABD=90°，
∴∠BAF=∠BFA=45°，
∴BF=BA=BD，即点B为DF的中点，
∵B（-1，0），D（3，-2），
∴F（-5，2），
设直线AQ的解析式为：y=mx+n，
∴，解得，
∴直线AQ的解析式为：y=x+．
令y=0，则x=-11，
∴Q（-11，0），
综上所述，将直线y=2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（-11，0），（，0）．
故选：C．
【点睛】本题属于一次函数与几何综合题目，涉及全等三角形的性质与判定，图象的交点，等腰三角形的性质等内容，解题的关键是根据45°角作出垂线构造全等．本题若放在九年级可用相似解决．
6．A
【分析】根据旋转的性质得到AM＝AM′，得出AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角形得到DE＝×3＝，AE＝，求出D（，），根据轴对称的性质得到D′（ ，），求出直线AD′的解析式为y＝ x＋，于是得到结论．
【详解】∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BO边上的一点，
∴AM＝AM′，
∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，
作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，

则AD′＝AM′＋DM的最小值，
过D作DE⊥x轴于E，
∵∠OAD＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AO＝3，
∴DE＝×3＝，AE＝，
∴D（，），
∴D′（ ，），
设直线AD′的解析式为y＝kx＋b，
∴，
∴
∴直线AD′的解析式为y＝ x＋，
当x＝0时，y＝，
∴M（0，），
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换 旋转，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．D
【分析】根据题意可得绕P点旋转90°，首先直线解析式的b值是不变的，再根据旋转后的图形和原图形相似,根据一次函数的解析式,即可得到答案.
【详解】
根据题意可得
设原图形与x轴交于A点，新函数与x轴交于B点
那么OA=1，OP=
利用旋转90°后的图形和原图形相似可得OB=3，所以B点坐标为（3,0）
代入一次函数的解析式可得.
【点睛】本题主要考查旋转图形的相似性，关键在于b是表示在y轴的交点的纵坐标，根据相似求图象与x轴的交点．
8．A
【分析】作出适当的辅助线，证得，即可建立y与x的函数关系，确定出答案．
【详解】解：过点作轴于点，
∵，
∴，，
∵，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵点B是x轴正半轴上的一动点，
∴，
故选：.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象问题，解题的关键是明确题意，建立函数关系，从而判断出正确的函数图象．
9．A
【分析】作EH⊥x轴于H，通过证明△DBO≌△BEH，可得HE=OB，从而确定点的运动轨迹是直线m：，根据垂线段最短确定出点E的位置，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：作EH⊥x轴于H，如图所示：
∵∠DBE=90°，
∴∠DBC+∠CBE=90°.
∵∠BHE=90°，
∴∠BEH+∠CBE=90°，
∴∠DBC=∠BEH，
∵∠BOD=∠BHE=90°，BD=BE，
∴△DBO≌△BEH（AAS），
∴HE=OB，HB=OD，
当y=0时，，
∴x=2，
∴HE=OB=2，
∴点的运动轨迹是直线m：，B(2，0)，
∴当⊥m时，CE最短，如图所示，此时点C与点H重合，点的坐标为(-1，-2)，
∵C(-1，0)，B(2，0)，
∴BC=3，
∴OD=，
∴CD=，
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的变化，全等三角形的判定与性质，垂线段最短以及勾股定理等知识，解题的关键是确定点E的位置．
10．A
【分析】先确定点B、A、C的坐标，①当点G在点O时，点F的坐标为（0,2），此时点F、B、C三点的圆心为BC的中点，坐标为（1,3）；②当直线OD过点G时，利用相似求出点F的坐标，根据圆心在弦的垂直平分线上确定圆心在线段BC的垂直平分线上，故纵坐标为，利用两点间的距离公式求得圆心的坐标，由此可求圆心所走的路径的长度.
【详解】∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴B(0,4),A(4,0),
∵点C是AB的中点，
∴C(2,2),
①当点G在点O时，点F的坐标为（0,2），此时点F、B、C三点的圆心为BC的中点，坐标为（1,3）；
②当直线OD过点G时，如图，
连接CN,OC,则CN=ON=2，∴OC=,
∵G(-2，0),
∴直线GC的解析式为：，∴直线GC与y轴交点M(0，1),
过点M作MH⊥OC,∵∠MOH=45，∴MH=OH=,
∴CH=OC-OH=,
∵∠NCO=∠FCG=45,∴∠FCN=∠MCH,
又∵∠FNC=∠MHC,
∴△FNC∽△MHC,
∴,即，得FN=,∴F(,0),
此时过点F、B、C三点的圆心在BF的垂直平分线上，设圆心坐标为（x，），
则，解得，
当∠ECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的路径为线段，即由BC的中点到点（，），
∴所经过的路径长=.
故选：A.

【点睛】此题是一道综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定及性质定理，两点间的距离公式，综合性比较强，做题时需时时变换思想来解题.
11．
【分析】先求出点A、B的坐标，作轴，交x轴于点D，然后由全等三角形的判定和性质，求出点C的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案．
【详解】解：将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
过点C作轴，交x轴于点D，
∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
12．
【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出点的坐标．过点作轴于点，根据旋转的性质可得，，进而推出，结合勾股定理可求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后一次将四个点代入直线的解析式中即可求解．
【详解】如图，过点作轴于点，
点，点，
轴，，
由旋转得：，，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点不在直线上，
当时，，
点在直线上，
当时，，
点不在直线上，
当时，，
点不在直线上，
故答案为：．
13．y=3x-2
【分析】根据已知条件得到A（-1，0），B（0，-2），求得OA=1，OB=2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=2，EF=OA=1，求得F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组于是得到结论．
【详解】解：∵一次函数y=-2x-2的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x=0，得y=-2，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∴OA=1，OB=2，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB=AF，
∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，
∴∠ABO=∠EAF，
在△ABO和△FAE中，
，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE=OB=2，EF=OA=1，
∴F（1，1），
设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数表达式为：y=3x-2，
故答案为：y=3x-2．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14． -3 y=
【分析】把A点的坐标代入y=2x+b，即可求出b，设旋转后的直线的解析式为y=kx+a，把A、B的坐标代入就，即可求出k、a，即可得出答案．
【详解】把A（2，1）代入y=2x+b得：1=4+b，
解得：b=﹣3，
即y=2x﹣3，
设旋转后的直线的解析式为y=kx+a，
把A、B的坐标代入得：，
解得：k=﹣，a=4，
即旋转后的直线的解析式为y=，
故答案为﹣3，y=．
【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
15．y＝x+1或y＝﹣3x﹣9．
【分析】过C作CE⊥OB于E，则四边形CEOD是矩形，得到CE＝OD，OE＝CD，根据旋转的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到BO＝CE，BE＝OA，求得OA＝BE＝3，设OD＝a，得到CD＝OE＝|a﹣3|，根据面积公式列方程得到C（﹣6，9）或（6，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A点和C点的坐标代入即可得到结论．
【详解】解：过C作CE⊥OB于E，
则四边形CEOD是矩形，
∴CE＝OD，OE＝CD，
∵将线段AB绕点B旋转90°至BC处，
∴AB＝BC，
∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBO＝∠CBO+∠BCE＝90°，
∴∠ABO＝∠BCE，
∵∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCO（AAS），
∴BO＝CE，BE＝OA，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝BE＝3，
设OD＝a，
∴CD＝OE＝|a﹣3|，
∵四边形ABCD的面积为36，
∴AO OB+（CD+OB） OD＝×3×a+（a﹣3+a）×a＝36，
∴a＝±6，
∴C（﹣6，9）或（6，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A点和C点的坐标代入得， 或
解得：或 ，
∴直线AB的解析式为或y＝﹣3x﹣9．
故答案为或y＝﹣3x﹣9．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
16．
【分析】过作轴于，过作，证明是等腰直角三角形，则有，再通过角度的和差，证明，根据性质得出点，最后通过待定求出直线的函数表达式即可．
【详解】解：如图，过作轴于，过作，交直线于D，作轴于，

∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为：，
把，代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为：，
令，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数与几何变换，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
17．6
【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，当时，最小，推出四边形面积的最小，根据点在直线上，得到，推出，，根据，得到，根据即可得到答案．
【详解】取的中点E，连接，
∵，
∴，
当时，最小，就最小，与都最小，就最小，
∵点为直线上一点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了一次函数，直角三角形，垂线段，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌握一次函数图象上的点坐标适合解析式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等性质，三角形面积计算公式．
18． 5 -4或
【分析】（1）根据直线解析式可以求出A、B两点坐标，然后运用勾股定理即可求出AB的长度；
（2）由（1）中AB的长度可求等腰直角△ABC的面积，进而可知△ABP的面积，由于没有明确点P的位置，要分类讨论利用三角形的和或差表示出面积，列出并解出方程即可得到答案．
【详解】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于点A、B，
∴A(3,0)，B(0,4)，
∴；
（2）∵AB=5，
∴，
∴，
当P在第二象限时，如图所示，连接OP，
∵
即，
∴；
当P在第一象限时，如图所示，连接OP，
∵
即，
∴；
故答案为：5；-4或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，做题时要认真观察图形，要会对图象进行拼接来表示出三角形的面积，而分类讨论是正确解答本题的关键．
19．(1)0，1；，0
(2)
(3)、、、
【分析】根据已知求得点A和B，结合旋转得点C和D的坐标；
结合点C和点D的坐标利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点M；
分两种情况讨论：①以为腰时，②以为底时，分别对应求得点P即可．
【详解】（1）解：，
当时，，
当时，
∴，，
∵将绕点O逆时针方向旋转后得到，
∴，，
∴点C的坐标是，点D的坐标是；
故答案为：0，1；，0；
（2）设直线的解析式为，把点C的坐标是，点D的坐标是代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立方程得：，解得，
∴；
（3）存在，分两种情况讨论：
①以为腰时，
∵，又点P在y轴上，且，
此时满足条件的点P有两个，如图，
它们是、，
过点M作轴于点E，如图，
∵，，
∴，
∴，
此时满足条件的点P有一个，它是；
②以为底时，作的垂直平分线，分别交y轴、于点P、F，如图，
设点，
∵，
∴，解得，
则．
此时满足条件的点P有一个，它是，
综上所述，符合条件的点P有四个，
它们是：、、、．
答：存在，所有满足条件的点P的坐标是、、、．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、解二元一次方程组、旋转的性质、平行线所截线段成比例、解一元一次方程、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论的应用．
20．(1)
(2)
(3)，、，
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由函数图象可以直接得到答案；
（3）对于本题中的等腰的腰不确定，需要分类讨论：以为底和为腰，由两点间的距离公式和方程思想解答．
【详解】（1）解：把和点 分别代入，
得，
解得，
则直线的解析式为：；
（2）解：如图所示，，
所以，当 时，；
（3）解：过点P作轴，交于点M，
由题意可知，，，，
当时，点B有3种位置使得为等腰三角形
①当时，，
∴，
②当时，，
∴，
③当时，设，由等面积法可得，
解得 ，
∴，
当 时，点B有1种位置使得为等腰三角形，
当时，，
∴，
综上所述，点B有4种位置使得为等腰三角形，坐标分别为，、，．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，主要运用了待定系数法确定函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、三角形面积公式、等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解题的关键．
21．(1)
(2)M点的坐标为或或
(3)8
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论：①当时，过A作的垂线，交y轴于点，交x轴于点，根据两点之间的距离公式以及勾股定理，列出方程求解即可；②当时，过点B作的垂线交y轴于点，用相同的方法即可求解；
（3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，通过证明，得出，即可得出．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
∵，在直线上，
∴ ，
解得： ，
∴直线的解析式为：；
（2）解：∵是以为直角边的直角三角形，
∴有或，
①当时，如图：
设点，，
∵，，
∴，，，，，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
②当时，如图：
过点B作的垂线交y轴于点，
设，
∵，，
∴，，，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴．
综上：M点的坐标为：或或．
（3）解：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，如图：
则，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查案例一次函数的图象和性质，勾股定理，两点之间的距离公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，坐标轴上点的坐标特征．
22．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据点坐标可以得出，，由轴，轴，可得∴，结合，可得，证明即可得出结论．
（2）作轴于，作轴于．如图2，若点在第一象限，则，．可证，则，．
则第四象限点为即可得出结论．
（3）由（2），可得即可求解．
【详解】（1）∵，∴，．
∵轴，轴，∴．
∵，∴．
∴．
∵，∴．
∴，．
∴点的坐标为．
（2）作轴于，作轴于．
如图2，若点在第一象限，则，．
由（1），同理可证．则，．
则第四象限点为．
同理，若点在第二象限，则第一象限点为．
若点在第三象限，则第二象限点为．
若点在第四象限，则第三象限点为．
综上，若点的坐标为，点的坐标为．
（3）由（2），可得
由①，解得．
把代入②，得．
解得．检验符合．
∴，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及一次函数的性质及图象特点，熟练掌握全等三角形的判定及一次函数的性质是解决本题的关键．
23．问题提出：见解析；问题探究：；问题解决：直线，直线
【分析】问题提出：利用同角的余角相等和AAS证明即可；
问题探究：先求出的坐标，过点作轴，交轴与点，证明 ，即可得解；
问题解决：求出点坐标和直线的解析式，延长交轴与点，延长至点，使，设，过点分别作轴，得到，表示出的坐标，利用的中点在直线上，求出的坐标，再用待定系数法求解析式即可．
【详解】问题提出：
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴（AAS）；
问题探究：
解：，
当时：；
当时：；
∴，，
∴，
过点作轴，交轴与点，
同上法可证：（AAS），
∴，
∴，
∴；
问题解决：
解：由题意得：，
∵射线AB与直线平行，
设直线的解析式为：，
则：，解得：；
∴；
延长交轴与点，延长至点，使，设，过点分别作轴，
由问题提出可知：（AAS），
∴，
∴，
∴的中点坐标为：，
由题意可知在直线AB上，
∴，
解得：，
∴，，
设的解析式为：，
则：，
解得：，
∴；
设的解析式为：，
则：，
解得：，
∴；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及一次函数与几何的综合应用．根据问题提出，理解并掌握一线三直角的全等模型，然后通过构建全等模型探究和解决问题是解题的关键．
24．(1)；
(2)或；
(3)；
(4) 或或；
(5)或；
(6)，；
【分析】（1）联立两个函数求解即可得到答案；
（2）根据题意得到，，结合等腰直角三角形分类讨论即可得到答案；
（3）根据平分的面积得到是中线，是的中点，列式求解即可得到答案；
（4）根据平行四边形对角线互相平分，结合中点公式分类讨论，列等式求解即可得到答案；
（5）根据平行于x轴的直线上点纵坐标相等及两点间距离公式列式求解即可得到答案；
（6）分类讨论旋转情况作出高线，结合角、角，根据勾股定理求解即可得到答案；
【详解】（1）解：联立与可得，
，
解得：，，
∴；
（2）解：由题意可得，
，，
∵是等腰直角三角形，
①当时，则：，

即可得到：，
，
②当时，则：，
即可得到：，
解得：；

综上所述：或；
（3）解：∵平分的面积，
∴是中线，是的中点，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，将，代入可得，
，
解得：，
∴；
（4）解：当时，，
∴，
设点，
∵点与点、、组成的四边形为平行四边形，
当为对角线时，
，
解得：，
∴，
当为对角线时，
，
解得：，
∴，
当为对角线时，
，
解得：，
∴，
综上所述： 或或；
（5）解：设点，
∵轴，且，
∴，，
解得：或，
∴或；
（6）解：当逆时针旋转时，如图所示，过D作，设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
根据勾股定理可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，

②当顺时针旋转时，如图所示，交y轴于点M，过M作，设，

∵，，
∴，，
∵，
∴，
根据勾股定理可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，
设：，将，代入得，
，
解得：，
∴，
当时，
，
解得：，
∴，
综上所述：长为，；
【点睛】本题考查一次函数几何应用，解题的关键是根据题意结合几何关系找到相应的线段关系，分类讨论列式求解．
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